二次函數(shù)知識點總結(jié)和相關(guān)典型題目

..二次函數(shù)知識點總結(jié)及相關(guān)典型題目第一部分基礎(chǔ)知識1.定義：一般地,如果是常數(shù),,那么叫做的二次函數(shù).2.二次函數(shù)的性質(zhì)〔1拋物線的頂點是坐標(biāo)原點,對稱軸是軸.〔2函數(shù)的圖像與的符號關(guān)系.①當(dāng)時拋物線開口向上頂點為其最低點；②當(dāng)時拋物線開口向下頂點為其最高點.〔3頂點是坐標(biāo)原點,對稱軸是軸的拋物線的解析式形式為.3.二次函數(shù)的圖像是對稱軸平行于〔包括重合軸的拋物線.4.二次函數(shù)用配方法可化成：的形式,其中.5.二次函數(shù)由特殊到一般,可分為以下幾種形式：①；②；③；④；⑤.6.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.①的符號決定拋物線的開口方向：當(dāng)時,開口向上；當(dāng)時,開口向下；相等,拋物線的開口大小、形狀相同.②平行于軸〔或重合的直線記作.特別地,軸記作直線.7.頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù),如果二次項系數(shù)相同,那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同,只是頂點的位置不同.8.求拋物線的頂點、對稱軸的方法〔1公式法：,∴頂點是,對稱軸是直線.〔2配方法：運用配方的方法,將拋物線的解析式化為的形式,得到頂點為<,>,對稱軸是直線.〔3運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形,所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸,對稱軸與拋物線的交點是頂點.用配方法求得的頂點,再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗證,才能做到萬無一失.9.拋物線中,的作用〔1決定開口方向及開口大小,這與中的完全一樣.〔2和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線,故：①時,對稱軸為軸；②〔即、同號時,對稱軸在軸左側(cè)；③〔即、異號時,對稱軸在軸右側(cè).〔3的大小決定拋物線與軸交點的位置.當(dāng)時,,∴拋物線與軸有且只有一個交點〔0,：①,拋物線經(jīng)過原點;②,與軸交于正半軸；③,與軸交于負(fù)半軸.以上三點中,當(dāng)結(jié)論和條件互換時,仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側(cè),則.10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)當(dāng)時開口向上當(dāng)時開口向下〔軸〔0,0〔軸<0,><,0><,><>11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式〔1一般式：.已知圖像上三點或三對、的值,通常選擇一般式.〔2頂點式：.已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸,通常選擇頂點式.〔3交點式：已知圖像與軸的交點坐標(biāo)、,通常選用交點式：.12.直線與拋物線的交點〔1軸與拋物線得交點為<0,>.〔2與軸平行的直線與拋物線有且只有一個交點<,>.〔3拋物線與軸的交點二次函數(shù)的圖像與軸的兩個交點的橫坐標(biāo)、,是對應(yīng)一元二次方程的兩個實數(shù)根.拋物線與軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：①有兩個交點拋物線與軸相交；②有一個交點〔頂點在軸上拋物線與軸相切；③沒有交點拋物線與軸相離.〔4平行于軸的直線與拋物線的交點同〔3一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當(dāng)有2個交點時,兩交點的縱坐標(biāo)相等,設(shè)縱坐標(biāo)為,則橫坐標(biāo)是的兩個實數(shù)根.〔5一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點,由方程組的解的數(shù)目來確定：①方程組有兩組不同的解時與有兩個交點;②方程組只有一組解時與只有一個交點；③方程組無解時與沒有交點.