復變函數(shù)與積分變換課程教學大綱

頁腳頁腳復變函數(shù)與積分變換》課程教學大綱課程名稱：復變函數(shù)與積分變換課程代碼：ELEA3035英文名稱：FunctionofComplexVariableandIntegralTransformation課程性質：專業(yè)必修課程學分/學時：2學分/36學時開課學期：第3學期適用專業(yè)：電氣工程及其自動化先修課程：高等數(shù)學后續(xù)課程：自動控制原理、信號與系統(tǒng)、檢測技術與儀表開課單位：機電工程學院課程負責人：歆豪大綱執(zhí)筆人：周純大綱審核人：余雷一、課程性質和教學目標（在人才培養(yǎng)中的地位與性質及主要容，指明學生需掌握知識與能力及其應達到的水平）課程性質：《復變函數(shù)與積分變換》的理論和方法廣泛應用于電氣工程、通訊工程、自動化等相關學科，并且已經(jīng)成為解決眾多理論和實際問題的強有力工具，成為了電氣工程及其自動化專業(yè)一門重要的基礎理論課程，而高等數(shù)學的是它的必須的先修課程。對于本專業(yè)而言，是學習《自動控制原理》、《現(xiàn)代控制理論》、《線性系統(tǒng)理論》、《信號與系統(tǒng)》等許多相關課程的必須先修課程之一。教學目標：通過本課程的講授和學習，使學生在學習高等數(shù)學的基礎上，系統(tǒng)的掌握《復變函數(shù)與積分變換》中必要的基礎理論和常用的計算方法，培養(yǎng)學生比較熟練的運算能力，能比較熟練運用復變函數(shù)、積分變換的方法來有效地比較系統(tǒng)地解決一些問題。并且逐步培養(yǎng)能夠建立比較復雜系統(tǒng)數(shù)學模型的能力，在此基礎上，進一步地提升分析問題、解決問題的水平和能力。并為后續(xù)的專業(yè)基礎課程、專業(yè)課程的學習，以及將來從事教學、科研及其它實際工作打下必要相當水準的理論知識基礎。本課程的具體教學目標如下：熟練掌握復數(shù)與復變函數(shù)、解析函數(shù)、復變函數(shù)積分、復級數(shù)、留數(shù)、傅里葉變換和拉普拉斯變換的基本概念、基本理論、基本方法和某些相關的應用，為進一步學習打下堅實的理論基礎。大致了解理想典型電子線性器件的時域和頻域的數(shù)學模型，為后續(xù)課程比較復雜的線性電氣系統(tǒng)或者比較復雜的線性力學系統(tǒng)的數(shù)學模型的建立、分析和控制做好理論、學識上準備?；纠斫鈺r滯環(huán)節(jié)的頻域表達形式，并且與上述的線性系統(tǒng)有機結合，構建相對更加復雜的非線性系統(tǒng)的數(shù)學模型，為以后專業(yè)課上對此非線性系統(tǒng)的數(shù)學模型的分析、控制做好基礎的準備。為以后解決實際復雜工程問題做好知識上的儲備。教學目標與畢業(yè)要求的對應關系：畢業(yè)要求指標點課程目標對應關系說明畢業(yè)要求1:工程知識1-1握專業(yè)所需的數(shù)理知識，能用于專業(yè)問題的理解、建模、分析與求解教學目標1能比較熟練運用復變函數(shù)、積分變換的方法，大致了解理想典型電子線性器件的時域和頻域的數(shù)學模型。畢業(yè)要求2：問題分析2-1運用數(shù)理和工程知識進行專業(yè)領域復雜工程問題中的涵識別與理解分析教學目標2了解理想典型電子線性器件的時域和頻域的數(shù)學模型，為復雜的線性系統(tǒng)的數(shù)學模型分析提供理論基礎。教學目標3基本理解時滯環(huán)節(jié)的頻域表達形式，并且對與線性系統(tǒng)有機結合、構建相對更加復雜的非線性系統(tǒng)的數(shù)學模型有所認識。二、課程教學容及學時分配（含課程教學、自學、作業(yè)、討論等容和要求，指明重點容和難點容。重點容：；難點容：1、復數(shù)和復變函數(shù)（4學時）（支撐教學目標1）1.1復數(shù)知識點：復數(shù)的概念，共軛復數(shù)及復數(shù)的四則運算復平面及復數(shù)的三角表達式知識點：復平面，復數(shù)的模與幅角及三角表達式，復數(shù)模的三角不等式，利用復數(shù)的三角表達式作乘除法，復數(shù)的乘方和開方。