PPT工程制圖全套教程（710）3

第3章空間點點、直直線和和平面面的投投影分分析目錄.ppt教學(xué)提提示：：空間間點、、直線線和平平面是是組成成一個個三維維立體體的最最基本本的三三個幾幾何要要素。。本章章將重重點介介紹點點、直直線和和平面面在三三投影影面體體系中中的投投影及及其投投影特特性，，兩兩兩幾何何要素素之間間的相相對位位置關(guān)關(guān)系及及其投投影特特性；；本章章還將將闡述述常用用的幾幾種空空間幾幾何問問題的的圖解解方法法及其其應(yīng)用用，如如用直直角三三角形形法求求一般般位置置直線線的實實長和和對投投影面面的傾傾角、、一邊邊平行行于投投影面面的直直角的的投影影原理理，等等等。。主要要是學(xué)學(xué)習(xí)如如何將將點、、直線線和平平面等等空間間幾何何要素素用投投影表表達，，并反反過來來又如如何用用其投投影來來分析析和解解決空空間幾幾何問問題。。教學(xué)要要求：：本章章是工工程制制圖最最為基基礎(chǔ)的的部分分，學(xué)學(xué)生必必須熟熟練掌掌握各各種位位置點點、直直線和和平面面的投投影及及特性性，進進一步步建立立投影影法的的基本本概念念和思思維方方法。。在此此基礎(chǔ)礎(chǔ)上，，學(xué)會會應(yīng)用用點、、直線線和平平面的的相對對位置置關(guān)系系的投投影特特性，，與直直角三三角形形法、、直角角投影影定理理配合合解決決簡單單的空空間幾幾何問問題，，為立立體的的投影影分析析和表表達打打下基基礎(chǔ)。?！?.1空間點點的投投影分分析●3.2空間直直線的的投影影分析析●3.3空間平平面的的投影影分析析本章內(nèi)內(nèi)容3.1空間點點的投投影分分析由初等等幾何何可知知，空空間兩兩點可可確定定一條條直線線，空空間不不在一一條直直線上上的三三個點點可確確定一一個平平面。。因此此，要要研究究空間間基本本幾何何要素素及其其投影影關(guān)系系，首首先要要建立立空間間點的的投影影概念念。3.1.1點的三三面投投影及及其投投影特特征點的投投影仍仍為一一個點點，且且空間間點在在一個個投影影面上上只有有唯一一的投投影。。但當當已知知點在在一個個投影影面上上的一一個投投影時時，都都不能能確定定點在在空間間的唯唯一位位置。。將點A放在三三投影影面體體系中中分別別向三三個投投影面面V面、H面、W面作正正投影影，得得到點點A的水平平投影影a、正面面投影影、、側(cè)側(cè)面投投影。。(關(guān)于空空間點點及其其投影影的標標記規(guī)規(guī)定為為：空空間點點用大大寫字字母A、B、C…表示，，水平平投影影相應(yīng)應(yīng)用小小寫字字母a、b、c…表示，，正面面投影影相應(yīng)應(yīng)用小小寫字字母、、、、…表示，，側(cè)面面投影影相應(yīng)應(yīng)用小小寫字字母、、、、…表示。。)將投影影面體體系展展開，，去掉掉投影影面的的邊框框，保保留投投影軸軸，便便得到到點A的三面投影影圖，如圖圖3.1所示。3.1空間點的投投影分析由此可以得得出點在三三投影面體體系的投影影特性是：：(1)點A的V面投影和H面投影的連連線垂直于于OX軸，即a′a⊥OX(長對正)。(2)點A的V面投影和W面投影的連連線垂直于于OZ軸，即a′a″⊥⊥OZ(高平齊)。(3)點A的H面投影到OX軸的距離等等于點A的W面投影到OZ軸的距離，，即aax=a″az(寬相等)，作圖時可可以用圓弧弧或45°線來反映該該關(guān)系。在在三面體體系中引入入笛卡兒坐坐標體系，，以H、V、W三個投影面面為坐標面面，以三根根投影軸OX、OY、OZ為坐標軸，，點O為坐標原點點。于是空空間點A便可用三個個坐標值，，即點分別別到W、V、H三個投影面面的距離x、y、z來確定，由由此：點點到W面的距離Aa″=a′az=aay=oax=x；點點到到V面的距離Aa′=aax=a″az=oay=y；點點到到H面的距離Aa=a′ax=a″ay=oaz=z。3.1空間點的投投影分析水平投影由由X與Y坐標確定(Z=0)；正面投影影由X與Z坐標確定(Y=0)；側(cè)面投影影由Y與Z坐標確定(X=0)。點的任何何兩個投影影可反映點點的三個坐坐標，即確確定該點的的空間位置置?？臻g點點在三面投投影體系中中有唯一確確定的一組組投影。(a)(b)(c)圖3.1點的投影及及其投影規(guī)規(guī)律3.1空間點的投投影分析設(shè)空間點A、B、D分別位于V、H面和OX軸上，如圖圖3.2(a)所示，則它它們的三面面投影如圖圖3.2(b)所示。由此此可知，投投影面和投投影軸上的的點的坐標標和投影有有如下特性性：(1)投影影面面上上的的點點有有一一個個坐坐標標值值為為0；在在該該投投影影面面上上投投影影與與該該點點重重合合，，在在相相鄰鄰?fù)锻队坝懊婷嫔仙系牡耐锻队坝胺址謩e別在在相相應(yīng)應(yīng)的的投投影影軸軸上上。。(2)投影影軸軸上上的的點點有有兩兩個個坐坐標標值值為為0；在在包包含含這這條條軸軸的的兩兩個個投投影影面面上上的的投投影影都都與與該該點點重重合合，，在在另另一一投投影影面面上上的的投投影影則則與與原原點點O重合合。。