〔6拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為,由于、是方程的兩個根,故第二部分典型習(xí)題１.拋物線y＝x2＋2x－2的頂點坐標(biāo)是〔A.〔2,－2B.〔1,－2C.〔1,－3D.〔－1,－3２.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是〔Ａ．a(chǎn)b＞0,c＞0Ｂ．a(chǎn)b＞0,c＜0Ｃ．a(chǎn)b＜0,c＞0Ｄ．a(chǎn)b＜0,c＜0第２,３題圖第4題圖３.二次函數(shù)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是〔A．a(chǎn)＞0,b＜0,c＞0B．a(chǎn)＜0,b＜0,c＞0C．a(chǎn)＜0,b＞0,c＜0D．a(chǎn)＜0,b＞0,c＞0４.如圖,已知中,BC=8,BC上的高,D為BC上一點,,交AB于點E,交AC于點F〔EF不過A、B,設(shè)E到BC的距離為,則的面積關(guān)于的函數(shù)的圖象大致為〔５.拋物線與x軸分別交于A、B兩點,則AB的長為．6.已知二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo)為、〔,則對于下列結(jié)論：①當(dāng)x＝－2時,y＝1；②當(dāng)時,y＞0；③方程有兩個不相等的實數(shù)根、；④,；⑤,其中所有正確的結(jié)論是〔只需填寫序號．7.已知直線與x軸交于點A,與y軸交于點B；一拋物線的解析式為.〔1若該拋物線過點B,且它的頂點P在直線上,試確定這條拋物線的解析式；〔2過點B作直線BC⊥AB交x軸交于點C,若拋物線的對稱軸恰好過C點,試確定直線的解析式.解：8.有一個運算裝置,當(dāng)輸入值為x時,其輸出值為,且是x的二次函數(shù),已知輸入值為,0,時,相應(yīng)的輸出值分別為5,,．〔1求此二次函數(shù)的解析式；〔2在所給的坐標(biāo)系中畫出這個二次函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象寫出當(dāng)輸出值為正數(shù)時輸入值的取值范圍.解：9.某生物興趣小組在四天的實驗研究中發(fā)現(xiàn)：駱駝的體溫會隨外部環(huán)境溫度的變化而變化,而且在這四天中每晝夜的體溫變化情況相同．他們將一頭駱駝前兩晝夜的體溫變化情況繪制成下圖．請根據(jù)圖象回答：⑴第一天中,在什么時間范圍內(nèi)這頭駱駝的體溫是上升的?它的體溫從最低上升到最高需要多少時間?第9題第9題⑶興趣小組又在研究中發(fā)現(xiàn),圖中10時到22時的曲線是拋物線,求該拋物線的解析式．10.已知拋物線與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C．是否存在實數(shù)a,使得△ABC為直角三角形．若存在,請求出a的值；若不存在,請說明理由．11.已知拋物線y＝－x2＋mx－m＋2.〔1若拋物線與x軸的兩個交點A、B分別在原點的兩側(cè),并且AB＝,試求m的值；〔2設(shè)C為拋物線與y軸的交點,若拋物線上存在關(guān)于原點對稱的兩點M、N,并且△MNC的面積等于27,試求m的值.解:12.已知：拋物線與x軸的一個交點為A〔－1,0．〔1求拋物線與x軸的另一個交點B的坐標(biāo)；〔2D是拋物線與y軸的交點,C是拋物線上的一點,且以AB為一底的梯形ABCD的面積為9,求此拋物線的解析式；〔3E是第二象限內(nèi)到x軸、y軸的距離的比為5∶2的點,如果點E在〔2中的拋物線上,且它與點A在此拋物線對稱軸的同側(cè),問：在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△APE的周長最小?若存在,求出點P的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由．13.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示．〔1求二次函數(shù)的解析式及拋物線頂點M的坐標(biāo)．〔2若點N為線段BM上的一點,過點N作x軸的垂線,垂足為點Q．