第一課數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)應(yīng)用

第一課

數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)應(yīng)用

數(shù)學(xué)建模的含意數(shù)學(xué)模型：由實(shí)際問題歸結(jié)為的數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)建模：對(duì)實(shí)際問題加以簡(jiǎn)化、抽象，提出假設(shè)，歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題，解決，并加以檢驗(yàn)的全過程數(shù)學(xué)建模的一般步驟準(zhǔn)備假設(shè)建模解模驗(yàn)證和討論應(yīng)用數(shù)學(xué)建模是不同層次數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容大學(xué)普遍開設(shè)數(shù)學(xué)建模課程中國(guó)大學(xué)生數(shù)模競(jìng)賽和美國(guó)大學(xué)生數(shù)模競(jìng)賽上海市的中學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種新的方式自主學(xué)習(xí)體驗(yàn)知識(shí)的聯(lián)系，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣提高應(yīng)用、創(chuàng)新能力、綜合能力、團(tuán)隊(duì)精神數(shù)學(xué)建模與解應(yīng)用題的不同處假設(shè)是數(shù)學(xué)建模的一部分由實(shí)際檢驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的結(jié)論數(shù)學(xué)建模教學(xué)的功能更多綜合性應(yīng)用知識(shí)創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)精神的培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的簡(jiǎn)單例子沖洗蔬菜上殘留農(nóng)藥的方法太陽(yáng)系行星位置的數(shù)學(xué)模型沖洗蔬菜上殘留農(nóng)藥的方法剛從田里采摘下來的蔬菜上有殘留的農(nóng)藥，需要用水清洗現(xiàn)在有4公斤的水，要沖洗一袋蔬菜有兩種沖洗方案：一種是將4公斤的水一次沖洗；另一種是分兩次沖洗，每次沖洗用水2公斤已知1公斤的水沖洗一次，可使蔬菜上殘留農(nóng)藥為原來的1/2問哪種沖洗方案可使蔬菜上殘留農(nóng)藥量比較少？

分析用于沖洗的水越多，洗掉的農(nóng)藥也越多，但總還有殘留農(nóng)藥在蔬菜上沖洗次數(shù)越多，洗掉的農(nóng)藥也越多關(guān)鍵所在：殘留農(nóng)藥與沖洗用水量之間的函數(shù)關(guān)系殘留農(nóng)藥y與沖洗用水量x的關(guān)系

y是沖洗前后農(nóng)藥殘留量之比

y隨x增大而減小

y（1）=0.5，y（0）=1已知的信息還不足以確定殘留農(nóng)藥與沖洗用水量之間的函數(shù)關(guān)系可以假設(shè)某些函數(shù)關(guān)系加以討論取兩種函數(shù)形式討論函數(shù)形式不同滿足函數(shù)要求結(jié)輪相同討論函數(shù)相同，自變量范圍不同可能結(jié)輪不同不排除其他形式的函數(shù)可能有不同的結(jié)輪要通過實(shí)踐檢驗(yàn)太陽(yáng)系行星位置的數(shù)學(xué)模型行星水星金星地球火星木星土星距離3.97.210.015.252.095.3分析上述數(shù)據(jù)，你會(huì)得到什么結(jié)論？動(dòng)畫假設(shè)在太陽(yáng)系中尚有未發(fā)現(xiàn)的行星太陽(yáng)系的行星離太陽(yáng)的距離可以用簡(jiǎn)單的數(shù)列表示博德公式（1766年）理論公式和實(shí)際對(duì)比行星n理論距離實(shí)際距離水星例外43.9金星277.2地球31010.0火星41615.2小行星52827.6木星65252.0土星710095.3天王星8192192海王星9388301冥王星107723961782年1801年1846年1903年太陽(yáng)系八大行星

曾經(jīng)作為太陽(yáng)系第九大行星冥王星，在2006年8月24日于布拉格舉行的第26屆國(guó)際天文聯(lián)會(huì)中通過的第5號(hào)決議中被劃為矮行星，并命名為小行星134340號(hào)，從太陽(yáng)系九大行星中被除名?，F(xiàn)在太陽(yáng)系只有八大行星。所有涉及“九大行星”的內(nèi)容應(yīng)改為“八大行星”。

第二課足球最佳射門位置問題的提出張角的概念張角公式的推導(dǎo)

