高等數(shù)學(xué)教學(xué)的幾點(diǎn)思考與體會(huì)

高等數(shù)學(xué)教學(xué)的幾點(diǎn)考慮與體會(huì)〔〕:

摘要：作者根據(jù)近幾年教學(xué)經(jīng)歷，從課程特點(diǎn)、學(xué)情特點(diǎn)、課時(shí)特點(diǎn)等方面討論了高等數(shù)學(xué)等高校公共數(shù)學(xué)課程與數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)課程教學(xué)之間的一些差異。另外，作者介紹了自己在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的一點(diǎn)心得體會(huì)，以與大家交流。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；課程特點(diǎn)；學(xué)情特點(diǎn)；課時(shí)特點(diǎn)；偏導(dǎo)數(shù)

本文引用格式：姜德?tīng)q.高等數(shù)學(xué)教學(xué)的幾點(diǎn)考慮與體會(huì)[J].教育現(xiàn)代化,2022,7(49):101-105.

SeveralThoughtsandConsiderationsonTeachingofAdvancedMathematics

JIANGDe-shuo

(SchoolofMathematicsandStatistics,BaiseUniversity,BaiseGuangxi)

Abstract:Accordingtotheteachingexperienceofauthorinrecentyears,wediscusssomedifferencesbetweenadvancedmathematicsteachingandMathspecializedcourseteachingfromtheviewofcoursecharacteristics，studentcharacteristics，classhourcharacteristicsandsoon.Besides,weintroducesomeexperienceintheteachingofadvancedmathematicsinordertomunicatewithreaders.

Keywords:Advancedmathematics;Coursecharacteristic;Studentcharacteristics;Classhourcharacteristics;Partialderivative

一引言

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)里面的一門(mén)根底課程，在幾乎所有的理科專(zhuān)業(yè)，如物理、經(jīng)濟(jì)學(xué)、計(jì)算機(jī)領(lǐng)域、以及工程設(shè)計(jì)、化學(xué)、生物學(xué)等均有涉及，應(yīng)用非常廣泛。作者自工作以來(lái)，主講的大多為數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)課程，近幾年開(kāi)始講授高等數(shù)學(xué)之類(lèi)的公共數(shù)學(xué)課程。通過(guò)幾年來(lái)的教學(xué)理論與總結(jié)，作者感覺(jué)到像高等數(shù)學(xué)之類(lèi)的公共數(shù)學(xué)課程，與數(shù)學(xué)類(lèi)專(zhuān)業(yè)課程相比，在課程特點(diǎn)以及教學(xué)教法上都還是有著很大區(qū)別的。因此教師在教學(xué)中對(duì)此要有清醒的認(rèn)識(shí)，并做好充分的準(zhǔn)備。不然，會(huì)在教學(xué)中走一些彎路，影響教學(xué)的效果。

高等數(shù)學(xué)的教學(xué)，無(wú)論是從內(nèi)容的側(cè)重點(diǎn)，還是授課對(duì)象的知識(shí)根底來(lái)說(shuō)，與一般的數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)根底課程都有所不同，而且是有很大的不同。在教學(xué)中，我們就要針對(duì)這些特點(diǎn)，采取適宜的教學(xué)方法，以做到因材施教，從而到達(dá)進(jìn)步教學(xué)效果的目的。下面，我們從幾個(gè)方面對(duì)此做一較為詳細(xì)的討論，以此來(lái)與大家交流、討論。如有缺乏之處，還請(qǐng)各位專(zhuān)家、讀者給予批評(píng)指正。

二課程特點(diǎn)

從課程的特點(diǎn)來(lái)看,高等數(shù)學(xué)側(cè)重于在理解概念的根底上,對(duì)知識(shí)的靈敏應(yīng)用。至于理論的推導(dǎo)，那么不做過(guò)多的要求。因此，在教學(xué)過(guò)程中要抓住教材的這些內(nèi)容作為重點(diǎn)來(lái)講解。在分配每章或每節(jié)的課時(shí)數(shù)時(shí)，也要考慮到這方面的因素。高等數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)顯著特點(diǎn)就是內(nèi)容多，但課時(shí)緊。因此，在制定教學(xué)安排時(shí)，把握好這些特點(diǎn)是很重要的。

