直線的傾斜角和斜率

關(guān)于直線的傾斜角和斜率第1頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五2問題情境直線—最簡單的幾何圖形飛逝的流星沿不同的方向運(yùn)動在空中形成美麗的直線第2頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五3問題情境確定直線的要素問題1：(1)_______確定一條直線.兩點(diǎn)(2)過一個點(diǎn)有________條直線.無數(shù)條確定直線位置的要素除了點(diǎn)之外,還有直線的方向,也就是直線的傾斜程度....xyoyxo第3頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五問題1：如何確定一條直線在直角坐標(biāo)系的位置呢？兩點(diǎn)或一點(diǎn)和方向問題2：如果已知一點(diǎn)還需附加什么條件，才能確定直線？一點(diǎn)和方向問題3：如何表示方向？用角問題引入解決本節(jié)第一問題第4頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五一、直線的傾斜角1、直線傾斜角的定義：

當(dāng)直線L與X軸相交時，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，X軸正向與直線L向上方向之間所成的角叫做直線的傾斜角注意：

(1)直線向上方向；

(2)軸的正方向。x0y第5頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五例1.下列四圖中，表示直線的傾斜角的是()練習(xí)鞏固傾斜角的概念：

ABCDA

第6頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五xyol1l2l3想一想例2.看看這三條直線，它們傾斜角的大小關(guān)系是什么？設(shè)、、分別為、、第7頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五poyxypoxpoyxpoyx規(guī)定：當(dāng)直線和x軸平行或重合時，它的傾斜角為0°2、直線的傾斜角范圍的探索由此我們得到直線傾斜角α的范圍為：)180,0[oo?a第8頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五想一想你認(rèn)為下列說法對嗎？1、所有的直線都有唯一確定的傾斜角與它對應(yīng)。2、每一個傾斜角都對應(yīng)于唯一的一條直線。對錯第9頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五3、直線傾斜角的意義

體現(xiàn)了直線對軸正方向的傾斜程度在平面直角坐標(biāo)系中，每一條直線都有一個確定的傾斜角。

傾斜角相同能確定一條直線嗎？相同傾斜角可作無數(shù)互相平行的直線第10頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五11問題情境樓梯的傾斜程度用坡度來刻畫1.2m3m3m2m坡度=高度寬度坡度越大，樓梯越陡．第11頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五12級寬高級建構(gòu)數(shù)學(xué)直線傾斜程度的刻畫高度寬度直線xyoPQM直線的傾斜程度=ＭＰＱＭ類比思想第12頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五3、探究：由兩點(diǎn)確定的直線的斜率如圖，當(dāng)α為銳角時，

能不能構(gòu)造一個直角三角形去求？銳角

第13頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五如圖，當(dāng)α為鈍角是，

鈍角

第14頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五xyo(3)yox(4)1、當(dāng)?shù)奈恢脤φ{(diào)時，值又如何呢？

當(dāng)直線平行于y軸，或與y軸重合時，上述斜率公式還適用嗎？為什么？已知直線上兩點(diǎn)，運(yùn)用上述公式計(jì)算直線斜率時，與兩點(diǎn)坐標(biāo)的順序有關(guān)嗎？第15頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五16數(shù)學(xué)應(yīng)用例1：如圖，直線都經(jīng)過點(diǎn)，又分別經(jīng)過點(diǎn)

,討論斜率的是否存在,如存在,求出直線的斜率.xyol1l2l3l4解:直線l1的斜率k1=k2=k3=直線l4的斜率不存在直線l2的斜率直線l3的斜率PQ1Q2Q3Q4直線斜率的計(jì)算K1=1K2=-1K3=0斜率不存在第16頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五17縱坐標(biāo)的增量xyo已知兩點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1≠x2，則直線PQ的斜率為：

k

＝

建構(gòu)數(shù)學(xué)直線斜率的定義橫坐標(biāo)的增量請同學(xué)們?nèi)我饨o出兩點(diǎn)的坐標(biāo),并求過這兩點(diǎn)的直線的斜率.數(shù)學(xué)實(shí)踐形數(shù)第17頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五232o2-yx2、直線的斜率定義：直線傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。斜率通常用k表示，即：傾斜角α不是90°的直線都有斜率，并且傾斜角不同，直線的斜率也不同．因此，可以用斜率表示直線的傾斜程度．第18頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五19問題3：對于一條與x軸不垂直的定直線而言,直線的斜率是定值嗎?是定值,定直線上任意兩點(diǎn)確定的斜率總相等第19頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五從上可以看出直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系:直線形狀平行于

