幾何中線段的最值問題

幾何中線段的最值問題一、一條線段的最值問題一借助旋轉(zhuǎn)求最值2013通州一模24?已知：AD=2,BD=4，以AB為一邊作等邊三角形ABC.使C、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).⑴如圖，當(dāng)乙ADB=60。時(shí)，求AB及CD的長；(2)當(dāng)乙ADB變化，且其它條件不變時(shí)，求CD的最大值，及相應(yīng)ZADB的大小.2011豐臺(tái)一模25?已知在△ABC中，BC=a,AC=b,以AB為邊作等邊三角形ABD.探究下列問題:⑴如圖1當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的兩側(cè)時(shí),a=b=3,且乙ACB=60°,則CD二；⑵如圖2,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的同側(cè)時(shí),a=b=6,且乙ACB=90°,則CD二,(3)如圖3,當(dāng)ZACB變化且點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的兩側(cè)時(shí)，求CD的最大值及相應(yīng)的乙ACB的度數(shù).

圖1圖圖1圖2圖32)借助直角三角形性質(zhì)求最值勾股定理直角三角形斜邊中線等于斜邊一半直角三角形斜邊的兩條重要的線段，一是斜邊上的高，另一個(gè)是斜邊上的中線，直角三角形斜邊上的高是直角頂點(diǎn)到斜邊上所有點(diǎn)之中距離最短的，其長度可以用兩直角邊乘積除以斜邊求得．【例1】如圖，在AABC中，乙C=90°,AC=2,BC=1,點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是【例2】如圖，AABC是邊長為定值m的正三角形，C點(diǎn)與原點(diǎn)重合，點(diǎn)B在第一象限點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上。求出AC邊上的高線BD的長度；當(dāng)點(diǎn)C在y軸的正半軸滑動(dòng)時(shí)，試求出點(diǎn)O到CA距離的最大值；已知點(diǎn)P是厶ABC內(nèi)切圓的圓心，請求出OP的最大值。

2011海淀一模25?在RtAABC中，乙ACB=90°,tanZBAC二1■點(diǎn)D在邊AC上(不與A,C重合)，連結(jié)BD,2F為BD中點(diǎn).⑴若過點(diǎn)D作DE丄AB于E,連結(jié)CF、EF、CE,如圖1.設(shè)cfkEF,則k=；若將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得D、E、B三點(diǎn)共線，點(diǎn)F仍為BD中點(diǎn)，如圖2所示.求證：BE-DE=2CF;若BC=6,點(diǎn)D在邊AC的三等分點(diǎn)處，將線段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)F始終為BD中點(diǎn)，求線段CF長度的最大值.圖1圖2備圖圖1圖2備圖2010海淀一模25.已知：25.已知：△AOB中，AB二OB二2,△COD中，CD二OC二3,ZABO=ZDCO.連接AD、BC,點(diǎn)M、N、P分別為OA、OD、BC的中點(diǎn).圖2圖1圖2圖1⑴如圖1若A、O、C三點(diǎn)在同一直線上，且ZABO=60。,則APMN的形狀是此時(shí)AD此時(shí)ADBC⑵如圖2，若A、O、C三點(diǎn)在同一直線上，且ZABO二2?，證明△PMNs^BAO，并計(jì)算虧BC的值（用含?的式子表示）⑶在圖2中，固定AAOB，將ACOD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，直接寫出PM的最大值.28?正方形ABCD的邊長為3,點(diǎn)E,F分別在射線DC,DA上運(yùn)動(dòng)，且DE二DF.連接BF,

作EH丄BF所在直線于點(diǎn)H,連接CH.⑴如圖1,若點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，CH與AB之間的數(shù)量關(guān)系是(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在DC邊上且不是DC的中點(diǎn)時(shí)，(1)中的結(jié)論是否成立？若成立給出證明；若不成立，說明理由；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)E,F分別在射線DC，DA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接DH,過點(diǎn)D作直線DH的垂線，交直線BF于(3)與圓相關(guān)2014燕山24.如圖1，已知AABC是等腰直角三角形，ABAC=90。，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)?作正方形DEFG，使點(diǎn)A、C分別在DG和DE上，連接AE，BG．試猜想線段BG和AE的數(shù)量關(guān)系是；將正方形defg繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a(0°<a<360。)，判斷(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請利用圖2證明你的結(jié)論；若BC=DE=4，當(dāng)AE取最大值時(shí)，求AF的值.

FFGAABED圖圖2FFGAABED圖圖22013昌平一模24?在△ABC中，AB=4,BC=6,ZACB=30°，將AABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A^q.如圖1,當(dāng)點(diǎn)q在線段ca的延長線上時(shí)，求zcciai的度數(shù)；如圖2,連接AA],CC「若ACBC]的面積為3,求AABA^p面積；如圖3,點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在AABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)匕，直接寫出線段已匕長度的最大值與最小值.CC2015房山一模28?如圖1,已知線段BC=2,點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)是點(diǎn)D,點(diǎn)E為射線CA上—點(diǎn)，且ED二BD,連接DE,BE.依題意補(bǔ)全圖1,并證明：△BDE為等邊三角形；若乙ACB=45°,點(diǎn)C關(guān)于直線BD的對稱點(diǎn)為點(diǎn)F,連接FD、FB.將ACDE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度(0°<a<360°)得到△CDE，點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)為E',點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C：如圖2,當(dāng)a=30°時(shí)，連接BC?證明：EF二BC;如圖3,點(diǎn)M為DC中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段C'E上的任意一點(diǎn)，試探究：在此旋轉(zhuǎn)過程中，線段PM長度的取值范圍？

