概率與概率分布

第4章概率與概率分布本章的主要目的：掌握隨機(jī)事件的含義、事件的概率計(jì)算方法及其運(yùn)算法則；掌握隨機(jī)變量的含義及正態(tài)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布的特性及應(yīng)用。了解大數(shù)定律及中心極限定理的含義。概率基礎(chǔ)這節(jié)主要內(nèi)容是隨機(jī)事件、概率的含義、概率的運(yùn)算規(guī)則等。有人說：如果一艘船即將沉沒，一個(gè)著名的規(guī)則就是，救生艇會先載滿婦女和小孩。我們先看在1912年4月15日（星期一）沉沒的泰坦尼克號上的死亡人數(shù)表，這條規(guī)則是否被遵守? 男人婦女男孩女孩總計(jì)幸存3323182927706死亡136010435181517總計(jì)169242264452223從本章起，我們將用樣本數(shù)據(jù)來對總體做一些推論（或結(jié)論）。那些推論中有很多將在事件概率的基礎(chǔ)上得到。統(tǒng)計(jì)學(xué)家一般這樣認(rèn)為：如果某種解釋基于非常小的概率，他們就拒絕這種解釋，小概率事件法。.隨機(jī)事件我們的現(xiàn)實(shí)生活中有兩類不同的現(xiàn)象：確定性現(xiàn)象和隨機(jī)現(xiàn)象。隨機(jī)現(xiàn)象是指在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的現(xiàn)象。隨機(jī)現(xiàn)象通過大量的觀察會發(fā)現(xiàn)其有明顯的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，這個(gè)觀察的過程叫試驗(yàn)，試驗(yàn)有三個(gè)條件：試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的；每次試驗(yàn)之前不能肯定哪一個(gè)結(jié)果會出現(xiàn)。隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果稱為隨機(jī)事件，簡稱事件；若一個(gè)事件不可能再分解為更簡單成分的結(jié)果或事件，就稱之為基本事件或簡單事件（樣本點(diǎn)）基本事件的全體（全集）稱為樣本空間Q；由某些基本事件組合而成的事件（子集）稱為復(fù)合事件。必然事件和不可能事件不是隨機(jī)事件，但可以作為隨機(jī)事件的兩個(gè)極端情形來處理。實(shí)例一：擲骰子觀察點(diǎn)數(shù)的試驗(yàn)。擲一個(gè)骰子和兩個(gè)骰子。.隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算隨機(jī)事件之間通常有一定的聯(lián)系。⑴事件的包含與相等。若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件。⑵事件的并（和）。事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生。A+B或AUBO⑶事件的交（積）。事件A與事件B同時(shí)發(fā)生。AB或AHB⑷事件的差。事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生。A-B。⑸互不相容（互斥）事件。事件A和事件B不能同時(shí)發(fā)生。AB=Q。⑹補(bǔ)（逆、對立）事件。樣本空間中所有不屬于事件A的樣本點(diǎn)組成的事件。實(shí)例二：抽零件。.事件的概率隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的數(shù)值稱為隨機(jī)事件的概率。我們將學(xué)習(xí)三種定義概率的方法。概率的古典定義。假設(shè)一個(gè)已知過程包括n種不同的基本事件，那些基本事件中的某一個(gè)發(fā)生的可能性都是相同的。如果在這n種方式中有m種是屬于事件A的，那么P（A）=m/n。這里要強(qiáng)調(diào)指出兩個(gè)共同的特點(diǎn)：有限基本事件（可能結(jié)果n）；各結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同。實(shí)例三：書中例4-1；例行4-2。概率的統(tǒng)計(jì)定義：相對頻數(shù)近似。對一個(gè)過程觀察許多次，計(jì)算出事件A實(shí)際發(fā)生的次數(shù)?；谶@些實(shí)際結(jié)果，P（A）可按公式叩（A）=A發(fā)生的次數(shù)/試驗(yàn)重復(fù)的次數(shù)”來估計(jì)。大數(shù)法則告訴我們當(dāng)觀測的次數(shù)增加時(shí)，相應(yīng)的估計(jì)就趨近于精確的概率。