培優(yōu)平行四邊形輔導(dǎo)專題訓(xùn)練附答案

一、平行四邊形真題與模擬題分類匯編（難題易錯(cuò)題）1.操作：如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD,點(diǎn)P在射線BC上，將厶ABP沿AP向右翻折，得到△AEP,DE所在直線與AP所在直線交于點(diǎn)F.探究：（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，①若ZBAP=30°,求ZAFE的度數(shù)；②若點(diǎn)E恰為線段DF的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)通過(guò)運(yùn)算說(shuō)明點(diǎn)P會(huì)在線段BC的什么位置？并求出此時(shí)ZAFD的度數(shù).歸納：（2）若點(diǎn)P是線段BC上任意一點(diǎn)時(shí)（不與B,C重合），ZAFD的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化？試證明你的結(jié)論；猜想：（3）如圖2,若點(diǎn)P在BC邊的延長(zhǎng)線上時(shí)，ZAFD的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化？試在圖中畫出圖形，并直接寫出結(jié)論.【答案】（1）①45。：②BC的中點(diǎn)，45。；（2）不會(huì)發(fā)生變化，證明參見解析：（3）不會(huì)發(fā)生變化，作圖參見解析.【解析】試題分析：（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC±時(shí)，①由折疊得到一對(duì)角相等，再利用正方形性質(zhì)求出ZDAE度數(shù)，在三角形AFD中，利用內(nèi)角和定理求出所求角度數(shù)即可；②由E為DF中點(diǎn)，得到P為BC中點(diǎn)，如圖1,連接BE交AF于點(diǎn)0,作EGIIAD,得EGIIBC,得到AF垂直平分BE,進(jìn)而得到三角形BOP與三角形EOG全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到BP=EG=1,得到P為BC中點(diǎn)，進(jìn)而求出所求角度數(shù)即可；（2）若點(diǎn)P是線段BC上任意一點(diǎn)時(shí)（不與B,C重合），ZAFD的度數(shù)不會(huì)發(fā)生變化，作AG丄DF于點(diǎn)G,如圖1（a）所示，利用折疊的性質(zhì)及三線合一性質(zhì)，根據(jù)等式的性質(zhì)求出Z1+Z2的度數(shù)，即為ZFAG度數(shù)，即可求出ZF度數(shù)；（3）作出相應(yīng)圖形，如圖2所示，若點(diǎn)P在BC邊的延長(zhǎng)線上時(shí)，ZAFD的度數(shù)不會(huì)發(fā)生變化，理由為：作AG丄DE于G,得ZDAG=ZEAG，設(shè)ZDAG=ZEAG=a,根據(jù)ZFAE為ZBAE一半求出所求角度數(shù)即可.試題解析：（1）①當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí),?/ZEAP=ZBAP=30°,ZDAE=90°-30°x2=30°,在AADE中，AD=AE,ZDAE=30°,/.ZADE=ZAED=（180°-30°）+2=75°,在AAFD中，ZFAD=30°+30°=60°,ZADF=75°,/.ZAFE=180°-60°-75°=45°；②點(diǎn)E為DF的中點(diǎn)時(shí)，P也為BC的中點(diǎn)，理由如下：作EGIIAD,得作EGIIAD,得EGIIBC,?/EGIIAD,1DE=EF,/.EG=2AD=1,VAB=AE,/.點(diǎn)A在線段BE的垂直平分線上,同理可得點(diǎn)P在線段BE的垂直平分線上，???AF垂直平分線段BE,/.OB=OE,VGEIIBP,/.ZOBP=ZOEG,ZOPB=ZOGE,???