【學(xué)海導(dǎo)航】高三數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 3.5 數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用

第三章數(shù)列1編輯ppt3.5

數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用

考點(diǎn)搜索●等差數(shù)列應(yīng)用題●等比數(shù)列應(yīng)用題●有關(guān)數(shù)列中可化為等差、等比數(shù)列的應(yīng)用問(wèn)題2編輯ppt高考猜想由于與數(shù)列有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題非常廣泛，熱點(diǎn)如分期付款、增長(zhǎng)率等問(wèn)題比較符合學(xué)生實(shí)際，易為學(xué)生接受，今后高考仍將作重點(diǎn)考查，大題小題都有可能.3編輯ppt

數(shù)列應(yīng)用題常見(jiàn)模型

1.復(fù)利公式按復(fù)利計(jì)算利息的一種儲(chǔ)蓄，本金為a元，每期利率為r，存期為x，則本利和y=①_______.

2.單利公式利息按單利計(jì)算，本金為a元，每期利率為r，存期為x，則本利和y=②___________.

a(1+r)xa(1+xr)4編輯ppt

3.產(chǎn)值模型原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長(zhǎng)率為p，對(duì)于時(shí)間x的總產(chǎn)值y=③__________.

盤(pán)點(diǎn)指南：①a(1+r)x;②a(1+xr)；③N(1+p)x.N(1+p)x5編輯ppt

1.一名體育愛(ài)好者為了觀看2012年倫敦奧運(yùn)會(huì)，從2005年起，每年的5月1日到銀行存入a元一年期定期儲(chǔ)蓄，假定年利率為p(利息稅已扣除)且保持不變，并約定每年到期存款均自動(dòng)轉(zhuǎn)為新一年的定期，到2012年5月1日將所有存款和利息全部取出，則可取出的錢(qián)的總數(shù)是()

6編輯ppt解：故選D.7編輯ppt

2.在圓x2+y2=5x內(nèi)，過(guò)點(diǎn)()有n(n∈N*)條弦，它們的長(zhǎng)構(gòu)成等差數(shù)列.若a1為過(guò)該點(diǎn)最短弦的長(zhǎng)，an為過(guò)該點(diǎn)最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)，公差d∈()，那么n的值是()A.2B.3C.4D.58編輯ppt

解：x2+y2=5x過(guò)點(diǎn)()有n(n∈N*)條弦，它們的長(zhǎng)構(gòu)成等差數(shù)列，a1為過(guò)該點(diǎn)最短弦的長(zhǎng)，an為過(guò)該點(diǎn)最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)，則an=5,a1=4，所以得n=5.故選D.9編輯ppt

3.某林廠年初有森林木材存量S

m3，木材以每年25%的增長(zhǎng)率生長(zhǎng)，而每年年末要砍伐固定的木材量xm3.為實(shí)現(xiàn)經(jīng)過(guò)兩次砍伐后的木材的存量增加50%，則x的值是()

10編輯ppt

解：一次砍伐后木材的存量為S(1+25%)-x；二次砍伐后木材的存量為［S(1+25%)-x］(1+25%)-x.由題意知解得x=S36.故選C.11編輯ppt

1.某城區(qū)2010年底居民住房總面積為a

m2,其中危舊住房占,新型住房占.為了加快住房建設(shè),計(jì)劃用10年時(shí)間全部拆除危舊住房(每年拆除的數(shù)量相同),且從2009年起,居民住房只建新型住房,使新型住房面積每年比上一年增加20%.以2009年為第一年,設(shè)第n年底該城區(qū)的居民住房總面積為an,寫(xiě)出a1,a2,a3的表達(dá)式,并歸納出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式(不要求證明).題型1數(shù)列基本概念的應(yīng)用12編輯ppt

解：據(jù)題意，非新型住房總面積為m2,每年拆除的危舊住房面積為則

由此歸納，

得13編輯ppt

點(diǎn)評(píng)：在實(shí)際生活中，涉及到天數(shù)、月份或年份等為變量的問(wèn)題，一般是與數(shù)列模型有關(guān)的應(yīng)用題.如本題是一個(gè)增長(zhǎng)變化問(wèn)題，其增長(zhǎng)有按百分率增長(zhǎng)的，又有按線性倍數(shù)關(guān)系減少的.通過(guò)觀察a1，a2，a3，…，然后歸納出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.14編輯ppt某企業(yè)從2010年起生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其市場(chǎng)價(jià)為每噸1萬(wàn)元，它的生產(chǎn)成本由兩部分組成：一部分是固定成本，每年200萬(wàn)元；另一部分是可變成本，年成本與年產(chǎn)量成正比.已知2010年的年產(chǎn)量為400噸，可變成本為100萬(wàn)元.如果該企業(yè)的年產(chǎn)量以10%的年增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，問(wèn)從哪一年開(kāi)始，該企業(yè)的年利潤(rùn)超過(guò)220萬(wàn)元？

