傳熱學教案 第2章 導熱基本定律及穩(wěn)態(tài)導熱

PAGE第2章導熱基本定律及穩(wěn)態(tài)導熱1、重點內(nèi)容：①傅立葉定律及其應用；

②導熱系數(shù)及其影響因素；

③導熱問題的數(shù)學模型。2、掌握內(nèi)容：一維穩(wěn)態(tài)導熱問題的分析解法3、了解內(nèi)容：多維導熱問題

第一章介紹傳熱學中熱量傳遞的三種基本方式：導熱、對流、熱輻射。根據(jù)這三個基本方式，以后各章節(jié)深入討論其熱量傳遞的規(guī)律，理解研究其物理過程機理，從而達到以下工程應用上目的：

基本概念、基本定律:傅立葉定律,牛頓冷卻定律,斯忒藩—玻耳茲曼定律。①能準確的計算研究傳熱問題中傳遞的熱流量②能準確的預測研究系統(tǒng)中的溫度分布

導熱是一種比較簡單的熱量傳遞方式,對傳熱學的深入學習必須從導熱開始，著重討論穩(wěn)態(tài)導熱。

首先，引出導熱的基本定律，導熱問題的數(shù)學模型，導熱微分方程；

其次，介紹工程中常見的三種典型（所有導熱物體溫度變化均滿足）幾何形狀物體的熱流量及物體內(nèi)溫度分布的計算方法。

最后，對多維導熱及有內(nèi)熱源的導熱進行討論?！?-1導熱基本定律一、溫度場1、概念

溫度場是指在各個時刻物體內(nèi)各點溫度分布的總稱。

由傅立葉定律知：物體導熱熱流量與溫度變化率有關，所以研究物體導熱必涉及到物體的溫度分布。一般地，物體的溫度分布是坐標和時間的函數(shù)。

即：（2-1）式中：為空間笛卡兒坐標；為時間坐標。2、溫度場分類1）穩(wěn)態(tài)溫度場（定常溫度場）：是指在穩(wěn)態(tài)條件下物體各點的溫度分布不隨時間的改變而變化的溫度場稱穩(wěn)態(tài)溫度場，其表達式：（2-2）在特殊情況下，物體的溫度僅在一個坐標方向上有變化，如圖1.1所示的兩個各自保持均勻溫度的平行平面間的導熱就是一個例子。這種情況下的溫度場稱為一維穩(wěn)態(tài)溫度場。2）非穩(wěn)態(tài)溫度場（非定常溫度場）：是指在變動工作條件下，物體中各點的溫度分布隨時間而變化的溫度場稱非穩(wěn)態(tài)溫度場，其表達式為式（2-1）。3、等溫面及等溫線1）等溫面：對于三維溫度場中同一瞬間同溫度各點連成的面稱為等溫面。2）等溫線（1）定義：在任何一個二維的截面上等溫面表現(xiàn)為等溫線。一般情況下，溫度場用等溫面圖和等溫線圖表示。（2）等溫線的特點：物體中的任何一條等溫線要么形成一個封閉的曲線，要么終止在物體表面上，它不會與另一條等溫線相交。（3）等溫線圖的物理意義：若每條等溫線間的溫度間隔相等時，等溫線的疏密可反映出不同區(qū)域導熱熱流密度的大小。若相等，且等溫線越疏，則該區(qū)域熱流密度越?。环粗?，越大。圖2-圖2-1溫度場的圖示二、導熱基本定律

教材（1-1）、（1-2）式的適用條件：（1）一維導熱（2）一塊平板兩側表面溫度分別維持各自均勻的溫度。1、導熱基本定律（傅立葉定律）1）定義：在導熱現(xiàn)象中，單位時間內(nèi)通過給定截面所傳遞的熱量，正比例于垂直于該截面方向上的溫度變化率，而熱量傳遞的方向與溫度升高的方向相反，即：此處，是垂直于面積的坐標軸。2）數(shù)學表達式：（2-3）傅里葉定律用熱流密度表示為：（2-4）式中：是物體溫度沿方向的變化率；是沿方向傳遞的熱流密度（嚴格說熱流密度是矢量，所以是熱流密度矢量在方向的分量）。當物體的溫度是三個坐標的函數(shù)時，三個坐標方向上的單位矢量與該方向上熱流密度分量乘積合成一個熱流密度矢量，記為。傅里葉定律的一般數(shù)學表達式為：（2-5）式中：是空間某點的溫度梯度；是通過該點的等溫線上的法向單位矢量，指向溫度升高的方向；為該處的熱流密度矢量。圖2-2圖2-2等溫線與熱流線如圖2-2（a）所示，表示了微元面積附近的溫度分布及垂直于該微元面積的熱流密度矢量的關系。1）熱流線

