真空中的靜電場

關(guān)于真空中的靜電場1第1頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五2電荷的基本性質(zhì)1.兩種電荷2.電荷守恒定律

在一個與外界沒有電荷交換的系統(tǒng)內(nèi)，不管發(fā)生什么物理過程，正負電荷的代數(shù)和保持不變?！?電荷庫侖定律3.電荷量子化

物體帶電量的變化是不連續(xù)的，它只能是元電荷e

的整數(shù)倍,即粒子的電荷是量子化的。e=1.60210-19C(庫侖)，為電子電量。密立根1923年諾貝爾物理學獎授予美國科學家密立根，表彰他對基本電荷和光電效應的工作。

第2頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五3庫侖定律,靜電力的疊加原理真空介電常量4.庫侖定律1785年，法國庫侖（C.A.Coulomb)疊加性有理化單位制q1q2q0q2r2q1r1第3頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五4

我曾經(jīng)把庫侖的文章拿來看了一看，發(fā)現(xiàn)他寫出的那個公式同實驗的誤差達到30%以上，估計他寫這個公式，一部分是“猜”出來的。猜測的道理是因為他已知道牛頓的公式。

所以要和大家講這一點，是因為所有物理和數(shù)學最前沿的研究工作，很大一部分力量要花在猜想上；在別的方面可能也是這樣，不過我不太熟悉罷了。當然這并不是說可以亂猜，猜必須建筑在過去的一些知識上面，你過去的知識愈正確、愈廣泛，那么猜到正確答案的可能性就愈大。揚振寧：上海物理學會演講，1978年7月6日。歷史上的庫侖實驗第4頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五5§2電場與電場強度電場：1.

電場概念的引入2.

場的物質(zhì)性體現(xiàn)在：a.

力的作用,b.電場具有能量,c.電場具有動量。歷史上：超距作用（不需時間、不需媒介質(zhì)）。變化的電磁場以有限的速度（光速）傳播。場和實物是物質(zhì)存在的不同形式。同：能量、動量、質(zhì)量。異：實物不可入性，場可以疊加。電荷電場電荷第5頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五63.電場性質(zhì)(1)力的性質(zhì)：對處于電場中的其他帶電體有作用力；(2)能量的性質(zhì)：在電場中移動其他帶電體時，電場力要對它作功。電場強度從力的角度研究電場它與檢驗電荷無關(guān)，反映電場本身的性質(zhì)。單位正電荷（檢驗電荷）在電場中某點所受到的力。

電場中某點的電場強度等于單位正電荷在該點所受的電場力。第6頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五7場點源點q電場強度的計算電場強度的計算（1）點電荷的電場（2）場強疊加原理和點電荷系的電場（3）連續(xù)分布電荷的電場點電荷的電場電場強度疊加原理和點電荷系的場強qiq2q0q1球?qū)ΨQ性第7頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五8電場強度疊加原理電場中任何一點的總場強等于各個點電荷在該點各自產(chǎn)生的場強的矢量和。這就是場強疊加原理。電偶極子(Electricdipole)電偶極子：一對靠得很近的等量異號的點電荷。

l<<r

-q+ql0電偶極矩(Electricdipolemoment):由-q

指向+q電偶極子（是理論是處理電介質(zhì)分子模型）場點場點到原點距離為rp第8頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五9例：求電偶極子中垂線上一點的場強解:用表示從

-q到

+q

的矢量，定義電偶極矩為：-qqlrPEPE+E-第9頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五10例:討論電偶極子在均勻電場中所受的作用力。解:設(shè)在均勻外電場中，電偶極子電矩的方向與場強方向間的夾角為θ，作用在電偶極子正負電荷上的力的大小分別為F+

、F-。電偶極子在均勻外電場中所受的合外力

由于F+F-

不在同一直線上,故有力矩的作用–q+q第10頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五11dqP任意帶電體（連續(xù)帶電體)電場中的場強：（1）將帶電體分成很多元電荷

dq,先求出它產(chǎn)生的場強的大小

dE和方向（2）按坐標軸方向分解，求得（3）（對帶電體）積分，可得總場強：注意：直接對dE積分是常見的錯誤一般E

dE體密度面密度線密度第11頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五12解: dq=dl0aLxypldl例：計算均勻帶電荷直線(棒)在任意一點p的場強。(已知L,

>0,

a)第12頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五130aLxypldl第13頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五14討論若L,10,2,L,無限長均勻帶電直線的場強軸對稱性第14頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五15解：討論：xR例：均勻帶電圓環(huán)軸線上一點的場強。設(shè)圓環(huán)帶電量為q