，

。

求射門的最佳位置

q的表達(dá)式含有反三角函數(shù)，直接求最值有困難

tanq

是q的增函數(shù)求tanq

的最大值求tanq

的最大值討論1當(dāng)球員在沿平行于邊線且離邊線距離為d的直線上向?qū)Ψ角蜷T進(jìn)攻時(shí)，他最佳的射門位置在何處?。討論2如果足球運(yùn)動(dòng)員是沿一條和球門中心連線成某一個(gè)角度的斜線進(jìn)攻，他在何處射門最有利?第三課家具進(jìn)屋問題例1.商店一輛送貨推車,長(zhǎng)2.2米,寬1米,能否拐進(jìn)居民大樓1.5米寬的直角走廊?問題例2.一條直角走廊寬1.3米,一件水平截面如右圖所示的直角家具ABCDE,是否能拐進(jìn)這條直角走廊?家具移動(dòng)問題的假設(shè)家具可以連續(xù)移動(dòng)：平行移動(dòng)、旋轉(zhuǎn)；家具不能折卸、翻轉(zhuǎn)，即不能改變家具的外形推車問題分析（動(dòng)畫）關(guān)鍵點(diǎn)是：在推車轉(zhuǎn)彎過程中點(diǎn)M到直線AB的距離是否始終大于推車的寬度1m？寫出M點(diǎn)到直線AB的距離公式求M點(diǎn)到直線AB的距離的極值直角家具問題分析（動(dòng)畫）關(guān)鍵點(diǎn)是：在家具轉(zhuǎn)彎過程中點(diǎn)M到直線BE的距離是否始終大于線段CG的長(zhǎng)度？寫出點(diǎn)M到直線BE的距離家具問題小結(jié)家具連續(xù)移動(dòng)，盡可能地化為比較簡(jiǎn)單的移動(dòng)；表示這樣的移動(dòng)可以引進(jìn)參數(shù)；要找出移動(dòng)中的關(guān)鍵位置；能否順利移動(dòng)到指定的位置，往往取決于某些點(diǎn)到家具特定邊的距離的大??；在實(shí)際問題中借助于數(shù)值計(jì)算，也可以得到正確的結(jié)論。思考題第四課噴灌頭的間距問題背景噴灑灌溉系統(tǒng)和噴漆設(shè)備：被噴灑的物體面要求受液均勻假設(shè)單個(gè)噴頭噴灑均勻，范圍是一個(gè)圓域要求確定噴頭間距，使地塊各點(diǎn)受水最均勻假設(shè)噴頭圓內(nèi)灑水均勻沒有一個(gè)點(diǎn)同時(shí)受到三個(gè)或三個(gè)以上噴頭的噴灑怎樣刻畫地塊點(diǎn)的受水量？設(shè)想地塊平移，噴水管不動(dòng)的情況原先在(x,y)處的一點(diǎn)只有當(dāng)該點(diǎn)移動(dòng)到噴頭的噴灑圓內(nèi)時(shí)受到噴灌該點(diǎn)受水量與過該點(diǎn)且平行于y軸的直線與噴灑圓所交的弦長(zhǎng)成正比在這條直線上的各點(diǎn)受水量相同怎樣刻畫地塊的受水量的均勻性？一點(diǎn)受水量可用弦長(zhǎng)表示，該函數(shù)只是變量x的函數(shù)C(x)求C(x)的最值用最大值與最小值之差表示受水不均勻度，該指標(biāo)與兩個(gè)噴頭的間距d有關(guān)，記為f(d)選擇d使f(d)達(dá)到最小受水量C(x)的表達(dá)式視d為常數(shù)由對(duì)稱性，只考慮x的范圍在0到d/2之間C(x)是一個(gè)以d-R為界的分段函數(shù)C(x)的最值先求C(x)在兩個(gè)小區(qū)間最值比較大小后可得C(x)在[0,d/2]上的最值在[0,d-R]上C(x)的最值是x的減函數(shù)：弦長(zhǎng)單調(diào)減小在[d-R，d/2]上C(x)的最值是x的增函數(shù)：二條弦長(zhǎng)之和，增多減少在整個(gè)區(qū)間上[0，d/2]上C(x)的最值比較兩個(gè)小區(qū)間上最值大小最值與d有關(guān)，此時(shí)d為變量M(d)的討論M(d)的值是AD(＝2R)的長(zhǎng)度與2|ST|長(zhǎng)度中大者先看|ST|＝R的情況此時(shí)AD＝2ST由此位置兩圓圓心相離時(shí)(即d增大),AD>2ST由此位置兩圓圓心相近時(shí)(即d減小),AD<2STM(d)是一個(gè)分段函數(shù)M(d)和f(d)的表達(dá)式求f(d)在[R,2R]內(nèi)的最小值結(jié)論第五課降低成本的裝箱方法