定義：熱流線是一組與等溫線處處垂直的曲線，通過平面上任一點的熱流線與該點的熱流密度矢量相切。2）熱流密度矢量與熱流線的關系：在整個物體中，熱流密度矢量的走向可用熱流線表示。如圖2-2（b）所示，其特點是相鄰兩個熱流線之間所傳遞的熱流密度矢量處處相等，構成一熱流通道。三、導熱系數(shù)（導熱率、比例系數(shù)）1、導熱系數(shù)的含義

導熱系數(shù)數(shù)值上等于

（2-5）2、特點

其大小取決于：（1）物質種類（）；

（2）物質溫度，與間的關系，可寫成：

其中：——溫度：——常數(shù)；——該直線延長與縱坐標的截距。3、保溫材料（隔熱、絕熱材料）

把導熱系數(shù)小的材料稱保溫材料。我國規(guī)定：℃時，W/(m.K)的材料稱為保溫材料。保溫材料導熱系數(shù)界定值的大小反映了一個國家保溫材料的生產(chǎn)及節(jié)能的水平。越小，生產(chǎn)及節(jié)能的水平越高。我國50年代為0.23W/(m.K)，80年代GB4272-84規(guī)定為0.14W/(m.K)，GB427-92規(guī)定為0.12W/(m.K)。4、保溫材料熱量轉移機理(高效保溫材料)

高溫時：(1)蜂窩固體結構的導熱；

(2)穿過微小氣孔的導熱。更高溫度時：（1）蜂窩固體結構的導熱；

（2）穿過微小氣孔的導熱和輻射。5、超級保溫材料

采取的方法：（1）夾層中抽真空（減少通過導熱而造成熱損失）

（2）采用多層間隔結構（1cm達十幾層）

特點：間隔材料的反射率很高，減少輻射換熱，垂直于隔熱板上的導熱系數(shù)可達：10－4W/(m.K)。6、各向異性材料指有些材料（木材，石墨）各向結構不同，各方向上的也有較大差別，這些材料稱各向異性材料。此類材料必須注明方向。相反，稱各向同性材料。2－2導熱微分方程式及定解條件由前可知：（1）對于一維導熱問題，根據(jù)傅立葉定律積分，可獲得用兩側溫差表示的導熱量。（2）對于多維導熱問題，首先獲得溫度場的分布函數(shù)，然后根據(jù)傅立葉定律求得空間各點的熱流密度矢量。一、導熱微分方程1、定義：根據(jù)能量守恒定律與傅立葉定律，建立導熱物體中的溫度場應滿足的數(shù)學表達式，稱為導熱微分方程。2、導熱微分方程的數(shù)學表達式

導熱微分方程的推導方法，假定導熱物體是各向同性的。1）針對笛卡兒坐標系中微元平行六面體

由前可知，空間任一點的熱流密度矢量可以分解為三個坐標方向的矢量。

同理，通過空間任一點任一方向的熱流量也可分解為、、坐標方向的分熱流量，如圖2-3所示。圖2-3微元平行六面體的導熱分析①通過、、三個微元表面而導入微元體的熱流量：、、的計算式。圖2-3微元平行六面體的導熱分析根據(jù)傅立葉定律得：

（a）②通過、、三個微元表面而導出微元體的熱流量的計算式。根據(jù)傅立葉定律得：

（b）③對于任一微元體根據(jù)能量守恒定律，在任一時間間隔內(nèi)有以下熱平衡關系：

導入微元體的總熱流量+微元體內(nèi)熱源的生成熱=導出微元體的總熱流量+微元體熱力學能（內(nèi)能）的增量(c)

其中:微元體內(nèi)能的增量=(d)

微元體內(nèi)熱源生成熱=(e)