1.3平面點集知識點：鄰域和開集，區(qū)域、簡單曲線，連通域，無窮遠點1.4復變函數(shù)知識點：復變函數(shù)的概念，復變函數(shù)的極限與連續(xù)性要求：掌握復數(shù)的概念（復數(shù)是向量）及其各種不同的表示方法，了解各個表示方法的特點和適合使用的場合；復數(shù)的四則運算、乘方、開方運算及其幾何意義；能夠在復平面上找到由代數(shù)或三角表示復數(shù)的坐標所在；共軛復數(shù)及其運算性質；復變函數(shù)的概念，復變函數(shù)的極限和連續(xù)的概念（與實函數(shù)做比較）。了解：復平面的概念，平面點集的概念，復變函數(shù)的極限和連續(xù)的概念。理解：復變函數(shù)的概念，共軛復數(shù)及其運算性質。掌握：復數(shù)的概念及其各種表示法，復數(shù)的四則運算、乘方、開方運算及其幾何意義。重點容：復數(shù)的四則運算及乘冪與開方的運算，復數(shù)的表示法，復變函數(shù)的概念。教學難點：復變函數(shù)的極限與連續(xù)性。2、解析函數(shù)（6學時）（支撐教學目標1）2.1解析函數(shù)的概念知識點：復變函數(shù)的導數(shù)，解析函數(shù)的概念與求導規(guī)則，函數(shù)解析的充要條件解析函數(shù)與調和函數(shù)的關系知識點：調和函數(shù)，共軛調和函數(shù)2.3初等函數(shù)知識點：指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，三角函數(shù)在復數(shù)域下的概念及解析性要求：掌握函數(shù)解析的充要條件，柯西-黎曼條件判別函數(shù)解析性的方法，解析函數(shù)與調和函數(shù)的關系。了解：調和函數(shù)的定義，初等函數(shù)的定義及解析性。理解：復變函數(shù)導數(shù)的概念、運算性質及求導方法，解析函數(shù)的概念。掌握：函數(shù)解析的充要條件，用柯西-黎曼條件判別函數(shù)解析性的方法，解析函數(shù)與調和函數(shù)的關系。重點容：解析函數(shù)的概念，函數(shù)解析的充要條件，解析函數(shù)與調和函數(shù)的關系。教學難點：解析函數(shù)的概念，函數(shù)解析的充要條件。3、復變函數(shù)的積分（6學時）（支撐教學目標1）3.1復變函數(shù)的積分知識點：復變函數(shù)積分的定義，基本性質，計算方法3.2柯西-古薩定理知識點：柯西積分定理，復合閉路定理，利用原函數(shù)求解析函數(shù)的積分3.3柯西積分公式知識點：柯西積分公式，高階導數(shù)公式要求：掌握復變函數(shù)積分的定義，基本性質和基本的計算方法；原函數(shù)的概念，如何利用原函數(shù)求解析函數(shù)的積分?？挛鞣e分定理，柯西積分公式，高階導數(shù)公式及復合閉路定理的計算。了解：柯西積分定理、柯西積分公式、復合閉路定理的證明。理解：復變函數(shù)積分的概念和性質，原函數(shù)的概念，利用原函數(shù)求解析函數(shù)的積分。掌握：柯西積分定理，柯西積分公式，高階導數(shù)公式及復合閉路定理的計算。重點容：柯西積分定理，柯西積分公式，復合閉路定理及其應用。教學難點：復合閉路定理及其應用。4、級數(shù)（6學時）（支撐教學目標1）4.1復級項數(shù)的基本概念知識點：復數(shù)項級數(shù)的概念，復變函數(shù)項級數(shù)的概念及其收斂的判定4.2冪級數(shù)知識點：阿貝爾定理，收斂半徑的求法4.3泰勒級數(shù)知識點：泰勒展開定理，直接法，間接法將函數(shù)展開成泰勒展開式4.4羅朗級數(shù)知識點：羅朗定理，將函數(shù)在不同環(huán)域展開成羅朗級數(shù)要求：掌握復數(shù)列極限的概念，復數(shù)列收斂的充要條件，復函數(shù)項級數(shù)收斂域與和函數(shù)的概念，阿貝爾定理，冪級數(shù)在其收斂圓的性質。冪級數(shù)收斂半徑的求法，將函數(shù)展開成泰勒展開式、羅朗展開式的方法。了解：復數(shù)列極限的概念，復數(shù)列收斂的充要條件，復函數(shù)項級數(shù)收斂域與和函數(shù)的概念，冪級數(shù)在其收斂圓的性質。理解：阿貝爾定理，泰勒級數(shù)概念，羅朗級數(shù)概念。掌握：冪級數(shù)收斂半徑的求法，將函數(shù)展開成泰勒展開式、羅朗展開式的方法。重點容：泰勒級數(shù)，羅朗級數(shù)。教學難點：間接法求簡單函數(shù)的泰勒展開式，在不同環(huán)域將解析函數(shù)展開成羅朗展開式。