2023年北京高考理科數學試卷含答案

20238540分。在每題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1A＝{x||x|＜2}，B＝{–2，0，1，2}，A∩B＝A．{0，1} B．{–1，0，1} C．{–2，0，1，2} D．{–1，0，1，2}【解析】因|x|＜2，故－2＜x＜2，因此A∩B＝{–2，0，1，2}∩(－2，2)＝{0，1}，選A．在復平面內，復數1 的共軛復數對應的點位于1－iA．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限1 1＋i 1 1 1 1 1 12【解析】 ＝21－i

＝2＋2i，其共軛復數為2－2i，對應的點為(2，－2)，應選D．執(zhí)行如以下圖的程序框圖，S值為A 1 5 7 7．2 B．6 C．6 D．121 1【解析】初始化數值k＝1，S＝1，循環(huán)結果執(zhí)行如下：第一次：S＝1＋(－1)1?2＝2，k＝2≥3不成1 1 5 5立；其次次：S＝2＋(－1)2?3＝6，k＝3≥3S＝6，應選B．“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數學方法計算出半音比例，為這個理論的進展做出了重要奉獻．十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于122．假設第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為3 3 12 12A．2f B．22f C．25f D．27f【解析】從其次個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于122，第一個單音的頻率為f．由等比數列的定義知，這十三個單音的頻率構成一個首項為f，公比為122的等比數n 8a．則第八個單音頻率為a＝·(122)81＝127f．5．某四棱錐的三視圖如以下圖，在此四棱錐的側面中，直角三角形的個數為n 8A．1 B．2 C．3 D．4【解析】在正方體中作出該幾何體的直觀圖，記為四棱錐P－ABCD，如圖，由圖可知在此四棱錐3，是△PAD，△PCD，△PAB．6a，b均為單位向量，則“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】|a－3b|＝|3a＋b|?|a－3b|2＝|3a＋b|2?a2－6a?b＋9b2＝9a2＋6a?b＋b2a，b均為單位向量，故a?b＝0，即a⊥b，即“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要條件．選C．7．在平面直角坐標系中，記dP(cosθ，sinθ)x－my－2＝0θ，m變化時，d的最大值為A．1 B．2 C．3 D．4【解析】因cos2θ＋sin2θ＝1，故P為單位圓上一點，而直線x－my－2＝0A(2，0d的最OA＋1＝2＋1＝3，選C．8A＝{(x，y)|x－y≥1，ax＋y＞4，x－ay≤2}，則A．對任意實數a，(2，1)∈A B．對任意實數a，(2，1)?AC．當且僅當a＜0時，(2，1)?A

3 (2，1)?Aa≤2時，【解析】假設(2，1) 3 (2，1) 3 3∈Aa＞2a≥0，即假設則有(2，1)?A，應選D．6530分。

∈A，則a＞2，此命題的逆否命題為：假設a≤2，設{an}是等差數列，且a1＝3，a2＋a5＝36，則{an}的通項公式為 ．【解析】設等差數列的公差為da1＝3a2＋a5＝2a1＋5d＝36d＝6an＝3＋(n－1)·6＝6n－3．在極坐標系中，直線ρcosθ＋ρsinθ＝a(a＞0)與圓ρ＝2cosθ相切，則a＝ ．ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθρcosθ＋ρsinθ＝a(a＞0)得，x＋y＝a(a＞0)ρ＝2cosθ得，ρ2＝2ρcosθ，即x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，因直線與圓相切，|1－a|/ 2＝1，故a＝1±2a＞0a＝1＋2．設函數＝cosx π ＞0假設≤f