其中分別為微元體的密度、比熱容、單位時間內(nèi)單位體積內(nèi)熱源的生成熱及時間。

將式（a）、（b）、（d）、（e）代入式（c），并整理得：

(2-7)

這是笛卡爾坐標系中三維非穩(wěn)態(tài)導熱微分方程的一般表達式。

物理意義：反映了物體的溫度隨時間和空間的變化關系。討論：①時：

(2-8)

其中稱擴散系數(shù)（熱擴散率）。②物體內(nèi)無內(nèi)熱源，即，且時：

(2-9)③若，且屬穩(wěn)態(tài)，即：時：

(2-10)

即數(shù)學上的泊松方程。該微分方程屬常物性、穩(wěn)態(tài)、三維、有內(nèi)熱源問題的溫度場控制方程式。④常物性、穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源：(2-11)

即數(shù)學上的拉普拉斯方程。2）圓柱坐標系中的導熱微分方程，，

(2-12)3）球坐標系中的導熱微分方程，，

(2-13)綜上說明：（1）導熱問題仍然服從能量守恒定律；（2）等號左邊是單位時間內(nèi)微元體熱力學能的增量（非穩(wěn)態(tài)項）；（3）等號右邊前三項之和是通過界面的導熱使微分元體在單位時間內(nèi)增加的能量(擴散項)；（4）等號右邊最后項是源項；（5）若某坐標方向上溫度不變，該方向的凈導熱量為零，則相應的擴散項即從導熱微分方程中消失。

通過導熱微分方程可知，求解導熱問題，實際上就是對導熱微分方程式的求解。預知某一導熱問題的溫度分布，必須給出表征該問題的附加條件。二、定解條件1、定義：是指使導熱微分方程獲得適合某一特定導熱問題的求解的附加條件。2、分類：1）初始條件：初始時間溫度分布的初始條件；2）邊界條件：導熱物體邊界上溫度或換熱情況的邊界條件。

說明：①非穩(wěn)態(tài)導熱定解條件有兩個；

②穩(wěn)態(tài)導熱定解條件只有邊界條件，無初始條件。3、導熱問題的常見邊界條件可歸納為以下三類：1）第一類邊界條件：規(guī)定了邊界上的溫度值,即。對于非穩(wěn)態(tài)導熱這類邊界條件要求給出以下關系，時,；2）第二類邊界條件：規(guī)定了邊界上的熱流密度值；

對于非穩(wěn)態(tài)導熱這類邊界條件要求給出以下關系式：

當時，

式中——為表面A的法線方向。3）第三類邊界條件：規(guī)定了邊界上物體與周圍流體間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)以及周圍流體的溫度。以物體被冷卻為例：對于非穩(wěn)態(tài)導熱，式中、均是的函數(shù)。三、有關說明1、熱擴散率的物理意義

