思想篇　數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用

新高考★高中數(shù)學(xué)同步資源QQ群483122854專注收集成套同步資源,成套的教案，成套的課件，成套的試題，成套的微專題期待你的加入與分享思想篇數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用思想一函數(shù)與方程思想函數(shù)思想是指用函數(shù)的觀點(diǎn)、方法去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題.求數(shù)列中的項(xiàng)或最值、求不等式中的參數(shù)、求解析幾何中距離或面積的最值等相關(guān)的非函數(shù)問題,往往都可利用函數(shù)思想轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題.方程思想是從問題的數(shù)量關(guān)系入手,運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為方程或方程組去分析問題和解決問題.如變量的取值范圍、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、數(shù)列中的基本量、二項(xiàng)式系數(shù)等問題.函數(shù)思想與方程思想密切相關(guān):方程f(x)=0的解就是函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo);函數(shù)y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0,通過(guò)方程進(jìn)行研究;方程f(x)=a有解,當(dāng)且僅當(dāng)a屬于函數(shù)f(x)的值域.函數(shù)思想重在對(duì)問題進(jìn)行動(dòng)態(tài)的研究,方程思想則是在動(dòng)中求靜,研究運(yùn)動(dòng)中的等量關(guān)系.真題示例解法關(guān)鍵[2021·新高考全國(guó)Ⅰ卷]已知函數(shù)f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函數(shù),則a=

.

利用函數(shù)f(x)是偶函數(shù)且y=x3在R上為奇函數(shù),得到函數(shù)y=a·2x-2-x也為R上的奇函數(shù),利用奇函數(shù)在x=0處有定義,且對(duì)應(yīng)函數(shù)值為0構(gòu)造方程求出參數(shù)a.答案:1.真題示例解法關(guān)鍵(續(xù)表)真題示例解法關(guān)鍵

用二倍角余弦公式,將已知方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于cosα的一元二次方程,求解得到cosα的值,再用同角三角函數(shù)的關(guān)系,即可得出結(jié)論.答案:A.(續(xù)表)真題示例解法關(guān)鍵[2021·北京卷]《中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出,中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽?qǐng)D案的紅旗,通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長(zhǎng)a1,a2,a3,a4,a5(單位:cm)成等差數(shù)列,對(duì)應(yīng)的寬為b1,b2,b3,b4,b5(單位:cm),且長(zhǎng)與寬之比都相等.已知a1=288,a5=96,b1=192,則b3=(

)A.64

B.96C.128 D.160(續(xù)表)

C自測(cè)題

B自測(cè)題

C自測(cè)題

C自測(cè)題5.若存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)x,y,使得m(y-x)+e2y-e2x=0成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

.

(-∞,-2)自測(cè)題思想二數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法.數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)了數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化,它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”兩個(gè)方面.數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形語(yǔ)言結(jié)合起來(lái),即將代數(shù)問題幾何化、幾何問題代數(shù)化.

數(shù)形結(jié)合思想常用來(lái)解決函數(shù)零點(diǎn)、方程根與不等式問題,參數(shù)范圍問題,以立體幾何為模型的代數(shù)問題,解析幾何中的斜率、截距、距離等問題.真題示例解法關(guān)鍵先畫出圓錐與球的軸截面,在旋轉(zhuǎn)軸PS上找出球心,利用球的體積求出球的直徑,即兩個(gè)圓錐的高之和,再利用球心到圓錐底面距離、圓錐底面半徑、球的半徑作為直角三角形三邊長(zhǎng)求出圓錐底面半徑,最后利用圓錐體積公式計(jì)算即可.答案:B.真題示例解法關(guān)鍵[2021·新高考全國(guó)Ⅰ卷]若過(guò)點(diǎn)(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線,則(

)A.eb<a

B.ea<bC.0<a<eb

D.0<b<ea畫出函數(shù)的圖像,判斷點(diǎn)(a,b)與函數(shù)的圖像的位置關(guān)系,即可得到選項(xiàng).答案:D.(續(xù)表)真題示例解法關(guān)鍵求出過(guò)A,B的直線方程,再求出圓心到直線AB的距離,得到圓上的點(diǎn)P到直線AB的距離范圍,可得A正確,B不正確;畫出圖形,由圖可知,當(dāng)過(guò)B,P的直線與圓相切時(shí),滿足∠PBA最小或最大,求出圓心與B點(diǎn)間的距離,再由勾股定理求得|PB|,可得C與D均正確.答案:ACD.(續(xù)表)真題示例解法關(guān)鍵(續(xù)表)真題示例解法關(guān)鍵[2020·全國(guó)新高考Ⅰ卷]若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,且f(2)=0,則滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是(