對(duì)于數(shù)學(xué)類(lèi)的專(zhuān)業(yè)課程，如點(diǎn)集拓?fù)?、微分幾何、?shí)變函數(shù)等，它們的特點(diǎn)之一就是具有高度的抽象性、概括性。在這些課程中，不但許多的概念是如此，而且里面的定理和性質(zhì)的證明都具有相當(dāng)?shù)碾y度。這樣的問(wèn)題很多，而詳細(xì)的實(shí)例由于時(shí)間和篇幅的原因，涉及的那么很少。因此學(xué)生在學(xué)習(xí)的時(shí)候往往會(huì)感到比擬枯燥，乏味。在文獻(xiàn)【1】中，我們對(duì)此也做了一定的討論，并給出了一些個(gè)人的看法和建議。在此不再贅述。對(duì)于高等數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，它的難點(diǎn)沒(méi)有那么多，重點(diǎn)在于相關(guān)的數(shù)學(xué)計(jì)算和應(yīng)用。但是，對(duì)于里面的一些主要的概念、結(jié)論，如偏導(dǎo)數(shù)、全微分、重積分等等，也是要作為重點(diǎn)來(lái)處理的，要做到講解透徹、分析到位、層次清楚。雖然說(shuō)重點(diǎn)是相關(guān)的計(jì)算與應(yīng)用，但這些主要的概念還是要著重講一下的，只有這些概念及它們的背景講清楚了，學(xué)生學(xué)起來(lái)才感興趣、有勁頭。我們說(shuō)，學(xué)以致用。不管是數(shù)學(xué)也好，其他的學(xué)科也好，它們之所以存在的根本原因，就在于能對(duì)我們的消費(fèi)生活起到積極的作用，能為我們?nèi)祟?lèi)社會(huì)的開(kāi)展效勞。數(shù)學(xué)當(dāng)然也不例外。我們?cè)诮滩闹袑W(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)，很多都起源于我們的消費(fèi)理論，并且也會(huì)對(duì)我們?nèi)祟?lèi)的消費(fèi)生活起到積極的推動(dòng)作用。數(shù)學(xué)中的每一個(gè)概念，都可能聯(lián)絡(luò)著一些實(shí)際的問(wèn)題。如，一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反映的是變量的變化率問(wèn)題〔運(yùn)動(dòng)物體的即時(shí)速度，切線的斜率等等〕；多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)反映的是函數(shù)對(duì)某一變量的變化率問(wèn)題〔這其實(shí)也來(lái)源于一些實(shí)際的問(wèn)題。如商品的價(jià)格與本錢(qián)、供給量、市場(chǎng)的需求量等都有關(guān)系。在有些時(shí)候，我們會(huì)考慮這樣的問(wèn)題，即在本錢(qián)和供給量不變的情況下，價(jià)格對(duì)需求量的變化率，或者在價(jià)格和需求量不變的情況下，價(jià)格對(duì)供給量的變化率，這就涉及到偏導(dǎo)數(shù)〕；函數(shù)在一點(diǎn)處的微分或者全微分，反映的是在這一點(diǎn)處函數(shù)增量的主要局部〔可以用來(lái)進(jìn)展近似計(jì)算〕；非負(fù)連續(xù)函數(shù)在有限閉區(qū)間上的定積分反映的是其所圍曲邊梯形的面積等等〔更多的可參閱文獻(xiàn)【2】，【3】以及其他一些高等數(shù)學(xué)教材、微積分教材等〕。理解了這些問(wèn)題的背景，或者說(shuō)來(lái)龍去脈，學(xué)生對(duì)這些概念才能有一個(gè)較為深化的認(rèn)識(shí)和理解，學(xué)起來(lái)也更有興趣。在文獻(xiàn)【4】中，作者也討論了關(guān)于如何在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的問(wèn)題，有興趣的讀者可以查閱。

三學(xué)情特點(diǎn)

