流體力學(xué)主講教授

Outlineerning

EquationsOne-dimensional

SolutionsTwo-dimensional

Solutions1控制方程ERNING

EQUATIONS1

Equations erning

fluid

motions2d

1T

)

q

f

v

(

pv)

(

v)

(k

e

vdt

2Continuum

AssumptionContinuity

Equationd

v

v

v

0dt

tN-S

Equation

dv

v

v

v

f

p

2

vdt

tEquation

of

conservation

of

energy1

Equations erning

fluid

motionsEquation

of

State

(EOS)f

(

p

,

,

T

)

0Boundary

conditionsv

(

b

(

x

,

y

,

z

)

0,

t

)

v

b

(

t

)

(

b

(

x

,

y

,

z

)

0,

t

)

b

(

t

)p

(

b

(

x

,

y

,

z

)

0,

t

)

pb

(

t

)Initial

conditionsv

(

x

,

y

,

z

,

t

0)

v

0

(

x

,

y

,

z

)

(

x

,

y

,

z

,

t

0)

0

(

x

,

y

,

z

)p

(

x

,

y

,

z

,

t

0)

p

0

(

x

,

y

,

z

)2

Equationserning

fluid

statics(x,

y,

z,

t)

const2

d

e1dt

2v

f

v

(

pv)

(

v)

(kT

)

q(v

v

v)

f

p

2vtEquation

of

conservation

of

energypressibleContinuity

Equationd

v

v

0dtN-S

Equationd

0dt

v

u

v

w

0x

y

ztv

v

v

f

1

p2

Equations erning

fluid

staticsEquation

of

State

(EOS)f

(

p

,

,T

)

f

(

p

,

T

)

0,

p

RTBoundary

conditionsv

(

b

(

x

,

y

,

z

)

0,

t

)

v

b

(t)(b(x,

y

,

z

)

0,

t

)

b(t)p

(

b

(

x

,

y

,

z

)

0,

t

)

pb

(t)Initial

conditionsv

(

x

,

y

,

z,

t

0)

v

0

(

x

,

y

,

z

)(x,

y

,

z,

t

0)

0(

x

,

y

,

z

)p

(

x

,

y

,

z

,

t

0)

p0

(

x

,

y

,

z

)2

The

motion

of

an

ideal

fluidContinuity

Equation

v

u

v

w

0x

y

zEuler

EquationtBoundaryconditionsv

v

v

f

1

pv

(

b

(

x

,

y

,

z

)

0,

t

)

v

b

(

t

)Initial

conditionsv

(

x

,

y

,

z

,

t

0)

v

0

(

x

,

y

,

z

)2

ONE-DIMENSIONAL

SOLUTION一維不可壓縮定常解一維不可壓縮A1V1

A2V2A1

,V1A2

,V2伯努利積分：歐拉方程在定常運(yùn)動沿流線的積分假設(shè)條件：（１）理想流體；（3）定常運(yùn)動；（2）不可壓縮；（4）沿流線積分。V2z

p2

g

C歐拉方程可寫成xyzU

(

p

)

V

V

Vx

x

VxxVxyVxzxyzU

(

p

)

V

Vy

y

Vyx

VVyyVyzxyzU

(

p

)

V

Vz

z

Vzx

VVzyVzz定常運(yùn)動流線與軌跡重合，在軌跡上下式成立dx

Vxdtdy

Vydtdz

Vzdt同理有:y

xzx

(U

p

)VVxdt

V

Vx

V

dt

V

Vx

V

dtxyz式(1),(2),(3)的兩邊分別乘以式(4),(5),(6)以第一式為:V)dx

d

(2x)2即同理)2V2ypp)

dy

d

(

(U

x

y(U

2

(U

p

)

dz

d

(

Vz2

)zxx

yxz

(U

p

)dx

Vdx

V

Vx

V

dt

V

Vx

V

dtxVxxyz22x2

V

(d

x

d

y

xd

z

) /

2

Vx

x

y

V

z將(７),(８),(９）三式相加，考慮到速度的模ｖ2＝ｖx2＋ｖy

＋ｖz

，有:2

2pV2d

(

U

)

d

(2)pV

2d

(U

2

)