當(dāng)點N在線段BM上運動時〔點N不與點B,點M重合,設(shè)NQ的長為l,四邊形NQAC的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；〔3在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P,使△PAC為直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由；〔4將△OAC補成矩形,使△OAC的兩個頂點成為矩形一邊的兩個頂點,第三個頂點落在矩形這一邊的對邊上,試直接寫出矩形的未知的頂點坐標(biāo)〔不需要計算過程．14.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點〔1,－1．求這個二次函數(shù)的解析式,并判斷該函數(shù)圖象與x軸的交點的個數(shù)．15.盧浦大橋拱形可以近似看作拋物線的一部分．在大橋截面1∶11000的比例圖上,跨度AB＝5cm,拱高OC＝0.9cm,線段DE表示大橋拱內(nèi)橋長,DE∥AB,如圖〔1．在比例圖上,以直線AB為x軸,拋物線的對稱軸為y軸,以1cm作為數(shù)軸的單位長度,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖〔2．〔1求出圖〔2上以這一部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式,寫出函數(shù)定義域；〔2如果DE與AB的距離OM＝0.45cm,求盧浦大橋拱內(nèi)實際橋長〔備用數(shù)據(jù)：,計算結(jié)果精確到1米．16.已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),O為坐標(biāo)原點,A、B是x軸正半軸上的兩點,點A在點B的左側(cè),如圖．二次函數(shù)〔a≠0的圖象經(jīng)過點A、B,與y軸相交于點C．〔1a、c的符號之間有何關(guān)系?〔2如果線段OC的長度是線段OA、OB長度的比例中項,試證a、c互為倒數(shù)；〔3在〔2的條件下,如果b＝－4,,求a、c的值．第二部分典型習(xí)題１.拋物線y＝x2＋2x－2的頂點坐標(biāo)是〔DA.〔2,－2B.〔1,－2C.〔1,－3D.〔－1,－3２.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是〔CＡ．a(chǎn)b＞0,c＞0Ｂ．a(chǎn)b＞0,c＜0Ｃ．a(chǎn)b＜0,c＞0Ｄ．a(chǎn)b＜0,c＜0第２,３題圖第4題圖３.二次函數(shù)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是〔ＤA．a(chǎn)＞0,b＜0,c＞0B．a(chǎn)＜0,b＜0,c＞0C．a(chǎn)＜0,b＞0,c＜0D．a(chǎn)＜0,b＞0,c＞0４.如圖,已知中,BC=8,BC上的高,D為BC上一點,,交AB于點E,交AC于點F〔EF不過A、B,設(shè)E到BC的距離為,則的面積關(guān)于的函數(shù)的圖象大致為〔Ｄ５.拋物線與x軸分別交于A、B兩點,則AB的長為4．6.已知二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo)為、〔,則對于下列結(jié)論：①當(dāng)x＝－2時,y＝1；②當(dāng)時,y＞0；③方程有兩個不相等的實數(shù)根、；④,；⑤,其中所有正確的結(jié)論是①③④〔只需填寫序號．7.已知直線與x軸交于點A,與y軸交于點B；一拋物線的解析式為.〔1若該拋物線過點B,且它的頂點P在直線上,試確定這條拋物線的解析式；〔2過點B作直線BC⊥AB交x軸交于點C,若拋物線的對稱軸恰好過C點,試確定直線的解析式.解：〔1或?qū)⒋?得.頂點坐標(biāo)為,由題意得,解得.〔28.有一個運算裝置,當(dāng)輸入值為x時,其輸出值為,且是x的二次函數(shù),已知輸入值為,0,時,相應(yīng)的輸出值分別為5,,．〔1求此二次函數(shù)的解析式；〔2在所給的坐標(biāo)系中畫出這個二次函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象寫出當(dāng)輸出值為正數(shù)時輸入值的取值范圍.解：〔1設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為,yOx則,即,解得yOx故所求的解析式為:.〔2>函數(shù)圖象如圖所示.由圖象可得,當(dāng)輸出值為正數(shù)時,輸入值的取值范圍是或．第9題9.