5、留數(shù)定理（6學時）（支撐教學目標1、2）零點與孤立奇點知識點：孤立奇點的概念，判別，零點與極點的關系留數(shù)定理知識點：留數(shù)的計算方法，留數(shù)定理及其應用留數(shù)理論在實積分中的應用知識點：不同的三類實積分的計算要求：掌握零點、孤立奇點以及孤立奇點的分類及判定方法，零點與極點的關系。留數(shù)的概念及計算方法，留數(shù)定理及其在定積分計算中應用。了解：孤立奇點性質的證明，留數(shù)在定積分計算中的應用。理解：孤立奇點的概念，函數(shù)在孤立奇點處留數(shù)的概念。掌握：孤立奇點的分類及判定方法，留數(shù)的計算方法，留數(shù)定理及其應用。重點容：孤立奇點的概念，留數(shù)的概念及計算方法，留數(shù)定理。教學難點：孤立奇點的判別，留數(shù)在定積分中的應用。6、傅里葉變換（4學時）（支撐教學目標2、3）6.1傅里葉變換的概念與性質知識點：傅里葉積分定理，傅里葉變換，單位脈沖函數(shù)及傅里葉變換6.2傅里葉變換的性質知識點：線性性質、位移性質、微分性質、積分性質、乘積定理、能量積分、卷積定理傅里葉變換的應用知識點：傅里葉變換應用的舉例要求：掌握傅里葉變換、傅里葉變換的逆變換的定義以及相關的性質和定理。典型時域信號的頻域表達式，大致有個一一對應的概念。了解：函數(shù)的定義，卷積定理。理解：傅里葉變換的定義及傅里葉積分公式。掌握：函數(shù)的基本性質及其傅氏變換，傅氏逆變換的基本性質。重點容：求傅氏變換的方法，求傅氏逆變換的方法，傅氏變換的基本性質。教學難點：求傅氏變換和傅氏逆變換的方法。7、拉普拉斯變換（4學時）（支撐教學目2、3）7.1拉普拉斯變換的概念知識點：傅里葉變換的局限性，拉普拉斯變換的定義與存在性定理，拉普拉斯逆變換公式拉普拉斯變換的性質知識點：線性性質、微分性質、積分性質、位移性質、延遲性質7.3卷積及其性質知識點：卷積的概念，卷積定理7.4拉普拉斯變換的應用知識點：拉普拉斯變換在求解微分方程中的應用舉例要求：掌握拉氏變換、拉氏變換的逆變換的定義以及相關的性質和定理，利用留數(shù)計算拉氏逆變換的方法以及拉氏變換在求解微分方程中的應用。大致了解理想典型電子線性器件的時域和頻域的數(shù)學模型，為后續(xù)課程比較復雜的線性電系統(tǒng)或者比較復雜的線性力學系統(tǒng)的數(shù)學模型的建立、分析和控制做好理論、學識上準備。進一步如果有可能，基本理解時滯環(huán)節(jié)的頻域表達形式，并且與上述的線性系統(tǒng)有機結合，構建相對更加復雜的非線性系統(tǒng)的數(shù)學模型，為以后專業(yè)課上對此非線性系統(tǒng)的數(shù)學模型的分析、控制做好基礎的準備。為以后解決實際復雜工程問題做好知識上的儲備。了解：拉氏變換在求解微分方程中的應用。理解：拉氏變換的定義，反演積分公式。掌握：拉氏變換的性質，利用留數(shù)計算拉氏逆變換的方法。重點容：拉氏變換的性質，拉氏變換的應用。教學難點：利用留數(shù)計算拉氏逆變換。三、教學方法主要通過實函數(shù)與復函數(shù)的對比，引導學生自己發(fā)現(xiàn)兩者之間的聯(lián)系和不同，從而總結出復變函數(shù)的一些特征和結論。以此培養(yǎng)學生分析問題解決問題的能力，培養(yǎng)學生通過已經(jīng)解決過的問題分析出未知問題的規(guī)律以及癥結所在。在積分變換的教學過程中，主要通過由傅里葉變換得到拉普拉斯變換的特征和性質。從而培養(yǎng)學生解決問題的能力。讓學生知道解決問題的一般方法：由特殊現(xiàn)象到一般規(guī)律，再由一般規(guī)律來得到特殊情況的解決方法。傳統(tǒng)教學手段與現(xiàn)代教學手段相結合，由于總學時的限制，以傳統(tǒng)教學手段為主，采用多媒體輔助教學的教學手段。在教學方式上，根據(jù)具體教學容，綜合運用課堂講授和演示、課堂討論、課堂練習、發(fā)現(xiàn)學習法和自學指導法，通過引入問題和啟發(fā)式教學，使學生更加明確教學容的知識體系，引導學生主動學習，激發(fā)在學習動機，提高課堂的積極性。在教學過程中，引導學生發(fā)現(xiàn)問題，思考解決方案，為后續(xù)教學容作鋪墊。作業(yè)是本課程的主要實踐環(huán)節(jié)，每次課程均應有相應的作業(yè)作為學生的練習。作業(yè)分為兩種類型：一種為必做題，另一種為選做題，學生根據(jù)自己的實際情況選擇做題。輔導答疑方式有隨堂答疑、作業(yè)集中答疑、QQ或WECHAT答疑、E-MAIL答疑和定點、定時間的答疑，期中考試、期末考