現(xiàn)代設計方法課程02優(yōu)化設計6課件

§2.6多目標優(yōu)化方法與離散變量優(yōu)化問題

概述多目標優(yōu)化方法離散變量的優(yōu)化問題實際的工程設計和產品設計問題通常有多個設計目標，或者說有多個評判設計方案優(yōu)劣的標準。為了使設計更加符合實際，要求同時考慮多個評價標準，建立多個目標函數(shù)，這就是多目標優(yōu)化問題。其數(shù)學模型為：一、概述在一般的機械最優(yōu)化設計中，多目標函數(shù)的情況較多，目標函數(shù)越多，設計的綜合效果越好，但問題的求解也越復雜。在多數(shù)情況下各個目標函數(shù)的優(yōu)化又往往是相互矛盾的，不能期望他們同時達到最優(yōu)解，有時會產生完全對立的情況，即一個目標函數(shù)是優(yōu)點，對另一個目標函數(shù)卻是劣點。幾個概念：若各個目標函數(shù)在可行域內的同一點都取得極小值，則稱該點為完全最優(yōu)解；使至少一個目標函數(shù)取得最大值的點稱為劣解；除完全最優(yōu)解和劣解之外的所有解稱為有效解；多目標的優(yōu)化實際上是根據(jù)重要性對各個目標進行量化，將不可比問題轉化為可比問題，以求取一個對每個目標來說都相對最優(yōu)的有效解。分類與方法：根據(jù)處理各個目標的不同方式分為兩類：一類是將多目標問題轉化為一系列單目標問題求解；另一類則根據(jù)多個目標構造一個綜合的評價函數(shù)，然后以單目標優(yōu)化問題進行求解。常用的方法有：主要目標法、統(tǒng)一目標法（線性加權法或加權組合法、理想點法或目標規(guī)劃法、功效系數(shù)法、乘除法）、協(xié)調曲線法和設計分析法。二、多目標優(yōu)化方法統(tǒng)一目標法主要目標法協(xié)調曲線法

設計分析法(一)統(tǒng)一目標法此法將各個目標函數(shù)稱為分目標函數(shù)統(tǒng)一到一個總的“統(tǒng)一目標函數(shù)”中，即令

使多目標函數(shù)的最優(yōu)化問題轉變?yōu)閱文繕撕瘮?shù)的最優(yōu)化問題來求解。問題是：如何定義f(X)？這是這一方法的核心，多數(shù)情況下加權因子可以根據(jù)設計經(jīng)驗值接給出，有時也可按下式計算得到加權因子。其中，是以第j項的分目標函數(shù)構成的單目標優(yōu)化問題的最優(yōu)值。如何確定合理的加權因子?2.目標規(guī)劃法或稱為理想點法先分別求出各個分目標函數(shù)的最優(yōu)值，然后根據(jù)多目標函數(shù)最優(yōu)設計的總體要求，作適當調整，制定出理想的最優(yōu)值構造如下評價函數(shù)和單目標優(yōu)化問題：此問題的最優(yōu)解是一個最接近完全最優(yōu)解的有效解，故稱這種方法為求解多目標問題的理想點法。尋求一個最接近完全最優(yōu)解的有效解。顯然，此問題的最優(yōu)解既考慮了目標函數(shù)的重要性，又最接近完全最優(yōu)解，因此，它是多目標優(yōu)化問題的一個更加理想、更加切合實際的相對最優(yōu)解。3.功效系數(shù)法每個分目標函數(shù)都可以用各個功效系數(shù)來表示該項設計指標的好壞，規(guī)定：表示第i個目標函數(shù)的效果最好表示第i個目標函數(shù)的效果最差。那么，多目標問題的一個設計方案的好壞程度可以用各功效系數(shù)的平均值加以評定，即總的功效系數(shù)，即表示該設計方案的好壞，顯然，最優(yōu)設計方案應是這樣，當時表示取得最理想的設計方案，反之，表示這種設計方案不可行，也表明必有某項分目標系數(shù)的。如何求？一般第i個目標函數(shù)在點上的功效系數(shù)值可以由以下線性插值關系得到：其中和分別表示第i個目標函數(shù)的最大值和最小值。此法雖計算較繁，但較為有效，比較直觀，調整容易，不論各分目標的量級及量綱如何，最終都轉化為0-1間的數(shù)值，且一旦有一分目標函數(shù)值不理想（）時，其總功效系數(shù)必為零，表明設計方案不可接受，須重新調整約束條件或各分目標函數(shù)的臨界值；另外，這種方法易于處理有的目標函數(shù)既不是愈大愈好，也不是愈小愈好的情況。4.乘除法此法是將多目標函數(shù)最優(yōu)化問題中的全部q個目標分為：目標函數(shù)值愈小愈好的所謂費用類（如材料、工時、成本和重量等）。目標函數(shù)值愈大愈好的所謂效益類(如產量、產值、利潤和效益等)。(二)主要目標法針對在多目標函數(shù)最優(yōu)化問題中，往往各目標函數(shù)的重要程度是不一樣的。針對這樣一種實際情況，首先應考慮主要目標，同時兼顧次要目標。設計時先將全部目標函數(shù)按其重要程度進行排列，最重要的排在最前面。