某生物興趣小組在四天的實驗研究中發(fā)現(xiàn)：駱駝的體溫會隨外部環(huán)境溫度的變化而變化,而且在這四天中每晝夜的體溫變化情況相同．他們將一頭駱駝前兩晝夜的體溫變化情況繪制成下圖．請根據(jù)圖象回答：第9題⑴第一天中,在什么時間范圍內(nèi)這頭駱駝的體溫是上升的?它的體溫從最低上升到最高需要多少時間?⑵第三天12時這頭駱駝的體溫是多少?⑶興趣小組又在研究中發(fā)現(xiàn),圖中10時到22時的曲線是拋物線,求該拋物線的解析式．解：⑴第一天中,從4時到16時這頭駱駝的體溫是上升的它的體溫從最低上升到最高需要12小時⑵第三天12時這頭駱駝的體溫是39℃⑶10.已知拋物線與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C．是否存在實數(shù)a,使得△ABC為直角三角形．若存在,請求出a的值；若不存在,請說明理由．解：依題意,得點C的坐標(biāo)為〔0,4．設(shè)點A、B的坐標(biāo)分別為〔,0,〔,0,由,解得,．∴點A、B的坐標(biāo)分別為〔-3,0,〔,0．∴,,．∴,,．〈ⅰ〉當(dāng)時,∠ACB＝90°．由,得．解得．∴當(dāng)時,點B的坐標(biāo)為〔,0,,,．于是．∴當(dāng)時,△ABC為直角三角形．〈ⅱ〉當(dāng)時,∠ABC＝90°．由,得．解得．當(dāng)時,,點B〔-3,0與點A重合,不合題意．〈ⅲ〉當(dāng)時,∠BAC＝90°．由,得．解得．不合題意．綜合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈?！?當(dāng)時,△ABC為直角三角形．11.已知拋物線y＝－x2＋mx－m＋2.〔1若拋物線與x軸的兩個交點A、B分別在原點的兩側(cè),并且AB＝,試求m的值；〔2設(shè)C為拋物線與y軸的交點,若拋物線上存在關(guān)于原點對稱的兩點M、N,并且△MNC的面積等于27,試求m的值.解:<1>Ａ〔x1,0,B<x2,0>.則x1,x2是方程x2－mx＋m－2＝0的兩根.∵x1＋x2＝m,x1·x2=m－2＜0即m＜2;又AB＝∣x1—x2∣＝,∴m2－4m＋3=0.NMCxyO解得：m=1或NMCxyO〔2M<a,b>,則N<－a,－b>.∵M(jìn)、N是拋物線上的兩點,∴①＋②得：－2a2－2m＋4＝0.∴a2＝－m＋2.∴當(dāng)m＜2時,才存在滿足條件中的兩點M、N.∴.這時M、N到y(tǒng)軸的距離均為,又點C坐標(biāo)為〔0,2－m,而S△MNC=27,∴2××〔2－m×=27.∴解得m=－7.12.已知：拋物線與x軸的一個交點為A〔－1,0．〔1求拋物線與x軸的另一個交點B的坐標(biāo)；〔2D是拋物線與y軸的交點,C是拋物線上的一點,且以AB為一底的梯形ABCD的面積為9,求此拋物線的解析式；〔3E是第二象限內(nèi)到x軸、y軸的距離的比為5∶2的點,如果點E在〔2中的拋物線上,且它與點A在此拋物線對稱軸的同側(cè),問：在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△APE的周長最小?若存在,求出點P的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由．解法一：〔1依題意,拋物線的對稱軸為x＝－2．∵拋物線與x軸的一個交點為A〔－1,0,∴由拋物線的對稱性,可得拋物線與x軸的另一個交點B的坐標(biāo)為〔－3,0．〔2∵拋物線與x軸的一個交點為A〔－1,0,∴．∴t＝3a．∴．∴D〔0,3a．∴梯形ABCD中,AB∥CD,且點C在拋物線上,∵C〔－4,3a．∴AB＝2,CD＝4．∵梯形ABCD的面積為9,∴．∴．∴a±1．∴所求拋物線的解析式為或．〔3設(shè)點E坐標(biāo)為〔,.依題意,,,且．∴．①設(shè)點E在拋物線上,∴．解方程組得∵點E與點A在對稱軸x＝－2的同側(cè),∴點E坐標(biāo)為〔,．設(shè)在拋物線的對稱軸x＝－2上存在一點P,使△APE的周長最?。逜E長為定值,∴要使△APE的周長最小,只須PA＋PE最?。帱cA關(guān)于對稱軸x＝－2的對稱點是B〔－3,0,∴由幾何知識可知,P是直線BE與對稱軸x＝－2的交點．設(shè)過點E、B的直線的解析式為,∴解得∴直線BE的解析式為．∴把x＝－2代入上式,得．∴點P坐標(biāo)為〔－2,．②設(shè)點E在拋物線上,∴．解方程組消去,得．∴△＜0.∴此方程無實數(shù)根．綜上,在拋物線的對稱軸上存在點P〔－2,,使△APE的周長最?。夥ǘ骸?∵拋物線與x軸的一個交點為A〔－1,0,∴．∴t＝3a．∴．