0在流線上有括弧內(nèi)沿流線上的全微分等于零，則沿流線一定是常數(shù):2l

2U

p

V

Cpv

22g

z

C

l在重力場中Ｕ＝－ｇｚ，則沿流線:pv

2z

2

g

ClＣl稱為流線常數(shù)拉氏積分和伯氏積分雖在形式上相同，但不同之點(diǎn)有二：為了工程上的應(yīng)用，現(xiàn)將伯氏方程推廣到有限大的流束。漸變流動:流線近似平行，而且流線的曲率很小的流動，否則稱為急變流動。(z

p)漸變流動特點(diǎn)：項在整個過水（過流）斷面上為常數(shù)。為簡單計，約定取過水?dāng)嗝嫘涡奶幍臄?shù)值。流線上任意一點(diǎn)的速度ｖ近似地用過流斷面上的平均流速U來代替即用近似代替v22gU

22g適用于有限大流束的伯努利方成為：pU2z

2

g

const12p

pU

2

U

2

2g

2gz

1

1

z

2

2

或方程適用條件：（１）理想流體，定常流動；（２）只有重力的作用；（３）流體是不可壓縮的；（4）１.２截面處流動須是漸變流。但1.2兩斷面間不必要求為漸變流動。一、幾何意義z

：長度量綱，流體質(zhì)點(diǎn)或空間點(diǎn)在基準(zhǔn)面以上的幾何高度，又稱位置水頭。§4-4

伯努利方程的幾何意義和能量意義：長度量綱，測壓管中液面上升的高度，稱為壓力高度、或測管高度，或稱壓力水頭、測管水頭記為HP

p：具有長度的量綱，稱為流速高度或速度水頭?？捎闷ね泄芎蜏y壓管中液面高度差來表示，記為HVV22

g結(jié)論：對于理想流體，定常運(yùn)動，質(zhì)量力只有重力作用時，沿流線有：幾何高度、壓力高度和流速高度之和為一常數(shù)。Z

+

Hp

+Hv

=H三個高度（水頭）之和稱為總水頭。其端點(diǎn)的連線——總水頭線為一條水平線。如下圖所示。V

2

12gV222

gp1p2總水頭線H壓力水頭線二、能量意義(物理意義)ezz

：代表單位重量流體的位能，記為：單位重量流體的壓力能，記為ep

p

：單位重量流體的動能，記為eV2V2g單位重量流體的總機(jī)械能：ez

ep

ev

E伯努利方程表明單位重量流體的總機(jī)械量沿流線守恒。對于理想、不可壓縮流體，定常運(yùn)動，只有重力作用時，單位重量流體的位能，壓力能和動能之和在流線上為一常數(shù)。因?yàn)樵诙ǔ＿\(yùn)動中流線與軌跡重合，所以同一流體微團(tuán)在運(yùn)動過程中單位重量的位能、壓力能和動能之和保持不變。小實(shí)驗(yàn)為何乒乓球掉不下來？為何紙向中間靠攏呢？3

TWO-DIMENSIONAL

SOLUTION二維不可壓縮定常解1平面流動平面流動（或稱二元流動）應(yīng)滿足的條件：

平面上任何一點(diǎn)的速度和加速度都平行于所在平面，無垂直于該平面的分量；與該平面相平行的所有其它平面上的流動情況完全相同。船舶在水面上的垂直振蕩問題，因船長比寬度及吃水大得多，且船型縱向變化比較緩慢，可近似認(rèn)為流體只在垂直于船長方向的平面內(nèi)流動。1平面流動Continuity

Equation

v

u

v

0x

yEuler

Equationv

v

1

p2

2p

1

(u2

v2

)

p

1

V2

CConservation

of

Momentum

Moment

v

0Boundary

conditionsv

(

b

(

x

,

y

)

0,

t

)

v

b2

2u

v

v

x

y

xy

xy

0

v

yu

v

2

2

2x

y2

x20u

,

v

y

x勢流

potentialflow

const,

d

0d

dy

dx

udy

vdx

0y

xdx

dy

u

v流函數(shù)Stream

function流線220yxxy

v

u

v

2

2

0x

y

x2

y2勢流

potentialflow

v

u

v

y

xu

,

v

x

yd

dy

dx

udx

vdy

0y

xdx

dy

v

udx

dyu

v勢函數(shù)PotentialfunctionEquipotential

Lines

const,

d

0等勢線

垂直流線求解思路可簡述為：解拉斯方程→φ→ｖ→ｐ→流體作用于固體的力和力矩。求解拉斯方程的方法很多，本章只介紹一個簡單的方法：“迭加法”。迭加法：預(yù)先選出一個“調(diào)和函數(shù)”，或數(shù)個調(diào)和函數(shù)的迭加，反過來檢驗(yàn)是否滿足所給的初始條件和邊界條件。若滿足則預(yù)先選定的調(diào)和函數(shù)就是所需要的解。x