高等數(shù)學(xué)的教學(xué)，不但要把握它的課程特點(diǎn)，還要注意到它授課對(duì)象的特點(diǎn)。高等數(shù)學(xué)的授課對(duì)象，一般為非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生。這些學(xué)生的一個(gè)顯著特點(diǎn)就是數(shù)學(xué)根底不是太好，對(duì)數(shù)學(xué)有一種天然的恐懼感和畏難情緒。提到數(shù)學(xué)，想到的就是一個(gè)難字。同樣的問(wèn)題，對(duì)于數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生也許很簡(jiǎn)單，但對(duì)于其它專(zhuān)業(yè)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，可能就變成了一個(gè)難點(diǎn)。如重積分的計(jì)算，在不同情形，有不同的計(jì)算公式。直角坐標(biāo)系下如何計(jì)算，極坐標(biāo)系下如何計(jì)算，都有相應(yīng)的公式，計(jì)算的時(shí)候直接代入即可。假設(shè)是數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，這是不需要花太多時(shí)間去說(shuō)的。但對(duì)于非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，這就是要講的重點(diǎn)。要通過(guò)多種不同類(lèi)型的例題來(lái)進(jìn)展講解、演示，通過(guò)習(xí)題來(lái)進(jìn)展訓(xùn)練和強(qiáng)化。不然，學(xué)生很難掌握好。因此，初次接觸高等數(shù)學(xué)教學(xué)的教師一定要注意這一點(diǎn)。

四課時(shí)特點(diǎn)

關(guān)于這點(diǎn)，我們想拿出來(lái)單獨(dú)說(shuō)一下。

對(duì)于高等數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，大學(xué)中的許多專(zhuān)業(yè)都會(huì)開(kāi)設(shè)這樣的課程。但不同的專(zhuān)業(yè)，對(duì)該課程的要求是不同的。相應(yīng)地，安排的課時(shí)也不盡一樣，有64課時(shí)的，有56課時(shí)的，還有的是70多課時(shí)的等等，不一而足。課時(shí)的多少，也決定了教學(xué)內(nèi)容的差異。因此，教師需要根據(jù)所教專(zhuān)業(yè)，以及安排的課時(shí)數(shù)對(duì)課程內(nèi)容作一定的取舍。假設(shè)這一點(diǎn)不能做好，做到位，就會(huì)給教學(xué)帶來(lái)不好的影響，甚至?xí)霈F(xiàn)一些問(wèn)題。

舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明一下。一節(jié)課假設(shè)需要2個(gè)學(xué)時(shí)可以講完，一章有8節(jié)課，那這一章講完就需要16個(gè)學(xué)時(shí)。但假設(shè)這一章只安排了8個(gè)學(xué)時(shí)的話，這時(shí)候就需要對(duì)教材內(nèi)容做出一定的取舍了。顯然，假設(shè)用8個(gè)課時(shí)講這8節(jié)的話，每節(jié)根本上只能分到1個(gè)課時(shí)。而需要2個(gè)課時(shí)才能講完的內(nèi)容，假設(shè)壓縮到1個(gè)課時(shí)，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)承受起來(lái)是有很大難度的。長(zhǎng)此以往，學(xué)生學(xué)的比擬費(fèi)力，進(jìn)而漸漸對(duì)這門(mén)課就失去了興趣。所以這是不可取的。這就要求教師根據(jù)專(zhuān)業(yè)特點(diǎn)和專(zhuān)業(yè)需求，選取主要內(nèi)容、重點(diǎn)內(nèi)容來(lái)講，不必要的就不要花太多時(shí)間去講了。要做到主次清楚，重點(diǎn)突出，這樣才能獲得良好的教學(xué)效果。

五一些心得體會(huì)

最后，我們說(shuō)幾點(diǎn)教學(xué)中的心得體會(huì)，與大家分享。

第一，講課的時(shí)候，有時(shí)我們可以把內(nèi)容作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，這樣一方面可以節(jié)省課時(shí)，把時(shí)間用在主要內(nèi)容的講解上。另一方面也可以把內(nèi)容有機(jī)地交融在一起，起到較好的效果。如在講解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，講完定義之后，我們通常要舉一些詳細(xì)的實(shí)例，讓學(xué)生來(lái)看一下或感受一下怎么來(lái)求這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)這些例子如何設(shè)計(jì)？這其實(shí)也是有一些技巧的。首先，我們可以按照課本上的例題來(lái)講，這是很自然的想法。但有時(shí)候，限于篇幅等原因，教材上往往只能給出局部例題。

