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文檔簡介
2022年高考數(shù)學模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.由曲線y=x2與曲線y2=x所圍成的平面圖形的面積為()A.1 B. C. D.2.復數(shù)滿足為虛數(shù)單位),則的虛部為()A. B. C. D.3.已知正四面體外接球的體積為,則這個四面體的表面積為()A. B. C. D.4.如圖,某幾何體的三視圖是由三個邊長為2的正方形和其內(nèi)部的一些虛線構(gòu)成的,則該幾何體的體積為()A. B. C.6 D.與點O的位置有關5.在直角坐標系中,已知A(1,0),B(4,0),若直線x+my﹣1=0上存在點P,使得|PA|=2|PB|,則正實數(shù)m的最小值是()A. B.3 C. D.6.已知函數(shù),,則的極大值點為()A. B. C. D.7.已知雙曲線的一條漸近線為,圓與相切于點,若的面積為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.8.函數(shù)圖像可能是()A. B. C. D.9.已知等比數(shù)列滿足,,則()A. B. C. D.10.已知復數(shù)z=2i1-i,則A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限11.2019年10月1日上午,慶祝中華人民共和國成立70周年閱兵儀式在天安門廣場隆重舉行.這次閱兵不僅展示了我國的科技軍事力量,更是讓世界感受到了中國的日新月異.今年的閱兵方陣有一個很搶眼,他們就是院??蒲蟹疥?他們是由軍事科學院、國防大學、國防科技大學聯(lián)合組建.若已知甲、乙、丙三人來自上述三所學校,學歷分別有學士、碩士、博士學位.現(xiàn)知道:①甲不是軍事科學院的;②來自軍事科學院的不是博士;③乙不是軍事科學院的;④乙不是博士學位;⑤國防科技大學的是研究生.則丙是來自哪個院校的,學位是什么()A.國防大學,研究生 B.國防大學,博士C.軍事科學院,學士 D.國防科技大學,研究生12.關于函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性,下列敘述正確的是()A.單調(diào)遞增 B.單調(diào)遞減 C.先遞減后遞增 D.先遞增后遞減二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若雙曲線的離心率為,則雙曲線的漸近線方程為______.14.已知圓C:經(jīng)過拋物線E:的焦點,則拋物線E的準線與圓C相交所得弦長是__________.15.的展開式中常數(shù)項是___________.16.曲線在點處的切線方程為________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四邊形中,,,.(1)求的長;(2)若的面積為6,求的值.18.(12分)已知,函數(shù)有最小值7.(1)求的值;(2)設,,求證:.19.(12分)在中,角,,所對的邊分別為,,,且.求的值;設的平分線與邊交于點,已知,,求的值.20.(12分)某客戶準備在家中安裝一套凈水系統(tǒng),該系統(tǒng)為二級過濾,使用壽命為十年如圖所示兩個二級過濾器采用并聯(lián)安裝,再與一級過濾器串聯(lián)安裝.其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現(xiàn)在使用過程中,一級濾芯和二級濾芯都需要不定期更換(每個濾芯是否需要更換相互獨立).若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯,則一級濾芯每個160元,二級濾芯每個80元.若客戶在使用過程中單獨購買濾芯則一級濾芯每個400元,二級濾芯每個200元.現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯的數(shù)量,為此參考了根據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關數(shù)據(jù)制成的圖表,其中表1是根據(jù)100個一級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的頻數(shù)分布表,圖2是根據(jù)200個二級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的條形圖.表1:一級濾芯更換頻數(shù)分布表一級濾芯更換的個數(shù)89頻數(shù)6040圖2:二級濾芯更換頻數(shù)條形圖以100個一級過濾器更換濾芯的頻率代替1個一級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率,以200個二級過濾器更換濾芯的頻率代替1個二級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率.(1)求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16的概率;(2)記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的二級濾芯總數(shù),求的分布列及數(shù)學期望;(3)記分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買的一級濾芯和二級濾芯的個數(shù).若,且,以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費用的期望值為決策依據(jù),試確定的值.21.(12分)已知函數(shù),其中.(1)當時,求在的切線方程;(2)求證:的極大值恒大于0.22.(10分)在銳角三角形中,角的對邊分別為.已知成等差數(shù)列,成等比數(shù)列.(1)求的值;(2)若的面積為求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】