當(dāng)一個(gè)過程一次又一次地重復(fù)時(shí)，一個(gè)事件的相對頻數(shù)概率就趨近于實(shí)際概率。也就是說只有很少試驗(yàn)的概率估計(jì)可能與真實(shí)數(shù)值背道而馳，但如果基于很多的試驗(yàn)，估計(jì)就會更精確。概率的主觀定義。人們根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)和所掌握的有關(guān)信息，對事件發(fā)生的可能性大小給以主觀的估計(jì)。如教師對學(xué)生考取大學(xué)的判斷；計(jì)算一個(gè)隨機(jī)選擇的人在今年將被閃電擊中的概率。.概率的性質(zhì)任何事件數(shù)學(xué)上的概率都是0、1或位于0與1之間的一個(gè)數(shù)字。建議：當(dāng)表達(dá)一個(gè)概率值時(shí)，要么給出一個(gè)確切的分?jǐn)?shù)或小數(shù)，要么將最終十進(jìn)制的結(jié)果四舍五入到3位有效數(shù)字。概率有如下性質(zhì)：對任一隨機(jī)事件A,有0WP(A)W1；一個(gè)不可能事件的概率為0；一個(gè)必然事件的概率為1；對于兩兩個(gè)互斥的隨機(jī)事件Ai(i=1,2,…)，則有P(A「A/…)=P(A1)+P(A2)+…。要理解，一個(gè)概率接近于0的值反映的是那些非常不可能的事件，而那些接近于1的值反映的是非常有可能發(fā)生的事。.概率的運(yùn)算法則概率的加法公式。對任意兩個(gè)隨機(jī)事件A、B,有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)要計(jì)算事件A發(fā)生或事件B發(fā)生的概率時(shí)，計(jì)算A能夠發(fā)生的所有方式的個(gè)數(shù)和B能夠發(fā)生的所有方式的個(gè)數(shù)，但沒有結(jié)果被計(jì)算多次。文氏圖顯示。實(shí)例四：書中例4-3；例4-4。課堂練習(xí)一：假設(shè)從2223名登上泰坦尼克號的乘客中隨機(jī)地選出一人，請計(jì)算P(選出了一個(gè)男人或一個(gè)男孩)；P(選出了一個(gè)男人或一個(gè)幸存者)。概率的乘法公式。對任意兩個(gè)隨機(jī)事件A、B,有P(AB)=P(A)P(B|A)這里P(B|A)是條件概率，指在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率。兩個(gè)事件A和B,如果一個(gè)的發(fā)生不影響另一個(gè)的發(fā)生概率，就稱這兩個(gè)事件是獨(dú)立的，也就意味著P(B)=P(B|A)或P(A)=P(A|B)；否則就是非獨(dú)立的。實(shí)例五：書例4-5；例4-6。一般地，獨(dú)立事件的任何一種次序的概率就是其對應(yīng)的概率的簡單乘積。這里注意'有放回和無放回”的區(qū)別。但有一個(gè)一般性的指導(dǎo)原則：“如果一個(gè)樣本的容量沒有超過總體容量的5%,就將選擇看作是獨(dú)立的(即使選擇是沒有放回的，從技術(shù)上講選擇是非獨(dú)立的)。”課堂練習(xí)二：如果從泰坦尼克號2223人中隨機(jī)選擇1人，已知是一個(gè)男人，這個(gè)人是幸存者的概率是多少？已知是一個(gè)幸存者，這個(gè)人是男人的概率又是多少？課堂練習(xí)三一個(gè)質(zhì)量控制經(jīng)理聲稱一種新的數(shù)字相機(jī)加工程序更好，因?yàn)榇纹仿实陀谶^去的次品率5%。加工1000個(gè)數(shù)字相機(jī)，其中12個(gè)隨機(jī)選出做檢測，結(jié)果是沒有次品。假設(shè)新方法的次品率和過去一樣，都是5%,計(jì)算這12個(gè)數(shù)字相機(jī)沒有次品的概率?；谶@個(gè)結(jié)果，是否有強(qiáng)大的證據(jù)說明，新程序更好？全概率公式與貝葉斯公式。對于一些復(fù)雜事件，單獨(dú)用加法公式或乘法公式還不能計(jì)算其概率，為此可以反它分解為若干互斥的基本事件。實(shí)例六：請先看例4-8。全概率公式：設(shè)事件Ai(i=1，2，…，n)兩兩互斥，且￡A「Q，則P(B)=EP(Ai)P(B|Ai)o 1貝葉斯公式：P(Ai|B)=P(AiB)/P(B)1實(shí)例七：例4-9；例4-10。 1隨機(jī)變量及離散概率分布.隨機(jī)變量及概率分布這一節(jié)我們討論隨機(jī)變量及其概率分布，概率分布描述的是什么將可能發(fā)生，而不是什么已經(jīng)實(shí)際發(fā)生了。一個(gè)隨機(jī)變量是指這樣的一個(gè)變量，對于過程中的每個(gè)結(jié)果(事件)都有一個(gè)由可能性決定的惟一的數(shù)值。一個(gè)概率分布是指表示隨機(jī)變量每個(gè)值的圖、表或公式。