3.1.2投影影面面上上的的點點與與投投影影軸軸上上的的點點3.1空間間點點的的投投影影分分析析(a)(b)圖3.2投影影面面上上的的點點與與投投影影軸軸上上的的點點3.1空間間點點的的投投影影分分析析3.1.3兩點點的的相相對對位位置置及及重重影影點點的的投投影影分分析析1.空間間兩兩點點相相對對位位置置的的投投影影分分析析在投投影影圖圖上上判判斷斷空空間間兩兩個個點點的的相相對對位位置置，，就就是是分分析析兩兩點點之之間間上上、、下下、、左左、、右右、、前前、、后后的的關(guān)關(guān)系系，，如如圖圖3.3(a)所示示。。由正正面面投投影影或或側(cè)側(cè)面面投投影影可可判判斷斷兩兩點點間間的的上上、、下下關(guān)關(guān)系系(Z坐標標差差)；由正正面面投投影影或或水水平平投投影影可可判判斷斷兩兩點點間間的的左左、、右右關(guān)關(guān)系系(X坐標標差差)；由水水平平投投影影或或側(cè)側(cè)面面投投影影可可判判斷斷兩兩點點間間的的前前、、后后關(guān)關(guān)系系(Y坐標標差差)，如如圖圖3.3(b)所示示。。3.1空間間點點的的投投影影分分析析(a)(b)圖3.3兩點點的的相相對對位位置置3.1空間間點點的的投投影影分分析析2.重影影點點的的投投影影分分析析當空空間間兩兩點點位位于于對對某某一一投投影影面面的的同同一一條條投投射射線線上上時時，，則則此此兩兩點點在在該該投投影影面面上上的的投投影影重重合合為為一一點點，，此此兩兩點點稱稱為為對對該該投投影影面面的的重重影影點點。。為為區(qū)區(qū)分分重重影影點點的的可可見見性性，，規(guī)規(guī)定定觀觀察察方方向向與與投投影影面面的的投投射射方方向向一一致致，，即即對對V面由由前前向向后后，，對對H面由由上上向向下下，，對對W面由由左左向向右右。。因因此此，，距距觀觀察察者者近近之之點點的的投投影影為為可可見見，，反反之之為為不不可可見見。。從空空間間幾幾何何關(guān)關(guān)系系分分析析，，重重影影點點在在空空間間直直角角坐坐標標系系中中有有兩兩對對坐坐標標值值分分別別相相等等，，其其可可見見性性則則由由它它們們的的另另一一對對不不等等的的坐坐標標值值來來確確定定，，坐坐標標值值大大者者為為可可見見，，值值小小者者為為不不可可見見。。畫畫投投影影圖圖時時應(yīng)應(yīng)在在不不可可見見點點的的投投影影標標記記兩兩側(cè)側(cè)注注寫寫括括號號，，如如圖圖3.4所示示。。3.1空間間點點的的投投影影分分析析(a)(b)圖3.4重影影點點投投影影分分析析3.1空間間點點的的投投影影分分析析3.2空間間直直線線的的投投影影分分析析由幾幾何何學(xué)學(xué)知知識識可可知知，，空空間間兩兩點點可可確確定定一一直直線線。。因因此此要要用用投投影影來來表表達達空空間間直直線線，，只只需需作作出出直直線線上上任任意意兩兩點點的的投投影影，，再再連連接接該該兩兩點點在在同同一一投投影影面面上上的的投投影影即即可可。。3.2.1直線線的的表表示示法法如已已知知兩兩點點A(xA，yA，zA)和B(xB，yB，zB)的空空間間位位置置，，可可首首先先繪繪出出該該兩兩點點的的三三面面投投影影，，如如圖圖3.5(a)所示示，，然然后后將將兩兩點點的的同同面面投投影影相相連連，，即即可可得得直直線線的的三三面面投投影影，，如如圖圖3.5(b)所示示。。由由此此也也可可得得出出結(jié)結(jié)論論：：在在一一般般情情況況下下，，直直線線的的投投影影仍仍是是直直線線(不變變性性)。而而當當直直線線上上兩兩點點為為某某一一投投影影面面上上的的重重影影點點時時，，直直線線即即垂垂直直于于該該投投影影面面，，直直線線在在該該投投影影面面上上會會積積聚聚為為一一點點(積聚聚性性)。3.2空間間直直線線的的投投影影分分析析(a)(b)圖3.5直線線的的投投影影3.2空間間直直線線的的投投影影分分析析直線線與與投投影影面面的的相相對對位位置置有有3種：：投投影影面面平平行行線線、、投投影影面面垂垂直直線線和和一一般般位位置置直直線線。。前前兩兩種種直直線線又又統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為特特殊殊位位置置直直線線。。直線線和和它它在在投投影影平平面面上上的的正正投投影影之之間間所所成成的的銳銳角角稱稱為為此此直直線線對對該該平平面面的的傾傾角角。。本本書書約約定定：：直直線線與與H、V、W三投投影影面面所所成成的的角角分分別別用用，，，，表表示示，，如如圖圖3.6(a)所示示。。當當直直線線平平行行于于投投影影面面時時，，傾傾角角為為0°°；垂垂直直于于投投影影面面時時為為90°°；傾傾斜斜于于投投影影面面時時，，則則傾傾角角在在0°°和90°°之間間。。1.一般般位位置置直直線線一般般位位置置直直線線對對投投影影面面V、H、W均為為傾傾斜斜，，兩兩端端點點的的坐坐標標差差都都不不等等于于零零。。