令y＝0,即．解得,．∴拋物線與x軸的另一個交點B的坐標(biāo)為〔－3,0．〔2由,得D〔0,3a．∵梯形ABCD中,AB∥CD,且點C在拋物線上,∴C〔－4,3a．∴AB＝2,CD＝4．∵梯形ABCD的面積為9,∴．解得OD＝3．∴．∴a±1．∴所求拋物線的解析式為或．〔3同解法一得,P是直線BE與對稱軸x＝－2的交點．∴如圖,過點E作EQ⊥x軸于點Q．設(shè)對稱軸與x軸的交點為F．由PF∥EQ,可得．∴．∴．∴點P坐標(biāo)為〔－2,．以下同解法一．13.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示．〔1求二次函數(shù)的解析式及拋物線頂點M的坐標(biāo)．〔2若點N為線段BM上的一點,過點N作x軸的垂線,垂足為點Q．當(dāng)點N在線段BM上運動時〔點N不與點B,點M重合,設(shè)NQ的長為l,四邊形NQAC的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；〔3在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P,使△PAC為直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由；〔4將△OAC補成矩形,使△OAC的兩個頂點成為矩形一邊的兩個頂點,第三個頂點落在矩形這一邊的對邊上,試直接寫出矩形的未知的頂點坐標(biāo)〔不需要計算過程．解：〔1設(shè)拋物線的解析式,∴．∴．∴．其頂點M的坐標(biāo)是．〔2設(shè)線段BM所在的直線的解析式為,點N的坐標(biāo)為N〔t,h,∴．解得,．∴線段BM所在的直線的解析式為．∴,其中．∴．∴s與t間的函數(shù)關(guān)系式是,自變量t的取值范圍是．〔3存在符合條件的點P,且坐標(biāo)是,．設(shè)點P的坐標(biāo)為P,則．,．分以下幾種情況討論：i若∠PAC＝90°,則．∴解得：,〔舍去．∴點．ii若∠PCA＝90°,則．∴解得：〔舍去．∴點．iii由圖象觀察得,當(dāng)點P在對稱軸右側(cè)時,,所以邊AC的對角∠APC不可能是直角．〔4以點O,點A〔或點O,點C為矩形的兩個頂點,第三個頂點落在矩形這邊OA〔或邊OC的對邊上,如圖a,此時未知頂點坐標(biāo)是點D〔－1,－2,以點A,點C為矩形的兩個頂點,第三個頂點落在矩形這一邊AC的對邊上,如圖b,此時未知頂點坐標(biāo)是E,F．圖a圖b14.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點〔1,－1．求這個二次函數(shù)的解析式,并判斷該函數(shù)圖象與x軸的交點的個數(shù)．解：根據(jù)題意,得a－2＝－1.∴a＝1．∴這個二次函數(shù)解析式是．因為這個二次函數(shù)圖象的開口向上,頂點坐標(biāo)是〔0,－2,所以該函數(shù)圖象與x軸有兩個交點．15.盧浦大橋拱形可以近似看作拋物線的一部分．在大橋截面1∶11000的比例圖上,跨度AB＝5cm,拱高OC＝0.9cm,線段DE表示大橋拱內(nèi)橋長,DE∥AB,如圖〔1．在比例圖上,以直線AB為x軸,拋物線的對稱軸為y軸,以1cm作為數(shù)軸的單位長度,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖〔2．〔1求出圖〔2上以這一部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式,寫出函數(shù)定義域；〔2如果DE與AB的距離OM＝0.45cm,求盧浦大橋拱內(nèi)實際橋長〔備用數(shù)據(jù)：,計算結(jié)果精確到1米．解：〔1由于頂點C在y軸上,所以設(shè)以這部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式為．因為點A〔,0〔或B〔,0在拋物線上,所以,得．因此所求函數(shù)解析式為．〔2因為點D、E的縱坐標(biāo)為,所以,得．所以點D的坐標(biāo)為〔,,點E的坐標(biāo)為〔,．所以．因此盧浦大橋拱內(nèi)實際橋長為〔米．16.已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),O為坐標(biāo)原點,A、B是x軸正半軸上的兩點,點A在點B的左側(cè),如圖．二次函數(shù)〔a≠0的圖象經(jīng)過點A、B,與y軸相交于點C．〔1a、c的符號之間有何關(guān)系?〔