對任意的實數x都成立則ω的最小值為 ．－6)(

(4)π π π πωf(x)≤f(4)x＝4f(x)f(4)＝14－π 2 26＝2kπ(k∈Z)ω＝8k＋3(k∈Z)ω＞0ωmin＝3．假設x，y滿足x＋1≤y≤2x，則2y－x的最小值是 ．＝，【解析】作可行域，如圖，＝， 得交點坐標(，2，則直線2－x過點A(，2時取最小值3．【解析】令f(x)＞f(0)x∈(0，2]f(x)在[0，2]上不是增能說明“假設f(x【解析】令f(x)＞f(0)x∈(0，2]f(x)在[0，2]上不是增函數．又如，令f(x)＝sinxf(0)＝0，f(x)＞f(0)x∈(0，2]f(x)在[0，2]上不是增函數．14

x2 y2 x2 y2．橢圓M：＋＝1(a＞b＞0)，雙曲線N：－＝1．假設雙曲線NMa2 b2 m2 n2的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓M的離心率為 ．【解析】F(c，0)NMA，由題c 3c

c2 3c24a2 意可知A2，2，由點A在橢圓M上得， ＋ ＝1，故b2c2＋3a2c2＝4a2b2，因b2＝a4a2 故(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，則4a4－8a2c2＋c4＝0，e4－8e2＋4＝0，故e2＝4＋2 －2 30＜e＜1e＝3－1．680分。解同意寫出文字說明，演算步驟或證明過程。在△ABC中，a＝7，b＝8，cos 1(Ⅰ)求∠A；(Ⅱ)AC邊上的高．

B＝－7．1 4 3 asinB(1ABCcosB＝sinB＝－co2B＝3 π π π

sinA＝b＝2．由題設知2<∠B<π0<∠A<2．所以∠A＝3．(2)在△ABC中，由于sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsin 3 3

sinC＝7 3 3 3 3

B＝14

ACa×14＝2．1 1 1 1 1 1 1 1 的中點，AB＝BC＝5，AC＝AA1 2．＝求證：ACBEF；的中點，AB＝BC＝5，AC＝AA1 2．＝求證：ACBEF；B－CD－C1的余弦值；(3)FGBCD相交．1AC⊥EFAB＝BCAC⊥BE．又EF∩BE＝EACBEF．1 (2)解由(1)知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC，又CC⊥平面ABC，故EF⊥平面ABC，因BE 平0，1)，F(0，0，2)，G(0，2，1)．1 → → n·→ 0，故BC＝(－1，－2，0)，BD＝(1，－2，1)．設平面BCDn＝(x，y，z

BC＝x2y

＝0，

0 0 0

→·BD＝0，即0

y＝－1，則x

＝2，z＝－4n＝(2，－1，－4)．又平面CC

D的法向量0 0 x2y＋z0. 0 0 0 0 0 → → n·→為EB＝(0，2，0)cos〈n，EB〉＝

EB＝－

21．由題知二面角B－CD－C

為鈍角，故其余→ 21 1|n||EB|弦值為－21．21→ →證明n·FG＝2×0＋(－FGBCD相交．電影公司隨機收集了電影的有關數據，經分類整理得到下表：電影類型第一類其次類第三類第四類第五類第六類電影部數14050300200800510好評率0．40．20．150．250．20．1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數與該類電影的部數的比值．假設全部電影是否獲得好評相互獨立．從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估量恰有1部獲得好評的概率；假設每類電影得到人們寵愛的概率與表格中該類電影的好評率相等．用“ξk＝1”表示第k類電影得到人們寵愛，“ξk＝0”表示第k類電影沒有得到人們寵愛(k＝1，2，3，4，5，6)．寫出方差D(ξ1)，D(ξ2)，D(ξ3)，D(ξ4)，D(ξ5)，D(ξ6)的大小關系．000，第四類電影200×0．25＝50．故所求概率為50＝0．025．2000AB為“從第五類電影中隨機選出．故所求概率為PA－＋－B＝PA－＋P－BPA)(PB(－APB．由0類電影沒有得到人們寵愛，由題意可知，定義隨機變量如下：ξ＝ 則ξ