學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)論文問題提出問題實(shí)際背景裝箱方法引起疑問：看來裝滿，為什么實(shí)際數(shù)目不多？研究的問題不同的裝箱方法怎樣影響草莓總數(shù)？有沒有節(jié)約裝箱成本的方法已知信息和假設(shè)紙箱的長(zhǎng)、寬、高的規(guī)格有下列三種36cmX36cmX36cm、54cmX24cmX36cm、72cmX18cmX36cm假設(shè)草莓為球形，大小一樣，平均3cm觀察果農(nóng)裝箱方法層與層之間：“迭裝”和“錯(cuò)裝”每層草莓?dāng)?shù)：類型1和類型2裝兩層草莓的高度“迭裝”方法：2d“錯(cuò)裝”方法：兩種類型每層的草莓總數(shù)將紙箱的尺寸表示為：adXbdXcd紙箱的底面為矩形：adXbd

一層類型1草莓的總數(shù)為aXb個(gè)一層類型2草莓的總數(shù)為（a-1）X（b-1）個(gè)計(jì)算草莓總數(shù)調(diào)整相對(duì)位置，使得若干層類型1的裝法集中在底層，以后往上類型1和類型2交錯(cuò)出現(xiàn)。這樣調(diào)整后草莓層數(shù)不變，總數(shù)不變草莓總數(shù)計(jì)算1~n層為類型1裝法往上類型1和類型2裝法交錯(cuò)出現(xiàn)。從類型2開始出現(xiàn)（含）以上設(shè)總有m層裝滿箱時(shí)草莓總數(shù)和箱高cd的關(guān)系計(jì)算草莓總數(shù)公式計(jì)算草莓總數(shù)步驟取n為不大于c的整數(shù)求滿足不等式的最大整數(shù)m按公式計(jì)算草莓總數(shù)具體計(jì)算結(jié)果解釋對(duì)裝箱數(shù)目的疑惑對(duì)紙箱尺寸的建議在相同的周長(zhǎng)條件下，底越接近正方形，可裝的草莓越多第六課那契印地安人婚配制度用數(shù)學(xué)模型研究歷史事實(shí)的案例探索那契印第安人婚配制度崩潰原因數(shù)學(xué)模型幫助探索歷史假設(shè)是數(shù)學(xué)模型成功與否的關(guān)鍵假設(shè)要合理、繁簡(jiǎn)恰當(dāng)，與建立模型相呼應(yīng)那契印第安人婚配制度這種婚配制度為什么會(huì)崩潰？能否用數(shù)學(xué)模型方法來解釋？對(duì)問題的思考等級(jí)人數(shù)發(fā)生問題定性不能解決的疑惑假設(shè)男女人數(shù)相等（全族、各等級(jí)）一對(duì)夫妻育有一對(duì)子女，男女各一只和同代人結(jié)婚，一夫一妻制、只結(jié)婚一次問題歸結(jié)為差分方程組結(jié)論總?cè)藬?shù)不變，上等人的人數(shù)隨世代更替而無限增加，必然因下等人數(shù)不能符合婚配制度的要求導(dǎo)致這種婚配制度的崩潰第七課概率和數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用一、這為什么是騙局？有人在街角設(shè)賭：20枚簽（其中10枚標(biāo)有5分分值、10枚標(biāo)有10分分值）讓過路人從中抽出10枚，以10枚簽的分值總和為獎(jiǎng)、罰依據(jù)。具體獎(jiǎng)罰金額見下表：分值獎(jiǎng)罰金額50,100獎(jiǎng)100元55,95獎(jiǎng)10元60,65,85,90不獎(jiǎng)不罰70,75,80罰1元用概率分析輸贏值是隨機(jī)的記一次獎(jiǎng)罰額為XX取值：100，10，0，－1X為離散的隨機(jī)變量求X的分布列計(jì)算X的分布列這是古典概型，基本事件是從20枚簽中取出10枚基本事件總數(shù)：從20個(gè)事物取10個(gè)的組合數(shù)“X＝－1”的概率X=-1時(shí)對(duì)應(yīng)的分值：70，75，80包含的基本事件：6X5分和4X10分，5X5分和5X10分，4X5分和6X10分基本事件數(shù)：絕大多數(shù)被罰“X＝100”的概率X=100時(shí)包含的基本事件：全10或全5基本事件數(shù)：2比一年全國(guó)自行車遇車禍的概率還小(1/5000)