，半徑為R。xP當dq

位置發(fā)生變化時，它所激發(fā)的電場矢量構(gòu)成了一個圓錐面。由對稱性第15頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五16例:均勻帶電圓盤軸線上一點的場強。設(shè)圓盤帶電量為q

，半徑為R。解：Px討論：1.當x<<R

相當于無限大帶電平面附近的電場，可看成是均勻場，場強垂直于板面，正負由電荷的符號決定。討論：2.當x>>R

在遠離帶電圓面處，相當于點電荷的場強。[附錄]泰勒展開：分析方向！第16頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五17練習：計算半徑為R均勻帶電量為q

的半圓環(huán)中心0點的場強。xyoRqddq或者分析對稱性！第17頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五18

均勻帶電長直線（電荷線密度為2）長度為b，與另一均勻帶電長直線（電荷線密度為1）共面放置，如圖所示，求該均勻帶電直線受的電場力。解：取dx隨堂小議第18頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五19電場線1.用一族空間曲線形象描述場強分布

電場線(electricfieldline)或電力線

2.規(guī)定

方向：力線上每一點的切線方向；

大?。憾ㄐ远渴杳艽怪泵娣e規(guī)定條數(shù)定量規(guī)定：在電場中任一點處，通過垂直于場強

E

單位面積的電場線數(shù)等于該點電場強度的數(shù)值。第19頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五20第20頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五21非均勻電場任意曲面不閉合曲面：

面元的法向單位矢量可有兩種相反取向，電通量可正也可負；閉合曲面：

規(guī)定面元的法向單位矢量取向外為正。SdS第21頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五220穿出：穿入：閉合曲面：

規(guī)定面元的法向單位矢量取向外為正。通過整個封閉曲面的電通量就等于穿出和穿入該封閉曲面的電力線的條數(shù)之差。穿入穿出第22頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五23+q（1）當點電荷在球心時2.高斯定理第23頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五24（2）任一閉合曲面S包圍該電荷

在閉合曲面上任取一面積元dS，通過面元的電場強度通量是dS在垂直于電場方向的投影。dS對電荷所在點的立體角為+q半徑為單位長度的球面S''錐體的頂角第24頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五25（3）閉合曲面S不包圍該電荷閉合曲面可分成兩部分S1、S2，它們對點電荷張的立體角絕對值相等而符號相反。+q第25頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五26第26頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五27（1）當點電荷在球心時（2）任一閉合曲面S包圍該點電荷（3）閉合曲面S不包圍該點電荷（4）閉合曲面S內(nèi)包圍多個電荷q1,q2,…

qk

，同時面外也有多個電荷qk+1,qk+2,…qn.總結(jié)第27頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五28高斯定理:

表明靜電場是有源場，電荷就是靜電場的源。雖然電通量只與閉合曲面內(nèi)電荷有關(guān)，但是面上電場卻與面內(nèi)、面外電荷都有關(guān)。注意：

在真空中，靜電場通過任意閉合曲面的電通量，等于面內(nèi)所包圍的自由電荷代數(shù)和除以真空介電常數(shù)。點電荷系連續(xù)分布帶電體高斯定理第28頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五29

古希臘的阿基米德，英國的牛頓，和德國的高斯.他們?nèi)齻€對數(shù)學的發(fā)展做出了不可估量的貢獻,是其他人無法相比的.有一個共同點---都是通才,也都在物理上有很大的貢獻.可見,物理和數(shù)學是分不開的。

高斯（CarlFriedrichGauss,1777～1855）德國數(shù)學家、天文學家、物理學家。童年時就聰穎非凡，10歲發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列公式而令教師驚嘆。因家境貧寒，父親靠短工為生，靠一位貴族資助入格丁根大學學習。一年級（19歲）時就解決了幾何難題：用直尺與圓規(guī)作正十七邊形圖。1799年以論文《所有單變數(shù)的有理函數(shù)都可以解成一次或二次的因式這一定理的新證明》獲得博土學位。1807年起任格丁根大學數(shù)學教授和天文臺臺長，一直到逝世。

在物理學的研究工作，他涉及諸多方面。1832年提出利用三個力學量：長度、質(zhì)量、時間（長度用毫米，質(zhì)量用毫克，時間用秒）量度非力學量，建立了絕對單位制，1835年在《量綱原理》中給出磁場強度的量綱。1839年在《距離平方反比的作用引力與斥力的一般理論》中闡述勢理論的原則，證明了一系列定理，如高斯定理，并研究了將其用于電磁現(xiàn)象的可能性。