△BOP^△EOG,???BP=EG=1,即P為BC的中點(diǎn)，/.ZDAF=90°-ZBAF,ZADF=45°+ZBAF,/.ZAFD=180°-ZDAF-ZADF=45°；(2)ZAFD的度數(shù)不會(huì)發(fā)生變化，作AG丄DF于點(diǎn)G,如圖1(a)所示，在△ADE中，AD二AE,AG丄DE,TAG平分ZDAE,即Z2二ZDAG,且1Z1=ZBAP,/.Z1+Z2=^x90°=45%即ZFAG=45\則ZAFD=90°-45°=45°；(3)如圖2所示，ZAFE的大小不會(huì)發(fā)生變化,ZAFE=45°,得ZDAG=ZEAG,設(shè)ZDAG=ZEAG=cg1???ZBAE=90°+2a,/.ZFAE迄ZBAE=45°+ct,二ZFAG=ZFAE-ZEAG=45°,在RtAAFG中,ZAFE=90°-45°=45°?考點(diǎn)：1?正方形的性質(zhì)；2?折疊性質(zhì)；3?全等三角形的判定與性質(zhì).2.己知：在菱形ABCD中，E,F是BD上的兩點(diǎn)，且AEIICF.求證：四邊形AECF是菱形.A【答案】見解析【解析】【分析】由菱形的性質(zhì)可得ABWCD,AB=CD,乙ADF=ZCDF,由"SAS"可證氐A(chǔ)DFXCDF,可得AF=CF,由NABE^'CDF,可得AE=CF,由平行四邊形的判定和菱形的判定可得四邊形AECF是菱形.【詳解】證明：???四邊形&BCD是菱形.?.ABIICD,AB=CD,ZADF=ACDF,???AB=CD,ZADF=^CDF,DF=DF/.△ADF里△CDF（SAS）/.AF=CF,■:ABWCD,AEWCF:.ZABE=ZCDF,ZAEF=ZCFE:.ZAEB=ZCFD,ZABE=ZCDF,AB=CD/.△ABE^△CDF（AAS）/.AE=CF,且AEIICF???四邊形AECF是平行四邊形又???AF=CF,???四邊形AECF是菱形【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的判定定理，首先要判定其為平行四邊形，這是菱形判定的基本判定.3.已知矩形紙片OBCD的邊0B在x軸上，0D在y軸上，點(diǎn)C在第一象限，且OB=8,OD=6.現(xiàn)將紙片折疊，折痕為EF（點(diǎn)E,F是折痕與矩形的邊的交點(diǎn)），點(diǎn)P為點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再將紙片還原。（I）若點(diǎn)P落在矩形OBCD的邊OB上，如圖①，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)0重合時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在0B上，點(diǎn)F在DC±時(shí)，EF與DP交于點(diǎn)G,若OP=7,求點(diǎn)F的坐標(biāo)：（口）若點(diǎn)P落在矩形OBCD的內(nèi)部，且點(diǎn)E,F分別在邊0D,邊DC上，當(dāng)0P取最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）。

<85\（86、【答案】（I）①點(diǎn)F的坐標(biāo)為（6,6）；②點(diǎn)F的坐標(biāo)為-—>6；（II）PI114丿3>丿【解析】【分析】（I）①根據(jù)折疊的性質(zhì)可得/.ZDOF=ZPOF=45\再由矩形的性質(zhì)，即可求出F的坐標(biāo)；②由折疊的性質(zhì)及矩形的特點(diǎn)，易得4DGF三氐PGE,得到DF=PE,再加上平行，可以得到四邊形DEPF是平行四邊形，在由對(duì)角線垂直，得出口DEPF是菱形，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x,在RtzXODE中，由勾股定理建立方程即可求解；（口）當(dāng)O,P,F點(diǎn)共線時(shí)0P的長(zhǎng)度最短.【詳解】解：（I）①???折痕為EF,點(diǎn)P為點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn).?.ADOF三APOFZDOF=ZPOF=45’???四邊形OBCD是矩形，ZODF=90°ZDFO=ZDOF=45°..DF=DO=6點(diǎn)F的坐標(biāo)為（6,6）②???折痕為EF,點(diǎn)P為點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn).DG=PG,EF1PD???