線性代數(shù)1.1課件

第一章矩陣第四章向量的內(nèi)積與二次型第六章Matlab軟件的應(yīng)用

第二章向量與線性方程組

第五章線性空間

第三章矩陣的特征值與特征向量

第一章矩陣與線性方程組§1矩陣及其運(yùn)算

§3行列式及其性質(zhì)

§2矩陣的初等變換與逆矩陣的求法第一節(jié)矩陣及其運(yùn)算

1.1.1線性方程組及其矩陣表示1.1.2矩陣的基本運(yùn)算及性質(zhì)1.1.3逆矩陣

定義稱為m行n列矩陣

，簡(jiǎn)稱其中諸叫做該矩陣的元素，矩陣可以簡(jiǎn)記矩陣，i,j分別稱為矩陣A的行標(biāo)和列標(biāo)。行矩陣列矩陣元素全是零的矩陣叫做零矩陣，記為O矩陣的行數(shù)和列數(shù)相等，稱之為方陣。把n行n列矩陣稱為n階方陣或n階矩陣，簡(jiǎn)稱n階陣幾種特殊形式的矩陣

稱為對(duì)角矩陣n階單位矩陣，簡(jiǎn)記作E.EA=AE=A數(shù)量矩陣?yán)O(shè)則矩陣的加法滿足下列運(yùn)算規(guī)律（i）A+B=B+A(交換律）

（ii)(A+B)+C=A+(B+C)(結(jié)合律）(iii)A+O=O+A=A-A稱為矩陣A的負(fù)矩陣，顯然有A+(-A)=(-A)+A=O矩陣的減法：A-B=A+(-B)對(duì)應(yīng)元素相減二矩陣的數(shù)乘運(yùn)算定義（1）（2）（3）（4）（5）（6）并記作C=AB矩陣的乘法的：矩陣乘法的規(guī)則：（1）

兩矩陣相乘時(shí)，前矩陣（居左）每一行（如第I行）的各元素與后矩陣（居右）每一列（如第j列）中順次對(duì)應(yīng)的各元素相乘再相加，從而得到乘積矩陣（第i行第j列）的元素。(2)

為保證規(guī)則（1），前矩陣的列數(shù)應(yīng)與后矩陣的的行數(shù)相等，否則兩矩陣不能相乘。（3）

乘積矩陣的行數(shù)與前矩陣相同，乘積矩陣的列數(shù)與后矩陣相同。例設(shè)求AB矩陣與矩陣相乘不滿足交換律，AB有意義，但BA不一定有意義例設(shè)AB求AB和BABAAB和BA都意義，但不同型例求AB和BAABBA=AB如果同階方陣A和B滿足AB=BA,則稱A與B可交換矩陣的乘法雖不滿足交換律，但仍滿足下列結(jié)合律和分配律(i)(AB)C=A(BC)(ii)(iii)轉(zhuǎn)置矩陣把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到一個(gè)新矩陣,叫做的A轉(zhuǎn)置矩陣，記作行列對(duì)調(diào)例運(yùn)算規(guī)律對(duì)稱矩陣如果方陣A滿足就稱A為對(duì)稱矩陣?yán)绶疥嘇為對(duì)稱矩陣矩陣A中關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱的每一對(duì)元素都相等設(shè)A為任意矩陣，則恒為方陣，且都是對(duì)稱矩陣設(shè)B為任意方陣，則恒為對(duì)稱矩陣1.1.3逆矩陣ABBA稱B為A的逆矩陣性質(zhì)定理如果A和B為同階可逆矩陣，則AB可逆，且證明故由推論1便知AB可逆，且同理有：性質(zhì)如果A是可逆矩陣，則A的每一行不能全為零，A的每一列也不能全為零。證明：假設(shè)A的第i行全為零，則有矩陣乘法知的第i行全為零。這與矛盾。同理，每一列也不能全為零。逆矩陣的應(yīng)用記方程組的矩陣形式一、矩陣的分塊

對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣，為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，經(jīng)常采用分塊法，使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算.具體做法是：將矩陣用若干條縱線和橫線分成許多個(gè)小矩陣，每一個(gè)小矩陣稱為的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.如：則不是分塊矩陣。★分塊矩陣二、分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則其中例題：設(shè)將A、B適當(dāng)分塊，計(jì)算AB解將A、B作如下分塊：在二、三行