“X＝10”的概率X=10時(shí)對(duì)應(yīng)的分值：55，95包含的基本事件：9X5分和1X10分，9X5分和1X10分基本事件數(shù)：平均1000人只有一個(gè)人得10元“X＝0”的概率X=0時(shí)對(duì)應(yīng)的分值：60，65，85，90包含的基本事件：8X5分和2X10分，7X5分和3X10分，3X5分和7X10分，2X5分和8X10分基本事件數(shù)：平均約1/5的無獎(jiǎng)罰X的分布列計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望按公式計(jì)算結(jié)果為－0.81元這種賭博不公正用數(shù)學(xué)期望的含義解釋結(jié)果：平均每個(gè)參賭的人要付給設(shè)賭局者0.81元，參賭的人越多，結(jié)論越準(zhǔn)確二、如何減少驗(yàn)血次數(shù)？1500名同學(xué)參加驗(yàn)血分組檢驗(yàn)法：按k個(gè)人一組進(jìn)行分組，對(duì)k個(gè)人的血混合在一起進(jìn)行檢驗(yàn)。如果混合血液呈陰性，可得k個(gè)人的血都呈陰性若呈陽(yáng)性，則再對(duì)這k個(gè)人的血分別進(jìn)行化驗(yàn)是否可以減少總檢驗(yàn)次數(shù)？k等于多少時(shí)，可以使檢驗(yàn)次數(shù)最少？建立模型－確立隨機(jī)變量以X表示一個(gè)學(xué)生平均驗(yàn)血的次數(shù)不分組X＝1:常數(shù)分組：X=1/k或x=1+1/kX是隨機(jī)變量計(jì)算X的分布列：取兩種值的概率計(jì)算X的期望值EX，若EX<1，說明分組驗(yàn)血有成效分組時(shí)X的分布列設(shè)檢出血液陽(yáng)性率為pX的概率分布列X的數(shù)學(xué)期望EXEX<1的條件取p=0.1,對(duì)k取不同數(shù)值計(jì)算計(jì)算結(jié)果和結(jié)論（p=0.1）第八課風(fēng)險(xiǎn)決策的數(shù)學(xué)模型

面對(duì)不確定性的決策方法風(fēng)險(xiǎn)決策的應(yīng)用面對(duì)不確定性的情況例子漁船是否要出海是否要投資房地產(chǎn)學(xué)生如何填報(bào)高考志愿幾個(gè)概念決策：先于行動(dòng)前的選擇風(fēng)險(xiǎn)決策：面對(duì)不確定性的決策風(fēng)險(xiǎn)決策解決問題的思路最優(yōu)：在均值的意義下追求最優(yōu)基礎(chǔ)：隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望步驟：選擇目標(biāo)函數(shù)確定隨機(jī)變量、隨機(jī)空間、概率等確定目標(biāo)依賴于隨機(jī)因素的表達(dá)式計(jì)算在各種決策下目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)期望選擇達(dá)到最大期望值的那個(gè)決策例子面包房進(jìn)貨量的問題填報(bào)志愿的問題面包房進(jìn)貨量的問題每只面包的進(jìn)貨價(jià)為2.50元，售價(jià)為4元。當(dāng)天下午6：00以后開始打折，以每只2元的價(jià)格處理完剩下的面包面包房每天面包在下午6：00以前售出100、150、200、250、300只的概率分別為0.2、0.25、0.3、0.15和0.1生產(chǎn)廠家每天供貨數(shù)必須是50的倍數(shù)問面包房每天應(yīng)該進(jìn)多少貨？引進(jìn)變量以X表示在下午6:00以前賣出的面包數(shù)：這是一個(gè)隨機(jī)變量以L表示利潤(rùn)：目標(biāo)函數(shù)以y表示進(jìn)貨量：這是決策變量L依賴于X和y計(jì)算的步驟寫出L依賴于X和y的表達(dá)式計(jì)算y取不同數(shù)值時(shí)的期望值選擇利潤(rùn)達(dá)到最大期望值的進(jìn)貨數(shù)yL的表達(dá)式