四邊形OBCD是矩形，DCHOB,:.ZFDG=ZEPG；ZDGF=APGE:.\DGF=^PGE:.DF=PE?:DF//PE???四邊形DEPF是平行四邊形.?.?EF丄PD,.?.□DEPF是菱形.設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x,則=EP=x???OPT,:.OE=7—x,在RtzXODE?中，由勾股定理得0D-+QB觀察圖形，AE、CG的位置關(guān)系可能是垂直，下面著手證明?由于四邊形ABCD.DEFG都是正方形，易證得AADE雯ACDG,則Z1=Z2,觀察圖形，AE、CG的位置關(guān)系可能是垂直，下面著手證明?由于四邊形ABCD.DEFG都是正方形，易證得AADE雯ACDG,則Z1=Z2,由于Z2、Z3互余，所以Z1、Z3互余，由此可得AE丄GC.題（1）的結(jié)論仍然成立，參照（1）題的解題方法，可證△ADE雯△CDG,得Z5=Z4,由于Z4、Z7互余，而Z5、Z6互余，那么Z6=Z7：由圖知ZAEB=ZCEH=90°解得*善???點(diǎn)F的坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】此題考查了幾何折疊問(wèn)題、等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)折疊的性質(zhì)進(jìn)行解答，屬于中考?jí)狠S題.4?如圖1,已知正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接AE,GC.（1）試猜想AE與GC有怎樣的關(guān)系（直接寫出結(jié)論即可）；（2）將正方形DEFG繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在BC邊上,如圖2,連接AE和圖1圖2【答案】⑴AE=CG,AE丄GC；（2）成立，證明見解析;（3）^2?【解析】【分析】

■Z6,即Z7+ZCEH=90\由此得證.(3)如圖3中，作CM丄DG于G,GN丄CD于N,CH丄FG于H,則四邊形CMGH是矩形，可得CM=GH,CH=GM.想辦法求出CH,HF,再利用勾股定理即可解決問(wèn)題.【詳解】(1)AE=CG,AE±GC；證明：延長(zhǎng)GC交AE于點(diǎn)H,ADG在正方形ABCD與正方形DEFG中，AD=DC,ZADE=ZCDG=90°,DE=DG,???△ADE聖△CDG(SAS),???AE,CG,Z1=Z2???Z2+Z3=90%???Z1+Z3=90%???ZAHG=180°-(Z1+Z3)=180°?90°=90°,???AE±GC.(2)答：成立：證明：延長(zhǎng)AE和GC相交于點(diǎn)H,ADH/圖2F在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD=DC,DE=DG,ZADC=ZDCB=ZB=ZBAD=ZEDG=90%/.Zl=Z2=90°-Z3；???△ADE雯△CDG(SAS),/.AE=CG,Z5=Z4；又???Z5+Z6=90%Z4+Z7=180°-ZDCE=180°-90°=90°,Z6=Z7,又???Z6+ZAEB=90°,ZAEB=ZCEH,???ZCEH+Z7=90°,???ZEHC=90°,

???AE±GC.(3)如圖3中，作CM丄DG于G,GN丄CD于N,CH丄FG于H,則四邊形CMGH是矩形，可得CM=GH,CH=GM.???BE=CE=1,AB=CD=2,???AE=DE=CG=DG=FG=75,???DE=DG,ZDCE=ZGND,ZEDC=ZDGN,???△DCE雯△GND(AAS),???GCD=2,11Tdcg=—?CD?NG=—?DG^CM,22???2x2=^5???FH=FG-???FH=FG-FG=故答案為JI?【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.點(diǎn)P是矩形ABCD對(duì)角線AC所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A,C重合)，分別過(guò)點(diǎn)A,C向直線BP作垂線，垂足分別為點(diǎn)E,F,點(diǎn)0為AC的中點(diǎn)?