然后依次求各個目標函數(shù)的約束最優(yōu)值，這時其他目標函數(shù)則根據(jù)初步設計的考慮，給予適當?shù)淖顑?yōu)值的估計值(估計出最大值和最小值，在求得實際最優(yōu)值后應以實際最優(yōu)值進行替換)。這樣就可使多目標函數(shù)的約束最優(yōu)化問題，轉換成一些單目標函數(shù)的約束最優(yōu)化問題，尋求整個設計可以接受的相對最優(yōu)解。(三)協(xié)調曲線法（圖解法）此法是在整個設計空間，根據(jù)各個目標函數(shù)的等值線以及約束面在設計空間的協(xié)調關系，來尋求多目標函數(shù)最優(yōu)設計的最優(yōu)方案。主要用于求解簡單的多目標優(yōu)化問題。(四)設計分析法用本法求解：問題時，先求出每一個（單）目標函數(shù)的約束最優(yōu)解，再相互制約地對設計進行分析、協(xié)調、修改，把各個設計目標調整到要求值上，并得到最理想的協(xié)調關系。盡管許多離散優(yōu)化問題可以先按連續(xù)變量優(yōu)化問題求解得到連續(xù)最優(yōu)解，再進行離散化處理得到離散解，但有些問題，則需要直接求解離散最優(yōu)解。直接求解離散優(yōu)化問題的解法就是離散優(yōu)化方法。由于離散變量不具備連續(xù)、可微等一系列解析性質，因此幾乎所有連續(xù)變量優(yōu)化方法對于求解離散變量優(yōu)化問題都不適用，目前，對離散變量優(yōu)化方法的研究在理論上和程序上仍不成熟，下面介紹離散變量優(yōu)化問題的基本概念和一般解法。(二)離散變量優(yōu)化問題的最優(yōu)解數(shù)學模型：其中I為離散數(shù)列集合。可見，離散變量優(yōu)化問題的求解，就是在滿足所有約束條件的離散點的集合中尋求使目標函數(shù)極小化的離散最優(yōu)點。由于設計變量不連續(xù)，所有滿足約束條件的點只能構成可行集，記作I，不滿足約束條件的點構成非可行集，記作。1.窮舉法對某些實際問題，如果它的每個變量都是離散變量，且其離散點數(shù)是有限的，可以考慮采用窮舉法，即計算各離散變量取值的所有組合的目標函數(shù)值，然后通過比較這些函數(shù)值來尋找最優(yōu)點。這種方法適用于變量取值組合數(shù)有限的情況。2.曲線擬合技術所謂曲線擬合，就是根據(jù)離散量的點列圖，選定一種曲線去擬合那些離散點，從而獲得可以描述該點列離散規(guī)律的近似函數(shù)表達式，建立數(shù)學模型。針對這一數(shù)學模型就可以近似認為變量是連續(xù)的，可以用前述的優(yōu)化方法編寫優(yōu)化程序及進行計算來求優(yōu)，建立近似函數(shù)表示式常用的方法是：

(1)平均法假定在一組測量分析所得的離散值中，相對于一定的公稱值，正負偏差出現(xiàn)的機會相等，那么在以這些公稱值構造的代表線上，所有偏差代數(shù)和為零。故可用該代表線來表示這些離散數(shù)值的規(guī)律。(2)最小二乘法：擬合方程。這兩種方法只能用于一元函數(shù)的擬合，對于多元函數(shù)，則必須采用回歸分析方法獲得多元線性回歸方程或多元非線性回歸方程，用以逼近多維離散量的分布狀態(tài)。3.實用優(yōu)化參數(shù)處理在處理離散型變量時，較實用的處理方法是：考慮有關的標準及規(guī)范：凡是與國家標準、部頒標準或設計規(guī)范有關的參數(shù)，都應參照相應數(shù)值進行修正，如滾珠直徑、彈簧直徑等，一般略大于優(yōu)化參數(shù)值?？紤]實際允許偏差處理時，要考慮設計參數(shù)規(guī)定的允差(及公差)，如配合尺寸孔徑或軸徑，在將優(yōu)化所得的尺寸進行修正時，都應考慮配合種類及等級精度。4.離散懲罰函數(shù)法針對變量的離散型約束條件，可以建立如下形式的懲罰項：其中I為離散變量的下標集為一正指數(shù)，是與相鄰的兩個離散點，罰因子為一遞增的正數(shù)序列，即可以看出，當時，，懲罰項等于零；當時，，懲罰項也等于零；當時，，懲罰項大于零。這就說明，懲罰項對離散點不懲罰，而對離散點之外的所有點都加以懲罰。離散懲罰項分析：按上面的懲罰項建立懲罰函數(shù)，則相應的離散變量優(yōu)化問題變?yōu)椋?/p>