有關(guān)信息X取值：100，150，200，250，300分別列如下表所示只考慮y取值：100，150，200，250，300

y=100時(shí)L的期望值全部面包都能以正常價(jià)格出售

y=150時(shí)L的期望值

y=200時(shí)L的期望值

y=250時(shí)L的期望值

y=300時(shí)L的期望值決策當(dāng)y=200或250時(shí)L的期望值最大，每天可以進(jìn)200只或250只面包平均利潤(rùn)為每天235元學(xué)生填報(bào)志愿的問題填報(bào)的志愿不能重復(fù)希望喜好程度的期望值最大分析對(duì)個(gè)人來說填報(bào)的效果有偶然性對(duì)一群學(xué)生來說，按風(fēng)險(xiǎn)決策的方法可以求得最佳的決策：使學(xué)生的喜好得分期望值最高先不考慮學(xué)校不能重復(fù)的限制，如結(jié)果有重復(fù)，再作調(diào)整；否則就是最佳先考慮第三志愿第三志愿應(yīng)該選D學(xué)生進(jìn)入第三志愿的喜好程度得分期望值為4.2先考慮第二志愿第二志愿應(yīng)該選C學(xué)生進(jìn)入第二志愿的喜好程度得分期望值為6.1最后考慮第一志愿最終決策依次選B、C、D

喜好程度得分期望值為7.26第九課指派問題合理利用資源、人力的方法典型問題有n件工作要完成有n個(gè)人可以調(diào)用每件工作可以指派任何人做，但效率不同；效率用效率表表示一件工作只能由一個(gè)人做一個(gè)人只能做一件工作如何指派可使效率最高（和最?。┲概傻囊?---通過表格表示每行取一個(gè)數(shù)且只取一個(gè)數(shù)（一個(gè)人做一件工作且只做一件工作）每列取一個(gè)數(shù)且只取一個(gè)數(shù)（每件工作必須有人做且只由一個(gè)人）在表中共取出五個(gè)數(shù)，分別在不同行不同列上（指派工作的一種方案）這五個(gè)數(shù)的和表示該方案的效率在所有的方案中找到和為最小（效率最好）的方案一切可能方案的總數(shù)＝n!

工作人員123A457B135C265如果某件工作由任何人完成都要增加（或減少）相同的時(shí)間，則最優(yōu)方案不變

工作人員123A457B135C265如果某個(gè)人完成任何工作都要增加（或減少）相同的時(shí)間，則最優(yōu)方案不變

123A457B135C265

123A013B024C043

123A000B011C030

123A000B011C030A做第2件工作，B做第1件工作，C做第3件工作在不同行、不同列上有三個(gè)零，總和為零，對(duì)應(yīng)最佳方案

工作人員123A265B356C934203102010203102010

工作人員123A314B657C232203102010102001020

123A000B011C030203102010如何判別效率表中在不同的行、不同的列有三個(gè)零更復(fù)雜的情況

工作人員12345A45736B13584C26572D35636E934344573613584265723563693434124030247304350023036010112303023730425002203600011230302373042500220360001表中每行、每列都有零但是沒有不在同一行、同一列的五個(gè)零12303023730425002203600011230302373042500020362001要?jiǎng)澣ケ碇兴械牧?，至少要五條直線段（橫線或豎線）1230302373042500220360001表中有五個(gè)在不同行、不同列的零劃去所有零的最少線段數(shù)：412303023730425002203600011010100171242700000180021未劃去的數(shù)減去2在交叉點(diǎn)上的數(shù)加上2劃去的數(shù)但不在交叉點(diǎn)上的數(shù)不變把方法應(yīng)用到更多的問題中去人數(shù)和工作數(shù)不相等求最大值（不是求最小值）人數(shù)和工作數(shù)不相等

待卸車裝卸組12345A45736B13584C26572D35636人數(shù)