y

0d

dx

dy

V

dx

V

dy

V

dxx

y3、均勻流設(shè)所有流體質(zhì)點(diǎn)均具有與ｘ軸平行的均勻速度VoVｘ＝Vo，

Vy＝０；平面流動速度勢的全微分為：

V0

x流函數(shù)的全微分：oψ

＝V

ｙｙ=const，流線ｘ＝const，等勢線兩組等值線相互正交y

x

od

dx

dy

V

dx

V

dy

V

dyx

y3、均勻流例如：均勻流的速度勢可表示平行平壁間的流動或薄平板的均勻縱向繞流。3、均勻流4、源或匯極坐標(biāo)下的連續(xù)方程r

rV

V

0rrrrV

0,

rV

V

rV

0rrrrr2V

C

Q

C

2Cr2C

Q4、源或匯r流體由平面上坐標(biāo)原點(diǎn)沿徑向流出叫做源，反向流動謂之匯。采用極坐標(biāo)，φ、ψ為V

1

V

1

r

sr

r

s

r2r2

d

(

dr

d)

VrdrrV

d

Q

drr

d

(

dr

d

)

VdrrVrd

Q

dr4、源或匯2

2

Q

ln

r

Q

流線為θ＝const，為原點(diǎn)引出的一組射線等勢線為ｒ＝const，流線為同心圓,相互正交。4、源或匯當(dāng)Ｑ＞０，則Vｒ＞０為點(diǎn)源，反之為點(diǎn)匯。對于擴(kuò)大（收縮）流道中理想流體的流動，可以用源（匯）的速度勢來描述。2

220x2

y2在極坐標(biāo)系2

r21

1

22

0r

r

r

r4、源或匯在直角坐標(biāo)系1

r

0Vr

,V

r在極坐標(biāo)系1

r

0r

r

r

0

r

r

r

2

Q

log

r

Q

1r

2

r1

0rVr

V

2

22

0x2

y221

1

02

r

2

2rr

r

r

4、源或匯在直角坐標(biāo)系在極坐標(biāo)系1

0rV

,V

rr

在極坐標(biāo)系1

2

r

202

Q

log

r2Q

1

Q

1rV

r

2

rV

0r22

2

0

x2

y22

r21

r

1

22

0r

r

r

在直角坐標(biāo)系在極坐標(biāo)系1

r

0Vr

,V

r在極坐標(biāo)系22

0

2

5、點(diǎn)渦（環(huán)流）

()1

r

2rrV

0rV

2

2

2

0x2

y22

r21

1

22

0r

r

r

r

在直角坐標(biāo)系在極坐標(biāo)系在極坐標(biāo)系1

r

0r

r

r

0r

r

r

2

log(r)5、點(diǎn)渦（環(huán)流）1

r

0rV

,V

r1

0rV

r

V

1r

2

r5、點(diǎn)渦（環(huán)流）點(diǎn)渦：

流場中坐標(biāo)原點(diǎn)處一無窮長直線渦，方向垂直于xoy平面，與xoy平面的交點(diǎn)誘導(dǎo)速度沿點(diǎn)渦為中心的圓周切線方向，大小與半徑成反比：r2

rv

v

0

vrd

v

drC

2

ln

r流線：ψ＝const同心圓Γ＞０對應(yīng)于反時針的轉(zhuǎn)動Γ＜０對應(yīng)于順時針的渦旋Examples:Tornados,sink5、點(diǎn)渦（環(huán)流）1

r

1

22

r

2

2

0r

r

r

6、偶極子在極坐標(biāo)系1

0rV

,V

rr

A(r)cos(n)n2Ar2

0A

r

A

2r2M2r

cos()

Mxr2

r2

M

1cos()rVV

1

M

sin()2r

M2rA

r21

1

222

r

0

r

r

r

6、偶極子在極坐標(biāo)系1

0rV

,V

rr

A(r)sin()r2A

0rA

A

2sin()