由熱擴散率的定義：可知：1）是物體的導熱系數(shù)，越大，在相同溫度梯度下，可以傳導更多的熱量。2)是單位體積的物體溫度升高1℃所需的熱量。越小，溫度升高1℃所吸收的熱量越少，可以剩下更多的熱量向物體內(nèi)部傳遞，使物體內(nèi)溫度更快的隨界面溫度升高而升高。由此可見的物理意義：①越大，表示物體受熱時，其內(nèi)部各點溫度扯平的能力越大。②越大，表示物體中溫度變化傳播的越快。所以，也是材料傳播溫度變化能力大小的指標，亦稱導溫系數(shù)。2、導熱微分方程的適用范圍1）適用于不很高，而作用時間長。同時傅立葉定律也適用該條件。2）若時間極短，而且熱流密度極大時，則不適用。3）若屬極低溫度（接近于0K）時的導熱不適用。學習了導熱微分方程及邊界條件后，對于導熱的絕大多數(shù)問題都可以通過給出該問題的完整數(shù)學描寫后進行求解，求出物體內(nèi)的溫度分布，進而結合傅里葉定律求出熱流量或者熱流密度等其它需要求解的問題。對于工程實際的一些問題，完全可以對實際問題進行適當?shù)暮喕⑶蠼?，同學們要掌握解決實際問題的方法。下面通過幾個例題來說明。例題1：一直徑為、長為的圓桿，兩端分別與溫度為及的表面接觸，桿的導熱系數(shù)為常數(shù)。試對下列兩種穩(wěn)態(tài)情形列出桿中溫度的微分方程式及邊界條件，并求之：（1）桿的側面是絕熱的；（2）桿的側面與四周流體間有穩(wěn)定的對流換熱，平均表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為，流體溫度小于及。拿到問題后，首先要分析屬于什么類型的問題，并對微分方程進行簡化，而后其邊界條件。解：（1）（1）解方程得溫度分布函數(shù)為：（2）引入過余溫度，有：解方程，得例題2：核反應堆的輻射防護壁因受射線的照射而發(fā)熱，這相當于防護壁內(nèi)有的內(nèi)熱源，其中是的表面上的發(fā)射率，為已知常數(shù)。已知處，處，防護壁內(nèi)溫度分布滿足，導熱系數(shù)為常數(shù)。試導出該防護壁中溫度分布的表達式及最高溫度所在的位置。解：該問題的完整數(shù)學描寫為：，也即積分，得代入邊界條件，得將值代入溫度分布表達式中，得溫度分布為：最高溫度應滿足求得最高溫度所在的位置為：例題3：一厚為的無限大平板，其一側被加熱，熱流密度為常數(shù)，另一側向溫度為的環(huán)境散熱，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為，平板導熱系數(shù)為常數(shù)。試列出平板中穩(wěn)態(tài)溫度場的微分方程式及邊界條件，并求出平板內(nèi)的溫度分布函數(shù)。解：建立如右圖所示的坐標，則該問題的微分方程式及邊界條件為：00求解微分方程，得將兩邊界條件代入，解得，則單層平壁內(nèi)的溫度分布表達式為：§2-3通過平壁、圓筒壁、球殼和其他變截面物體的導熱一、通過平壁的導熱1、單層平壁

已知：單層平壁兩側恒溫且為、,壁厚m，如圖2-4所示，建立坐標系，溫度只在x方向變化，屬一維溫度場。圖2-4單層平壁

試確定溫度分布并求圖2-4單層平壁1）溫度分布

當時，無內(nèi)熱源的一維穩(wěn)態(tài)導熱完整的數(shù)學描寫為：

對微分方程積分得其通解（連續(xù)積分兩次）：

其中、為常數(shù)，由邊界條件確定。

代入邊界條件，得該條件下其溫度分布為：

由上式可知物體內(nèi)溫度分布成線性關系，即溫度分布曲線的斜率是常數(shù)（溫度梯度）。2）熱流密度根據(jù)傅立葉定律，結合溫度分布函數(shù)，得通過平壁的熱流密度為：（2-18）若表面積為，通過平壁的導熱熱流量則為:（2-19）此兩式是通過平壁導熱的計算公式，它們揭示了、與、、和之間的關系。2、熱阻的含義熱量傳遞是自然界的一種轉換過程，與自然界的其他轉換過程類同，如：電量的轉換，動量、質量等的轉換。其共同規(guī)律可表示為：過程中的轉換量=過程中的動力/過程中的阻力，由前可知：在平板導熱中導熱熱流量：，即：(2-21)

式中:熱流量，為導熱過程的轉移量；

溫差，為導熱過程的動力；

為導熱過程的阻力。由此引出熱阻的概念：1）熱阻定義：熱轉移過程的阻力稱為熱阻。2）熱阻分類：不同的熱量轉移有不同的熱阻，其分類較多，如：導熱阻、輻射熱阻、對流熱阻等。對平板導熱而言又分：

