【學(xué)海導(dǎo)航】高三數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 3.5 數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用_第1頁(yè)
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第三章數(shù)列1編輯ppt3.5

數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用

考點(diǎn)搜索●等差數(shù)列應(yīng)用題●等比數(shù)列應(yīng)用題●有關(guān)數(shù)列中可化為等差、等比數(shù)列的應(yīng)用問(wèn)題2編輯ppt高考猜想由于與數(shù)列有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題非常廣泛,熱點(diǎn)如分期付款、增長(zhǎng)率等問(wèn)題比較符合學(xué)生實(shí)際,易為學(xué)生接受,今后高考仍將作重點(diǎn)考查,大題小題都有可能.3編輯ppt

數(shù)列應(yīng)用題常見(jiàn)模型

1.復(fù)利公式按復(fù)利計(jì)算利息的一種儲(chǔ)蓄,本金為a元,每期利率為r,存期為x,則本利和y=①_______.

2.單利公式利息按單利計(jì)算,本金為a元,每期利率為r,存期為x,則本利和y=②___________.

a(1+r)xa(1+xr)4編輯ppt

3.產(chǎn)值模型原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長(zhǎng)率為p,對(duì)于時(shí)間x的總產(chǎn)值y=③__________.

盤(pán)點(diǎn)指南:①a(1+r)x;②a(1+xr);③N(1+p)x.N(1+p)x5編輯ppt

1.一名體育愛(ài)好者為了觀看2012年倫敦奧運(yùn)會(huì),從2005年起,每年的5月1日到銀行存入a元一年期定期儲(chǔ)蓄,假定年利率為p(利息稅已扣除)且保持不變,并約定每年到期存款均自動(dòng)轉(zhuǎn)為新一年的定期,到2012年5月1日將所有存款和利息全部取出,則可取出的錢(qián)的總數(shù)是()

6編輯ppt解:故選D.7編輯ppt

2.在圓x2+y2=5x內(nèi),過(guò)點(diǎn)()有n(n∈N*)條弦,它們的長(zhǎng)構(gòu)成等差數(shù)列.若a1為過(guò)該點(diǎn)最短弦的長(zhǎng),an為過(guò)該點(diǎn)最長(zhǎng)弦的長(zhǎng),公差d∈(),那么n的值是()A.2B.3C.4D.58編輯ppt

解:x2+y2=5x過(guò)點(diǎn)()有n(n∈N*)條弦,它們的長(zhǎng)構(gòu)成等差數(shù)列,a1為過(guò)該點(diǎn)最短弦的長(zhǎng),an為過(guò)該點(diǎn)最長(zhǎng)弦的長(zhǎng),則an=5,a1=4,所以得n=5.故選D.9編輯ppt

3.某林廠年初有森林木材存量S

m3,木材以每年25%的增長(zhǎng)率生長(zhǎng),而每年年末要砍伐固定的木材量xm3.為實(shí)現(xiàn)經(jīng)過(guò)兩次砍伐后的木材的存量增加50%,則x的值是()

10編輯ppt

解:一次砍伐后木材的存量為S(1+25%)-x;二次砍伐后木材的存量為[S(1+25%)-x](1+25%)-x.由題意知解得x=S36.故選C.11編輯ppt

1.某城區(qū)2010年底居民住房總面積為a

m2,其中危舊住房占,新型住房占.為了加快住房建設(shè),計(jì)劃用10年時(shí)間全部拆除危舊住房(每年拆除的數(shù)量相同),且從2009年起,居民住房只建新型住房,使新型住房面積每年比上一年增加20%.以2009年為第一年,設(shè)第n年底該城區(qū)的居民住房總面積為an,寫(xiě)出a1,a2,a3的表達(dá)式,并歸納出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式(不要求證明).題型1數(shù)列基本概念的應(yīng)用12編輯ppt