改變罰因子并對此式不斷求解，便可得到罰函數(shù)的離散型極小點序列，當時，該極小點序列逼近原離散變量優(yōu)化問題的離散最優(yōu)解。例：求解離散變量優(yōu)化問題解：先解除離散型約束條件，取初始點用內點法求解連續(xù)最優(yōu)解得到再用離散懲罰函數(shù)法求解，得到離散最優(yōu)解：此離散最優(yōu)解在可行域內，而且此解與連續(xù)最優(yōu)解離散化后得到的解完全相同。離散化后即近似取整，四、優(yōu)化結果分析優(yōu)化設計計算完成后，需對計算的優(yōu)化結果進行仔細的分析、檢查其合理性，發(fā)現(xiàn)和改正一切可能的錯誤，以便得到一個符合工程實際的最優(yōu)設計方案。對于優(yōu)化結果給出的設計變量值，需要檢查他們的合理性和可行性。利用約束函數(shù)值可以檢查計算結果是否合理。對于大多數(shù)實際工程設計問題來說，最優(yōu)解往往位于一個或幾個不等式約束面上，這是最優(yōu)解所在約束面，其約束函數(shù)值應該等于或接近于零；若不然，應考慮數(shù)學模型或最優(yōu)化過程是否有誤，若有誤，可改變初始點或最優(yōu)化方法重新進行計算。另外，經(jīng)優(yōu)化所得的結果一般只能認為是局部最優(yōu)解，并不一定是全局最優(yōu)解，尤其是多目標問題，為了使結果接近全局最優(yōu)解，通常是多選幾個初始點進行試算，或選用不同的優(yōu)化方法進行試算，從所得各個最優(yōu)解中篩選出最佳的結果來作為最優(yōu)解。有時，還需對計算結果進行必要的處理，如工程設計中的設計變量，并非都是連續(xù)性的，往往是在一個問題中既有連續(xù)性的（如齒寬）又有整數(shù)性的（如齒數(shù)），也有離散性的（如模數(shù)），對于設計變量全為整數(shù)型的最優(yōu)設計問題，可用整數(shù)規(guī)劃方法求解。而對于具有上述混合型設計變量的最優(yōu)化設計問題，有時則可將全部設計變量都假定為連續(xù)性的，在取得最優(yōu)解后，在進行必要的處理，將求得的原為整數(shù)型和離散型的設計變量的非整數(shù)值和非應有的離散值，調整到離他最近的整數(shù)值和離散值（只允許向可行域內調整）?！颈竟?jié)思考題】1.各種多目標優(yōu)化方法分別是如何處理多個優(yōu)化目標的？2.各種多目標優(yōu)化方法的使用有什么原則？

本章小節(jié)1.優(yōu)化問題的數(shù)學模型：設計變量與設計空間目標函數(shù)與約束條件（什么是起作用約束）

可行域與等值線優(yōu)化問題的圖解法優(yōu)化問題的最優(yōu)解要么是一個內點，要么是目標函數(shù)等值線在函數(shù)值下降方向上與可行域的最后一個交點。2.優(yōu)化設計的極值條件與數(shù)值迭代法梯度優(yōu)化問題的極值條件、k-t條件數(shù)值迭代法的基本思想與基本迭代公式數(shù)值迭代的終止準則

點距準則值差準則梯度準則3.一維搜索方法一維搜索的數(shù)學形式與幾何意義單峰區(qū)間的定義與特點尋找單峰區(qū)間的進退法區(qū)間消去法

黃金分割法內分點計算公式和區(qū)間縮減原則、迭代步驟二次插值法：基本思想與區(qū)間縮減原則4.無約束優(yōu)化方法梯度法：基本思想、搜索方向確定、迭代步驟牛頓法：牛頓方向、基本牛頓法和阻尼牛頓法的迭代步驟變尺度法：基本思想、搜索方向確定