首先求得兩曲線的交點坐標,據(jù)此可確定積分區(qū)間,然后利用定積分的幾何意義求解面積值即可.【詳解】聯(lián)立方程:可得:,,結(jié)合定積分的幾何意義可知曲線y=x2與曲線y2=x所圍成的平面圖形的面積為:.本題選擇B選項.【點睛】本題主要考查定積分的概念與計算,屬于中等題.2.C【解析】
,分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)即可.【詳解】由已知,,故的虛部為.故選:C.【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算,考查學生的基本運算能力,是一道基礎題.3.B【解析】
設正四面體ABCD的外接球的半徑R,將該正四面體放入一個正方體內(nèi),使得每條棱恰好為正方體的面對角線,根據(jù)正方體和正四面體的外接球為同一個球計算出正方體的棱長,從而得出正四面體的棱長,最后可求出正四面體的表面積.【詳解】將正四面體ABCD放在一個正方體內(nèi),設正方體的棱長為a,如圖所示,設正四面體ABCD的外接球的半徑為R,則,得.因為正四面體ABCD的外接球和正方體的外接球是同一個球,則有,∴.而正四面體ABCD的每條棱長均為正方體的面對角線長,所以,正四面體ABCD的棱長為,因此,這個正四面體的表面積為.故選:B.【點睛】本題考查球的內(nèi)接多面體,解決這類問題就是找出合適的模型將球體的半徑與幾何體的一些幾何量聯(lián)系起來,考查計算能力,屬于中檔題.4.B【解析】
根據(jù)三視圖還原直觀圖如下圖所示,幾何體的體積為正方體的體積減去四棱錐的體積,即可求出結(jié)論.【詳解】如下圖是還原后的幾何體,是由棱長為2的正方體挖去一個四棱錐構(gòu)成的,正方體的體積為8,四棱錐的底面是邊長為2的正方形,頂點O在平面上,高為2,所以四棱錐的體積為,所以該幾何體的體積為.故選:B.【點睛】本題考查三視圖求幾何體的體積,還原幾何體的直觀圖是解題的關鍵,屬于基礎題.5.D【解析】
設點,由,得關于的方程.由題意,該方程有解,則,求出正實數(shù)m的取值范圍,即求正實數(shù)m的最小值.【詳解】由題意,設點.,即,整理得,則,解得或..故選:.【點睛】本題考查直線與方程,考查平面內(nèi)兩點間距離公式,屬于中檔題.6.A【解析】
求出函數(shù)的導函數(shù),令導數(shù)為零,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性,求得極大值點即可.【詳解】因為,故可得,令,因為,故可得或,則在區(qū)間單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故的極大值點為.故選:A.【點睛】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值點,屬基礎題.7.D【解析】
由圓與相切可知,圓心到的距離為2,即.又,由此求出的值,利用離心率公式,求出e.【詳解】由題意得,,,.故選:D.【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì),直線與圓相切的性質(zhì),離心率的求法,屬于中檔題.8.D【解析】
先判斷函數(shù)的奇偶性可排除選項A,C,當時,可分析函數(shù)值為正,即可判斷選項.【詳解】,,即函數(shù)為偶函數(shù),故排除選項A,C,當正數(shù)越來越小,趨近于0時,,所以函數(shù),故排除選項B,故選:D【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性,識別函數(shù)的圖象,屬于中檔題.9.B【解析】由a1+a3+a5=21得a3+a5+a7=,選B.10.C【解析】分析:根據(jù)復數(shù)的運算,求得復數(shù)z,再利用復數(shù)的表示,即可得到復數(shù)對應的點,得到答案.詳解:由題意,復數(shù)z=2i1-i所以復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點的坐標為(-1,-1),位于復平面內(nèi)的第三象限,故選C.點睛:本題主要考查了復數(shù)的四則運算及復數(shù)的表示,其中根據(jù)復數(shù)的四則運算求解復數(shù)z是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力.11.C【解析】
根據(jù)①③可判斷丙的院校;由②和⑤可判斷丙的學位.【詳解】由題意①甲不是軍事科學院的,③乙不是軍事科學院的;則丙來自軍事科學院;由②來自軍事科學院的不是博士,則丙不是博士;由⑤國防科技大學的是研究生,可知丙不是研究生,故丙為學士.綜上可知,丙來自軍事科學院,學位是學士.故選:C.【點睛】本題考查了合情推理的簡單應用,由條件的相互牽制判斷符合要求的情況,屬于基礎題.12.C【解析】
先用誘導公式得,再根據(jù)函數(shù)圖像平移的方法求解即可.【詳解】函數(shù)的圖象可由向左平移個單位得到,如圖所示,在上先遞減后遞增.故選:C【點睛】本題考查三角函數(shù)的平移與單調(diào)性的求解.屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