為紀念他在電磁學領(lǐng)域的卓越貢獻，在電磁學量的CGS單位制中，磁感應強度單位命名為高斯。第29頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五30高斯定理和庫侖定律的關(guān)系①高斯定理和庫侖定律二者并不獨立。高斯定理可以由庫侖定律和場強疊加原理導出。反過來，把高斯定理作為基本定律也可以導出庫侖定律。②兩者在物理涵義上并不相同。庫侖定律把場強和電荷直接聯(lián)系起來,在電荷分布已知的情況下由庫侖定律可以求出場強的分布。而高斯定理將場強的通量和某一區(qū)域內(nèi)的電荷聯(lián)系在一起，在電場分布已知的情況下，由高斯定理能夠求出任意區(qū)域內(nèi)的電荷。③庫侖定律只適用于靜電場,而高斯定理不但適用于靜電場和靜止電荷,也適用于運動電荷和變化的電磁場。第30頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五31答:當帶電體電荷分布具有對稱性時,可以用高斯定理求場強。答:通過高斯面的電場強度通量僅與高斯面內(nèi)電荷有關(guān),但高斯面上各點的場強卻與高斯面內(nèi)外電荷都有關(guān)。③當電荷分布已知時,能否用高斯定理求場強分布?如果能,在什么情況下?②高斯面上各點的場強與高斯面外的電荷有無關(guān)系?第31頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五323.高斯定理的應用只有當電荷和電場分布具有某種對稱性時,才可用高斯(Gauss)定理求場強.步驟:關(guān)鍵:

選取合適的閉合曲面（Gauss面）（3）應用高斯(Gauss)定理計算場強（1）由電荷分布對稱性分析電場的對稱性（2）據(jù)電場分布的對稱性選擇合適的閉合曲面第32頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五33o例：求均勻帶電球面的電場

(R,q)解:電荷分布球?qū)ΨQ性電場分布球?qū)ΨQ性，

方向沿徑向。PoPrRo第33頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五34Rr例：均勻帶電球體的電場（球半徑為R，體電荷密度為）。電場分布也應有球?qū)ΨQ性，方向沿徑向。作同心且半徑為r的高斯面rR時，高斯面內(nèi)電荷rR時，高斯面內(nèi)電荷解：

高斯定理的應用Er關(guān)系曲線EOrR第34頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五35

計算真空中半徑為R,電荷電量體密度為(r)=kr

(

k是常量

)球體的場強分布。dV=4r'

2dr'r'dr'0Rr思考第35頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五36例：求無限長均勻帶電圓柱面的電場分布(R,)解:e

=(r>R)0(r<R)E=(r>R)0(r<R)電場分布也應有柱對稱性，方向沿徑向。rl第36頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五37例：求無限大均勻帶電平面的電場分布(已知

)解:方向與平面垂直。電場分布也應有面對稱性，方向沿法向。第37頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五38兩無限大帶電平面的電場II區(qū):–+(I)(II)(III)思考?方向與平面垂直.第38頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五39

前面,我們從電荷在電場中受到電場力這一事實出發(fā),研究了靜電場的性質(zhì),并引入電場強度作為描述電場這一特性的物理量。而高斯定理是從

E

的角度反映了通過閉合面的E通量與該面內(nèi)電荷量的關(guān)系,揭示了靜電場是一個有源場這一基本特性。

下面我們從電荷在電場中移動,電場力對電荷作功這一事實出發(fā),引入描述電場性質(zhì)的另一物理量——電勢，導出反映靜電場另一特性的環(huán)路定理，從而揭示靜電場是一個保守力場——從功能的角度來研究靜電場的性質(zhì)。第39頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五40§4電勢1.

靜電場力的功1.1點電荷的電場計算把q0從a點移到b點電場力所作的功顯然,在點電荷形成的電場中,電場力作功與路徑無關(guān),只與路徑的起點終點位置有關(guān)。

abqq0rbradr第40頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五411.2任意帶電體系的電場將帶電體系分割為許多電荷元，根據(jù)電場的疊加性電場力對試驗電荷q0做功為總功也與路徑無關(guān)。結(jié)論：

試驗電荷在任意給定的靜電場中移動時，電場力對q0做的功僅與試驗電荷的電量及路徑的起點和終點位置有關(guān)，而與具體路徑無關(guān)。靜電場是保守場，靜電場力是保守力。第41頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五421.3靜電場的（安培）環(huán)路定理電場力做功與路徑無關(guān)，故即