實(shí)例八：一項(xiàng)研究的內(nèi)容是，隨機(jī)選擇4個(gè)新生兒，看女孩有多少個(gè)。如果我們假設(shè)男孩和女孩是等可能的，并且令x=14個(gè)孩子中女孩的個(gè)數(shù)，那么x就是一個(gè)隨機(jī)變量，因?yàn)樗娜≈等Q于可能性。X的可能性取值有0,1,2,…，14。下表列出了x的值以及相應(yīng)的概率。這個(gè)表也就描述了一個(gè)概率分布。X(女孩)P(x)X(女孩)P(x)X(女孩)P(x)00.00050.122100.06110.00160.183110.02220.00670.209120.00630.02280.183130.00140.06190.122140.000按取值特點(diǎn)不同，隨機(jī)變量可分為離散隨機(jī)變量和連續(xù)隨機(jī)變量。一今離散隨機(jī)變量是指數(shù)量值有限，或可數(shù)的隨機(jī)變量；一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量有無限多的數(shù)值，這些數(shù)值能夠和一種連續(xù)刻度的度量聯(lián)系起來，這種刻度沒有縫隙或間斷。每一個(gè)概率分布必須滿足下面兩個(gè)必要條件：工P(x)=1其中x表示所有可能的取值。0WP(x)W1對于x的每個(gè)值。分布函數(shù)F(m)描述的是x取值不超過m的的情況上的累積概率，即F(m)=P(xWm)=ZP(x).數(shù)學(xué)期望和方差常用的隨機(jī)變量的數(shù)字特征有數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。數(shù)學(xué)期望就是隨機(jī)變量的平均值,是所有隨機(jī)變量所有可能取值的平均水平，E(x)或p。隨機(jī)變量的方差是隨機(jī)變量的各可能取值偏離其均值的離差平方的均值，D(x)或。2oE(x)=p=ExP(x)D(x)=a2=E[(x-p)2P(x)]實(shí)際上，一個(gè)概率分布就是一個(gè)理論上完美的總體頻數(shù)分布。課堂練習(xí)四：在實(shí)例八中我們描述了14個(gè)隨機(jī)選擇的新生兒中女孩數(shù)量的概率分布，請計(jì)算女孩數(shù)量的均值、標(biāo)準(zhǔn)差，并用這些結(jié)果來計(jì)算最大正常值和最小正常值。?在14個(gè)新生兒中若有13個(gè)女孩是正常的嗎？根據(jù)課堂練習(xí)四的結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)13是異常的！我們可用另一種方法來說明，如果P(13或更多的女孩)非常小，那么14個(gè)新生兒中有13個(gè)女孩就是異常的。P(13或更多的女孩)=P(13)+P(14)=0.001因?yàn)?.001這個(gè)數(shù)好小，所以我們認(rèn)為，在14個(gè)新生兒中有13個(gè)女孩是異常的。也就是在14個(gè)新生兒中有13個(gè)女孩這樣的結(jié)果偶然發(fā)生是非常不可能的。一般地，使用概率來確定結(jié)果是否是異常的如果P（x或更多）很小（如小于0.05），n次試驗(yàn)中有x次成功就是異常的高；如果P（x或更少）很?。ㄈ缧∮?.05），n次試驗(yàn)中有x次成功就是異常的低。3,二項(xiàng)概率分布簡稱二項(xiàng)分布，它能幫助我們處理結(jié)果為兩種相關(guān)類型的問題。二項(xiàng)分布來自于滿足下列必要條件的過程：這個(gè)過程包括一個(gè)固定次數(shù)n的試驗(yàn)。試驗(yàn)必須是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)結(jié)果不受其他各次試驗(yàn)結(jié)果的影響。每次試驗(yàn)的結(jié)果都可分為兩類，“成功”或“失敗”。每次試驗(yàn)中的概率必須是常數(shù)?！俺晒Α备怕蕿閜，則“失敗”概率為q=1-p。實(shí)例九：某電信公司聲稱，當(dāng)用戶給查號臺打電話查詢電話號碼時(shí)，90%的情況下會得到正確的電話號碼。假設(shè)回答的正確率為90%，假如我們想計(jì)算在5次詢問中有3次回答正確的概率。這個(gè)過程是二項(xiàng)分布嗎？如果這個(gè)過程的結(jié)果是二項(xiàng)分布，請說明n、k、p和q的值。二項(xiàng)分布也稱貝努里分布，其計(jì)算我們可用三種方法：公式法。查表法。軟件工具法。E（x）=p=npD（x）=O2=npq二項(xiàng)分布最可能“成功”的次數(shù)（眾數(shù)k），即P（k）為最大，為（n+1）p=k為整數(shù)時(shí)，最可能成功的次數(shù)有兩個(gè)即k和k-1；當(dāng)（n+1）p不為整數(shù)時(shí)，最可能成功的次數(shù)是k=［（n+1）p］，實(shí)例十：書中例4-11。