PPT彈塑性力學(xué)之物理方程

物理理方方程程應(yīng)力力只只取取決決于于應(yīng)應(yīng)變變狀狀態(tài)態(tài)，，與與達(dá)達(dá)到到該該狀狀態(tài)態(tài)的的過過程程無無關(guān)關(guān)x=x(x，y，z，xy，yz，zx)y=y(x，y，z，xy，yz，zx)……….zx=zx(x，y，z，xy，yz，zx)一般般表表示示對于于線線性性彈彈性性材材料料，，應(yīng)應(yīng)力力與與應(yīng)應(yīng)變變是是線線性性關(guān)關(guān)系系x=c11x+c12y+c13z+c14xy+c15yz+c16zxy=c21x+c22y+c23z+c24xy+c25yz+c26zxz=c31x+c32y+c33z+c34xy+c35yz+c36zxxy=c41x+c42y+c43z+c44xy+c45yz+c46zxyz=c51x+c52y+c53z+c54xy+c55yz+c56zxzx=c61x+c62y+c63z+c64xy+c65yz+c66zx系數(shù)cmn共36個(gè)取決于材料彈彈性性質(zhì)，與與坐標(biāo)系選取取有關(guān)張量形式表示示ij=Cijklkl其中Cijkl稱為四階彈性性張量，共81個(gè)分量。同同樣也取決于于坐標(biāo)系，服從四階張量量的坐標(biāo)變換換定律彈性張量的對對稱性（1）根據(jù)應(yīng)力張張量和應(yīng)變張張量的對稱性性Cijkl=Cjikl（2）根據(jù)應(yīng)力張張量和應(yīng)變張張量的對稱性性Cijkl=Cijlk獨(dú)立的分量也也是36個(gè)。（3）應(yīng)變能存在在，則彈性張張量關(guān)于ij和kl也應(yīng)對稱Cijkl=Cklij獨(dú)立的彈性常常數(shù)共有21個(gè)兩種表示方式式之間的關(guān)系系彈性系數(shù)c的下標(biāo)1、2、3、4、5、6對應(yīng)于張量C的指標(biāo)11、22、33、12、23、31例如：c11＝C1111c12＝C1122c13＝C1133c14＝C1112彈性系數(shù)cmn也應(yīng)具有對稱稱性cmn＝cnm材料對稱性彈性對稱面該面對稱的兩兩個(gè)方向具有有相同的彈性性關(guān)系以最后一個(gè)方方程為例zx反號(hào)，而x，y，z和xy不變，c61＝c62＝c63＝c64＝0x=c11x+c12y+c13z+c14xyy=c12x+c22y+c23z+c24xyz=c13x+c23y+c33z+c34xyxy=c14x+c24y+c34z+c44xyyz=c55yz+c56zxzx=c56yz+c66zx正交各向異性性材料具有三個(gè)相互互正交的彈性性對稱面。獨(dú)獨(dú)立彈性常數(shù)數(shù)減少到9個(gè)x=c11x+c12y+c13zy=c12x+c22y+c23zz=c13x+c23y+c33zxy=c44xyyz=c55yzzx=c66zx各種增強(qiáng)纖維維復(fù)合材料和和木材等屬于于這類材料橫觀各向同性性材料存在一個(gè)彈性性對稱軸，在在垂直該軸的的平面內(nèi)材料料各向同性將x，y軸互換時(shí)，材材料彈性關(guān)系系不變c11=c22，c13=c23，c55=c66將坐標(biāo)系繞z軸旋轉(zhuǎn)450，剪切應(yīng)力應(yīng)應(yīng)變關(guān)系不變變，c44=(c11c12)x=c11x+c12y+c13zy=c12x+c11y+c13zz=c13x+c13y+c33zxy=(c11c12)xyyz=c55yzzx=c55zx獨(dú)立的彈性常常數(shù)減少到5個(gè)。例如：層層狀結(jié)構(gòu)的巖巖體。