初中數(shù)學(xué)胡不歸問題

胡不歸問題【數(shù)學(xué)故事】從前，有一個小伙子在外地學(xué)徒，當他獲悉在家的老父親病危的消息后，便立即啟程趕路。由于思鄉(xiāng)心切，他只考慮了兩點之間線段最短的原理，所以選擇了全是沙礫地帶的直線路徑AtB（如圖所示），而忽視了走折線雖然路程多但速度快的實際情況，當他氣喘吁吁地趕到家時，老人剛剛咽了氣，小伙子失聲痛哭。鄰居勸慰小伙子時告訴說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…何以歸”。這個古老的傳說，引起了人們的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他應(yīng)該選擇一條怎樣的路線呢？這就是風靡千百年的“胡不歸問題”。圖2問題背景】“PA+k?PB”型的最值問題是近幾年中考考查的熱點更是難點。當k值為1時，即可轉(zhuǎn)化為“PA+PB”之和最短問題，就可用我們常見的“飲馬問題”模型來處理，即可以轉(zhuǎn)化為軸對稱問題來處理。而當k取任意不為1的正數(shù)時，若再以常規(guī)的軸對稱思想來解決問題，則無法進行，因此必須轉(zhuǎn)換思路。此類問題的處理通常以動點P所在圖像的不同來分類，一般分為2類研究。即點P在直線上運動和點P在圓上運動。其中點P在直線上運動的類型稱之為“胡不歸”問題；點P在圓周上運動的類型稱之為“阿氏圓”問題。本文將分別從這兩類入手與大家共同探究線段最值問題的解決方案?！局R儲備】線段最值問題常用原理：三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；兩點間線段最短；連結(jié)直線外一點和直線上各點的所有線段中，垂線段最短；【模型初探】（一）點P（一）點P在直線上運動“胡不歸”問題如圖1-1-1所示，已知sinZMBN=k，點P為角ZMBN其中一邊BM上的一個動點，點A在射線BM、BN的同側(cè)，連接AP,則當“PA+k?PB”的值最小時，P點的位置如何確定？分析：本題的關(guān)鍵在于如何確定“k?PB”的大小，過點P作PQ丄BN垂足為Q,貝Vk?PB二PB?sinZMBN二PQ,■■■本題求““PA+kPB”的最小值轉(zhuǎn)化為求“PA+PQ”的最小值（如圖1-1-2），即A、P、Q二點共線時最?。ㄈ鐖D1-1-3），本題得解。.4圖1-1-2圖1-1-3.4圖1-1-2圖1-1-3思考：當k值大于1時，“PA+k?PB”線段求和問題該如何轉(zhuǎn)化呢?提取系數(shù)k即可哦！！【模型初探】（二）點P（二）點P在圓上運動“阿氏圓”問題如圖所示2-1-1,。0的半徑為r,點A、B都在。0夕卜，P為。0上的動點,

已知r=kOB.連接PA、PB，則當“PA+kPB”的值最小時，P點的位置如何確分析：本題的關(guān)鍵在于如何確定“k?PB”的大小，（如圖2-1-2）在線段0B上截取0C使OC=k?r,則可說明厶BPO與厶PCO相似，即k?PB二PC?！觥觥霰绢}求“PA+k?PB”的最小值轉(zhuǎn)化為求“PA+PC”的最小值，即A、P、C三點共線時最?。ㄈ鐖D2-1-3），本題得解?！締栴}背景】阿氏圓又稱阿波羅尼斯圓，已知平面上兩點A、B，則所有滿足PA=kPB<k#1）的點P的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”?！灸Ｐ皖惐取竣佟昂粴w”構(gòu)造某角正弦值等于小于1系數(shù)起點構(gòu)造所需角（k=sinZCAE）過終點作所構(gòu)角邊的垂線B圖M

B圖M②“阿氏圓”構(gòu)造共邊共角型相似構(gòu)造△PABsACAP推出pa2=ABAC即：半徑的平方=原有線段x構(gòu)造線段第第9頁(共9頁)A6.如圖，已知拋物線y卡(x+2)(x-4)(k為常數(shù)，且k>0)與x軸從左至右依次交于A,B兩點，與y軸交于點C,經(jīng)過點B的直線y=-x+b與拋物3線的另一交點為D.若點D的橫坐標為-5,求拋物線的函數(shù)表達式；若在第一象限內(nèi)的拋物線上有點P,使得以A,B,P為頂點的三角形與△ABC相似，求k的值；在(1)的條件下，設(shè)F為線段BD上一點(不含端點)，連接AF,—動點M從點A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F,再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止，當點F的坐標是多少時，點M在整個運動7.(1)如圖1,已知正方形ABCD的邊長為4,圓B的半徑為2,點P是圓B上的一個動點，求PD+*pc的最小值和PD-*PC的最大值；如圖2,已知正方形ABCD的邊長為9,圓B的半徑為6,點P是圓B上TOC\o"1-5"\h\z的一個動點，那么PD+的最小值為,PD-的最大值為.33如圖3,已知菱形ABCD的邊長為4,ZB=60°，圓B的半徑為2,點P是圓B上的一個動點，那么PD+的最小值為,PD-的最大值為.

8.如圖1,拋物線y=ax2+(a+3)x+3(aHO)與x軸交于點A(4,0),與y軸交于點B,在x軸上有一動點E(m,0)(0<m<4),過點E作x軸的垂線交直線AB于點N,交拋物線于點P,過點P作PM丄AB于點M.(1)求(1)求a的值和直線AB的函數(shù)表達式;(2)^△PMN的周長為Ci'^EN的周長為C/r/