如如圖圖3.6(a)所示示的的直直線線AB，由由此此可可得得一一般般位位置置直直線線的的投投影影特特性性。。3.2.2直線相對于投投影面的位置置及其投影特特性3.2空間直線的投投影分析1)一般位置直線線的三個投影影與其實際長長度的關(guān)系為為：ab=ABcos；a′b′=ABcos；a″b″=ABcos由于，，均不不為0，故一般位置置直線的3個投影之長均均小于其實際際長度。(2)三面投影均傾傾斜于投影軸軸，且它們與與投影軸的夾夾角不反映該該直線與投影影面的傾角。。(a)(b)圖3.6一般位置直線線3.2空間直線的投投影分析2.投影面平行線線在三面體系中中，平行于一一個投影面且且與其他兩投投影面傾斜的的直線稱為投投影面平行線線。根據(jù)該直直線平行于哪哪一個投影面面又分為3種：正平線：直線線平行于V面(=0)，對H、W面傾斜。水平線：直線線平行于H面(=0)，對V、W面傾斜。側(cè)平線：直線線平行于W面(=0)，對H、V面傾斜。投影面平行線線的三線投影影及投影特性性如表3-1所示。且由表表3-1可得出投影平平行線的投影影特性為：投投影面平行線線在所平行的的平面上為一一條傾斜于軸軸線的直線并并反映實長，，與相應(yīng)投影影軸的夾角反反映直線對另另外兩個投影影面的傾角的的真實大小；；直線的另外外兩個投影面面的投影平行行線平行于該該投影面，并并傾斜于相應(yīng)應(yīng)的投影軸。。3.2空間直線的投投影分析表3-1投影面平行線線的投影及其其投影特性3.2空間直線的投投影分析3.投影面垂直線線在三面體系中中，垂直于一一個投影面且且必平行于另另兩個投影面面的直線稱為為投影面垂直直線。根據(jù)該該直線垂直于于不同的投影影面又分為3種：正垂線：直線線垂直于V面，=90°，==0。鉛垂線：直線線垂直于H面，=90°，==0。側(cè)垂線：直線線垂直于W面，=90°，==0。3.2空間直線的投投影分析投影面平行面面的三面投影影及投影特性性見表3-2。且由表3-2可得出投影垂垂直線的投影影特性為：投投影面垂直線線在所垂直的的平面上積聚聚為一點，直直線的另外兩兩個投影分別別為垂直于相相應(yīng)的投影軸軸并反映實長長；直線對投投影面的傾角角均為已知，，即為0°或90°3.2空間直線的投投影分析3.2空間直線的投投影分析表3-2投影面垂直線線的投影及其其投影特性由此，我們可可得出這樣的的結(jié)論：從特特殊位置直線線的三個投影影，可直接獲獲得直線的實實長和對投影影面的傾角的的真實大小，，而對于一般般位置直線，，則要通過一一定的圖解方方法來求解其其實長和傾角角。3.2空間直線的投投影分析特殊位置直線線在三面投影影圖中可直接接顯示實長及及對投影面的的傾角，有著著良好的投影影特性。而一一般位置直線線的3個投影均不能能直接反映直直線的實長和和對投影面的的傾角，必須須通過一定的的圖解方法來來求解。首先，分析如如圖3.7所示的空間直直線AB與其投影之間間的幾何關(guān)系系：在投射線組成成的平面ABba內(nèi)，過點A作AK//ab，交Bb于點K，得RtΔABK。其中：直角角邊AK=ab(水平投影的長長度)，BK=Bb―Kb=ZB―ZA=ΔZ(A、B兩點間的Z坐標差)，斜邊AB即為實長，而而AB與AK的夾角(即斜邊與水平平投影的夾角角)為該直線對H面的傾角α。顯然，在這這個直角三角角形的三條邊邊和一個夾角角中3.2.3直角三角形法法求解一般位位置直線的實實長和對投影影面的傾角3.2空間直線的投投影分析只要知道其中中兩個要素，，就可畫出該該直角三角形形，其他兩個個要素也就隨隨即獲得。如如圖3.7(b)所示，線段AB的水平投影ab和兩端點的Z坐標差均為已已知，故可畫畫出此直角三三角形，問題題便獲解決。。這種方法稱稱為直角三角角形法。直角三角形法法中所用的直直角三角形是是從上述空間間幾何分析中中推理而抽象象出來的，圖圖解時可直接接作在投影圖圖中，也可作作在投影圖形形之外，如圖圖3.7(c)所示。在如圖圖3.7(b)所示的作圖過過程中，就分分別用了兩個個位置來畫直直角三角形：：一是畫在水水平投影中，，直接利用水水平投影ab為一直角邊，，而另一直角角邊Ab為坐標差ΔZ；二是畫在正正面投影中，，利用反映Z坐標差的正面面投影b′a1′為一直角邊，，而另一直角角邊a1′B就等于其水平平投影ab。注意兩種作作法都有同一一結(jié)果，即斜斜邊為實長，，斜邊與水平平投影的夾角角為直線對水水平投影面的的傾角。3.2空間直線的投投影分析圖3.7求線段的實長長及對投影面面的傾角(a)(b)(c)3.2空間直線的投投影分析同理，利用線線段的正面投投影a′b′或側(cè)面投影a″b″，可與線段AB的實長及和角角分別組成另另外兩個直角角三角形，如如圖3.8所示。這3個直角三角形形的組成情況況如下：(1)兩直角邊分別別為直線的水水平投影和Z坐標差，斜邊邊為實長，水水平投影和實實長的夾角為為，如圖3.8(a)所示。(2)兩直角邊分別別為直線的正正面投影和Y坐標差，斜邊邊為實長，正正面投影和實實長的夾角為為，如圖3.8(b)所示。(3)兩直角邊分別別為直線的側(cè)側(cè)面投影和X坐標差，斜邊邊為實長，側(cè)側(cè)面投影和實實長夾角為，，如圖3.8(c)所示。