有關傅里葉變換分析的學科發(fā)展史及對現(xiàn)代通信技術的影響

有關傅里葉變換分析的學科發(fā)展史及對現(xiàn)代通信技術的影響一、 傅里葉生平讓?巴普蒂斯?約瑟夫?傅里葉(法語：JeanBaptisteJosephFourier，1768年3月21日一1830年5月16日)，法國數(shù)學家、物理學家，提出傅里葉級數(shù)，并將其應用于熱傳導理論上，傅里葉變換也以他命名。傅里葉于1768年3月21日在法國約訥省歐塞爾出生。由于很早的時候他的父母就雙亡，所以小時候便在天主教本篤會受的教育。畢業(yè)后在軍隊中教授數(shù)學，在1795年他到巴黎高等師范教書，之后又在巴黎綜合理工學院占一教席。1798年他跟隨拿破侖東征，被任命為下埃及的總督。由于英國艦隊對法國人進行了封鎖，所以他受命在當?shù)厣a(chǎn)軍火為遠征部隊提供軍火。這個時期，他向開羅埃及學院遞交了幾篇有關數(shù)學的論文。1801年，拿破侖的遠征軍隊遠征失敗后，他便被任命為伊澤爾省長官。1816年他回到巴黎，六年后他當選了科學院的秘書，并發(fā)表了《熱的分析理論》一文，此文建立是在牛頓的熱傳導理論的速率和溫度差成正比的基礎上。1830年5月16日他病逝于巴黎，1831年他的遺稿被整理出版成書。二、 傅里葉變換傅立葉變換是數(shù)字信號處理領域一種很重要的算法。要知道傅立葉變換算法的意義，首先要了解傅立葉原理的意義。傅立葉原理表明：任何連續(xù)測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。在數(shù)學領域，盡管最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征。”任意”的函數(shù)通過一定的分解，都能夠表示為正弦函數(shù)的線性組合的形式，而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對簡單的函數(shù)類：1.傅立葉變換是線性算子，若賦予適當?shù)姆稊?shù)，它還是酉算子;2.傅立葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似;3.正弦基函數(shù)是微分運算的本征函數(shù),從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時不變雜的卷積運算為簡單的乘積運算，從而提供了計算卷積的一種簡單手段；5.離散形式的傅立葉的物理系統(tǒng)內(nèi)，頻率是個不變的性質(zhì)，從而系統(tǒng)對于復雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應來獲??；4.著名的卷積定理指出:傅立葉變換可以化復變換可以利用數(shù)字計算機快速的算出(其算法稱為快速傅立葉變換算法(FFT))。正是由于上述的良好性質(zhì),傅里葉變換在物理學、數(shù)論、組合數(shù)學、信號處理、概率、統(tǒng)計、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用?？焖俑凳献儞Q(FFT)是離散傅氏變換(DFT)的快速算法，它是根據(jù)離散傅氏變換的奇、偶、虛、實等特性，對離散傅立葉變換的算法進行改進獲得的。它對傅氏變換的理論并沒有新的發(fā)現(xiàn)，但是對于在計算機系統(tǒng)或者說數(shù)字系統(tǒng)中應用離散傅立葉變換，可以說是進了一大步。設x(n)為N項的復數(shù)序列，由DFT變換，任一X(m)的計算都需要N次復數(shù)乘法和N-1次復數(shù)加法，而一次復數(shù)乘法等于四次實數(shù)乘法和兩次實數(shù)加法，一次復數(shù)加法等于兩次實數(shù)加法，即使把一次復數(shù)乘法和一次復數(shù)加法定義成一次“運算”(四次實數(shù)乘法和四次實數(shù)加法)，那么求出N項復數(shù)序列的X(m)，即N點DFT變換大約就需要N2次運算。當N=1024點甚至更多的時候，需要N2=1048576次運算，在FFT中，利用WN的周期性和對稱性，把一個N項序列(設N=2k,k為正整數(shù))，分為兩個N/2項的子序列，每個N/2點DFT變換需要(N/2)2次運算，再用N次運算把兩個N/2點的DFT變換組合成一個N點的DFT變換。這樣變換以后，總的運算次數(shù)就變成N+2(N/2)2=N+N2/2。繼續(xù)上面的例子，N=1024時，總的運算次數(shù)就變成了525312次，節(jié)省了大約50%的運算量。