這樣，教師就需要從課外參考書(shū)中或其它地方尋找一些相關(guān)的題目，再根據(jù)自己教學(xué)的需要來(lái)設(shè)計(jì)出一組習(xí)題〔當(dāng)然這組習(xí)題要緊扣教材，還要層次清楚〕。通過(guò)這組習(xí)題的講解與訓(xùn)練，讓學(xué)生純熟掌握偏導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)這一知識(shí)點(diǎn)。

我們知道，課程的內(nèi)容前后都是有關(guān)聯(lián)的。前面的知識(shí)是為了后面的作鋪墊，而后面的內(nèi)容一般也與前面的有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)絡(luò)。偏導(dǎo)數(shù)也不例外。后面在學(xué)習(xí)多元函數(shù)全微分、復(fù)合函數(shù)微分法、隱函數(shù)微分時(shí)，都會(huì)涉及到求偏導(dǎo)數(shù)這樣的問(wèn)題〔參閱文獻(xiàn)【2】以及其它相關(guān)教材〕。因此，偏導(dǎo)數(shù)不但是本章一個(gè)重要的概念，而且是多元函數(shù)微積分的一個(gè)根底，是要重點(diǎn)講解、重點(diǎn)訓(xùn)練的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。偏導(dǎo)數(shù)掌握好了，后面的內(nèi)容學(xué)起來(lái)就容易多了。既然這樣，我們就想，為什么不可以把這些求偏導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題提早到前面，放在偏導(dǎo)數(shù)定義這一節(jié)來(lái)講呢？這樣，一方面可以通過(guò)這些例題讓學(xué)生熟悉并結(jié)實(shí)掌握偏導(dǎo)數(shù)的求解，另一方面，在后面的教學(xué)中，就不用再花太多時(shí)間在這些問(wèn)題上了。而且，前面講過(guò)了，后面再遇到，學(xué)生自然就不會(huì)感到太陌生，承受起來(lái)就更容易一些。另外，通過(guò)這種方式也把教材內(nèi)容有機(jī)地交融在了一起。一舉多得，何樂(lè)而不為呢？

另外，在講解的時(shí)候，我們可以考慮分層次進(jìn)展。對(duì)于求偏導(dǎo)數(shù)，可先從一般較簡(jiǎn)單的二元函數(shù)入手，讓學(xué)生掌握求偏導(dǎo)數(shù)的根本方法。在此根底上，再進(jìn)一步，講解一些較簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。最后，在學(xué)生已經(jīng)較好地掌握了偏導(dǎo)數(shù)的求法之后，可以給出一些較復(fù)雜的函數(shù)〔可以是二次復(fù)合函數(shù)、三元函數(shù)等等〕，求它們的偏導(dǎo)數(shù)，以到達(dá)穩(wěn)固、加深的目的。下面是我們?cè)O(shè)計(jì)的一組習(xí)題，請(qǐng)各位專(zhuān)家、讀者多予指導(dǎo)。

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第一組:(1)-(3)，是由根本初等函數(shù)〔參文獻(xiàn)【2】，第12頁(yè)〕經(jīng)過(guò)有限次四那么運(yùn)算得到的一些較為簡(jiǎn)單的二元初等函數(shù)〔參閱文獻(xiàn)【3】，第52-53頁(yè)〕。第二組:(4)-(6)，是一些較為簡(jiǎn)單的二元復(fù)合函數(shù)。由于相當(dāng)一局部初等函數(shù)都涉及到函數(shù)的復(fù)合，因此把復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)的方法單獨(dú)拿出來(lái)講解一下是很有必要的。第三組:(7)-(9)，是一些較復(fù)雜的多元函數(shù)，目的是借此加深穩(wěn)固。在實(shí)際教學(xué)中，可根據(jù)課時(shí)的安排做適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。如學(xué)時(shí)不允許，可每一組講一到兩個(gè)，剩下的讓學(xué)生作為練習(xí)。