cAB圖1DC圖2DcAB圖1DC圖2DC（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，請(qǐng)你判斷OE與OF的數(shù)量關(guān)系：（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到如圖2所示位置時(shí)，請(qǐng)你在圖2中補(bǔ)全圖形并通過(guò)證明判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立；（3）若點(diǎn)P在射線0A上運(yùn)動(dòng),恰好使得ZOEF=30°時(shí),猜想此時(shí)線段CF,AE,0E之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論不必證明.【答案】（1）OE=OF.理由見解析；（2）補(bǔ)全圖形如圖所示見解析，OE=OF仍然成立；（3）CF=OE+AE或CF=OE-AE?【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)以及垂線，即可判定AAOE=ACOF（AAS）9得出OE=OF；（2）先延長(zhǎng)E0交CF于點(diǎn)G,通過(guò)判定MOE=^COG（ASA）9得出0G=OE,再根據(jù)RtAEFG中，OF=—EG,即可得到OE=OF；2（3）根據(jù)點(diǎn)P在射線0A上運(yùn)動(dòng)，需要分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)P在線段0A上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在線段0A延長(zhǎng)線上時(shí)，分別根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及線段的和差關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算即可.【詳解】（1）OE=OF.理由如下：如圖1.???四邊形ABCD是矩形，OA=OC.VAE丄必，CF丄BP.:.ZAEO=ZCFO=90°.ZAEO=ZCFO??在MOE和\COF中,<AAOE=ZCOF,/.MOE=\COF{AAS),/.OE=OF；OA=OC補(bǔ)全圖形如圖2,OE=OF仍然成立?證明如下：延長(zhǎng)E0交CF于點(diǎn)G.??AE丄3P,CF丄BP,???AE//CF,:.ZEAO=ZGCO.又???點(diǎn)0為AC的中點(diǎn)，AO=CO.ZEAO=AGCO在MOE和ACOG中，<40=CO,/.\AOE=^COG(ASA),:.OG=OE,ZAOE=COGRtzXEFG中，of=Leg,OE=OF：2（3）CF=OE+AECF=OE-AE.證明如下：①如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上時(shí).???ZOEF=30°,ZEFG=90°,/.ZOGF=60°,由（2）可得：OF=OG,△OGF是等邊三角形，???FG=OF=OE,由（2）可得：AAOE三△COG，???CG=AE.又???CF=GF+CG,:.CF=OE+AE：②如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在線段04延長(zhǎng)線上時(shí).VZOEF=30°,ZEFG=90°,/.ZOGF=60°,同理可得：AOGF是等邊三角形，F(xiàn)G=OF=OE,同理可得：MOE=ACOG,CG=AE.又???CF=GF-CG,:.CF=OE-AE.【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定以及等邊三角形的性質(zhì)和判定，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)建全等三角形和證明三角形全等，利用矩形的對(duì)角線互相平分得全等的邊相等的條件，根據(jù)線段的和差關(guān)系使問(wèn)題得以解決.問(wèn)題探究（1）如圖①，已知正方形&BCD的邊長(zhǎng)為4.點(diǎn)M和N分別是邊BC、CD上兩點(diǎn)，且BM=CN,連接AM和B/V,交于點(diǎn)P.猜想AM與B/V的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.（2）如圖②，已知正方形&BCD的邊長(zhǎng)為4.點(diǎn)M和N分別從點(diǎn)B、C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿BC、CD方向向終點(diǎn)C和D運(yùn)動(dòng).連接和BN,交于點(diǎn)P,求4APB周長(zhǎng)的最大值；問(wèn)題解決（3）如圖③，AC為邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD的對(duì)角線，ZABC=60。.點(diǎn)M和/V分別從點(diǎn)B、C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿BC、CA向終點(diǎn)C和A運(yùn)動(dòng).連接AA4和BN,交于點(diǎn)P.求氐A(chǔ)PB周長(zhǎng)的最大值.

