向量理論(第三章)課件

第三章n維向量空間n維向量的定義n維向量的線性運算向量組的線性相關性向量組的極大線性無關組向量空間習題課定義1分量全為復數(shù)的向量稱為復向量.分量全為實數(shù)的向量稱為實向量，一維向量的概念例如n維實向量n維復向量第1個分量第n個分量第2個分量令表示一切n維實向量組成的集合。若是n維實向量，則可簡記,如果沒有特別的說明，我們指的都是實向量。

若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組．例如一些特殊的向量：向量組,,…，稱為矩陣A的行向量組．n維0向量：注：維數(shù)不同的零向量是不同的向量n階單位矩陣的n個列向量分別記為：稱為n維基本向量注：設n維向量的對應分量相等，即稱這兩個量是相等的，即注：1與要么都是行向量，要么都是列向量。

2與的維數(shù)應相同。例1(1)求，的負向量(2)計算

對于給定的向量組A:1,2,

…,m和向量b,如果存在一組數(shù)k1,k2,…,km使關系式則稱向量b是向量組1,2,

…,m的線性組合,或稱向量b可以由向量組1,2,

…,m線性表示.比如說：為n維基本向量結論：任何n維向量都是n維基本向量的線性組合設有向量稱b是的線性組合.或b可以由線性表示.例如：２向量組的線性相關性定義２對于向量組A:1,2,…,m,成立,則稱向量組1,2,…,m線性相關.如果存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,…,km使關系式反之則稱向量組1,2,…,m線性無關.例1：設有向量則稱向量組線性相關例2：則由，得線性無關。注：n維基本向量線性無關向量組中的一個部分組線性相關，則向量組線性相關，若一個向量組線性無關，則其中任何一個部分組線性無關討論x1,x2,…,xm的情況.

如果解得x1,x2,…,xm不全為零,則1,2,…,m線性相關;

如果推出x1=x2=

…=xm=0,則1,2,…,m線性無關.

例3討論的線性相關性e1=(1,0,…,0)Ten=(0,0,…,1)Te2=(0,1,…,0)T向量組線性相關,但線性無關，則向量可由向量組唯一地線性表示。定理2例4：討論向量組，的線性相關性。解：設有實數(shù)使即系數(shù)行列式故方程組有非零解。如取有，所以線性相關。例5：設向量組線性無關，試證向量組也線性無關。證明：設即因為線性無關系數(shù)行列式為2，故方程組只有零解，故得證第三節(jié)向量組的秩問:其中線性無關的部分組最多可以包含多少個向量?定義1

若向量組中的每一個向量都可以由向量組線性表示,則稱向量組可由向量組線性表示，若向量組和可以互相線性表示，則稱兩個向量組等價一、等價的向量組向量組可由線性表示向量組可由線性表示等價于存在的矩陣使若向量組和等價等價向量組的性質：1：自反性：一個向量組與其自身等價2：對稱性：若向量組和等價，則向量組和等價。3：傳遞性：若向量組和等價，向量組和等價，則向量組和等價。定理1設中的兩個向量組和若向量組可由線性表示，且，則向量組線性相關少的表示多的，多的一定線性相關注：，不能相等，時，結論不一定成立定理1的逆否命題：推論1：若向量組可由向量組

線性表示，又已知

線性無關，則必有推論2：兩個線性無關的向量組互相等價，則它們所含的向量個數(shù)相等注：若只是等價的向量組，它們所含的向量個數(shù)未必相等極大線性無關組等價定義二極大線性無關組1.一個向量組的極大線性無關組可能不唯一2.向量組和其極大線性無關組等價(一個向量組的任何兩個極大線性無關組都等價)3.一個向量組的極大線性無關組所含的向量個數(shù)唯一確定。注:定義3一個向量組的極大線性無關組所含的向量個數(shù)稱為向量組的秩。線性無關的向量組的秩等于向量組的向量的個數(shù)例1：設n維基本向量組可由向量組

線性表示。證明線性無關三向量組的秩與矩陣的秩的關系定理2矩陣A的行初等變換不改變A的列向量組的線性相關性和線性組合關系例2:等于它的行向量組的秩.

定理3

矩陣的秩等于它的列向量組的秩,也求向量組的最大無關組的步驟:例3：設有向量組(1)求向量組的秩，并討論它的線性相關性。(2)求向量組的一個極大線性無關組。(3)把其余向量表示成為該極大線性無關組的線性組合解：取(1)向量組即為A的列向量R(A)=2,所以向量組的秩為2。(2)為向量組的一個極大線性無關組(3)推論：設A為矩陣，秩，則有:(1)當r=m時，A的行向量組線性無關;當r<m時，A的行向量組線性相關(2)當r=n時，A的列向量組線性無關;當r<n時，A的列向量組線性相關。

當A為n階方陣時，即當m=n時，A的列(行)向量組線性無關的充要條件是由矩陣的秩和它的向量組的秩的關系，我們立刻會發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：第四節(jié)向量空間一、向量空間的定義定義1

設V為n維向量的集合,如果集合V非空,且那么就稱集合V為向量空間.則a+bV;若a

V,R,則aV.若a

V,bV,

例１集合V={x=(0,x2,...,xn)T|x2,...,xn

R}是一個向量空間.例２集合V={x=(1,x2,...,xn)T|x2,...,xn

R}不是向量空間.一般地，L={x=a+b|,R}x1=1a+1b,x2=2a+2b則有x1+x2=(1+1)a+(1+2)bL,kx1=(k1)a+(k1)bL.這個向量空間稱為由向量a,b所生成的向量空間.是一個向量空間.因為若由向量組a1,a2,...,am

所生成的向量空間一般形式為L={x=1a1+2a2+...+mam

|1,

2,...,

mR}.例3設向量組a1,...,am與向量組b1,...,bs等價,記L1={x=1a1+2a2+...+mam

|1,...,

mR},L2={x=1b1+2b2+...+sbs

|1,...,

sR},試證L1=L2.二、向量空間的基向量空間的維數(shù)定義2

設有向量空間V1及V2,若V1V2,

總有VRn,所以這樣的向量空間總是Rn的子空間.

例如任何由n維向量所組成的向量空間V,就稱V1是V2的子空間.向量空間.定義3

設V為向量空間,如果r個向量a1,a2,...,arV,且滿足(i)

a1,a2,...,ar線性無關;(ii)

V中任一向量都可由a1,a2,...,ar線性表示.那么,向量組a1,a2,...,ar

就稱為向量空間V的一個基,r稱為向量空間V的維數(shù),并稱V為