分式運算的幾種技巧專題復(fù)習(xí)超好的整理資料

9/8分式運算的幾種技巧分式運算的一般方法就是按分式運算法則和運算順序進行運算。但對某些較復(fù)雜的題目，使用一般方法有時計算量太大，導(dǎo)致出錯，有時甚至算不出來，下面列舉幾例介紹分式運算的幾點技巧。一、整體通分法a2例1計算：-a-1a-1【分析】本題是一個分式與整式的加減運算?如能把(-a-1)看作一個整體，并提取“-”后在通分會使運算更加簡便.通常我們把整式看作分母是1的分式.解】解】工-a-1二工-(a+1)=工TOC\o"1-5"\h\za-1a-1a-1(a+1)(a-1)_a2-(a+1)(a-1)_1a-1a-1a-1二、先約分后通分法x+1+x2-2x例2計算x2+3x+2x2-4分析：直接通分，極其繁瑣，不過，各個分式并非最簡分式，有化簡的余地，顯然，化簡后再通分計算會方便許多。x+1x(x-2)1xx+1解：原式二(x+1)(x+2)+(x—2)(x+2)=x+2+x+2=x+2三、分組加減法1221例3計算a-2+a+1-a—1-a+2分析：本題項數(shù)較多，分母不相同.因此，在進行加減時，可考慮分組.分組的原則是使各組運算后的結(jié)果能出現(xiàn)分子為常數(shù)、相同或倍數(shù)關(guān)系，這樣才能使運算簡便。112212解：原式二(a-2-a+2)+(a+1-a-1)12-4=a2—4+a2-1=(a2—4)(a2-1)四、分離整數(shù)法x+2x+3x-5x-4例4計算-+-x+1x+2x-4x-3方法：當算式中各分式的分子次數(shù)與分母次數(shù)相同次數(shù)時，一般要先利用分裂整數(shù)法對分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整數(shù)法。(x+1)+1(x+2)+1丄(x-4)-1(x-3)-1x+1x+2x-4x-3_(1+x+1x+2x-4x-3_(1+厶)-(1+亠)+(1-1)-(1-1)x+2x-4x-311+—x-4x-3x+111x+1x+2五、逐項通分法

2x例5計算：2x例5計算：a—xa+xa2+xa4—x4分析：若一次通分，計算量太大，注意到相鄰分母之間，依次通分構(gòu)成平方差公式，采用分段分步法，則可使問題簡單化。11248同類方法練習(xí)題：計算----x—1X+1x2+1x4+1x8+1六、裂項相消法例6計算：111++a(a+1)(a+1)(a例6計算：111++a(a+1)(a+1)(a+2)(a+2)(a+3)+...+1(a+9)(a+10)分析：本題的10個分式相加，無法通分，而式子的特點是：每個分式的分母都是兩個連續(xù)整數(shù)的積（若111a是整數(shù)），聯(lián)想到=—-，這樣可抵消一些項.a（a+1）aa+1解：匕)+(a+11a+11a+2)+(1a+2土)+???+(a+31a+91解：匕)+(a+11a+11a+2)+(1a+2土)+???+(a+31a+91a+1011=10—,aa+10a(a+10)七、整體代入法112x一5xy+2y例7.已知一+—=5求的值xyx+2xy+y11解法1：°.°—+—=5.°.xyM0,.所以xy2211—5+2(—+)—52x—5xy+2yyxxyx+2xy+y+2+丄一1+1+2yxxy2x5—555+2=7解法2：由1+1=5得，—y=5,x+y=5xyxyxy2x—5xy+2yx+2xy+y2(x+y)—5xy2x5xy—5xy5xy5