x軸第一象限垂直于x軸第二象限的大小

的范圍

的增減性

k=0無k>0遞增不存在無k<0遞增第20頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五21數(shù)學(xué)應(yīng)用直線斜率的計(jì)算數(shù)學(xué)實(shí)踐仿照例1，自編兩題，使直線斜率分別為正數(shù)和負(fù)數(shù)想一想已知A(2,3),B(m,4),當(dāng)m為何值時,k>0、k<0?當(dāng)m>2時，k>0當(dāng)m<2時，k<0第21頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五22建構(gòu)數(shù)學(xué)問題5：直線的傾斜方向與直線斜率有何聯(lián)系？k>0xpyO（1）.k<0xpyO（2）.k=0xpyO（3）.xpyO（4）.k不存在直線從左下方向右上方傾斜直線從左上方向右下方傾斜直線與x軸平行或重合直線垂直于x軸拓展研究第22頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五1.下列哪些說法是正確的（）A、任一條直線都有傾斜角，也都有斜率B、直線的傾斜角越大，斜率也越大C、平行于x軸的直線的傾斜角是0或πD、兩直線的傾斜角相等，它們的斜率也相等E、兩直線的斜率相等，它們的傾斜角也相等F、直線斜率的范圍是RG、過原點(diǎn)的直線，斜率越大，越靠近y軸。E、F練習(xí)第23頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五24數(shù)學(xué)應(yīng)用例2：經(jīng)過點(diǎn)A(3,2)畫直線，使直線的斜率分別為①0，②不存在，③2，④-2.解：①過(3，2)，(0，2)畫一條直線即得②過(3，2)，(3，0)畫一條直線即得A(3,2）xyo231132第24頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五25數(shù)學(xué)應(yīng)用例2：經(jīng)過點(diǎn)A(3，2)畫直線，使直線的斜率分別為①0，②不存在，③2，④-2.xyo解：③（法一：待定系數(shù)法）設(shè)直線上另一個點(diǎn)為（x,0)，所以過點(diǎn)(3，2)和(2，0)畫直線即可說明：也可設(shè)點(diǎn)為(0，y)或其它特殊點(diǎn)則：A(3,2）123231第25頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五26數(shù)學(xué)應(yīng)用例2：經(jīng)過點(diǎn)A(3，2)畫直線，使直線的斜率分別為①0，②不存在，③2，④-2.法二：(利用斜率的幾何意義）根據(jù)斜率公式，斜率為2表示直線上的任一點(diǎn)沿x軸方向向右平移1個單位，再沿y軸方向向上平移2個單位后仍在此直線上

即可以把點(diǎn)（3，2）向右平移1個單位，得到點(diǎn)（4，2），

再向上平移2個單位后得到點(diǎn)（4，4），因此通過點(diǎn)(3，2)，(4，4)畫直線即為所求xykDD=④將點(diǎn)(3，2)向右平移1個單位，再向下平移2個單位后得到點(diǎn)(4，0)，過(3，2)和(4，0)畫直線即為所求Axyo12412334（4，2）（4，4）第26頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五練習(xí)l1l2l3xyo5.結(jié)合圖形，觀察傾斜角變化時，斜率的變化情況．k2>k3>k13.直線的傾斜角為α，則直線的斜率為tanα？4.任意直線有傾斜角，則任意直線都有斜率？第27頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五28數(shù)學(xué)應(yīng)用如果直線l上一點(diǎn)P沿x軸方向向右平移2個單位,再沿y軸方向向上平移4個單位后仍在直線l上,那么該直線的斜率為多少?問題6：拓展研究斜率為2問題7：直線l的斜率為2,將l向左平移1個單位得到直線l1,則l1的斜率為多少?斜率為2問題8：平行直線的斜率之間有怎樣的關(guān)系?斜率相等或斜率都不存在第28頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五29課堂競技場

斜率為2的直線，經(jīng)過點(diǎn)(3,5),(a,7),(-1，b)三點(diǎn)，則a,b的值為()A、a=4,b=0B、a=-4,b=-3C、a=4,b=-3D、a=-4,b=3C第29頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五30課堂競技場數(shù)學(xué)實(shí)踐已知三點(diǎn)A(-3,-3),B(-1,1),C(2,7),求KAB，KBCKAB=2KBC=2問題9：如果KAB=KBC,那么A、B、C三點(diǎn)有怎樣的關(guān)系？A、B、C三點(diǎn)共線第30頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五31判斷下列三點(diǎn)是否在同一直線上

(1)A(0,2),B(2,5),C(3,7)(2)A(-1,4),B(2,1),C(-2,5)

如果三點(diǎn)A(1,1)、B(3,5)、C(-1,a)在一條直線上,求a的值(a=-3)課堂競技場第31頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五32課堂競技場

求過點(diǎn)M(0,2)和N(2,3m2+12m+13)(m∈R)的直線l的斜率k的取值范圍。問題10：直線斜率的大小與直線的傾斜程度有什么聯(lián)系？(課后研究)解:由斜率公式得直線l的斜率第32頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五33回顧反思3.平面解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想。兩個概念—直線的斜率、傾斜角；2.兩個問題—----（1）已知直線上兩點(diǎn)如何求斜率；（2）已知一點(diǎn)和斜率如何畫出直線。第33頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五34難點(diǎn)展示：例題一：直線l過點(diǎn)M(-1,1)且與以P(-2,2)Q(3,3)為兩端點(diǎn)的線段PQ有公共點(diǎn),求直線l的斜率的取值范圍。

第34頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五例2。已知直線的斜率K的變化范圍為（–1，1]，

求直線的傾斜角的取值范圍。分析：因?yàn)橹本€的斜率正負(fù)不同，直線的傾斜角范圍也不同，因此，應(yīng)分斜率為負(fù)值和非負(fù)值兩種情況討論。當(dāng)K∈

（–1，0）時,當(dāng)K∈[0，1]時，解：直線斜率K的變化范圍（–1，1]=（–1，0）∪[0，1]，所以直線的傾斜角范圍為第35頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五練習(xí)第36頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五直線的傾斜角=30°，直線，求,的斜率。解：的斜率為的傾斜角為的斜率為oxy第37頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五練習(xí)解:第38頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五推導(dǎo)二:第39頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五練習(xí)：已知直線l的一個方向向量解：，求直線的斜率。則直線的斜率為:第40頁，共46頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五例1如圖，已知，求直線AB，BC，CA的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角．解：直線AB的斜率直線BC的斜率直線CA的斜率由及知，直線AB與CA的傾斜角均為銳角；由知，直線BC的傾斜角為鈍角．求經(jīng)過已知兩點(diǎn)的直線的斜率和傾斜角：方法：先用經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式求斜率，再求傾斜角。由及知，直線AB與CA的傾斜角均為銳角；由知，直線