面積熱阻：位面積的導熱熱阻稱面積熱阻。

熱阻：整個平板導熱熱阻。3）熱阻的特點：圖2-5多層平壁圖2-5多層平壁3、復合壁的導熱情況

復合壁（多層壁）：就是由幾層不同材料疊加在一起組成的復合壁。如圖2-5所示。

以下討論三層復合壁的導熱問題，如圖2-5所示：

假設條件：層與層間接觸良好，沒有引起附加熱阻（亦稱為接觸熱阻）也就是說通過層間分界面時不會發(fā)生溫度降。

已知各層材料厚度為、、，對應導熱系數(shù)為、、，多層壁內(nèi)外表面溫度為、，其中間溫度、未知，。

試求：通過多層壁的熱流密度。解：根據(jù)平壁導熱公式可知各層熱阻為：

根據(jù)串聯(lián)熱阻疊加原理得多層壁的總熱阻為（適用條件：無內(nèi)熱源，一維穩(wěn)態(tài)導熱）：

則多層壁熱流密度計算公式為：（2-22）依次類推，層多層壁的計算公式是：（2-23）解得熱流密度后，層間分界面上的未知溫度、即可求出：（2-24）

說明：當導熱系數(shù)對溫度有依變關系時，即導熱系數(shù)是溫度的線性函數(shù)時，只需求得該區(qū)域平均溫度下的值，代入以上公式即可求出正確結果。二、通過圓筒壁的導熱1、單層圓筒壁

已知圓筒內(nèi)、外半徑分別為，內(nèi)外表面溫度恒定分別為，若采用圓柱坐標系求解，則成為沿半徑方向的一維導熱問題，如圖2-6所示，假設：。1）圓筒壁的溫度分布

根據(jù)圓柱坐標系中的導熱微分方程：圖2-圖2-6單層圓筒壁（2－25）

如圖建立坐標系，邊界條件為：

對此方程積分得其通解(連續(xù)積分兩次)：

其中、為常數(shù)，由邊界條件確定。

代入邊界條件，得：

將、代入導熱微分方程通解中，得圓筒壁的溫度分布為：（2－26）

由此可見，圓筒壁中的溫度分布呈對數(shù)曲線，而平壁中的溫度分布呈線性分布。2）圓筒壁導熱的熱流密度：

對圓筒壁溫度分布求導得：代入傅立葉定律得通過圓筒壁的熱流密度：（2－27）

由此可見，通過圓筒壁導熱時，不同半徑處的熱流密度與半徑成反比。3）圓筒壁面的熱流量：

（2－28）由此可見，通過整個圓筒壁面的熱流量不隨半徑的變化而變化。2、多層圓筒壁據(jù)熱阻的定義，通過圓通壁的導熱熱阻為：

（2－29）同理：對于多層圓通壁的導熱問題，可根據(jù)熱阻疊加原理，求得通過多層圓通壁的導熱熱流量：

（2－30）三、其他變截面或變導熱系數(shù)的導熱問題

前三種情況的求解方法：1）求解導熱微分方程得其溫度分布；

2）據(jù)傅立葉定律獲得導熱熱流量。1、變導熱系數(shù)

根據(jù)傅立葉定律求解而導熱系數(shù)為變數(shù)或沿導熱熱流密度矢量方向導熱截面積為變量時，此方法有效。

導熱系數(shù)為溫度的函數(shù)，根據(jù)傅立葉定律得：分離變量后積分，并注意到與無關，則得：方程右邊乘以，得：

顯然，式中項是在至范圍內(nèi)的積分平均值，可用表示，于是上式寫成：

（2－34）

方程中若，則或，由此可見：是算術平均溫度下的值，計算時只需把前述公式中的取平均溫度下的值即可。2-4通過肋片的導熱一、基本概念1、肋片：依附于基礎表面上的擴展表面。2、常見肋片的結構：針肋、直肋、環(huán)肋、大套片。3、肋片導熱的作用及特點：1）作用：增大對流換熱面積及輻射散熱面,以強化換熱。2）特點：在肋片伸展的方向上有表面的對流換熱及輻射散熱，肋片中沿導熱熱流傳遞的方向上熱流量是不斷變化的。即：。4、分析肋片導熱解決的問題：

一是確定肋片的溫度沿導熱熱流傳遞的方向是如何變化的？二是確定通過肋片的散熱熱流量有多少？肋片在工程實際的換熱設備中，常用于強化對流換熱，如散熱器外加肋片，翅片管換熱器等都是應用肋片強化換熱的典型例子。肋片的型式多種多樣，其中最簡單的就是等截面直肋。二、通過等截面直肋的導熱

如圖2-7所示，已知肋根溫度為,周圍流體溫度為，且，為復合換熱的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)。試確定：肋片中的溫度分布及通過肋片的散熱量。解：假設：1）肋片在垂直于紙面方向(即深度方向)很長，不考慮溫度沿該方向的變化，因此取單位長度分析；

