培優(yōu)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)一、1.根式⑴根式的概念數(shù),①若也三a，則x叫做a的n次方根，其中n>1且n￡N*.式子夠叫做根式，這里n叫做根指a叫做被開方數(shù).數(shù),I=na(當(dāng)n為奇數(shù)且n￡N*時(shí))，②a的n次方根的表示：型=a='I=±臉(當(dāng)n為偶數(shù)且n￡N*時(shí)).⑵根式的性質(zhì).,n為奇數(shù)，n為偶數(shù).①(跖)n=a(n￡N*).②n：an=■甲，a三n為偶數(shù).*I=■|^a,a<0,2.有理數(shù)指數(shù)幕⑴幕的有關(guān)概念：①正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕：an=弋竺(a>0,m,neN*,Mn>1)；②負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕：a—m=工=-^(a>0,m,n￡N*,且n>1)；nm_、'annam③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕無意義.⑵有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)：①aras=arXa>0,r,s￡Q)；②(ar)s=絲(a>0,r,s￡Q);③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r￡Q).3.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y=axa>10<a<1圖象一“…一En]fn|i定義域R值域(0,+8)性質(zhì)過定點(diǎn)(0,1)當(dāng)I>0時(shí)，y>1；當(dāng)I<0時(shí)，0Vy<1當(dāng)I>0時(shí)，0<y<1當(dāng)I<0時(shí)，y>1;在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)對數(shù)概念如果a*=N(a>0,aW1),那么數(shù)i叫做以a為底N的對數(shù)，記作I=logN.其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)

性質(zhì)底數(shù)的限制：a>0,且aW1對數(shù)式與指數(shù)式的互化：ax=N^logN=x負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù),1的對數(shù)是零：log1=0底數(shù)的對數(shù)是1：logaa=1,對數(shù)恒等式：alogN=N運(yùn)算性質(zhì)log(M-N)=logM+logNa>0,且aW1,M>0,N>0a;aa,M,10g加=logaM^ogaNlogJMn=n10gM(n￡R)換底公式10gb一^一^公式：10gb=]I(a>0,且aW1；c>0,且cW1；a10gcab>0)加上n1推廣：10gamb-m10gP；10gP=1ogba2.2.a>10<a<1圖象>工=11.\:-L刖_性質(zhì)定義域：(0,+8)值域：R過定點(diǎn)(1,0)當(dāng)x>1時(shí)，y>0當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0在(0,+8)上是增函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)一、選擇題.設(shè)函數(shù)f(%)■熊■,g(%)■，若于(x)■g(x)對于任意實(shí)數(shù)恒成■2■B2■立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是().b■12.b■12.b■15.b■15.函數(shù))■f■■是R上的奇函數(shù)，滿足f■■x11f■■x.當(dāng)xG(0)時(shí)f■■2x,則當(dāng)xG(■6,■3)時(shí)，fx"()2xH5.設(shè)1<a<b<a2,則在四個(gè)數(shù)2,logab,logba,logaba2中，最大的和最小的分別是()(A)2,logba(B)2,logba2(C)logb,logba(D)logb,logba2二、填空aaaa.已知a>0.已知a>0,f(x)=.已知函數(shù)f二二則f(~+f(2004)+…+f(■1千■■■i*il的定義域?yàn)椤觥?■■2003)=。20040則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.先將函數(shù)f(x)=ln—的圖像作關(guān)于原點(diǎn)的對稱變換，然后向右平移1個(gè)單位，再作關(guān)于y=x1■x的對稱變換，則此時(shí)的圖像所對應(yīng)的函數(shù)的解析式是。.已知函數(shù)y=log1[ax2+2x+(a1)]的值域是[0，+)，則參數(shù)a的值是。三、解答題■2x■b8.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)f(x)■是奇函數(shù)2x■■2()求f(x)；()判斷函數(shù)f(X)的單調(diào)性(不必證明)()若對任意的t■R，不等式f(12■21)■f(212■k)■0恒成立，求的取值范圍.已知函數(shù)f(x)■(3)x,x■函數(shù)g(x)■f2(x)■2af(x)■3的最小值為h(a).(1)求h(a)的解析式；(2)是否存在實(shí)數(shù)m,n同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①m■n■3；②當(dāng)h(a)的定義域?yàn)?,m■時(shí)，值域?yàn)镠2,m2*若存在，求出m,n的值；若不存在，請說明理由.函數(shù)f(x)■log［ax2■(a■2)x■2(a■2)］在區(qū)間［a■2,2(a■2)］上恒有定義，求實(shí)數(shù)a的取2值范圍．本題滿分分已知函數(shù)f(x)■lg(x■a■2)，其中a是大于的常數(shù)x(1)設(shè)g??x■三判斷并證明g?■Ia，■—內(nèi)的單調(diào)性;(1)()當(dāng)a■(1,4)時(shí)，求函數(shù)f(x)在■■)內(nèi)的最小值;()若對任意x■[2,B■恒有f(x)■0，試確定a的取值范圍。一1_2■ax12.(分)已知函數(shù)f??x3■log—為奇函數(shù)，a為常數(shù)x■23()求a的值；()當(dāng)x■(3,4］時(shí)，f?■是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，請說明理由；一，、_i_1、()設(shè)函數(shù)g(X)■X3■(-)x■m，當(dāng)m為何值時(shí)，不等式f(X)■g(X)在x■(3,4］有實(shí)數(shù)解?13.(分)函數(shù)()滿足()(-),()求()；()求()的值域；()求()的遞減區(qū)間.14.已知二次函數(shù)g(x)-ax2"2ax"b"1(a-0)在區(qū)間，上有最大值，最小值I求函數(shù)g(x)的解析式；f(x)■g(x)-II設(shè)x若f(2x)■k?x"0在x■［"1］時(shí)恒成立，求k的取值范圍試卷答案2003.2.a■5■a■■3.y=ex7.1<28.解()因?yàn)閒(x)是上的奇函數(shù)，所以f(0)■0,即212b■0,解得b■12■a分3■2x■1從而有f(x)分32x■■2■2x■111()由()知f(x)---,2x■■222x■1由y■2x的單調(diào)性可推知f(x)在上為減函數(shù)…■2x■111()解法一：由()知f(x)■丁二■匕■=7，2x■■222x?1由上式易知f(x)在上為減函數(shù)，又因f(x)是奇函數(shù)，從而不等式f(12■21)■f(212■k)■0等價(jià)于f(12■21)■町(2t2■k)■fW12■k).…,因f(x)是上的減函數(shù)，由上式推得12■21■1￡12■k.即對一切t■R有3t2■2t■k■0,從而■■4■12k■0,解得k■■!分9.解析：(1)由f(x)■(3)x,xf(x)?[|，3；，令t■f(x)?j1,3；．．．．．．1分記g(x)■y■t2■2at■3，則g(x)的對稱軸為t■a，故有：1282a①當(dāng)a■3時(shí)，g(x)的最小值h(a)■-9-■3②當(dāng)a■3時(shí)，g(x)的最小值h(a)■12■6a③當(dāng)3■a■3時(shí)，g(x)的最小值h(a)■3■a2