用直角三角形形法解題時要要注意以下幾幾點：3.2空間直線的投投影分析(1)對照圖3.8所示的3個直角三角形形可知，對于于同一段直線線，用其中任任意一個直角角三角形，都都可求得該直直線的實長。。但對投影面面的傾角的問問題，則要用用不同的直角角三角形來求求解。如一定定是實長與水水平投影的夾夾角，一定是是實長與正面面投影的夾角角，而一定則則是實長與側(cè)側(cè)面投影的夾夾角。(2)獲得直角三角角形的投影體體系一般是兩兩投影面體系系，不同的投投影體系所對對應(yīng)的直角三三角形也不同同。求解的直直角三角形從從V/H體系中獲得，，求解的直角角三角形從V/H或V/W體系中獲得，，求解的直角角三角形從V/W體系中獲得。。(3)從圖中得知，，每個直角三三角形含有4個要素，若知知其中任意兩兩個，則此直直角三角形便便完全確定，，由此可求出出另2個要素。凡遇遇到此4要素的問題均均可用此法來來求解。3.2空間直線的投投影分析(a)(b)(c)圖3.8直角三角形法法中的邊和角角與投影的關(guān)關(guān)系3.2空間直線的投投影分析【例3.1】已知線段AB的實長為60mm，求出AB的水平投影ab，如圖3.9(a)所示。分析：要求解解直線的水平平投影ab，則應(yīng)利用含含有水平投影影的那個直角角三角形來作作圖。而在該該直角三角形形的3條邊和一個角角中，已知AB的Z坐標差(從正面投影而而知)和實長兩個要要素，因此AB的水平投影ab由此可求(可得兩解)。作圖步驟：(1)過b′作a′a的垂線b′B0，以a′為圓心60mm為半徑畫弧與與b′B0交于B0，則得出水平平投影ab的長度，如圖圖3.9(b)所示。3.2空間直線的投投影分析(a)(b)圖3.9作AB的水平投影3.2空間直線的投投影分析(2)過b′作投影連線b′b垂直于OX軸。(3)以a為圓心、ab為半徑畫弧交交b′b于b。(4)連ab即為所求(兩解)。3.2空間直線的投投影分析空間點與直線線的相對位置置有兩種情況況：點在直線線上、點不在在直線上。根據(jù)平行投影影法中從屬性性和等比性的的基本性質(zhì)可可知：點在直直線上，其投投影必在該直直線的同面投投影上；且點點分線段之比比，其投影后后保持不變。。如圖3.10所示，已知點點C在AB上，則點C的3個投影必在AB相應(yīng)的同面投投影上，且有有：AC∶CB=ac∶cb=a′c′∶c′b′=a″c″″∶c″b″。而如圖3.10(b)所示點D的水平投影雖雖然在直線AB的水平投影上上，但其正面面投影和側(cè)面面投影都不在在直線AB的同面投影上上，故點D不在直線AB上，如圖3.10(a)所示。3.2.4點與直線的相相對位置3.2空間直線的投投影分析(a)(b)圖3.10點與直線的相相對位置3.2空間直線的投投影分析根據(jù)上述性質(zhì)質(zhì)即可判別點點是否在直線線上以及解決決在直線上取取點的作圖問問題。要從投影上判判斷點是否在在直線上，對對于一般位置置直線而言，，只需從其中中兩組投影就就可加以判斷斷。如在圖3.10中，點C的兩個投影在在AB的同面投影上上，點D只有一個投影影在直線AB的同同面面投投影影上上。。因因此此點點C在直直線線AB上，，點點D不在在直直線線AB上。。而對對于于特特殊殊位位置置直直線線而而言言，，則則必必須須從從其其三三組組投投影影或或利利用用點點分分線線段段之之等等比比性性來來進進行行判判斷斷。。如如圖圖3.11(a)所示示，，因因為為所所給給直直線線AB及點點D位于于平平行行于于側(cè)側(cè)面面的的同同一一平平面面內(nèi)內(nèi)，，不不管管點點D是否否在在AB上，，都都有有d∈ab，d′′∈a′′b′′的關(guān)關(guān)系系。。為為此此，，必必須須根根據(jù)據(jù)第第3投影影或或利利用用點點分分線線段段之之等等比比性性質(zhì)質(zhì)來來判判別別。。圖圖3.11(b)、圖圖3.11(c)列出出了了這這兩兩種種判判別別方方法法。。由由作作圖圖可可知知，，點點D不在在AB上。。3.2空間間直直線線的的投投影影分分析析(a)(b)(c)圖3.11點與與直直線線相相對對位位置置的的判判別別3.2空間間直直線線的的投投影影分分析析空間間兩兩直直線線的的相相對對位位置置有有3種情情況況，，即即平平行行、、相相交交和和交交叉叉(即異異面面直直線線)1.平行行兩兩直直線線空間間兩兩直直線線平平行行，，則則其其3組同同面面投投影影必必平平行行。。反反之之，，若若有有兩兩直直線線的的三三組組同同面面投投影影都都平平行行，，則則該該兩兩直直線線在在空空間間相相互互平平行行。。如如圖圖3.12所示，已已知空間間兩直線線AB∥EF。過AB、EF上的各點點向投影影面作投投射線，，所形成成的兩個個平行平平面與投投影面的的交線也也相互平平行。即即ab∥ef，a′b′′∥e′f′′，a″b″″∥e″f″″。其投影影圖如圖圖3.12(b)所示。從從而不難難得出AB/EF=ab/ef=a′b′′/e′f′′=a″b″″/e″f″″。由此可可得其同同面投影影必平行行，且兩兩平行線線段長度度之比等等于其投投影長度度之比。。