)A.[-1,1]∪[3,+∞)

B.[-3,-1]∪[0,1]

C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3]首先根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性,畫出函數(shù)f(x)的草圖,得到在相應(yīng)區(qū)間上的符號(hào),再根據(jù)xf(x-1)≥0,分類轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)自變量的不等式,最后求并集得結(jié)果.答案:D.(續(xù)表)

C自測(cè)題

A自測(cè)題

B自測(cè)題4.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為棱AB,BC的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D1,E,F作該正方體的截面α,α所在平面與DA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)K,與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)L,則三棱錐D1-DKL外接球的表面積為(

)A.32π B.20π C.22π D.18π[解析]如圖所示,設(shè)D1K交AA1于點(diǎn)M,D1L交CC1于點(diǎn)N,連接ME,FN,則截面D1MEFN為截面α.由于正方體的棱長(zhǎng)為2,故DK=DL=3,設(shè)三棱錐D1-DKL的外接球的半徑為R,則4R2=22+32+32=22,故三棱錐D1-DKL的外接球的表面積為4πR2=22π.故選C.C自測(cè)題思想三分類討論思想

分類討論思想就是將一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單的基礎(chǔ)問題,通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)問題的解答解決原問題的思維策略,實(shí)質(zhì)上就是“化整為零,各個(gè)擊破,再積零為整”的策略.使用分類討論思想應(yīng)明白這樣幾點(diǎn):一是引起分類討論的原因;二是分類討論的原則,不重不漏,分類標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一;三是明確分類討論的步驟.

常見的分類討論問題有以下幾種:(1)由概念引起的分類討論;(2)由性質(zhì)、定理、公式的限制條件引起的分類討論;(3)由數(shù)學(xué)運(yùn)算引起的分類討論;(4)圖形的不確定性引起的分類討論;(5)由參數(shù)的變化引起的分類討論.真題示例解法關(guān)鍵[2021·全國(guó)乙卷]設(shè)a≠0,若x=a為函數(shù)f(x)=a(x-a)2(x-b)的極大值點(diǎn),則(

)A.a<b

B.a>b

C.ab<a2

D.ab>a2分a>0和a<0兩種情況,結(jié)合三次函數(shù)的性質(zhì)及題意,通過(guò)圖像發(fā)現(xiàn)a,b的大小關(guān)系,進(jìn)而得出答案.答案:D.[2021·全國(guó)乙卷]已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},則S∩T=(

)A.?

B.S

C.T

D.Z分別討論當(dāng)n是偶數(shù)、奇數(shù)時(shí)的集合元素情況,結(jié)合集合的基本運(yùn)算進(jìn)行判斷即可.答案:C.真題示例解法關(guān)鍵[2020·北京卷]已知α,β∈R,則“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sinα=sinβ”的(

)A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件根據(jù)充分條件、必要條件的定義以及誘導(dǎo)公式分類討論即可判斷.答案:C.(續(xù)表)真題示例解法關(guān)鍵[2019·全國(guó)卷Ⅰ]甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽,采取七場(chǎng)四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí),該隊(duì)獲勝,決賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績(jī),甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”.設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6,客場(chǎng)取勝的概率為0.5,且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立,則甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是

.

分情況討論,即前五場(chǎng)甲隊(duì)獲勝的兩種情況,應(yīng)用獨(dú)立事件的概率的計(jì)算公式求解即可.答案:0.18.(續(xù)表)1.算盤是一種手動(dòng)操作計(jì)算輔助工具,它起源于我國(guó),迄今已有2600多年的歷史,是我國(guó)古代的一項(xiàng)重要發(fā)明.算盤有很多種類,現(xiàn)有一種算盤(如圖S-1①)共兩檔,自右向左分別表示十進(jìn)制數(shù)位的個(gè)位和十位,檔中橫以梁,梁上一珠撥下,記作數(shù)字5,梁下四珠,上撥每珠記作數(shù)字1(例如圖②中算盤表示整數(shù)51).如果撥動(dòng)圖①中算盤的三個(gè)算珠,那么可以表示不同整數(shù)的個(gè)數(shù)為(