7/3■如圖25-1，已知△ABC是等腰直角三角形，ZBAC=90。，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)?作正方形DEFG，使點(diǎn)A、C分別在DG和DE上，連接AE,BG．7/（1）試猜想線段BG和AE的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你得到的結(jié)論.（2）將正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后（旋轉(zhuǎn)角度大于0。，小于或等于360°），如圖25-2,通過觀察或測量等方法判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由.E圖25-2（3）若BC=DE=2，在25-2的旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AE為最大值時(shí)，E圖25-2圖25-111.以平面上一點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)，分別畫出兩個(gè)直角三角形，記作△AOB和ACOD,其中ZABO二ZDCO=30°.點(diǎn)E、F、M分別是AC、CD、DB的中點(diǎn)，連接FM、EM.如圖1,當(dāng)點(diǎn)D、C分別在AO、BO的延長線上時(shí)，F(xiàn)M二；EM如圖2,將圖1中的△AOB繞點(diǎn)O沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a角(0o?<60o)，其他條件不變，判斷FM的值是否發(fā)生變化，并對你的結(jié)論進(jìn)行證明；EM如圖3,若BO二3爲(wèi)，點(diǎn)N在線段OD上，且N0=2.點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在將AAOB繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)的過程中，線段PN長度的最小值為，最大值為.圖1圈3圖1圈3其他2011海淀一模24?已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2-(a+1)x與直線y=kx的一個(gè)公共點(diǎn)為A(4,8).求此拋物線和直線的解析式；若點(diǎn)P在線段OA上,過點(diǎn)P作y軸的平行線交(1)中拋物線于點(diǎn)Q,求線段PQ長度的最大值；記(1)中拋物線的頂點(diǎn)為M,點(diǎn)N在此拋物線上，若四邊形AOMN恰好是梯形，求點(diǎn)N的坐標(biāo)及梯形AOMN的面積.備圖1)備圖備圖1)備圖2)朝陽25?如圖，二次函數(shù)y二ax2+2ax+4的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C,ZCBO的正切值是2.求此二次函數(shù)的解析式．動(dòng)直線I從與直線AC重合的位置出發(fā)，繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與直線AB重合時(shí)終止運(yùn)動(dòng)，直線I與BC交于點(diǎn)D,P是線段AD的中點(diǎn).直接寫出點(diǎn)P所經(jīng)過的路線長.點(diǎn)D與B、C不重合時(shí)，過點(diǎn)D作DE丄AC于點(diǎn)E、作DF丄AB于點(diǎn)F，連接PE、PF，在旋轉(zhuǎn)過程中，乙EPF的大小是否發(fā)生變化？若不變，求ZEPF的度數(shù)；若變化，請說明理由.在②的條件下，連接EF，求EF的最小值.片2013一模海淀25.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y二x2-2mx+m2+m的頂點(diǎn)為C.求點(diǎn)C的坐標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示)；直線y=x+2與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線的對稱軸左側(cè).②若P為直線OC上一動(dòng)點(diǎn)，求△APB的面積；②拋物線的對稱軸與直線AB交于點(diǎn)M，作點(diǎn)B關(guān)于直線MC的對稱點(diǎn)B'.以M為圓心，MC為半徑的圓上存在一點(diǎn)Q，使得QB'+#QB的值最小，則這個(gè)最小值為2012朝陽二模25■在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y二ax2+bx+4經(jīng)過A(-3,0)、B(4,0)兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D在x軸的負(fù)半軸上，且BD二BC,有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，同時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CA以某一速度向點(diǎn)A移動(dòng).(1)求該拋物線的解析式；⑵若經(jīng)過t秒的移動(dòng)，線段PQ被CD垂直平分，求此時(shí)t的值；該拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使MQ+MA的值最??？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由.2012東城一模_J3亠25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y二下x2+bx+c的圖象與x軸父于A(-1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C■(1)求此二次函數(shù)解析式；

⑵點(diǎn)D⑵點(diǎn)D為點(diǎn)C關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線l:y二號x+￥交BD于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作直線BK〃AD交直線/于K點(diǎn)?問：在四邊形ABKD的內(nèi)部是否存在點(diǎn)P,使得它到四邊形ABKD四邊的距離都相等，若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；⑶在（2）的條件下，若M、N分別為直線AD和直線l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DN、NM、MK，求DN+NM+MK和的最小值.2012海淀二模224.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2-2x與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A,頂點(diǎn)為B,且對稱軸與x軸交m于點(diǎn)C.⑴求點(diǎn)B的坐標(biāo)傭含m的代數(shù)式表示）；（2）D為BO中點(diǎn)，直線AD交y軸于E，若點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0,2）,求拋物線的解析式；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M在直線BO上，且使得厶AMC的周長最小，P在拋物線上，Q在直線BC上，若以A、M、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐備用圖2010海淀二模25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,2），點(diǎn)D在x軸的正半軸上，ZODB=30。,OE為△BOD的中線，過B、E兩點(diǎn)的拋物線y二ax2+x+c與x軸相交于A、F兩點(diǎn)（A在F的左側(cè)）.6（1）求拋物線的解析式；（2）等邊△OMN的頂點(diǎn)M、N在線段AE上，求AE及AM的長；（3）點(diǎn)P為厶ABO內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)m=