3.2.5兩直線的的相對位位置3.2空間直線線的投影影分析(a)(b)圖3.12平行兩直直線3.2空間直線線的投影影分析表2-6(要判別兩兩條一般般位置直直線是否否平行，，只需看看它們的的任意兩兩面投影影即可。。但對于于特殊位位置直線線而言，，則必須須同時檢檢查它們們的3組同面投投影。如圖3.13所示的兩兩直線AB和CD均為側(cè)平平線，雖雖然它們們的H、V面投影：：ab∥cd，a′b′′∥c′d′′，但a′b′′∶c′d′′ab∶cd，其側(cè)面面投影a″b″″不平行于于c″d″″，故直線線AB不平行于于CD。3.2空間直線線的投影影分析圖3.13兩直線是是否平行行的判斷斷3.2空間直線線的投影影分析2.相交兩直直線空間兩直直線相交交，其各各組同面面投影必必相交，，且交點點的投影影符合點點的投影影規(guī)律。。反之亦亦然。如如圖3.14(a)所示，空空間兩直直線AB與CD相交于點點K，則交點點K為兩條直直線所共共有，根根據(jù)從屬屬性不變變的性質(zhì)質(zhì)，兩直直線的同同面投影影必定相相交，且且交點符符合點的的投影規(guī)規(guī)律，即即kk′⊥OX(k′k″″⊥OZ)，如圖3.14(b)所示。因因此，對對于一對對一般位位置直線線，要判判別它們們是否相相交，只只需檢查查任意兩兩面投影影的交點點的投影影連線是是否垂直直于投影影軸即可可。否則則，要同同時從3組同面投投影、或或者從交交點的從從屬性及及交點分分割線段段的等比比性來判判斷。3.2空間直線線的投影影分析(a)(b)圖3.14相交兩直直線3.2空間直線線的投影影分析如圖3.15(a)所示的兩兩直線AB和EF，雖然其其兩面投投影均相相交，其其實在空空間并不不相交。。因為從從圖3.15(b)的判別可可看出：：e′k′′∶k′f′′ek∶kf，所以點點K不在EF上，即兩兩直線不不相交。。同樣，，還可通通過作出出其側(cè)面面投影來來判斷。。(a)(b)圖3.15兩直線是是否相交交的判斷斷3.2空間直線線的投影影分析3.交叉兩直直線在空間既既不平行行又不相相交的兩兩直線稱稱為交叉叉兩直線線。如圖圖3.13和圖3.15所示的兩兩直線均均為交叉叉兩直線線。交叉叉兩直線線的3組同面投投影不一一定都相相交，即即使都相相交，其其交點也也不符合合點的投投影規(guī)律律。我們們在交叉叉兩直線線的同面面投影上上看到的的交點，，實際上上是分別別在兩直直線上的的兩點在在該投影影面上的的重影點點。利用用重影點點的投影影特性，，可判斷斷兩直線線的相對對位置。。如圖3.16所示，交交叉兩直直線AB，CD上分別有有兩個點點Ⅲ、Ⅳ(點Ⅲ∈AB，點Ⅳ∈CD)，它們在在H面的重影影點為(3)4，由3.16(b)中的投影影可知ZⅣ>ZⅢ，故Ⅳ點在Ⅲ點的正上上方，Ⅲ點的水平平投影3為不可見見，用(3)表示。同同理，在在V面上另一一對重影影點I、II中，點II的正面投投影2′不可見，，用(2′)表示。3.2空間直線線的投影影分析(a)(b)圖3.16交叉兩直直線的重重影點3.2空間直線線的投影影分析【例3.2】】試判別已已知直線線AB，CD，AE兩兩之間間的相對對位置，，如圖3.17(a)所示。分析：從圖中直直接觀察察可得出出：AB與AE相交，因因為它們們有公共共點A。對于AB與CD兩直線，，由于它它們均為為側(cè)平線線，雖然然其正面面投影和和水平投投影均分分別平行行，但不不能憑觀觀察直接接定出。。判別方方法有兩兩種，一一種方法法是作出出它們的的側(cè)面投投影，另另一種方方法是通通過檢查查A，B，C，D4點是否共共面。即即分別連連接AC與BD的正面投投影和水水平投影影，使它它們形成成AC與BD兩條直線線。由AC與BD兩直線的的不共面面，即可可推斷出出A，B，C，D4點不共面面。所以以AB與CD為兩交叉叉直線，，如圖3.17(b)所示。而而AE與CD是一對交交叉直線線，其判判別方法法可用圖圖3.17(c)所示的等等比性定定理，讀讀者可自自行分析析判斷。。3.2空間直線線的投影影分析(a)(b)圖3.17判別兩直直線間的的相對位位置3.2空間直線線的投影影分析【例3.3】】求作直線線ST，使其與與已知直直線AB，CD相交且平平行于已已知直線線EF，如圖3.18(a)所示。分析與作作圖：從從圖3.18(a)可知，直直線CD的水平投投影積聚聚為一點點c(d)，故CD為鉛垂線線。由于于所求直直線ST與CD相交，故故其交點點T的水平投投影也必必積聚于于點c(d)。又由于于所求直直線ST∥EF，且與AB相交。故故可過點點c(d)作st∥ef交ab于s，由s找到s′，過s′作s′t′′∥e′f′′交于t′，則st和s′t′′為所求直直線ST的兩面投投影。作作圖步驟驟如圖3.18(b)所示。3.2空間直線線的投影影分析(a)(b)圖3.18直線平行與相相交的綜合題題舉例3.2空間直線的投投影分析空間垂直的兩兩直線(相交或交叉)，若其中的一一直線平行于于某投影面時時，則兩直線線在該投影面面上的投影仍仍為直角。直直角的這一投投影特性稱為為直角投影定定理。反之，，若兩直線在在某投影面上上的投影為直直角，且其中中有一直線平平行于該投影影面時，則該該兩直線在空空間必互相垂垂直。