解:據(jù)題意,非新型住房總面積為m2,每年拆除的危舊住房面積為則

由此歸納,

得13編輯ppt

點(diǎn)評(píng):在實(shí)際生活中,涉及到天數(shù)、月份或年份等為變量的問(wèn)題,一般是與數(shù)列模型有關(guān)的應(yīng)用題.如本題是一個(gè)增長(zhǎng)變化問(wèn)題,其增長(zhǎng)有按百分率增長(zhǎng)的,又有按線性倍數(shù)關(guān)系減少的.通過(guò)觀察a1,a2,a3,…,然后歸納出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.14編輯ppt某企業(yè)從2010年起生產(chǎn)一種產(chǎn)品,其市場(chǎng)價(jià)為每噸1萬(wàn)元,它的生產(chǎn)成本由兩部分組成:一部分是固定成本,每年200萬(wàn)元;另一部分是可變成本,年成本與年產(chǎn)量成正比.已知2010年的年產(chǎn)量為400噸,可變成本為100萬(wàn)元.如果該企業(yè)的年產(chǎn)量以10%的年增長(zhǎng)率增長(zhǎng),問(wèn)從哪一年開(kāi)始,該企業(yè)的年利潤(rùn)超過(guò)220萬(wàn)元?

解:以2010年為第一年,設(shè)第n年的年產(chǎn)量為an噸,可變成本為bn萬(wàn)元,年利潤(rùn)為cn萬(wàn)元,15編輯ppt則cn=an-bn-200.由題設(shè)an=an-1·(1+10%)=1.1an-1,且a1=400,所以an=400×1.1n-1.設(shè)bn=kan.因?yàn)閎1=100,所以從而=100×1.1n-1,所以cn=300×1.1n-1-200.由cn>220,得300×1.1n-1>420,即1.1n-1>1.4,所以n≥5,故從2013年開(kāi)始,該企業(yè)的年利潤(rùn)超過(guò)220萬(wàn)元.16編輯ppt2.甲、乙兩人連續(xù)6年對(duì)某縣農(nóng)村養(yǎng)雞場(chǎng)的規(guī)模進(jìn)行調(diào)查,提供兩個(gè)不同的信息圖:題型2等差數(shù)列的應(yīng)用17編輯ppt甲調(diào)查表明:從第1年平均每個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)出產(chǎn)1萬(wàn)只肉雞上升到第6年平均每個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)出產(chǎn)2萬(wàn)只肉雞.乙調(diào)查表明:由第1年養(yǎng)雞場(chǎng)個(gè)數(shù)30個(gè)減少到第6年的10個(gè).請(qǐng)你根據(jù)所提供的信息解答下列問(wèn)題:(1)第二年的養(yǎng)雞場(chǎng)的個(gè)數(shù)及全縣出產(chǎn)肉雞的只數(shù)各是多少?(2)到第6年這個(gè)縣出產(chǎn)的肉雞數(shù)比第一年出產(chǎn)的肉雞數(shù)增加了還是減少了?

18編輯ppt(3)這個(gè)縣哪一年出產(chǎn)肉雞的只數(shù)最多?

解:(1)設(shè)該縣第n年平均每個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)出產(chǎn)肉雞an萬(wàn)只,養(yǎng)雞場(chǎng)為bn個(gè).由圖知{an},{bn}均為等差數(shù)列,n∈N*且1≤n≤6.a1=1,a6=2,所以an=0.2n+0.8;b1=30,b6=10,所以bn=-4n+34.所以a2=0.2×2+0.8=1.2,b2=-4×2+34=26.所以a2b2=1.2×26=31.2(萬(wàn)只),所以第二年有養(yǎng)雞場(chǎng)26個(gè),出產(chǎn)肉雞31.2萬(wàn)只.19編輯ppt(2)a1b1=1×30=30(萬(wàn)只),a6b6=2×10=20(萬(wàn)只).因?yàn)閍6b6<a1b1,所以第6年該縣出產(chǎn)的肉雞數(shù)比第1年出產(chǎn)的肉雞數(shù)減少了.(3)anbn=(0.2n+0.8)(-4n+34)(1≤n≤6,n∈N*).所以,當(dāng)n=2時(shí),anbn最大,即第2年出產(chǎn)的肉雞只數(shù)最多.20編輯ppt