第三，要注重概念的講解與實(shí)際問(wèn)題的結(jié)合。對(duì)于許多讀者來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)之所以顯得很抽象、枯燥，往往是由于只從形式上去對(duì)待，從理論的角度進(jìn)展分析、推演，而無(wú)視了與實(shí)際問(wèn)題的結(jié)合。不與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，就很難弄清楚問(wèn)題的來(lái)龍去脈，不知道它是用來(lái)做什么的，有什么用。這樣，心里就總是有個(gè)結(jié)，有疑問(wèn)。這是我們要特別注意的一點(diǎn)。作為教師，我們要替學(xué)生把這個(gè)結(jié)解開(kāi)，這樣學(xué)生學(xué)起來(lái)才更有勁頭。實(shí)際上，很多概念都是有一定的實(shí)際背景的，與消費(fèi)生活有著親密的聯(lián)絡(luò)。比方，在講多元函數(shù)微分學(xué)和積分學(xué)時(shí)，一個(gè)根本性的概念就是多元函數(shù)。我們?yōu)槭裁匆芯慷嘣瘮?shù)？這就是一個(gè)不能回避的問(wèn)題。只有把它弄清楚了，后面的一系列問(wèn)題才有了源頭。

我們知道，函數(shù)是反響量與量之間關(guān)系的一個(gè)概念。比方，一天中的溫度是隨時(shí)間變化而變化的，在不同的時(shí)間，溫度就可能不同。因此，我們可以把溫度看作時(shí)間的函數(shù)。再比方，物體做自由落體運(yùn)動(dòng)時(shí)，其速度v是隨時(shí)間t的變化而變化的。一般地，當(dāng)初速度為0時(shí)，它們之間存在這樣的函數(shù)關(guān)系：vgt，其中g(shù)為重力加速度。類(lèi)似地，物體下落的高度h也與時(shí)間t之間有著一定的關(guān)系，即h1gt2。像上述這些問(wèn)題，它們有一個(gè)共同點(diǎn)，即其中一個(gè)量是隨另一個(gè)量的變化而變化的。但也有另外的一些情形。如市場(chǎng)上商品的價(jià)格，它與商品的本錢(qián)、市場(chǎng)的需求量、產(chǎn)品的供給量等都有關(guān)系。還有，電流產(chǎn)生的熱量與電壓、電流強(qiáng)度、時(shí)間等都有關(guān)系。像商品的價(jià)格、電流產(chǎn)生的熱量等等這樣的量，它們不僅僅依賴(lài)于某一個(gè)量，而是與2個(gè)、3個(gè)甚至更多的量都有關(guān)系。要描繪這些量的變化規(guī)律，僅用以前學(xué)過(guò)的一元函數(shù)是不夠的，這就需要引入新的概念，即多元函數(shù)。通過(guò)這些詳細(xì)例子，學(xué)生可以真切體會(huì)到多元函數(shù)的由來(lái)及對(duì)其研究的必要性。這對(duì)接下來(lái)的學(xué)習(xí)是很有益的。

另外，高等數(shù)學(xué)中有些概念確實(shí)是比擬復(fù)雜，概括性比擬強(qiáng)的。對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)，假設(shè)沒(méi)有教師的講解，或者講解不得法，理解起來(lái)就會(huì)比擬困難。對(duì)坐標(biāo)的曲線積分就是如此，它是一個(gè)相當(dāng)抽象、不易于理解的概念。我們先來(lái)看一下這個(gè)概念(參閱文獻(xiàn)【3】及以下列圖1)。

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看到這樣的概念時(shí)，我們通常會(huì)感到一頭霧水，摸不著頭腦。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，更是不容易了該如何講呢？這就要回到問(wèn)題的根源。我們知道，這樣的概念實(shí)際上來(lái)源于物理上的變力做功等問(wèn)題。像這樣的概念，包括之前學(xué)過(guò)的定積分、重積分等，它們實(shí)際上都是在對(duì)一些實(shí)際問(wèn)題的分析、處理中歸納總結(jié)得來(lái)的。對(duì)于這些概念，假設(shè)不和詳細(xì)的問(wèn)題相結(jié)合，只看概念本身的話，是非常難以理解的。因此，教師在講解的時(shí)候，要實(shí)在做到與詳細(xì)問(wèn)題相結(jié)合，在對(duì)詳細(xì)問(wèn)題的分析、解決中順其自然的引出該概念。這樣，學(xué)生承受起來(lái)就會(huì)容易得多了，而且會(huì)聽(tīng)得津津有味，興趣倍增。因此，在講解的時(shí)候可以把重點(diǎn)放在變