證明如下：如如圖3.19(a)所示，設(shè)相交交兩直線AB⊥BC，且AB∥H面?！逜B⊥BC，AB⊥Bb∴AB⊥平面BCcb。又∵AB∥H面∴ab∥AB。因此：ab⊥平面BCcb，得ab⊥bc，即∠abc=90°，如圖3.19(b)所示。3.2.6一邊平行于投投影面的直角角的投影(a)(b)圖3.19直角的投影3.2空間直線的投投影分析應(yīng)用直角投影影定理可以解解決許多空間間定形和定位位的幾何問題題，如求作直直角三角形、、等腰三角形形、長方形、、正方形、菱菱形等的投影影作圖問題，，以及求解點點與直線間、、兩直線間及及直線與平面面間的距離問問題等等。直角投影定理理同樣適合于于兩直線交叉叉垂直的情況況。讀者可自自行證明。如如圖3.20所示的兩直線線就是交叉垂垂直的情況。。因為直線AB是一條水平線線，且AB與CD的水平投影又又相互垂直，，因此由上述述直角定理可可知，這兩條條直線在空間間垂直。又因因為兩直線的的正面投影不不相交，且兩兩直線的兩面面投影也不平平行，因此它它們是一對交交叉直線。3.2空間直線的投投影分析【例3.4】試求點A到直線BC的距離，如圖圖3.21(a)所示。分析：求空間一點到到直線的距離離的問題，也也是過點向直直線作垂線、、并求出該垂垂線的實長的的問題。在本本例中，應(yīng)從從已知點A向直線BC圖3.20兩直線交叉垂垂直3.2空間直線的投投影分析作垂線AK，得垂足為K。由于所給直直線BC為正平線，故故由直角投影影定理，應(yīng)使使其正面投影影a′k′⊥b′c′；然后利用直直角三角形法法求出AK的實長，即為為所求的距離離。作圖步驟：(1)過a′作a′k′⊥b′c′，交b′c′于k′，由k′找出k，連接ak，得AK的投影(ak，a′k′)；(2)用直角三角形形法求出AK的實長，即a′k0為所求，如圖圖3.21(b)所示。(a)(b)圖3.21求點到直線的的距離3.2空間直線的投投影分析【例3.5】試作出交叉兩兩直線AB、MN的公垂線EF，并求AB與MN之間的最短距距離，如圖3.22(a)所示。分析：如圖3.22(b)所示，公垂線線EF是與AB，MN都垂直相交的的直線，EF的實長就是所所求交叉兩直直線的距離。。由于AB⊥H面(AB為鉛垂線)，又EF⊥AB，所以應(yīng)有EF∥H面，其垂足E的水平投影e必積聚在AB的水平投影ab處。又由于EF∥H，同時EF⊥MN，根據(jù)直角投投影定理必有有ef⊥mn。顯然，因為為EF為水平線，其其水平投影ef反映公垂線EF的實長，這就就是所求AB與MN之間的距離。。作圖步驟：［［如圖3.22(c)所示］。(1)在水平投影面面上過a(b)點作ef⊥mn。(2)由ef及水平線EF的投影特性，，定出其正面面投影e′f′。則e′f′和ef即為所求公垂垂線EF的兩面投影，，同時，ef也是所給交叉叉兩直線的最最短距離。3.2空間直線的的投影分析析圖3.22作交叉兩直直線的公垂垂線并求其其距離3.2空間直線的的投影分析析平面的投影影概念可建建立在點和和直線投影影分析的概概念之上。。3.3空間平面的的投影分析析1.用幾何元素素表示平面面由幾何學(xué)可可知，空間間平面可由由下列幾何何元素確定定：①不在在同一條直直線上的3點；②一直直線及直線線外一點；；③兩相交交直線；④④兩平行直直線；⑤任任意的平面面圖形，如如圖3.23所示。從圖中可以以看出，以以上各組元元素可以互互相轉(zhuǎn)化。。同一平面面無論采用用何種形式式表示，其其空間位置置始終不變變。(a)不在同一直直線上的三三點(b)直線及直線線外的一點點(c)相交兩直線線3.3.1平面的表示示法3.3空間平面的的投影分析析(d)平行兩直線線(e)平面圖形圖3.23用幾何元素素表示平面面2.用平面的跡跡線表示平平面在畫法幾何何中，空間間平面還可可用跡線來來表示?？湛臻g平面與與投影面的的交線稱為為投影面的的跡線。如如圖3.24(a)所示。平面面P與H、V、W面的交線分分別稱為水水平跡線(用PH表示)、正面跡線線(用PV表示)和側(cè)面跡線線(用PW表示)。PH、PV、PW與投影軸X、Y、Z的交點PX、PY、PZ稱為跡線集集合點。3.3空間平面的的投影分析析由于跡線是是投影面上上的直線，，所以它的的一個投影影與跡線本本身重合，，另一個投投影則落在在投影軸上上。在投影影圖中，PH、PV、PW直接表示跡跡線本身在在空間的位位置，而處處在投影軸軸上的那個個投影則省省略不畫，，如圖3.24(b)所示。(a)(b)圖3.24用跡線表示示平面3.3空間平面的的投影分析析顯然，用跡跡線表示的的平面，其其直觀性強強，它形象象地表明了了平面在空空間的位置置。用跡線線表示的平平面稱為跡跡線平面。。3.3空間平面的的投影分析析3.3.2平面相對于于投影面的的位置及其其投影特性性在3面體系中,平面對投影影面的位置置有3種：一般位位置平面、、投影面垂垂直面和投投影面平行行面。后兩兩種稱為特特殊位置平平面。平面分別與與H、V、W面所構(gòu)成的的兩面角稱稱為該平面面對H、V、W面的傾角，，，。