M2rM2r1

M

1y

r

2

r2cos()rV

V

M

sin()r2M2rA

2

r

M

sin

M

y

2

x2

y2

c

M

y2

x2

y21x

2

cy

y

2x

2y

2

0yc

11114c2x2

(

y

1

)2

2c令ψ＝C即得流線族：6、偶極子

Mcos2

r

M

x

2x2

y2

cM

x2x2

y21

cx

2x

y

2x

2y

2

0xc

1111y2

(x

1

)2

2c4c2令＝C即得等勢線族：6、偶極子流線：圓心在ｙ軸上，與x軸相切的一組圓，

等勢線：圓心在ｘ軸上，與ｙ軸相切的一組圓。這些圓與ψ＝const正交注意：偶極子的軸線和方向軸線：源和匯所在的直線方向：由匯指向源的方向5、偶極子6、偶極子偶極子的方向?yàn)椋S負(fù)向6、偶極子流場中等流量的源和匯無限靠近，當(dāng)間距δx→０時，流量Ｑ→∞，使

得兩者之積趨于一個有限數(shù)值，即：Ｑδx→Ｍ

（δx→０)這一流動的極限狀態(tài)稱為偶極子，Ｍ為偶極矩。用迭加法求φ和ψr１≈r2＋δ

x

cosθ１1

21

22

=

Q

(ln

r

ln

r

)場點(diǎn)Ａ離源和匯的距離

x

cos

1r22

r2

2

Q

ln

r1

Q

ln

r2r2

x

cos

1)2

Q

ln(1

2

r2

Q

x

cos16、偶極子

M

cos2

r極坐標(biāo)下：

M

c

o

s

2

rx

M 2

x

2

y

2直角坐標(biāo)下：6、偶極子121

22

2對于流函數(shù)：

Q

(

)

Q

(

)這里：r2＝

xSinθ1r2

x

sin1所以代入上式得:

Q

x

sin12

r2當(dāng)δ

x→0時，Ｑδ

x→Ｍ，ｒ2→ｒ，θ

1→θ6、偶極子均勻流動+

偶極子

=

繞圓柱體的無環(huán)流流動7、繞圓柱體的無環(huán)量流動均勻流和偶極子迭加后的速度勢和流函數(shù)為1

2

01

2

02r2r

V

rcos

Mcos

V

rsin

Msin7、繞圓柱體的無環(huán)量流動Sin

(rV0

M

2

r)

0若sinθ＝０，有θ＝０或π因此ψ＝０的流線中有一部分是ｘ軸若

02rV

r

M

0r2M2V0200VM

r

2圓周r=r0也是ψ＝０流線的一部分令7、繞圓柱體的無環(huán)量流動令7、繞圓柱體的無環(huán)量流動1.無窮遠(yuǎn)條件:圓柱繞流的邊界條件：在無窮遠(yuǎn)處，流體未受圓柱體的擾動，該處為均勻流。yVx

V

0

0Vｒ

∞或0Vr

V0

cos

V

sin

V7、繞圓柱體的無環(huán)量流動7、繞圓柱體的無環(huán)量流動2.物面條件:圓柱表面不可

，即

r=ｒ0處，有Vｎ=Vｒ=０，或ｒ=ｒ0

的圓周是一條流線。r=r０，vｎ=vr=０或r=r０處ψ=０（零流線）00))rr20r2r20r2V

V

cos

(1

rV

V

sin

(1

1

r

20

0M

2V

r0

V

cos

0

r(r

)將7、繞圓柱體的無環(huán)量流動現(xiàn)在驗(yàn)證邊界條件（1）r2當(dāng)ｒ→∞，從上式可得:當(dāng)ｒ=ｒ０時，Vｒ＝0,滿足不可

條件。驗(yàn)證邊界條件7、繞圓柱體的無環(huán)量流動Vr

V0

cosV

V0

sin1.

流場中，均勻流和偶極子迭加的速度勢，完全滿足繞圓柱體無環(huán)流流動的遠(yuǎn)場和近場的邊界條件。7、繞圓柱體的無環(huán)量流動2.

