薛定諤方程及其應用舉例

薛定諤方程及其應用舉例2.微觀領(lǐng)域的基本方程是什么？問題：3.薛定諤方程應滿足什么要求？4.在什么條件有定態(tài)薛定方程？6.用薛定諤方程解決問題的思路是什么？5.薛定諤方程能解決什么問題？……1.采用什么方程求出非自由粒子的波函數(shù)？7.怎么求出微觀粒子最可能出現(xiàn)的位置？一、薛定諤方程■歷史背景1924年德布羅意指出了微觀粒子具有波動性---德布羅意物質(zhì)波1925年戴維孫實驗證實了電子具有波動性1925年底在一次物理年會上(德)德拜提出：即然電子具有波動性，就必然有波動方程，應該認真研究.1926年上半年(德)薛定諤找到了這個波動方程薛定諤創(chuàng)建波動方程的思路:

分析力學中的哈密頓原理(變分原理)是物理學中最普遍的根本原理.當科學研究遇到新情況時,往往要構(gòu)建新的拉氏函數(shù),然后由哈密頓原理出發(fā)去演繹出新的運動方程。哈密頓原理力學→牛頓定律幾何光學→費馬原理熱力學→最小熵產(chǎn)生原理量子力學→?薛定諤從哈密頓-雅可比方程出發(fā)，聯(lián)想到統(tǒng)計物理學中的熵表達式=klnΩ,則試探性地將其中的哈密頓作用量S寫成(構(gòu)建)對氫原子(勢能=-e2/r),運用變分原理得到波動方程:ψ:波函數(shù)可推出:S:哈密頓作用量E:系統(tǒng)能量q:廣義坐標H:哈密頓函數(shù)稱此為定態(tài)薛定諤方程這正是氫原子能級波動方程找到了但是，ψ的物理意義是什么？連薛定諤本人也不清楚！說明構(gòu)建成功了■薛定諤方程1926年(德)玻恩給出了波函數(shù)的物理解釋--波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋:

描述粒子運動狀態(tài)的波函數(shù)ψ(x,y,z,t)，則表示粒子在時刻t,在x,y,z附近單位體積內(nèi)出現(xiàn)的概率.

ψψ*=概率密度波函數(shù)ψ代表微觀粒子的概率波(概率幅)重要!!!波函數(shù)有了物理意義后，后輩物理學家從如下兩種途經(jīng)也創(chuàng)建出了薛定諤方程(注：不是推導)：⑴從基本物理概念出發(fā)，創(chuàng)建薛定諤方程；⑵從概率計算物理量平均值出發(fā)，創(chuàng)建薛定諤方程.⑴從基本物理概念出發(fā)，創(chuàng)建薛定諤方程薛定諤方程應滿足如下要求：①方程應含有波函數(shù)對時間的一階導數(shù)以便反映出微觀粒子運動狀態(tài)隨時間的變化.②方程應是線性的以便反映出波動性的普遍規(guī)律---波的疊加原理.③方程應與Ek=p2/(2m)相適應因為方程屬非相對論的.④方程中的系數(shù)不應包含狀態(tài)參量如能量E、動量p等因為若含有了這些參量，則方程只能描述具有該參量值的特定系統(tǒng)，從而失去了普遍性.※先找出自由粒子的波動方程己知自由粒子波函數(shù)根據(jù)要求①,ψ對時間t求一階導數(shù)有:根據(jù)要求③,ψ對空間變量x,y,z求二階導數(shù)有:∴無ψ的平方以上項→線性→滿足要求②系數(shù)無狀態(tài)參量E、p→滿足要求④自由粒子的薛定諤方程這就是非自由粒子的薛定諤方程∴※找出非自由粒子的波動方程設(shè)非自由粒子在保守力場中,其勢能為U(x,y,z,t),粒子能量E為：利用非自由粒子在力場U(x,y,z,t)中的波函數(shù)滿足的波動方程此方程可視作用在波函數(shù)ψ上而得到能量算符動量算符⑵從概率計算物理量平均值出發(fā)，創(chuàng)建薛定諤方程.☆坐標平均值由概率論知，電子出現(xiàn)x的平均值x為：(為方便考慮一維)若物理量F是x的冪函數(shù)，則F(x)的平均值F為：☆動量平均值設(shè)電子出現(xiàn)坐標x處的概率密度----ψψ*設(shè)電子在動量空間為px的概率密度-φφ*由概率論知，電子動量的平均值px為：(注：在動量空間)若物理量G是px的冪函數(shù)，則G(px)的平均值G為：實測的是坐標概率密度ψψ*.因此需要進行φ?ψ轉(zhuǎn)換由付里葉變換:∴ψ(x,t)?φ(px,t)有一一對應關(guān)系坐標空間波函數(shù)動量空間波函數(shù)φ(px,t)與ψ(x,t)一樣，只是在動量空間里。將電子動量平均值從動量空間計算轉(zhuǎn)化到坐標空間計算同樣可證：若物理量G是px的冪函數(shù)，則G(px)的平均值G為：對于三維有：哈密頓算子可見只需替換即可動量算符☆能量平均值采用同樣的方法有：☆找出非自由粒子的薛定諤方程能量空間波函數(shù)φ由粒子的能量與動量的關(guān)系對兩邊取平均值有能量算符∴非自由粒子的薛定諤方程■定態(tài)薛定諤方程若U(r,t)=U(r)(即不含時間t),則可令ψ(r,t)=ψ(r)f(t)代入薛定諤方程并整理有：=E∵等式左右兩邊分別是獨立變量t、r