2）材料導熱系數(shù)及表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)均為常數(shù)，沿肋高方向肋片橫截面積不變；

3）表面上的換熱熱阻遠大于肋片的導熱熱阻，即肋片上任意截面上的溫度均勻不變；

4）肋片頂端視為絕熱，即；在上述假設條件下，復雜的肋片導熱問題就轉化為一維穩(wěn)態(tài)導熱，如圖2.7（b）。但是肋片導熱不同于前面的平壁和圓筒壁的導熱。從圖2-7中可以看出，肋片的邊界為肋根和肋端，分別添加第一和第二類邊界條件，但肋片的周邊也要與周圍流體進行對流換熱，將該項熱量作為肋片的內(nèi)熱源進行處理，這樣肋片的導熱問題就簡化成了一維有內(nèi)熱源的穩(wěn)態(tài)導熱問題。其相應的導熱微分方程為：圖2-7通過肋片的熱量傳遞（a圖2-7通過肋片的熱量傳遞

計算區(qū)域的邊界條件是：

(b)

針對長度為的微元體，參與換熱的截面周長為，則微元表面的總散熱量為：

（c）微元體的體積為,那么，微元體的折算源項為：（d）

負號表示肋片向環(huán)境散熱，所以源項取負。將式（d）代入式（a），得：（e）該式為溫度的二階非齊次常微分方程。為求解方便，引入過余溫度，使式(e)變形成為二階齊次方程,可得所研究問題的完整數(shù)學描寫為：（2－35）式中為一常量。式（2－35）是一個二階線性齊次常微分方程，求解得其通解為：（f）

其中為積分常數(shù)，由邊界條件確定。將邊界條件代入得：

(g)求解，得：將代入通解中,得肋片中的溫度分布為：

（2－36）令,即可從上式得出肋端溫度的計算式：（2－37）

據(jù)能量守恒定律知，由肋片散入外界的全部熱流量都必須通過處的肋根截面。將式（2－36）的代入傅里葉定律的表達式，即得通過肋片散入外界的熱流量為：

（2－38）

說明：1）上述結論是在假設肋端絕熱的情況下推出的，即?？蓱糜诖罅繉嶋H肋片，特別是薄而長結構的肋片，可以獲得實用上足夠精確的結果。若必須考慮肋端的散熱，則，上述公式不適用，此時可在肋端添加第三類邊界條件進行求解；

2）計算熱流量的比較簡便的方法。若肋片的厚度為，引入假想高度代替實際肋高仍按式（2－38）計算。這種處理，實際上是基于這樣一種想法，即為了照顧末梢端面的散熱而把端面面積鋪展到側面上去。三、通過環(huán)肋及三角形截面直肋的導熱前面推導的等截面直肋的情況是肋片求解中一種最為簡單的情況。變截面直肋或等厚度環(huán)肋的情況要復雜一些，因為對于這些情況，截面積不能再作為常量處理，因而其基本微分方程式的求解要復雜得多。為了表征肋片散熱的有效程度，引入肋效率的概念，它有以下物理意義：（2－39）已知肋效率即可計算出肋片的實際散熱量。對于等截面直肋，其肋效率為：（2－40）對于直肋，假定肋片長度比其厚度要大得多，所以可取出單位長度來研究。其中參與換熱的周界，于是有：（h）對于環(huán)肋，理論分析表明，肋效率也是參數(shù)的單值函數(shù)。假定環(huán)的內(nèi)半徑遠大于其厚度，則上式同樣成立。將上式的分子分母同乘以，得：（2－41）式中，代表肋片的綜剖面積。實用上，往往采用以肋效率與式（2－41）所示的或為坐標的曲線，來表示各種肋片的理論解的結果。圖2－14、2－15（見教材41頁）分別示出了直肋和環(huán)肋的這種曲線圖。四、接觸熱阻圖2－18固體表面間的實際接觸情況兩個名義上互相接觸的固體表面，實際上接觸僅發(fā)生在一些離散的面積元上，如圖2－18所示。在未接觸的界面之間的間隙中常常充滿空氣，熱量將以導熱及輻射的方式穿過這種氣隙層。這種情況與兩固體表面真正完全接觸相比，增加了附加的傳遞阻力，稱為接觸熱阻。對于需要強化換熱的