利用,得到的關系式,然后代入雙曲線的漸近線方程即可求解.【詳解】因為雙曲線的離心率為,所以,即,因為雙曲線的漸近線方程為,所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為:【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì);考查運算求解能力;熟練掌握雙曲線的幾何性質(zhì)是求解本題的關鍵;屬于基礎題.14.【解析】
求出拋物線的焦點坐標,代入圓的方程,求出的值,再求出準線方程,利用點到直線的距離公式,求出弦心距,利用勾股定理可以求出弦長的一半,進而求出弦長.【詳解】拋物線E:的準線為,焦點為(0,1),把焦點的坐標代入圓的方程中,得,所以圓心的坐標為,半徑為5,則圓心到準線的距離為1,所以弦長.【點睛】本題考查了拋物線的準線、圓的弦長公式.15.-160【解析】試題分析:常數(shù)項為.考點:二項展開式系數(shù)問題.16.【解析】
求導,得到和,利用點斜式即可求得結(jié)果.【詳解】由于,,所以,由點斜式可得切線方程為.故答案為:.【點睛】本題考查利用導數(shù)的幾何意義求切線方程,屬基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)【解析】
(1)利用余弦定理可得的長;(2)利用面積得出,結(jié)合正弦定理可得.【詳解】解:(1)由題可知.在中,,所以.(2),則.又,所以.【點睛】本題主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形,已知角較多時一般選用正弦定理,已知邊較多時一般選用余弦定理.18.(1).(2)見解析【解析】
(1)由絕對值三解不等式可得,所以當時,,即可求出參數(shù)的值;(2)由,可得,再利用基本不等式求出的最小值,即可得證;【詳解】解:(1)∵,∴當時,,解得.(2)∵,∴,∴,當且僅當,即,時,等號成立.∴.【點睛】本題主要考查絕對值三角不等式及基本不等式的簡單應用,屬于中檔題.19.;.【解析】
利用正弦定理化簡求值即可;利用兩角和差的正弦函數(shù)的化簡公式,結(jié)合正弦定理求出的值.【詳解】解:,由正弦定理得:,,,,,又,為三角形內(nèi)角,故,,則,故,;(2)平分,設,則,,,,則,,又,則在中,由正弦定理:,.【點睛】本題考查正弦定理和兩角和差的正弦函數(shù)的化簡公式,二倍角公式,考查運算能力,屬于基礎題.20.(1)0.024;(2)分布列見解析,;(3)【解析】
(1)由題意可知,若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16,則該套凈水系統(tǒng)中一個一級過濾器需要更換8個濾芯,兩個二級過濾器均需要更換4個濾芯,而由一級濾芯更換頻數(shù)分布表和二級濾芯更換頻數(shù)條形圖可知,一級過濾器需要更換8個濾芯的概率為0.6,二級過濾器需要更換4個濾芯的概率為0.2,再由乘法原理可求出概率;(2)由二級濾芯更換頻數(shù)條形圖可知,一個二級過濾器需要更換濾芯的個數(shù)為4,5,6的概率分別為0.2,0.4,0.4,而的可能取值為8,9,10,11,12,然后求出概率,可得到的分布列及數(shù)學期望;(3)由,且,可知若,則,或若,則,再分別計算兩種情況下的所需總費用的期望值比較大小即可.【詳解】(1)由題意知,若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16,則該套凈水系統(tǒng)中一個一級過濾器需要更換8個濾芯,兩個二級過濾器均需要更換4個濾芯,設“一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16”為事件,因為一個一級過濾器需要更換8個濾芯的概率為0.6,二級過濾器需要更換4個濾芯的概率為0.2,所以.(2)由柱狀圖知,一個二級過濾器需要更換濾芯的個數(shù)為4,5,6的概率分別為0.2,0.4,0.4,由題意的可能取值為8,9,10,11,12,從而,,.所以的分布列為891011120.040.160.320.320.16(個).或用分數(shù)表示也可以為89101112(個).(3)解法一:記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費用(單位:元)因為,且,1°若,則,(元);2°若,則,(元).因為,故選擇方案:.解法二:記分別表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買一級濾芯和二級濾芯所需費用(單位:元)1°若,則,的分布列為128016800.60.488010800.840.16該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買的各級濾芯所需總費用為(元);2°若,則,的分布列為800100012000.520.320.16(元).因為所以選擇方案:.【點睛】此題考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的求法及應用,考查古典概型,考查運算求解能力,屬于中檔題.21.(1)(2)證明見解析【解析】
(1)求導,代入,求出在處的導數(shù)值及函數(shù)值,由此即可求得切線方程;(2)分類討論得出極大值即可判斷.【詳解】/r
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