的函數(shù)∴E是常量----定態(tài)薛定諤方程若U(r,t)=U(r)(即不含時間t),則薛定諤方程的解為:(注：C含在ψ(r)中)說明幾點：⑵U(r,t)=U(r)→解定態(tài)薛定諤方程→求出波函數(shù)和能量⑶定態(tài)薛定諤方程作替換哈密頓算符哈密頓量本征方程E稱為算符H的本征值ψ稱為算符H本征值為E的本征函數(shù)利用界面連續(xù)、有限、單值、歸一化條件求本征方程，解出本征值和相應的本征函數(shù)。歸結(jié)為數(shù)學問題：⑴由德布羅意關(guān)系E=hω知，E是粒子總能量。粒子系統(tǒng)處于定態(tài)時，其能量E具有確定值。

二、薛定諤方程應用舉例■

概述用量子力學求解微觀粒子的波函數(shù)的思路：粒子在力場上的勢能U(x,y,z)利用波函數(shù)的標準條件：連續(xù)、單值、有限和歸一化條件同時求出粒子的波函數(shù)ψ和能量E求出粒子出現(xiàn)的概率分布等■

一維無限深方勢阱如圖粒子的勢能為xU0a求微觀粒子在此力場中的波函數(shù)和能量以及概率分布。解：因為勢能U(x)不含時間→解定態(tài)薛定諤方程(一維)

0<x<a:0令這是二階常系數(shù)常微分方程其通解為ψ(x)=Aeikx+Be-ikx向右傳播向左傳播U(x)=0

x≤0,x≥a:U(x)→∞令其通解為ψ(x)=Ceλx+De-λx∵U→∞有λ→∞

∴ψ(x)=Ceλx∵波函數(shù)有限→C=0

∴ψ(x)≡0這表明粒子不可能進入x≤0,x≥a的區(qū)域。

(x≤0,x≥a)

但若U=有限值，則粒子有可能進入x≤0,x≥a的區(qū)域。請同學們自證

x=0(左邊界):

x<0→波函數(shù)ψ(x)≡0

x>0→波函數(shù)ψ(x)=Aeikx+Be-ikx波函數(shù)在邊界x=0處應連續(xù)→A+B=0→B=－A∴ψ(x)=A(eikx－e–ikx)=2iAsinkx=Csinkx

x=a(右邊界)

:

x<a→波函數(shù)ψ(x)=Csinkx

x>a→波函數(shù)ψ(x)≡0

(0<x<a,C≠0)波函數(shù)在邊界x=a處應連續(xù)→ψ(a)=Csinka=0

∴sinka=0

ka=nπ

n=1,2,3,…

ψ(