而如果我們將這種“一分為二”的思想不斷進行下去，直到分成兩兩一組的DFT運算單元，那么N點的DFT變換就只需要Nlog2N次的運算，N在1024點時，運算量僅有10240次，是先前的直接算法的1%，點數(shù)越多，運算量的節(jié)約就越大，這就是FFT的優(yōu)越性。三、傅里葉變換在小波分析中的發(fā)展歷史傅里葉變換只是一種純頻域的分析方法，它在頻域內(nèi)的定位性是完全準確的（即頻域分辨率最高），而在時域無任何定位性（或分辨能力），也即傅里葉變換所反映的是整個信號全部時間下的整體頻域特征，而不能提供任何局部時間段上的頻域信息。當一個函數(shù)用5函數(shù)展開時，它在時間域的定位性是完全準確的，而在頻域卻無任何定位性（或分辨率），也即5函數(shù)分析所反應的只是信號在全部頻率上的整體時間特征，而不能提供任何頻率所對應的時間特征。對于一些常見的非平穩(wěn)的信號，如結(jié)構振動信號、地震波、探地信號等等，它們的頻域特性都隨時間而變化，因此也可稱它們?yōu)闀r變信號，分析時通常需要提取某一時間段（或瞬間）的頻域信息或某一頻率段所對應的時間信息。短時傅里葉變換（ShortTimeFourierTransform，簡稱STFT，又稱為加窗傅里葉變換），但由STFT的定義決定了其窗函數(shù)的大小和形狀均與時間和頻率無關而且保持不變，只適用分析所有特征尺度大致相同的過程，對于分析時變信號是不利的。高頻信號一般持續(xù)時間很短，而低頻信號持續(xù)時間較長，因此，人們期望對于高頻信號采用小時間窗，對于低頻信號則采用大時間窗進行分析。在進行信號分析時，這種變時間窗的要求同STFT的固定時窗（窗不隨頻率發(fā)生變化）的特性是矛盾的，這表明STFT在處理這一類問題時已無能為力了。此外，在進行數(shù)值計算時，人們希望將基函數(shù)離散化，以節(jié)約計算時間及存儲量。但Gabor基無論如何離散，都不能構成一組正交基，因而給數(shù)值計算帶來了不便。這些Gabor變換的不足之處，恰恰是小波變換的特長所在。小波變換不僅繼承和發(fā)展了STFT的局部化的思想，而且克服了窗口大小不隨頻率變化、缺乏離散正交的缺點，是一種比較理想的進行信號處理的數(shù)學工具。JeanBaptisteJosephFourier雖已去世100多年了，但其卓越的工作卻因?qū)岬膫鞑ズ蛿U散的研究，在現(xiàn)代譜分析中的兩個重要的方面產(chǎn)生了極其深遠的影響。如果我們了解Fourier級數(shù)展開中的兩個要素是正弦諧波項和系數(shù)項，那么我們可以發(fā)現(xiàn)這樣的事實：1807年，F(xiàn)ourier發(fā)現(xiàn)在表示一個物體的溫度分布時，正弦函數(shù)及其諧波的級數(shù)是非常有用的。Fourier進而斷言，“任何”周期信號都可用具有諧波關系的正弦函數(shù)級數(shù)表示。但在Fourier的后續(xù)研究中，有關Fourier級數(shù)部分的數(shù)學結(jié)論并不嚴密。在Fourier級數(shù)的系數(shù)公式中，F(xiàn)ourier本人可能還沒有意識到正交特性，盡管在他之前已經(jīng)存在函數(shù)正交的概念了。在Fourier之前，至少D.Bernoulli就曾提出過一根弦的運動完全可以用標準振蕩模（正弦諧波）的線性組合來描述。6.只有在P.L.Dirichlet給出他的著名的三個充分條件之后，在這些條件約束下，我們知道一個周期信號才可以用一個Fourier級數(shù)表示。由此可見，F(xiàn)ourier實際上并沒有對Fourier級數(shù)的數(shù)學理論做出實質(zhì)性的貢獻。那么科學上為什么仍然以Fourier的名字來命名周期函數(shù)的級數(shù)展開和非周期函數(shù)的積分變換呢?這是因為Fourier敏銳地洞察出這個級數(shù)表示法的潛在應用價值，而且正是由于他的努力才真正推動了Fourier，級數(shù)問題的深入研究。另外，F(xiàn)ourier在這一問題上的研究成果比他的前輩們都大大前進了一步，主要體現(xiàn)在他得出了非周期信號的描述形式不是正弦信號高次諧波的加權和，而是不全成諧波關系的正弦信號的加權積分，這就是眾所周知的從傅里葉級數(shù)到傅里葉積分（或變換）的推廣。與信號的傅里葉（級數(shù)）分析一樣，傅里葉變換仍然是今天分析LTI系統(tǒng)最有力的工具之一。Fourier的貢獻就在于他將前人的這些思想巧妙地綜合到一起，拋棄于繁雜的數(shù)學求證過程，直接了當?shù)厣昝魅魏魏瘮?shù)均可用正弦諧波函數(shù)的無窮和來表示。的確，正弦