流場中，均勻流和偶極子迭加后的流場在

ｒ≥ｒ０區(qū)域的流動情況與均勻流繞圓柱的流動情況完全一樣。迭加后將ｒ＜ｒ０的部分去掉，用ｒ＝ｒ０的圓柱體替代不會對流場有任何影響。因此繞圓柱體無環(huán)流流動的速度勢就是均勻流加偶極子的速度勢。圓柱表面的速度分布:Vr

0V

2V0

s

in

對Ａ，Ｃ兩點(diǎn)：θ＝π或０，ｖ＝０駐點(diǎn)：速度為零的點(diǎn)7、繞圓柱體的無環(huán)量流動速度達(dá)到最大值，圓柱體半徑無關(guān)。在流線ψ＝０上（包括ｘ軸和圓柱表面）：1.流體從∞以流速V０流向圓柱，接近圓柱速逐漸減小，到達(dá)Ａ點(diǎn)時速度降至零。然后分為二支向兩側(cè)流去，同時速度逐漸增大，到達(dá)B，D點(diǎn)時速度增至2V０達(dá)最大值。Ｂ，Ｄ兩點(diǎn)：7、繞圓柱體的無環(huán)量流動2

V

2V07、繞圓柱體的無環(huán)量流動2.經(jīng)過Ｂ，Ｄ后又逐漸減小，在Ｃ點(diǎn)匯合時速度又降至零。離開Ｃ點(diǎn)后，又逐漸加速，流向后方的無限遠(yuǎn)處時再恢復(fù)為ｖ０。柱面上的壓力分布:定常，不計質(zhì)量力的拉格朗日積分式為:V

2p

p0

V0

22

2圓柱表面上壓力分布:2002V2p

p

(1

4sin

)無窮遠(yuǎn)均勻流中壓力7、繞圓柱體的無環(huán)量流動2pC

1

4sin

202pC

Vp

p

01壓力分布既對稱于ｘ軸也對稱于ｙ軸。在Ａ，Ｃ兩點(diǎn)壓力最大在Ｂ，Ｄ兩點(diǎn)壓力最小7、繞圓柱體的無環(huán)量流動壓力系數(shù):圓柱體上：7、繞圓柱體的無環(huán)量流動沿ψ＝０這條流線的壓力變化為：-處：Cｐ=０，壓力漸大Ａ點(diǎn)達(dá)極大Cｐ＝１Ａ分兩支分別流向Ｂ，Ｄ點(diǎn)。Ｂ，Ｄ點(diǎn)：壓力為極小值Cｐ＝－３Ｃ點(diǎn)：恢復(fù)到極大值，Cｐ＝１，Ｃ點(diǎn)

+

壓力再次減小至p0，Cｐ＝０理想流體對圓柱體的作用力:升力L：

合力在ｙ軸上的分量阻力R：

合力在x軸上的分量繞圓柱的無環(huán)量流動：升力Ｌ＝０阻力

Ｒ＝０

壓力分布對稱于

y軸結(jié)論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果矛盾實(shí)測結(jié)果：稱為達(dá)朗貝爾謬論，它在理論上很有意義。7、繞圓柱體的無環(huán)量流動負(fù)壓正壓7、繞圓柱體的無環(huán)量流動１.２.物體周圍的流場３.物體周圍流場中不存在源、匯、渦等奇點(diǎn)４.

物體作等速直線運(yùn)動５.

物體表面流動沒有分離若其中的任一條件被破壞，則物體即將到流體的作用力（阻力或升力）。7、繞圓柱體的無環(huán)量流動繞圓柱體的無環(huán)流環(huán)量為Γ

順時針平面點(diǎn)渦邊界條件仍成立：圓柱是一條流線無窮遠(yuǎn)處的邊界條件7、繞圓柱體的有環(huán)量流動將繞圓柱體無環(huán)流流動與點(diǎn)渦進(jìn)行迭加：2020rr

V

cos

(r

0

)

r

20

V

sin

(r

)

ln

rr

2逆時針轉(zhuǎn)動取正7、繞圓柱體的有環(huán)量流動當(dāng)ｒ=ｒo(圓周仍為流線)02

ln

r

const.流場中速度分布為:0)rr20r2r2r2VV

V

cos

(1r2

r

1

V0

sin

(1

0

)

r

7、繞圓柱體的有環(huán)量流動7、繞圓柱體的有環(huán)量流動r=ｒ0

即圓柱表面上速度分布：00V

2V

sin

1

2

rVr

0由環(huán)流引起圓柱上表面：順時針環(huán)流引起的速度與無環(huán)量繞流的速度方向相同，故速度增加。圓柱下表面：方向相反，因而速度減少。駐點(diǎn)位置與Γ的大小有關(guān)：解出駐點(diǎn)位置：7、繞圓柱體的有環(huán)量流動00

s2r0

2V

sin

駐點(diǎn)處ｖｓ=０，4

r0V0sin

s

，1）Γ

4π

r0V0兩駐點(diǎn)在圓柱面上,并對稱位于三、四象限。Γ增加，則A,B兩駐點(diǎn)下移并互相靠攏。7、繞圓柱體的有環(huán)量流動7、繞圓柱體的有環(huán)量流動Γ