顯然然，當平面面平行于投投影面時，，其傾角為為0°；垂直于投投影面時，，其傾角為為90°；傾斜于投投影面時，，其傾角在在0°<，，<90°。1.一般位置平平面既不平行也也不垂直于于投影面的的平面稱為為一般位置置平面。如如圖3.25所示可直接接觀察分析析得到一般般位置平面面的投影特特性：由于于平面傾斜斜于投影面面，所以它它的三面投投影的形狀狀均為空間間平面的類類似形線框框，其面積積均小于空空間平面的的實形面積積，不反映映實形的真真實大??；；3個投影均不不能反映平平面與3個投影面的的傾角的真真實大小。。3.3空間平面的的投影分析析(a)(b)圖3.25一般位置平平面的投影影3.3空間平面的的投影分析析2.投影面垂直直面在三面體系系中垂直于于任意投影影面，而與與另兩投影影面傾斜的的平面，稱稱為投影面面的垂直面面。投影面垂直直面可分為為3種：(1)垂直于V面、且傾斜斜于另兩投投影面的平平面稱為正正垂面。(2)垂直于H面、且傾斜斜于另兩投投影面的平平面稱為鉛鉛垂面。(3)垂直于W面、且傾斜斜于另兩投投影面的平平面稱為側(cè)側(cè)垂面。3種投影面垂垂直面的投投影及投影影特性見表表3-3。由此可得得出投影面面垂直面的的投影特性性：在所垂垂直的投影影面上的投投影積聚為為一條斜線線，該斜線線與相應(yīng)投投影軸的夾夾角反映出出該平面與與其他兩個個投影面的的傾角的真真實大小；；其他兩個個投影面互互為類似形形線框。3.3空間平面的的投影分析析表3-3投影面垂直直面的三面面投影及其其投影特性性3.3空間平面的的投影分析析3.投影面平行行面平行于一個個投影面且且必垂直于于另兩個投投影面的平平面稱為投投影面平行行面。投影面平行行面又可分分為3種：(1)平行于H面的平面稱稱為水平面面。(2)平行于V面的平面稱稱為正平面面。(3)平行于W面的平面稱稱為側(cè)平面面。投影面平行行面的投影影及投影特特性見表3-4。由此可得得出投影面面平行面的的投影特性性為：在所所平行的投投影面上的的投影反映映實形，其其他兩個投投影都積聚聚為直線且且平行于相相應(yīng)的投影影軸。三個個傾角分別別為0°或90°。3.3空間平面的的投影分析析表3-4投影面平行行面的三面面投影及其其投影特性性3.3空間平面的的投影分析析由此，我們們可以得出出這樣的結(jié)結(jié)論：從投投影面垂直直面的3個投投影影，，可可直直接接獲獲得得該該平平面面對對投投影影面面的的傾傾角角的的真真實實大大小小(其中中一一個個傾傾角角為為已已知知，，即即90°°)，但但不不能能直直接接得得到到其其實實形形；；而而從從投投影影面面平平行行面面的的投投影影，，則則可可直直接接獲獲得得平平面面的的實實形形(對投投影影面面的的傾傾角角為為已已知知)。對對于于一一般般位位置置平平面面，，則則要要通通過過圖圖解解方方法法求求解解其其實實形形和和對對投投影影面面傾傾角角的的真真實實大大小小。。3.3空間間平平面面的的投投影影分分析析由初初等等幾幾何何可可知知：：①點點在在平平面面上上，，則則該該點點必必在在此此平平面面的的一一條條直直線線上上。。②直直線線在在平平面面上上，，則則該該直直線線必必通通過過平平面面上上的的兩兩點點、、或或通通過過平平面面內(nèi)內(nèi)的的一一點點且且平平行行于于平平面面上上的的另另一一直直線線。。將上上述述兩兩個個條條件件應(yīng)應(yīng)用用于于投投影影法法，，即即可可解解決決在在平平面面上上的的取取點點、、取取直直線線的的問問題題。。如圖圖3.26所示示，，點點K、直直線線KT和KM均位位于于由由相相交交兩兩直直線線AB、BC所確確定定的的平平面面上上。。3.3.3平面面上上的的點點和和直直線線3.3空間間平平面面的的投投影影分分析析【例3.6】(1)在△ABC平面上上過點點C作正平平線CD；(2)并在此此面上上取一一點S，使之之在H面之上上15mm，在V面之前前25mm，如圖圖3.27(a)所示。。分析：：(1)由正平平線CD的投影影特性性可知知：其其水平平投影影cd平行于于OX軸，正正面投投影傾傾斜于于X軸。利利用這這一投投影特特性，，應(yīng)用用平面面上取取直線線的幾幾何原原理即即可求求解出出所求求的正正平線線CD。(2)在平面面上取取定點點S：平面面上的的投影影面平平行線線是一一條與與所平平行的的投影影面等等距的的直線線。據(jù)據(jù)題意意，所所求點點S應(yīng)位于于平面面上距距H面為15mm的一條條水平平線EF上，同同時，，它也也應(yīng)位位于距距V面25mm的一條條正平平線MN上，因因此，，所求求點S應(yīng)為平平面上上這兩兩條直直線的的交點點。作圖步步驟：3.3空間平平面的的投影影分析析(a)點k在平面abc上(點k過平面上一直線)(b)直線kf在平面abc上(直線過平面上兩已知點)(c)直線km在平面abc上(直線過平面上一點且平行平面上另一直線)圖3.26在平面面上取取點取取線3.3空間平平面的的投影影分析析(1)作正平平線CD：在水水平投投影面面上，，過c作cd∥OX，交ab于d，由d找出d′，連接接c′d′,則CD(cd,c′d′)為所求求，如如圖3.27(b)所示。。