(x+y)+2xy5xy+2xy7xy7練習(xí)：若丄—1=5，求3x+3xy—3y的值.xyx—3xy—y八、公式變形法1例8.已知a2-5a+1=0，計算a4+-a41解：由已知條件可得aM0,.°.a+=5a111a4+=(a2+)2-2=[(a+)2-2]2-2=(52-2)2-2=527a4a2a練習(xí)：⑴已知x2+3x+1=0'求x2+百的值?九、設(shè)中間參數(shù)法b+ca+ca+b(a+b)(b+c)(c+a)例9.已知==，計算：abcabcb+ca+ca+b解：設(shè)==_k,貝9b+c_ak；a+c_bk；a+b_ck；abc把這3個等式相加得2(a+b+c)=(a+b+c)k若a+b+c=O,a+b=-c,則k=-1若a+b+cHO,則k=2(a+b)(b+c)(c+a)ak-bk-ckrabcabc當k=-1時,原式=-1當k=2時,原式=8練習(xí)：(1)已知實數(shù)x、y滿足x:y=l:2,則竺二工=x+yxyz2x一3y+4z(2)已知一=L=—，則丫=。4563z十、先取倒數(shù)后拆項法(尤其分子單項,分母多項)例10.已知例10.已知a2求的值解：由條件知aH0,???a2~a+1=7,即卩a+-=8a7a7TOC\o"1-5"\h\za4+a2+11115=a2++1=(a+—)2-1=-a2a2a49a249a4+a2+1151a2練習(xí)：已知a+—=5.貝9=.aa4+a2+1十一、特殊值法（選填題）abc例11.已知abc=1,貝9++=.ab+a+1be+b+1ca+c+1分析：由已知條件無法求出a、b、c的值，可根據(jù)已知條件取字母的一組特殊值，然后代入求值.解：令a=1,b=1,c=1,貝9古存111111原式=1x1+1+1+1X1+1+1+1x1+1+1=3+3+3=1-說明：在已知條件的取值范圍內(nèi)取一些特殊值代入求值,可準確、迅速地求出結(jié)果.y+zx+zx+y練習(xí)：(1)已知：xyzH0,x+y+z=0,計算++一xyz⑵已知庁=5十二、主元法

z2x一3y+4z6，則L,X2+y2+z2,例12.已知xyzMO,且3x—4y—z=0,2x+y—8z=O,求的值.xy+yz+2zx解：將z看作已知數(shù)，把3x—4y—z=0與2x+y—8z=0聯(lián)立,得3x－4y－z=0,2x＋y—8z=0.解得x=3z,y=2z.所以，14z214z2(3z)2+(2z)2+z2

(3z)-(2z)+(2z)-z+2所以，14z214z2a2+b2+c2練習(xí)：已知3a-4b-c=0,2a+b-8c=0,計算：ab+bc+ac混合運算練習(xí)題1)x+3yx+2y2x-3yX2一y2x2一y2y2一x22)1)x+3yx+2y2x-3yX2一y2x2一y2y2一x22)(3)—x—1a⑷-a—3a2—3a2xyx+——⑹2^6(7)(1(x—yx+y丿(9)(10)(13)xyX2—2x+1“x—3、十(1+E)(11)三-(x+2—二)x一2x一2(12)(a2+b2+2)三abx2+2x+1x+3(14)(x+2

x22xx—1x2—4x+4x2—16x2+4x3+9—x22xx2—4x+2x14x(15)計算：(—)一，并求當x=—3時原式的值.x22xx24x+4x【錯題警示】一、錯用分式的基本性質(zhì)化簡分析：分式的基本性質(zhì)是“分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變”而此題分子乘以3，分母乘以2，違反了分式的基本性質(zhì).正解:原式2x-6y強+刼正解:原式、錯在顛倒運算順序1-區(qū)計算3-a計算—~「〔1―衣）二1錯解：原式1一。分析:乘除是同一級運算，除在前應(yīng)先做除，上述錯解顛倒了運算順序，致使結(jié)果出現(xiàn)錯誤.1_1-g_1正解：原式1一僅3_a「i（彳一疔三、錯在約分兀-1例1當龍為何值時，分式只-％十2有意義？_工_］_1［錯解］原式（盂-帕-2）Z.由艮一2工°得兀工2.x—1：?"2時，分式十2有意義.［解析］上述解法錯在約分這一步，由于約去了分子、分母的公因式xT〕，擴大了未知數(shù)的取值范圍，而導(dǎo)致錯誤.［正解］由*_張+2工°得忑工1且忑工2.X—1??.當"1且，分式d-靳十2有意義.四、錯在以偏概全例2龍為何值時，分式乳十1有意義？［錯解］當莊+IhO,得莊芒一1.???當兀社一1,原分式有意義.［解析］上述解法中只考慮忑十1的分母，沒有注意整個分母x+l,犯了以偏概全的錯誤.［正解］兀+1羊0,得兀芒_］,1-丄丸由X十1，得兀工0..?.當“0且兀羊一1時，原分式有意義.五、錯在計算去分母例3計算氏+1.［錯解］原式二—盼_左2_［_盤2二一1［解析］上述解法把分式通分與解方程混淆了，分式計算是等值代換，不能去分母，._S-%7十1）屮［正解］原式口十1氏十1_護-1-1a+1&+1.六、錯在只考慮分子沒有顧及分母兀-2例4當龍為何值時，分式X+x-6的值為零.［錯解］由lZl_2=0,得"垃..?.當x=2或忑二-2時，原分式的值為零.

［解析］當"2時，分式的分母/十x-6=°,分式無意義，談不上有值存在，出錯的原因是忽視了分母不能為零的條件.［正解］由lZl/r/