＝4π

r0V0兩個駐點(diǎn)重

一點(diǎn)。Γ

＞

4π

r0V0駐脫離圓柱面沿ｙ軸向下。令Vｒ=Vθ

=０，兩個駐點(diǎn)：一個在圓柱體內(nèi)，另一個在圓柱體外。實(shí)際只有一個在圓柱體外的駐點(diǎn)。7、繞圓柱體的有環(huán)量流動結(jié)論：1.2.流動對稱于ｙ軸，圓柱仍將不受阻力流動不對稱于ｘ軸，產(chǎn)生了向上的升力00

22

r

)p

C

v2

C

(2V2

2sin

7、繞圓柱體的有環(huán)量流動升力大小的計算：將圓柱表面上速度分布得：Vｓ＝－2V０sinθ－Γ/２πr０代入拉格朗日方程2

2002

200

r8

rV

sin

C

2

2V

sin

0202020sin

d

0,sin3

d

0,sin2

d

L

20p

sin

r0

d單位長圓柱所受到的升力為：將（6-33）代入上式，并考慮到L

V0于是得到升力的大?。悍Q為庫塔——儒可夫斯基升力定理7、繞圓柱體的有環(huán)量流動7、繞圓柱體的有環(huán)量流動上式揭示了升力和環(huán)量之間的一個重要關(guān)系：即升力的大小準(zhǔn)確地和環(huán)量Γ成正比，此外還和流體密度ρ及來流速度V０成正比。該定理在繞流問題中具有普遍意義，不僅對圓柱而且對有尖后緣的任意翼型都是正確的。升力的方向:7、繞圓柱體的有環(huán)量流動真實(shí)流體由于粘性，圓柱后部會有分離，除升力外還會有阻力，但升力仍可計算繞旋轉(zhuǎn)圓柱體流動會產(chǎn)生升力的現(xiàn)象-麥格努斯。7、繞圓柱體的有環(huán)量流動如乒乓球、排球中的弧圈球、飛行而又旋轉(zhuǎn)的彈等受到橫向力的作用，都是這一原理的應(yīng)用。德國工程師

脫納爾于1924年利用麥格魯斯效應(yīng)在他的試驗(yàn)船Buckan號上設(shè)置鉛垂的旋轉(zhuǎn)圓柱以代替風(fēng)帆，即旋筒推進(jìn)器。推力:L在船前進(jìn)方向的分力旋轉(zhuǎn)圓筒合速度V升力Ｌ

VL的分力7、繞圓柱體的有環(huán)量流動例6.1已知速度勢φ

=x３-３x

y2，求流函數(shù)ψx

y

V

3x2

3y2

V

6xyy

xx

yV

3x2

3y2

V

6xyx

y解:

(3x2

3y2)dy

f

(x)

3x2

y

y3

f

(x)積分得:式中f(x)為與y無關(guān)的函數(shù)。將ψ

對x求導(dǎo):y

6xy

f

(x)

V

6xyx即f(x)=C。則流函數(shù)為:

3x2y

y3

c1

22

2

ln

r

Q

解:

1

1

(

Q

)

Qr r

r

2

2r而2

Q

ln

r

C(

)積分得：(a)對θ

求導(dǎo)得:

C(

)另外

r

r

r

2r

22C

(

)

所以2即

C(

)

Q

ln

r

2

2代入(a)得勢函數(shù):例6.2已知平面點(diǎn)渦的流函數(shù)和平面點(diǎn)匯的流

函數(shù)分別為1

2

ln

r和求：疊加后的速度勢22

Q

r22

5

100r

sin

(1

25)

628

ln

r例6.3已知流函數(shù)求:１）駐點(diǎn)位置；２）繞物體的環(huán)量；３）無窮遠(yuǎn)處的速度；４）作用在物體上的力。解:１）求駐點(diǎn)位置(先求速度場)rr2V

100

cos

(1

25)rr22

rV

100sin

(1