nn(3)△PAB的【答案】(1)AM丄BN,證明見解析；(2)AAPB周長(zhǎng)的最人值4+40(3)△PAB的【解析】試題分析：根據(jù)全等三角形的判定SAS證明AABM妥^BCN,即可證得AM丄BN；如圖②，以AB為斜邊向外作等腰直角ZkAEB,ZAEB=90。，作EF丄PA于E,作EG丄PB于G,連接EP,證明PA+PB=2EF,求出EF的最人值即可：如圖③，延長(zhǎng)DA到K,使得AK=AB,貝仏ABK是等邊三角形，連接PK,取PH=PB,證明PA+PB=PK,求出PK的最人值即可.試題解析：(1)結(jié)論：AM丄BN.理由：如圖①中，???四邊形ABCD是正方形，???AB=BC,ZABM=ZBCN=90°,???BM=CN,???△ABM雯△BCN,???ZBAM=ZCBN,???ZCBN+ZABN=90°,???ZABN+ZBAM=90°,???ZAPB=90%???AM丄BN?(2)如圖②中，以AB為斜邊向外作等腰直角三角形AAEB,ZAEB=90°,作EF丄PA于E,作EG丄PB于G,連接EP.???ZEFP=ZFPG=ZG=90°,???四邊形EFPG是矩形，???ZFEG=ZAEB=90°,???ZAEF=ZBEG,???EA=EB,ZEFA=ZG=90\???△AEF竺△BEG,.??EF二EG,AF二BG,???四邊形EFPG是正方形，.??PA+PB二PF+AF+PG?BG=2PF=2EFf???EF<AE,???EF的最大值=AE=2V2，???△APB周長(zhǎng)的最人值=4+4近.(3)如圖③中，延長(zhǎng)DA到K,使得AK=AB,則△ABK是等邊三角形，連接PK,取PH=PB.禹③?/AB=BC,ZABM=ZBCN,BM=CN,???△ABM雯△BCN,???ZBAM=ZCBN,???ZA-PN=ZBAM+ZABP=ZCBN+ZABN=60°,???ZAPB=120°,???ZAKB=60°t???ZAKB+ZAPB=180°,???A、K、B、P四點(diǎn)共圓，???ZBPH=ZKAB=60%???PH=PB,???△PBH是等邊三角形，???ZKBA=ZHBP,BH=BP,/.ZKBH=ZABP,?/BK=BA,???△KBH雯△ABP,???HK=AP,???PA+PB二KH+PH二PK,???PK的值最大時(shí),AAPB的周長(zhǎng)最大,.?-當(dāng)PK是厶ABK外接圓的直徑時(shí)，PK的值最大，最人值為4,???△PAB的周長(zhǎng)最人值=2^3+4?如圖1,若分別以NABC的AC、BC兩邊為邊向外側(cè)作的四邊形ACDE和BCFG為正方形，則稱這兩個(gè)正方形為外展雙葉正方形.（1）發(fā)現(xiàn)：如圖2,當(dāng)ZC=90°時(shí)，求證：LABC與ADCF的面枳相等.（2）引申：如果ZCH90。時(shí)，（1）中結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)結(jié)合圖1給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）運(yùn)用：如圖3,分別以'ABC的三邊為邊向外側(cè)作的四邊形ACDE、BCFG和ABMN為正方形，則稱這三個(gè)正方形為外展三葉正方形.已ABC中，AC=3,BC=4.當(dāng)zc=。時(shí)，圖中陰影部分的面積和有最人值是■【答案】（1）證明見解析：（2）成立，證明見解析；（3）18.【解析】試題分析：（1）因?yàn)锳C=DCtZACB=ZDCF=90°,BC=FC,所以△ABC雯△DFC,從而△ABC與厶DFC的面積相等；（2）延長(zhǎng)BC到點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)A作AP丄BP于點(diǎn)P；過(guò)點(diǎn)D作DQ丄FC于點(diǎn)Q?得到四邊形ACDE,BCFG均為正方形，AC=CD,BUCF,ZACP=ZDCQ.所以△APC雯△DQC?于是AP=DQ.又因?yàn)镾“bc二丄BC?AP,dfc=-FC*DQ,所以Saabc=Sadfc;22（3）根據(jù)（2）得圖中陰影部分的面積和是AABC的面積三倍，若圖中陰影部分的面枳和