(2)確定S點：首首先作作一條條平面面△ABC內(nèi)的水水平線線EF的正面面投影影e′f′，使其其與X軸相距距15mm，然后后再作作出其其水平平投影影ef，以及及平面面內(nèi)的的正平平線MN的水平平投影影mn，使其其與X軸相距距25mm，mn與ef的交點點即為為點S的水平平投影影s，由此此再定定出S點的正正面投投影s′，即為為所求求，如如圖3.27(c)所示。。3.3空間平平面的的投影影分析析(a)(b)(c)圖3.27在平面面上作作投影影面平平行線線和取取定點點3.3空間平平面的的投影影分析析3.3.4直線與與平面面、平平面與與平面面的相相對位位置直線與與平面面、平平面與與平面面之間間的相相對位位置有有兩種種情況況，即即平行行和相相交。。包括括直線線與平平面、、平面面與平平面的的平行行和相相交，，相交交又有有垂直直相交交和傾傾斜相相交兩兩種情情況。。1.平行幾何條條件：：①如如果一一直線線平行行于平平面上上的一一條直直線，，則直直線與與該平平面平平行，，如圖圖3.28所示。。②如如果一一平面面上的的兩相相交直直線平平行于于另一一平面面上的的兩相相交直直線，，則該該兩平平面平平行，，如圖圖3.29所示。。據(jù)此此，即即可解解決其其投影影作圖圖及其其相對對位置置的判判斷等等問題題。3.3空間平平面的的投影影分析析圖3.28直線與與平面面平行行圖圖3.29兩平面面平行行3.3空間平平面的的投影影分析析【例3.7】】試判斷直直線MN與平面△△ABC是否平行行，如圖圖3.30(a)所示。分析及作作圖：根根據(jù)上述述幾何條條件，如如果能在在△ABC平面內(nèi)作作出一條條平行于于MN的直線，，則直線線MN就與平面面△ABC平行，否否則就不不平行。。為此，，在平面面上先作作一條輔輔助線DB，使其正正面投影影d′b′′∥m′n′′，再由d′b′找出DB的水平投投影db。因為水水平投影影db不平行于于mn，不符合合直線與與平面平平行的幾幾何條件件，故知知MN不平行于于△ABC，如圖3.30(b)所示。3.3空間平面面的投影影分析(a)(b)圖3.30判斷直線線與平面面是否平平行3.3空間平面面的投影影分析【例3.8】】試過點S作一平面面平行于于已知平平面△ABC，如圖3.31(a)所示。分析與求求解：根根據(jù)其幾幾何條件件，應(yīng)過過點S作一對相相交直線線，使其其分別平平行于已已知平面面△ABC內(nèi)的任意意兩條直直線。為為此，過過點S作一條直直線SL1∥AB，按同法法過點S再作SL2∥BC，則SL1與SL2所組成的的平面即即為所求求平面，，如圖3.31(b)所示。(a)(b)圖3.31作平面平平行于已已知平面面3.3空間平面面的投影影分析2.相交直線與平平面或平平面與平平面相交交，就會會產(chǎn)生交交點或交交線。直直線與平平面相交交，其交交點為直直線與平平面所共共有，它它既在直直線上又又在平面面上，是是直線與與平面的的共有點點，如圖圖3.32所示；同同理，兩兩平面P和S相交，其其交線為為一條直直線，它它既在平平面P上又在平平面S上，是兩兩平面的的公有線線，如圖圖3.33所示。圖3.32直線與平平面相交交3.3空間平面面的投影影分析為討論問問題的方方便和清清楚起見見，本章章只討論論特殊情情況下求求交點或或交線的的問題。。有興趣趣的讀者者，可從從中找出出規(guī)律，，以引伸伸到一般般位置的的線面相相交及面面面相交交問題的的求解。。圖3.33平面與平平面相交交3.3空間平面面的投影影分析所謂特殊殊情況主主要指以以下3種：(1)特殊位置置直線與與一般位位置平面面相交；；(2)一般位置置直線與與特殊位位置平面面相交；；(3)一般位置置平面與與特殊位位置平面面相交。。在以上每每一組相相交的幾幾何要素素中，至至少有一一個要素素的某一一投影具具有積聚聚性，故故可利用用其積聚聚性直接接求交點點和交線線。1)特殊位置置直線與與一般位位置平面面相交如圖3.34(a)所示，鉛鉛垂線MN與△ABC平面相交交。由圖圖中可以以看出，，由于直直線垂直直于H面，其水水平投影影積聚為為一點，，因此它它們的交交點S的水平投投影s必與之重重合。又又因為交交點S屬于△ABC，故可利利用面上上取點的的方法，，即在ΔABC上過點S作輔助線線AD求出s′。直線與平平面相交交，存在在著投影影重疊部部分的可可見性判判別問題題。即判判斷某一一同面投投影中直直線被平平面擋住住的一段段，并用用虛線表表示。顯顯然，其其交點為為線段投投影可見見與不可可見的分分界點，，若在一一側(cè)為可可見，則則另一側(cè)側(cè)必不可可見?？梢娦缘牡呐袆e可可利用重重影點的的投影特特性。如如圖3.34(b)所示，為為判別直直線MN的正面投投影的可可見性，，可通過過正面投投影中a′c′′、m′n′′的交點［［即重影影點1′(2′)］引投射射線，3.3空間平面面的投影影分析分別交水水平投影影中mn和ac于點1和2，由于點點1在2的前面，，故正面面投影中中2′為不可見見，即點點Ⅱ所在直線線MN的2′s′一段為可可見，用用粗實線線表示；；而其余余為不可可見，畫畫成虛線線。(a)(b)圖3.34特殊位置置直線與與平面相相交3.3空間平面面的投影影分析