4.泊松分布泊松分布經(jīng)常作為一個(gè)數(shù)學(xué)模型來描述這樣一些問題：一個(gè)隊(duì)伍里到來的排隊(duì)者；一個(gè)加油站到來的汽車；一個(gè)飯店里到來的就餐者；一個(gè)書店到來的學(xué)生；以及一個(gè)網(wǎng)站到來的因特網(wǎng)用戶等。泊松分布是一種離散概率分布，應(yīng)用于一個(gè)區(qū)間內(nèi)某一事件的發(fā)生。隨機(jī)變量x是這個(gè)事件在此區(qū)間內(nèi)發(fā)生的次數(shù)。這個(gè)區(qū)間可以是時(shí)間、距離、面積、體積或其他類似單位。事件在一個(gè)區(qū)間內(nèi)發(fā)生了k次的概率可用公式P（入）=入ke-A/k! 人>0泊松分布服從下列條件：隨機(jī)變量k是一個(gè)事件在某區(qū)間內(nèi)發(fā)生的次數(shù)。事件的發(fā)生必須是隨機(jī)的。事件的發(fā)生必須是相互獨(dú)立的。在所有的區(qū)間內(nèi)，事件的發(fā)生必須是統(tǒng)一的分布。泊松分布的最可能值：當(dāng)A為整數(shù)時(shí)最可能值有兩個(gè)x=A或x=A-1；當(dāng)A不是整數(shù)時(shí)，x=［A］。E（x）=p=AD（x）=o2=A泊松分布可以作為二項(xiàng)頒布的近似，一般要求nN20，pW0.25。實(shí)例十^一：書中例4-12；例4-13。課堂練習(xí)五：在對二戰(zhàn)期間的V-1飛彈擊中地區(qū)的分析中，倫敦南部被分割為576個(gè)小區(qū)域，每個(gè)小區(qū)域的面積為0.25km2,一共有535枚炸彈擊中了由這576個(gè)小區(qū)域組成的地區(qū)。如果隨機(jī)選擇一個(gè)小區(qū)域，計(jì)算它恰好被擊中2次的概率。正態(tài)概率分布.概率密度與分布函數(shù)由于連續(xù)隨機(jī)變量的取值不能一一列舉，其概率分布就不能象離散隨機(jī)變量那樣用點(diǎn)的概率表示，只能用數(shù)字的函數(shù)形式來描述。對于任意連續(xù)隨機(jī)變量，任何一個(gè)精確值的概率都是0,因此也就有P(aWxWb)=P(a<x<b)。P(aWxWb)=P(a<x<b)=P(aWx<b)=P(a<xWb)=/bf(x)這里f(x)就是概率密度函數(shù)。密度曲線下的面積總和為1「其面積與概率之間有一種對應(yīng)關(guān)系。分布函數(shù)F(a)=P(xWa)=fbf(x)dx分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：P71：114。數(shù)學(xué)期望與方差計(jì)算公式。.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布如果一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量的分布的圖形是對稱的，并且是鐘形的，我們就稱之為正態(tài)分布。正態(tài)分布之所以重要，一是因?yàn)樵S多隨機(jī)現(xiàn)象服從或近似服從正態(tài)分布，其最大特點(diǎn)是與均值較接近的數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)較多，離均值遠(yuǎn)的數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)較少，即屬于“中間大、兩頭小”的分布形態(tài)；二是它特有的數(shù)學(xué)特性。正態(tài)分布的數(shù)學(xué)公式好復(fù)雜，實(shí)際上我們只需關(guān)心兩個(gè)參數(shù)：p和。。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布就是p=0,a=1的正態(tài)概率分布。已知z值時(shí)計(jì)算概率。我們可利用書附表3的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)頒布表數(shù)據(jù)來得到概率。課堂練習(xí)六：分別計(jì)算以下概率：⑴P(0WzW1.58)⑵P(-2.43WzW0)⑶P(zN1.27)⑷P(1.20WzW2.30)⑸P(xW1.33)⑹P(xW-1.33)注意：要記住z=1,2,3,1.96時(shí)的對應(yīng)概率值！已知概率時(shí)計(jì)算z值。我們可利用書附表3的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)頒布表數(shù)據(jù)來得到。