點(diǎn)評(píng):從函數(shù)的角度來(lái)看,等差數(shù)列的圖象是呈直線型,反之也成立.公差不等于零的等差數(shù)列是關(guān)于n的一次函數(shù),兩個(gè)等差數(shù)列通項(xiàng)之積是關(guān)于n的二次函數(shù),對(duì)二次函數(shù)求最值,注意變量n是正整數(shù).21編輯ppt22編輯ppt23編輯ppt24編輯ppt題型3等比數(shù)列的應(yīng)用25編輯ppt26編輯ppt27編輯ppt某人大學(xué)畢業(yè)參加工作后,計(jì)劃參加養(yǎng)老保險(xiǎn).若每年年末存入等差額養(yǎng)老金p元,即第一年末存入p元,第二年末存入2p元,…,第n年末存入np元,年利率為k,則第n+1年初他可一次性獲得養(yǎng)老金本利合計(jì)多少元?

解:這人各年存款數(shù)本利合計(jì)分別為p(1+k)n-1,2p(1+k)n-2,…,(n-1)p(1+k),np,各年存款數(shù)an與年數(shù)n有關(guān),即an=f(n),由此便建立一個(gè)數(shù)列模型.28編輯ppt①(1+k)Sn=p(1+k)n+2p(1+k)n-1+…+(n-1)·p·(1+k)2+np(1+k).②②-①,得所以(元).上述結(jié)果就是此人第n+1年初一次性獲得的養(yǎng)老金總額.29編輯ppt

1.銀行按規(guī)定每經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間結(jié)算存(貸)款的利息一次,結(jié)算后即將利息并入本金,這種計(jì)算利息的方法叫復(fù)利.現(xiàn)在有某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造,有兩種方案:甲方案——一次性貸款10萬(wàn)元,第一年便可獲利1萬(wàn)元,以后每年比前一年增加30%的利潤(rùn);乙方案——每年貸款1萬(wàn)元,第一年可獲利1萬(wàn)元,以后每年比前一年多獲利5千元.兩種方案的使用期限都是10年,到期一次性歸還本息.題型分期付款問(wèn)題30編輯ppt若銀行貸款利息均按年息10%的復(fù)利計(jì)算,試比較兩種方案哪個(gè)獲利更多(計(jì)算結(jié)果精確到千元,參考數(shù)據(jù):1.110≈2594,1.310≈13.786).

解:甲方案10年獲利是每年獲利數(shù)組成的數(shù)列的前10項(xiàng)的和,即1+(1+30%)+(1+30%)2+…+(1+30%)9=≈42.62(萬(wàn)元).到期時(shí)銀行貸款的本息為10(1+10%)10=10×2.594=25.94(萬(wàn)元),31編輯ppt乙方案逐年獲利組成一個(gè)等差數(shù)列,10年共獲利1+(1+0.5)+(1+2×0.5)+…+(1+9×0.5)(萬(wàn)元),而貸款本息為1.1×[1+(1+10%)+…+(1+10%)9]=≈17.53(萬(wàn)元),所以乙方案扣除貸款本息后,凈獲利32.50-17.53≈15.0(萬(wàn)元).比較可知,甲方案比乙方案獲利多.32編輯ppt2.近年來(lái),沙塵暴肆虐我國(guó)西北地區(qū),造成了嚴(yán)重的自然災(zāi)害,在今后若干年內(nèi),防沙、治沙已成為沙漠地區(qū)一項(xiàng)重要而艱巨的工作.某縣位于沙漠邊緣地帶,人與自然經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期頑強(qiáng)的斗爭(zhēng),到2009年底,全縣綠化率已達(dá)30%,但每年的治沙工作都出現(xiàn)這樣的情形:上一年的沙漠面積的16%被栽上樹(shù)改造為綠洲,而同時(shí),上一年的綠洲面積的4%又被侵蝕變?yōu)樯衬?問(wèn)至少要到哪一年底,該縣的綠洲面積才能超過(guò)60%?(0.84≈0.4096,0.85≈0.32768)題型

遞推數(shù)列的應(yīng)用33編輯ppt

解:設(shè)該縣的土地面積為1,以2009年為第一年,第n年底的綠洲面積為an,則an=an-1·(1-4%)+(1-an-1)·16%,即所以所以數(shù)列{}是公比為

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