【學(xué)海導(dǎo)航】高考數(shù)學(xué)第1輪總復(fù)習(xí) 全國(guó)統(tǒng)編教材 9.1平面及其基本性質(zhì)（第2課時(shí)） 理

第九章直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體平面及其基本性質(zhì)第講1（第二課時(shí)）1編輯ppt1.四面體ABCD中，E、G分別為BC、AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在CD上，H在AD上，且有DF∶FC=2∶3，DH∶HA=2∶3.求證：EF、GH、BD交于一點(diǎn).題型4共點(diǎn)問(wèn)題2編輯ppt分析：只要證明點(diǎn)E、F、G、H分別所在的直線EG和HF平行，由公理的推論3就可知它們共面.在△ABD和△CBD中，由E、G分別是BC和AB的中點(diǎn)及

可得，

所以EG∥HF,直線EF，GH是梯形的兩腰，所以它們的延長(zhǎng)線必相交于一點(diǎn)P.因此，要證三條直線EF、GH、BD交于一點(diǎn)，只要證點(diǎn)P在直線BD上即可.事實(shí)上，由于BD是EF和GH分別所在平面BCD和平面ABD的交線，而點(diǎn)P是上述兩平面的公共點(diǎn)，由公理2知P∈BD.3編輯ppt證法1：(幾何法)連結(jié)GE、HF.因?yàn)镋、G分別為BC、AB的中點(diǎn)，所以GE∥AC.又因?yàn)镈F∶FC=2∶3，DH∶HA=2∶3，所以HF∥AC,所以GE∥HF.故G、E、F、H四點(diǎn)共面.又因?yàn)镋F與GH不能平行，4編輯ppt所以EF與GH相交，設(shè)交點(diǎn)為P.則P∈平面ABD，P∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD=BD，所以EF、GH、BD交于一點(diǎn).證法2：(向量法)由所以

，從而.5編輯ppt故G、E、F、H四點(diǎn)共面.又因?yàn)镋F與GH不能平行，所以EF與GH相交，設(shè)交點(diǎn)為P.則P∈平面ABD，P∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD=BD，所以EF、GH、BD交于一點(diǎn).點(diǎn)評(píng)：證明線共點(diǎn)，常采用證兩直線的交點(diǎn)在第三條直線上的方法，而第三條直線又往往是兩平面的交線.6編輯ppt

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是A1A的中點(diǎn)，求證：CE，D1F，DA三線共點(diǎn).證明：因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是A1A的中點(diǎn)，連結(jié)A1B.則EF∥A1B，所以EF∥D1C且EF=

D1C，故四邊形ECD1F是梯形，兩腰CE，D1F相交，設(shè)其交點(diǎn)為P.7編輯ppt則P∈CE，又CE平面ABCD，所以P∈平面ABCD.同理，P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=AD，根據(jù)公理3知，P∈AD，所以CE，D1F，DA三線共點(diǎn).8編輯ppt2.在空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、AD、CD邊上的點(diǎn)，且EF和GH相交于P點(diǎn)，求證：A、C、P三點(diǎn)共線.題型5共線問(wèn)題9編輯ppt證明：依據(jù)題意，A、B、C為不共線三點(diǎn)，由這三點(diǎn)確定一個(gè)平面.因?yàn)镋、F分別是AB、BC上的點(diǎn)，所以E、F在平面ABC內(nèi)，從而直線EF在平面ABC內(nèi).因?yàn)辄c(diǎn)P在直線EF上，所以點(diǎn)P在平面ABC內(nèi).同理，點(diǎn)P在平面ACD內(nèi).10編輯ppt所以點(diǎn)P是平面ABC和平面ACD的一個(gè)公共點(diǎn).因?yàn)槠矫鍭BC∩平面ACD=AC，所以點(diǎn)P在直線AC上，即A、C、P三點(diǎn)共線.點(diǎn)評(píng)：證多點(diǎn)共線問(wèn)題，一般先取過(guò)兩點(diǎn)的直線，然后證其他點(diǎn)在這條直線上；也可證明這些點(diǎn)均在兩個(gè)平面的交線上.11編輯ppt

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，

對(duì)角線A1C與平面BDC1相交于O點(diǎn)，直線AC和BD相交于點(diǎn)M.

求證：C1、O、M三點(diǎn)共線.12編輯ppt證明：因?yàn)锳A1∥CC1，所以AA1和CC1確定一個(gè)平面.顯然，C1、O、M三點(diǎn)都在平面AA1C1C內(nèi).又C1、O、M三點(diǎn)都在平面BC1D內(nèi)，所以C1、O、M三點(diǎn)在平面AA1C1C和平面BC1D的交線上，即三點(diǎn)共線.13編輯ppt3.已知三條直線a、b、c兩兩互相平行，且分別與直線l相交于A、B、C三點(diǎn)，證明：四條直線l、a、b、c共面.證明：因?yàn)閍∥b，b∥c，故設(shè)由a、b確定的平面為α，由b、c確定的平面為β.因?yàn)閘∩a=A，l∩b=B，而A∈α，B∈α，所以l∩α.同理，l∩β.題型6共面問(wèn)題14編輯ppt點(diǎn)評(píng)：證明直線共面通常的方法是：①由其中兩條直線確定一個(gè)平面，再證明其余的直線都在此平面內(nèi)(納入法)；②過(guò)某些直線作多個(gè)平面，然后證明這些平面重合(重合法)；③也可利用共面向量定理來(lái)證明.15編輯ppt求證：兩兩相交且不通過(guò)同一點(diǎn)的四條直線必在同一平面內(nèi).證明：(1)若a、b、c三線共點(diǎn)P，但點(diǎn)Pd，由d和其外一點(diǎn)可確定一個(gè)平面α.又a∩d=A,所以點(diǎn)A∈α,所以直線aα.同理可證：b、cα,所以a、b、c、d共面.16編輯ppt(2)若a、b、c、d兩兩相交但不過(guò)同一點(diǎn),因?yàn)閍∩b=Q,所以a與b可確定一個(gè)平面β.又c∩b=E,所以E∈β,同理c∩a=F,所以F∈β,所以直線c上有兩點(diǎn)E、F在β內(nèi),所以cβ.同理可證：dβ,故a、b、c、d共面.由(1)(2)知：兩兩相交且不通過(guò)同一點(diǎn)的四條直線必共面.17編輯ppt對(duì)于空間五個(gè)不同的點(diǎn)，若任意四點(diǎn)都是共面的，求證：這五個(gè)點(diǎn)必共面.證明：設(shè)五個(gè)點(diǎn)分別為A、B、C、D、E，且A、B、C、D四點(diǎn)在平面α內(nèi)，A、B、C、E四點(diǎn)在平面β內(nèi).(1)若A、B、C三點(diǎn)不共線，則平面α、β有三個(gè)不共線的公共點(diǎn)，所以α與β重合，從而五點(diǎn)共面.18編輯ppt(2)若A、B、C三點(diǎn)共線，設(shè)所在直線為l.依據(jù)題意，A、B、D、E四點(diǎn)共面，則直線l在這個(gè)平面內(nèi)，從而C點(diǎn)也在該平面內(nèi)，故有五點(diǎn)共面.19編輯ppt1.

證明若干個(gè)點(diǎn)共線，常轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)都是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，再根據(jù)公理2，這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上，從而共線.2.

證明若