)A.16 B.15 C.12 D.10C圖S-1自測(cè)題[解析]當(dāng)不選十位時(shí),有2種(3或7)情況,當(dāng)在十位處選梁下一個(gè)算珠時(shí),有2種(12或16)情況,當(dāng)在十位處選梁下兩個(gè)算珠時(shí),有2種(21或25)情況,當(dāng)在十位處選梁上一個(gè)算珠時(shí),有2種(52或56)情況,當(dāng)在十位處選梁上一個(gè)和梁下一個(gè)算珠時(shí),有2種(61或65)情況,當(dāng)不選個(gè)位時(shí),有2種(30或70)情況,故不同的整數(shù)共有12個(gè),故選C.圖S-1自測(cè)題2.記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a1=8,a4=-1,則數(shù)列{Sn}(

)A.有最大項(xiàng),有最小項(xiàng) B.有最大項(xiàng),無(wú)最小項(xiàng)C.無(wú)最大項(xiàng),有最小項(xiàng) D.無(wú)最大項(xiàng),無(wú)最小項(xiàng)

A自測(cè)題3.

(多選題)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=3,an+2-an=2,n∈N*,則下列說(shuō)法正確的是(

)A.a1+a2,a3+a4,a5+a6,…為等差數(shù)列

B.a2-a1,a4-a3,a6-a5,…為常數(shù)列C.a2n-1=4n-3D.若數(shù)列{bn}滿足bn=(-1)n·an,則數(shù)列{bn}的前100項(xiàng)和為100ABD自測(cè)題[解析]方法一:數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=3,an+2-an=2,n∈N*,則數(shù)列a1,a3,a5,…是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,數(shù)列a2,a4,a6,…是以3為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列.對(duì)于A,a1+a2,a3+a4,a5+a6,…為等差數(shù)列,故A正確;對(duì)于B,a2-a1=2,a4-a3=2,a6-a5=2,…為常數(shù)列,故B正確;對(duì)于C,數(shù)列a1,a3,a5,…是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,故a2n-1=2n-1,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,{bn}的前100項(xiàng)和T100=a2-a1+a4-a3+…+a100-a99=2×50=100,故D正確.故選ABD.方法二:令n=2k-1,k∈N*,有a2k+1-a2k-1=2,令n=2k,k∈N*,有a2k+2-a2k=2,所以{a2n-1}是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,{a2n}是以3為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,a2n-1=2n-1,a2n=2n+1,所以C錯(cuò)誤,易得A,B,D正確,故選ABD.自測(cè)題

D自測(cè)題

B圖S-2自測(cè)題

圖S-2自測(cè)題

圖S-2自測(cè)題思想四轉(zhuǎn)化與化歸思想

轉(zhuǎn)化與化歸思想是指在研究解決數(shù)學(xué)問題時(shí),采用某種手段將問題轉(zhuǎn)化,使問題得以解決的一種思維策略,其核心是把復(fù)雜的問題化歸為容易求解的問題,將較難的問題化歸為較簡(jiǎn)單的問題,將未能解決的問題化歸為已經(jīng)解決的問題.

常見的轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用具體表現(xiàn)在:將抽象函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為具體函數(shù)問題,立體幾何和解析幾何中一般性點(diǎn)或圖形問題轉(zhuǎn)化為特殊點(diǎn)或特殊圖形,“至少”或“是否存在”等正向思維受阻問題轉(zhuǎn)化為逆向思維,空間與平面的轉(zhuǎn)化,相等問題與不等問題的轉(zhuǎn)化等.真題示例解法關(guān)鍵由P,Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),且|PQ|=|F1F2|,得到四邊形PF1QF2為矩形,然后利用橢圓的定義及勾股定理求解即可.答案:8.[2020·全國(guó)卷Ⅰ]已知A為拋物線C:y2=2px(p>0)上一點(diǎn),點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12,到y(tǒng)軸的距離為9,則p=(

)A.2 B.3

C.6 D.9真題示例解法關(guān)鍵[2020·江蘇卷]已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),則x2+y2的最小值是

.

[2020·全國(guó)新高考Ⅰ卷]將數(shù)列{2n-1}與{3n-2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an},則{an}的前n項(xiàng)和為

.

首先判斷出數(shù)列{2n-1}與{3n-2}項(xiàng)的特征,從而判斷出兩個(gè)數(shù)列公共項(xiàng)所構(gòu)成新數(shù)列的首項(xiàng)以及公差,轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的求和問題.答案:3n2-2n.(續(xù)表)真題示例解法關(guān)鍵[2020·全國(guó)卷Ⅰ]已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直線l:2x+y+2=0,P為l上的動(dòng)點(diǎn).過(guò)點(diǎn)P作☉M的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B,當(dāng)|