綜述，?2a綜述，?2a■9，h(a)Ha2■■2■6aI()當(dāng)a■3時(shí),31■a■33a■3h(a)a■12.故m■n■3時(shí)，h(a)在1,m1上為減函數(shù).所以h(a)在■1,m■上的值域?yàn)楸﹎),h(n).9分除(m)■n2Jf6mH12■n2由題，則有|■■，兩式相減得6n■6m■n2■m2，又m■n面(n)■m2.n■12■m2所以m■n■6，這與m■n■3矛盾.故不存在滿足題中條件的m,n的值.10.解析：設(shè)g(x)■ax21(a■2)x■2(a■2)，則f(x)■log［ax2■(a■2)x■2(a■2)］2在區(qū)間［a■2,2(a■2)］上恒有定義即g(x)■0在［a■2,2(a■2)］上恒成立.當(dāng)a■0時(shí)，g(x)■2x■4■0于［2,4］上恒成立.aI2_當(dāng)a■0時(shí)，g(x)的對稱軸■0,g(x)在［a■2,2(a■2)］上單調(diào)增加，所以，2ag(a■2)■(a■2)(a2■3a■4)■0,由a■2■0,a2■3aI4■0，所以a■(0,1).當(dāng)a■0時(shí)，g(x當(dāng)a■0時(shí)，g(x)■0于［a■2,2(a■2)］上恒成立，則第［2(a■2)］■0，由g(a■2)■(a■2)(a2■3a■4)■0,a2■3a■4■0，得a■2■0，即a；由g［2(a■2)］■(a■2)(2a2■5a■3)■0,得2a2■5a■3■0,TOC\o"1-5"\h\z33解得a■■—或a■■，所以，IE■a■■—或■■a■0.2>2>綜上，a■(■2,H^)■(?1,??).解析：(I)x」，1分

12.即：恒成立10分12分（1）增函數(shù)，用定義證明（2）由（a12.即：恒成立10分12分（1）增函數(shù)，用定義證明（2）由（設(shè)u(x)■x■■2，當(dāng)a■(1,4),x■［2,??時(shí)xa)知u(x)■x2在［2,?■上是增函數(shù)x???f(x)■lg(x■a■2)在［2,?■)上是增函數(shù)x

???f(x)■lg(x■a■2)在[2,■■)上的最小值為f(2)■1gax2(3)對任意x■[2,H)恒有f(x)■0，即x■a■2■1對x■[2,H)恒成立xa■3x■x2，而h(x)■3%■x2■?%■|)2號(hào)在x■[2,H)上上是減函數(shù):.h(xUh⑵■2，二.■213.13考點(diǎn)：對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；指數(shù)函數(shù)綜合題；對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：()由1g(Igy)=1g3xlg(3-x),可得1g(Igy)=lg3x(3-x),<x<3.lgy=3x(3-x),即可得出.13.13考點(diǎn)：對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；指數(shù)函數(shù)綜合題；對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：()由1g(Igy)=1g3xlg(3-x),可得1g(Igy)=lg3x(3-x),<x<3.lgy=3x(3-x),即可得出.(2)令=3x(3-x)=-3(k-弓)2學(xué)在〔口，尚)上單調(diào)遞增，在礙，3)上單調(diào)遞減；而是增函數(shù)，即可得出￡CO)<f(k)<f(.寺(3)由()可知：函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為后，3).解答：()Vlg(lgy)=lg3xlg(3-x),解答：Alg(lgy)=1g3x(3-x)]<x<3./.lgy=3x(3-x),/.f(x)=y=3x(3-x),x￡(,3).(2)令=3x(3-x)=-3(k-2+^,(2)令=3x(3-x)=-3(k-2+^,在［0,上單調(diào)遞增，在3)上單調(diào)遞減；而是增函數(shù).??