有最人值，則三角形ABC的面積最人，當(dāng)AABC是直角三角形，即ZC是90度時(shí)，陰影部分的面積和最大.所以S陰環(huán)分而稅和=3S°abc=3x—x3x4=1&2（1）證明：在ZkABC與△DFC中,AC=DC???{ZACB=ZDCF,BC=FC???△ABC竺△DFC??*.△ABC與厶DFC的面積相等;解：成立.理由如下：如圖，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)A作AP丄BP于點(diǎn)P：過(guò)點(diǎn)D作DQ丄FC于點(diǎn)Q.???ZAPC=ZDQC=90。????四邊形ACDE,BCFG均為正方形，???AC=CD,BC二CF,ZACP+ZPCD=90%ZDCQ+ZPCD=90°,???ZACP=ZDCQ,AAPC=ADQC:.{ZACP=ZDCQ,AC=CD△APC雯△DQC(AAS),???AP=DQ.’11又Tabc=—BC?AP,dfc=—FC?DQ,22二ABC=S^DFC：解：根據(jù)(2)得圖中陰影部分的面枳和是AABC的面積三倍，若圖中陰影部分的面積和有最人值，則三角形ABC的面積最人，.?.當(dāng)4ABC是直角三角形，即ZC是90度時(shí)，陰影部分的面枳和最大.1?IS閃影削分而枳和=3S^abc=3x—x3x4=18?2考點(diǎn)：四邊形綜合題&在正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E,F分別從D,C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度在直線DC,CB上移動(dòng).如圖①，當(dāng)點(diǎn)E自D向C,點(diǎn)F自C向B移動(dòng)時(shí)，連接AE和DF交于點(diǎn)P,請(qǐng)你寫出AE與DF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由：如圖②，當(dāng)E,F分別移動(dòng)到邊DC,CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AE和DF,(1)中的結(jié)論還成立嗎？(請(qǐng)你直接回答"是"或“否"，不須證明)如圖③，當(dāng)E,F分別在邊CD,BC的延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，連接AE,DF,(1)中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（4）如圖④，當(dāng)E,F分別在邊DC,CB上移動(dòng)時(shí)，連接AE和DF交于點(diǎn)P,由于點(diǎn)E,F的移動(dòng)，使得點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)你畫出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路徑的草圖.若AD=2,試求出線段CP的最小值.E圖③圖④的最小值.E圖③圖④【答案】（1）AE二DF,AE丄DF；（2）是；（3）成立，理由見解析；（4）CP=QC?QP二一】?【解析】試題分析：（1）AE=DF,AE丄DF.先證得△ADE妥△DCF.由全等三角形的性質(zhì)得AE=DF,ZDAE=ZCDF,再由等角的余角相等可得AE丄DF；（2）是.四邊形ABCD是正方形，所以AD=DC,ZADE=ZDCF=90%DE=CF,所以△ADE雯△DCF,于是AE=DF,ZDAE=ZCDF,因?yàn)閆CDF+ZADF=90°,ZDAE+ZADF=90%所以AE丄DF；（3）成立.由（1）同理可證AE=DF,ZDAE=ZCDF,延長(zhǎng)FD交AE于點(diǎn)G,再由等角的余角相等可得AE丄DF；（4）由于點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持ZAPD=90%所以點(diǎn)P的路徑是一段以AD為直徑的弧，設(shè)AD的中點(diǎn)為Q，連接QC交弧于點(diǎn)P,此時(shí)CP的長(zhǎng)度最小，再由勾股定理可得QC的長(zhǎng)，再求CP即可.試題解析：（1）AE=DF,AE丄DF.理由「??四邊形ABCD是正方形…??AD二DC,ZADC=ZC=90°?；AD=DC在△ADE和△DCF中，JZADC=ZC,/.ADE雯△DCF（SAS）.IDE=CF???AE=DF,ZDAE=ZCDF,由于ZCDF+ZADF=90\/.ZDAE+ZADF=90°.二AE丄DF：（2）是；（3）成立.理由：由（1）同理可證AE二DF,ZDAE=ZCDF延長(zhǎng)FD交AE于點(diǎn)G,則ZCDF+ZADG=90°,/.ZADG+ZDAE=90°.AE丄DF；由于點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持/APD=90°,???點(diǎn)P的路徑是一段以AD為直徑的弧，設(shè)AD的中點(diǎn)為Q,連接QC交弧于點(diǎn)P,此時(shí)CP的長(zhǎng)度最小，在RtAQDC中，QC=\‘C『+=護(hù)彳+“=\/5,cp=qc-qpM-1.