明顯聽從兩點分k 1，類電影得到人們寵愛， k布，故D(ξ1)＝0．4×(1－0．4)＝0．24，D(ξ2)＝0．2×(1－0．2)＝0．16，D(ξ3)＝0．15×(1－0．15)＝0．1275，D(ξ4)＝0．25×(1－0．25)＝0．1875，D(ξ5)＝0．2×(1－0．2)＝0．16，D(ξ6)＝0．1×(1－0．1)＝0．09．綜上所述，D(ξ1)＞D(ξ4)＞D(ξ2)＝D(ξ5)＞D(ξ3)＞D(ξ6)．(Ⅰ)y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與軸平行，a；18f(Ⅰ)y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與軸平行，a；(Ⅱ)f(x)x＝2處取得微小值，a的取值范圍．Ⅰ因＝a2(a＋1＋＋3]f[a－(a1)]＋a－(a1＋a＋］ex(x∈R)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex．f′(1)＝(1－a)ef′(1)＝0，即(1－a)e＝0a＝1．此f(1)＝3e≠0a1．1 1f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(ax－1)(x－2)exa＞2x∈(a，2)時，f′(x)＜0；當x∈(2，＋∞)時，f′(x)＞0．故f(x)＜0在x＝2處取得微小值．假設a 1

時，x－2≤2，則當＜0，ax–1 1－1＜0f′(x)＞02f(x)的微小值點．≤2x綜上可知，a的取值范圍是1 ∞)．(2，＋19C：y2＝2pxP(1，2)Q(0，1)lC有兩個不同的交點A，BPAyMPByN．l的斜率的取值范圍；(2)設O為原點，→＝λ→，→＝μ→ 1 1QM QO QN QO，求證：λ＋μ為定值．【解析】(1)y2＝2px過點(1，2)2p＝4p＝2Cy2＝4x．由題24，意知直線l的斜率存在且不為0．設直線l的方程為y＝kx＋1(k≠0)．由 得k2x2＋(2k－4)x＝k1＋1＝0．依題意Δ＝(2k－4)2－4×k2×1＞0k＜1k≠0k＜00＜k＜1PA，PB與yl不過點(1，－2)k≠－3．故直線l斜率的取值范圍是(－∞，－3)∪(－3，

2k－4 1

y－2證明

＋x＝－

，xx＝PAy－2＝11 1 2 2

1 2

12

x－1(x－1)x＝0My

－y＋2 2

－kx＋1

1＝ ＋2Ny＝＝ ＋11＝ ＋M x1－1 x－1 N11＝ ＋－kx2＋1

→ → → →

11 1 1 1

x－1＋ ＝ 1x－1

M N λ μ 1－y

1－y

〔k－1〕x22 2k－4＋

M N 1x－1 1 2xx－〔x＋x〕 1 k2 k2 1 1＋ 2 ＝

12 xx

2 ＝

1 ＝2．故λ＋μ＝2為定值．〔k－1〕x2 k－1 12

k－1k21 2 n 20nA＝{α|α＝(t，t，…，t)，t∈{0，1}，k＝1，2，…，n}1 2 n α＝(x，x，…，x

)β＝(y，y，…，y

)，記M(α，β) 1 x＋y－|x－y|)＋(x＋1 2 n

1 2

＝2[(1 1 1 1 22 2 2 n n n y－|x－y|)＋…＋(x＋y－|x－y2 2 2 n n n (Ⅱ)n＝4時，BA的子集，且滿足：Bα，β，α，β一樣時，M(α，β)是奇數；α，β不同時，M(α，β)B中元素個數的最大值；(Ⅲ)給定不小于2的n，設B是A的子集，且滿足：對于B中的任意兩個不同的元素α，β，M(α，β)＝0B，使其元素個數最多，并說明理由．【解析】(Ⅰ)因α＝(1，1，0)，β＝(0，1，1)，故M(α，α) 1 ＋1－|1－1|)＋(1＋1－|1－1|)＋(0＝2[(1＋0－|0－0|)]＝2，M(α，β) 1[(1＋0－|1－0|)＋(1＋1－|1－1|)＋(0＋1－|0－1|)]＝1．＝2( α ( ) (α α) {0 1}Ⅱ)設＝x，x，x，x ∈B，則M ，＝x＋x＋x＋x．由題意知x，x，x，x∈( α ( ) (α α) {0 1}1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 41 2 3 M(α，α)x，x，x，x1131 2 3 {(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)，(0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，/