各向同性彈性性體廣義Hooke定律將x軸與z軸互換，或?qū)軸與z軸互換時(shí)，材材料彈性關(guān)系系不變，c11=c33，c12=c13，c55=c66=(c11c12)于是，獨(dú)立的的彈性常數(shù)減減少到2個(gè)x=c11x+c12y+c12zy=c12x+c11y+c12zz=c12x+c12y+c11zxy=(c11c12)xyyz=(c11c12)yzzx=(c11c12)zx令c12=，c11c12=2G、G稱為Lame彈性常常數(shù)x=2Gx+xy=Gxyy=2Gy+yz=Gyzz=2Gz+zx=Gzx=x+y+z是體積積應(yīng)變變廣義Hooke定律的的張量量形式式ij=kkij+2Gijij=CijklklCijkl=ijkl+G(ikjl+iljk)式中ij是二階階單位位張量量某個(gè)面面上的的剪切切應(yīng)力力為零零時(shí)，，剪應(yīng)應(yīng)變也也為零零應(yīng)力的的主方方向與與應(yīng)變變的主主方向向重合合體積應(yīng)應(yīng)力與與體積積應(yīng)變變關(guān)系系將等式式對應(yīng)應(yīng)相加加，可可得平平均應(yīng)應(yīng)力與與體積積應(yīng)變變的關(guān)關(guān)系：：30=(2G+3)式中0=(x+y+z)/3是平均均應(yīng)力力。0=K式中K=(3+2G)/3是體積積變形形模量量。偏應(yīng)力力與偏偏應(yīng)變變關(guān)系系x=2Gx+sx+0=2G(ex+)+將體應(yīng)應(yīng)力與與體應(yīng)應(yīng)變關(guān)關(guān)系代代入：：sx=2Gex同理可可得：：sy=2Geysz=2Gez張量形形式表表示為為sij=2Geij在線彈彈性范范圍內(nèi)內(nèi)，偏偏應(yīng)力力只產(chǎn)產(chǎn)生偏偏應(yīng)變變，即即只產(chǎn)產(chǎn)生形形狀改改變，，體積應(yīng)應(yīng)力只只產(chǎn)生生體應(yīng)應(yīng)變，，即只只產(chǎn)生生體積積改變變。彈性常常數(shù)之之間的的關(guān)系系單軸拉拉伸使用物物理關(guān)關(guān)系，，有：：x=2Gx+(x+y+z)0=2Gy+(x+y+z)y=z純剪實(shí)實(shí)驗(yàn)使用物物理方方程，，xy=2Gxy，G是剪切切模量量。G、、K、E和共5個(gè)彈性性常數(shù)數(shù)，但但只有有2個(gè)獨(dú)立立由應(yīng)力力表示示應(yīng)變變正應(yīng)力力只產(chǎn)產(chǎn)生正正應(yīng)變變；剪剪應(yīng)力力只產(chǎn)產(chǎn)生剪剪應(yīng)變變。每個(gè)應(yīng)應(yīng)變等等于各各個(gè)應(yīng)應(yīng)力單單獨(dú)作作用時(shí)時(shí)產(chǎn)生生的應(yīng)應(yīng)變之之和。。彈性應(yīng)應(yīng)變能能一維情情況一細(xì)長長桿，，長度度L，橫截截面積積S，兩端端受拉拉力P作用，，伸長長量為為L，外力功功為由于應(yīng)應(yīng)力x=P/S，x=L/L，上式式可寫寫成單位體體積的的應(yīng)變變能W為求應(yīng)變變能相相對應(yīng)應(yīng)變的的偏導(dǎo)導(dǎo)三維情情況考察微微小六六面體體，作作用的的應(yīng)力力分量量ij，由此此產(chǎn)生生的應(yīng)應(yīng)變分分量ij各應(yīng)力力分量量ij都只在在指標(biāo)標(biāo)與它它相同同的應(yīng)應(yīng)變分分量ij上做功功，根據(jù)能能量平平衡，，單位位體積積的應(yīng)應(yīng)變能能應(yīng)是是所以dW=ijdij對于彈彈性體體，應(yīng)應(yīng)變能能只取取決于于狀態(tài)態(tài)，而而與達(dá)達(dá)到該該狀態(tài)態(tài)的路路徑無無關(guān)是應(yīng)變變狀態(tài)態(tài)的單單值函函數(shù)W=W(ij)，應(yīng)變變能增增量dW必須是是全微微分=ijdij上式對于任任意的應(yīng)變變增量dij都應(yīng)成立，，可導(dǎo)出如下下對稱性Cijkl=Cklij將物理方程程ij=Cijklkl代入dW=ijdij，考慮對稱稱性，則W=Cijklijkl=ijij應(yīng)變能分解解應(yīng)變能可分分解為體積積改變能和和形狀改變變能。W=ijij=(sij+0ij)(eij+