考點(diǎn)：四邊形的綜合知識(shí).9.數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師給出如下問(wèn)題：如圖，將等腰直角三角形紙片沿斜邊上的高AC剪開，得到等腰直角三角形AABC與AEFD,將AEFD的直角頂點(diǎn)在直線BC上平移，在平移的過(guò)程中，直線AC與直線DE交于點(diǎn)Q,讓同學(xué)們探究線段BQ與AD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.請(qǐng)你閱讀下面交流信息，解決所提出的問(wèn)題?展示交流：小敏：滿足條件的圖形如圖甲所示圖形，延長(zhǎng)BQ與AD交于點(diǎn)H.我們可以證明△BCQ^△ACD,從而易得BQ=AD,BQ丄AD.小慧：根據(jù)圖甲，當(dāng)點(diǎn)F在線段BC上時(shí)，我們可以驗(yàn)證小慧的說(shuō)法是正確的.但當(dāng)點(diǎn)F在線段CB的延長(zhǎng)線上（如圖乙）或線段CB的反向延長(zhǎng)線上（如圖丙）時(shí)，我對(duì)小慧說(shuō)法的正確性表示懷疑.（1）請(qǐng)你幫助小慧進(jìn)行分析，小敏的結(jié)論在圖乙、圖丙中是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.（選擇圖乙或圖丙的一種情況說(shuō)明即可）.

(2)小慧思考問(wèn)題的方式中，蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想是o(2)小慧思考問(wèn)題的方式中，蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想是o拓展延伸:根據(jù)你上面選擇的圖形，分別取AB、BD、DQ、AQ的中點(diǎn)M、N、P、T.則四邊形MNPT是什么樣的特殊四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】成立；分類討論思想；正方形?【解析】試題分析：利用等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出BQ二AD,BQ丄AD；利用已知條件分類得出，體現(xiàn)數(shù)學(xué)中的分類討論思想，拓展延伸：利用三角形中位線定理結(jié)合正方形的判定方法，首先得出四邊形MNPT是平行四邊形進(jìn)而得出它是菱形，再求出一個(gè)內(nèi)角是90。，即可得出答案.試題解析：(1)、成立，理由：如圖乙：由題意可得：ZFDE=ZQDC=ZABC=ZBAC=45°,則DC=QC,AC=BC,(AC=BC在厶ADC和厶BQC中???IZACD=ZBCQ,△ADC竺△BQC(SAS),/.AD=BQ,[docqZDAC=ZQBC,延長(zhǎng)AD交BQ于點(diǎn)F,則ZADC=ZBDF,/.ZBFD=ZACD=90°,/.AD丄BQ；(2)、小慧思考問(wèn)題的方式中，蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想是：分類討論思想；TP繪AD,拓展延伸：四邊形MNPT是正方形，理由：???取AB、BD、DQ、AQ的中點(diǎn)M、N、P、TP繪AD,???mnAtp，/.NP=MN,???平行四邊形MNPT???四邊形MNPT是平行四邊形，/.NP=MN,???平行四邊形MNPT是菱形,又TAD丄BQ,NPIIBQ,MNIIAD,/.ZMNP=90°,???四邊形MNPT是正方形.EA乙EA乙考點(diǎn)：幾何變換綜合題10.如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（3,3）.將正方形ABCO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度a（0°<a<90°）,得到正方形ADEF,ED交線段OC于點(diǎn)G,ED的延長(zhǎng)線交線段BC于點(diǎn)P,連AP、AG.（1）求證：△AOG妥△ADG；（2）求ZPAG的度數(shù)；并判斷線段OG、PG、BP之間的數(shù)量關(guān)系，說(shuō)明理由：（3）當(dāng)Z1=Z2時(shí)，求直線PE的解析式；（4）在（3）的條件下，直線PE上是否存在點(diǎn)M,使以M、A、G為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）見解析（2）ZPAG=45°,PG=OG+BP.理由見解析（3）y^x-3.（4）—可、旳2（2洛，3）.【解析】試題分析：（1）由AO=AD,AG=AG,根據(jù)