靜電場的環(huán)路定理

在靜電場中，場強沿任意閉合路徑的線積分（稱為場強的環(huán)流）恒為零。反映了靜電場的另一基本特性——保守性。安培(Ampére，1775—1836)是法國物理學家、數(shù)學家。被麥克斯韋譽為“電學中的牛頓”。第42頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五432.電勢2.1電勢能靜電力的功，等于靜電勢能的減少。由環(huán)路定理知，靜電場是保守場。保守場必有相應的勢能，對靜電場對應的則為電勢能。選B為靜電勢能的零點，用“0”表示，則A點電勢能WA2.2電勢某點電勢能Wp與q0之比只取決于電場，定義為該點的電勢電勢零點的選取是任意的。第43頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五44電場中某點的電勢,等于單位正電荷從該點經(jīng)過任意路徑到達零電勢點處電場力所作的功。1.電勢是標量,可正可負;取決于電荷電性和零勢點的規(guī)定。2.電勢是描述靜電場性質(zhì)的物理量,它是空間坐標函數(shù)。3.電勢的量值是相對的,取決于電勢零點的選取。討論4.電勢零點規(guī)定的一般原則:當電荷分布在有限區(qū)域內(nèi)時,規(guī)定無限遠處電勢為零;當電荷分在無限遠區(qū)域時,可令電場中任一點P0

為電勢的零點;實際中常取接地點為零勢能點第44頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五452.3電勢差電場中兩點電勢之差

電場中

A、B兩點的電勢差,等于單位正電荷從

A點運動到

B點電場力所作的功。靜電場力的功與電勢差的關(guān)系電勢差與零電勢的參考點選擇無關(guān)。第45頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五463.電勢的計算3.1點電荷的電勢解:取無限遠作為電勢零點.若

q>0,Up

>0,離電荷越遠,電勢越低;若

q<0,Up

<0,離電荷越遠,電勢越高。Ur+qP第46頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五47電場疊加原理—電勢疊加原理.如果電荷是連續(xù)分布在有限空間,則電場中某點的電勢3.2電勢疊加原理dqP第47頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五48L–LyxP(x,y)o解:方法一、利用點電荷電勢公式及電勢疊加原理求電勢ldlr3.4電勢的計算例:電量

q

均勻分布在長為2L的直線上,求空間任一點

P

的電勢。第48頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五49L–LyxP(x,y)oldlr第49頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五50解:PoxxRdq例：求均勻帶電細圓環(huán)軸線上任意一點

P的電勢。(已知

R,q)第50頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五51例：半徑為R

的均勻帶電薄圓盤軸線上的電勢分布。解：以0為圓心，取半徑為rr+dr的薄圓環(huán)，帶電dq

=

ds=

?2

rdr到P點距離P點電勢：PRx第51頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五52方法二、例：求均勻帶電球面

(R,q)

電場中電勢的分布解:已知E=0

(r<R)(r>R)當

r>R

時,當

r<R

時,rRoURoE沿徑向，選取沿半徑方向的直線為積分路徑第52頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五53思考：兩個同心的均勻帶電球面，內(nèi)外半徑分別為RA

和RB,分別帶有電量qA

和q

B

。求：該帶電體系的電勢分布。(1)當r≤RA

時(3)當r>RB時由已知的均勻帶電球面電勢分布和電勢疊加原理可得(2)當RA(RA≤

r≤RB

）時結(jié)論：均勻帶電球面，球內(nèi)的電勢等于球表面的電勢，球外的電勢等效于將電荷集中于球心的點電荷的電勢。qBRARBorpqA++++++++++++++++++++++++++++++++第53頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五54例：求無限長均勻帶電直線的電勢分布.(已知電荷線密度為)rP當電荷分在無限遠區(qū)域時,可令電場中任一點P0為電勢的零點解:取無限遠處電勢為零用場強的線積分來計算電勢，將得出電場任一點的電勢值為無限大的結(jié)果，顯然是沒有意義的。第54頁，共62頁，2022年，5月20日，13點36分，星期五55例：求無限長均勻帶電直線的電勢分布.(已知電荷線密度為)AAr1P'rP當電荷分在無限遠區(qū)域時,可令電場中任一點P0為電勢的零點解:取無限遠處電勢為零用場強的線積分來計算電勢，將得出電場任一點的電勢值為無限大的結(jié)果，顯然是沒有意義的。令A為電勢的零點由于ln1=0，所以本題中若選離直線為r1=1m處作為電勢零點，則很方便地表示P點的電勢。