課堂練習(xí)七：設(shè)z的值服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：⑴如果P(0WzWa)=0.3907,計(jì)算a。⑵如果P(-bWzWb)=0.8664,計(jì)算b。⑶如果P(zNc)=0.0643,計(jì)算c。⑷如果P(zNd)=0.9922,計(jì)算d。⑸如果P(zWe)=0.4500,計(jì)算e。.正態(tài)分布我們只需用z值公式將數(shù)值轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)值，則所有的正態(tài)分布的概率求法就與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布一樣。具體來說有以下步驟：畫一個(gè)正態(tài)曲線，標(biāo)出均值和一個(gè)特定的x值，然后用陰影表示要計(jì)算概率的區(qū)域。對于作為一個(gè)陰影區(qū)域邊界的任何一個(gè)相應(yīng)的x值，求出其z值。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表來計(jì)算陰影區(qū)域的面積，這個(gè)面積就是要計(jì)算的概率。實(shí)例十二：女性的體重服從均值為143磅、標(biāo)準(zhǔn)差為29磅的正態(tài)分布。⑴如果隨機(jī)選擇一個(gè)婦女，她的體重在143磅和201磅之間的概率是多少？⑵有多少比例的婦女體重在100磅和130磅之間？我們現(xiàn)在轉(zhuǎn)向另一種情況，在女性的體重正態(tài)分布中，請計(jì)算將最高的10%和其他值分開的體重?cái)?shù)值？在這種已知概率（或百分比）來計(jì)算一個(gè)特定的數(shù)值問題中，一般遵循以下步驟：畫一個(gè)正態(tài)分布的草圖，在圖中相應(yīng)比例的區(qū)域上寫下已知的概率值或百分比，找出想要求的x值。使用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表來計(jì)算對應(yīng)于以x值和中軸線0為界線的區(qū)域的z值。從表中查出最接近的面積，找出相應(yīng)的z值，若z值位于中軸線左側(cè)，則令其為負(fù)。按公式x=p+za求得x。實(shí)例十三：在上述婦女體重正態(tài)分布中，計(jì)算P10的值，即計(jì)算將最低的10%和最高的90%分開的體重值。課堂練習(xí)八：假設(shè)一名健康成年人的體溫服從均值36.3℃，標(biāo)準(zhǔn)差為0.45℃的正態(tài)分布。如果一位醫(yī)學(xué)研究員想要研究體溫最低的2.5%和體溫最高的2.5%的人，求將這些界限分開的體溫。中心極限定理中心極限定理是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最重要和最有用的概念之一，是總體估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的基礎(chǔ)。我們的重點(diǎn)在概念的理解和應(yīng)用上。.中心極限定理一般地，任何一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布都是指這個(gè)統(tǒng)計(jì)量的概率分布。均值的抽樣分布是指樣本均值的概率分布，其中所有的樣本都有相同的樣本容量n。實(shí)例十四：考慮由數(shù)字0，1，2,3,4,5,6,7,8,9組成的總體，從中進(jìn)行有放回的隨機(jī)選擇。⑴隨機(jī)變量：如果我們做的試驗(yàn)是隨機(jī)選擇一個(gè)單獨(dú)的數(shù)字，將選出的數(shù)字的數(shù)值用x表示，則x就是一個(gè)隨機(jī)變量。⑵概率分布：假設(shè)數(shù)字是隨機(jī)選擇的，每個(gè)數(shù)字被選擇的概率都是1/10,這可以用公式P（x）=1/10來表示。這是一個(gè)概率分布。⑶抽樣分布：現(xiàn)在假設(shè)我們隨機(jī)選擇了很多不同的樣本，每個(gè)樣本的容量都是4。在每個(gè)樣本中，計(jì)算樣本的均值x一（這個(gè)也是一個(gè)隨機(jī)變量，它的值也依賴于取值的概率）。樣本均值x一的概率分布就是一個(gè)抽樣分布。中心極限定理已知：隨機(jī)變量x服從一個(gè)均值為p、標(biāo)準(zhǔn)差為。的分布（是否是正態(tài)分布都可以），所有具有相同容量n的樣本都是從一個(gè)包含x個(gè)數(shù)值的總體中隨機(jī)選出的（這樣選擇樣本就使得所有容量為n的可能樣本被選出的機(jī)會都是相同的）。結(jié)論：隨著樣本容量的增加，樣本均值乂一將趨近于一個(gè)正態(tài)分布；樣本均值的均值將趨近于總體均值p;樣本