解：以2010年為第一年，設(shè)第n年的年產(chǎn)量為an噸，可變成本為bn萬(wàn)元，年利潤(rùn)為cn萬(wàn)元，15編輯ppt則cn=an-bn-200.由題設(shè)an=an-1·(1+10%)=1.1an-1，且a1=400，所以an=400×1.1n-1.設(shè)bn=kan.因?yàn)閎1=100，所以從而=100×1.1n-1，所以cn=300×1.1n-1-200.由cn＞220，得300×1.1n-1＞420，即1.1n-1＞1.4，所以n≥5，故從2013年開(kāi)始，該企業(yè)的年利潤(rùn)超過(guò)220萬(wàn)元.16編輯ppt2.甲、乙兩人連續(xù)6年對(duì)某縣農(nóng)村養(yǎng)雞場(chǎng)的規(guī)模進(jìn)行調(diào)查，提供兩個(gè)不同的信息圖：題型2等差數(shù)列的應(yīng)用17編輯ppt甲調(diào)查表明：從第1年平均每個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)出產(chǎn)1萬(wàn)只肉雞上升到第6年平均每個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)出產(chǎn)2萬(wàn)只肉雞.乙調(diào)查表明：由第1年養(yǎng)雞場(chǎng)個(gè)數(shù)30個(gè)減少到第6年的10個(gè).請(qǐng)你根據(jù)所提供的信息解答下列問(wèn)題：(1)第二年的養(yǎng)雞場(chǎng)的個(gè)數(shù)及全縣出產(chǎn)肉雞的只數(shù)各是多少？(2)到第6年這個(gè)縣出產(chǎn)的肉雞數(shù)比第一年出產(chǎn)的肉雞數(shù)增加了還是減少了？

18編輯ppt(3)這個(gè)縣哪一年出產(chǎn)肉雞的只數(shù)最多？

解：(1)設(shè)該縣第n年平均每個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)出產(chǎn)肉雞an萬(wàn)只，養(yǎng)雞場(chǎng)為bn個(gè).由圖知{an}，{bn}均為等差數(shù)列，n∈N*且1≤n≤6.a1=1，a6=2，所以an=0.2n+0.8;b1=30，b6=10，所以bn=-4n+34.所以a2=0.2×2+0.8=1.2，b2=-4×2+34=26.所以a2b2=1.2×26=31.2(萬(wàn)只)，所以第二年有養(yǎng)雞場(chǎng)26個(gè),出產(chǎn)肉雞31.2萬(wàn)只.19編輯ppt(2)a1b1=1×30=30(萬(wàn)只)，a6b6=2×10=20(萬(wàn)只).因?yàn)閍6b6＜a1b1，所以第6年該縣出產(chǎn)的肉雞數(shù)比第1年出產(chǎn)的肉雞數(shù)減少了.(3)anbn=(0.2n+0.8)(-4n+34)(1≤n≤6，n∈N*).所以，當(dāng)n=2時(shí)，anbn最大，即第2年出產(chǎn)的肉雞只數(shù)最多.20編輯ppt

點(diǎn)評(píng)：從函數(shù)的角度來(lái)看，等差數(shù)列的圖象是呈直線型，反之也成立.公差不等于零的等差數(shù)列是關(guān)于n的一次函數(shù)，兩個(gè)等差數(shù)列通項(xiàng)之積是關(guān)于n的二次函數(shù)，對(duì)二次函數(shù)求最值，注意變量n是正整數(shù).21編輯ppt22編輯ppt23編輯ppt24編輯ppt題型3等比數(shù)列的應(yīng)用25編輯ppt26編輯ppt27編輯ppt某人大學(xué)畢業(yè)參加工作后，計(jì)劃參加養(yǎng)老保險(xiǎn).若每年年末存入等差額養(yǎng)老金p元，即第一年末存入p元，第二年末存入2p元，…，第n年末存入np元，年利率為k，則第n+1年初他可一次性獲得養(yǎng)老金本利合計(jì)多少元？

解：這人各年存款數(shù)本利合計(jì)分別為p(1+k)n-1,2p(1+k)n-2,…,(n-1)p(1+k),np，各年存款數(shù)an與年數(shù)n有關(guān)，即an=f(n)，由此便建立一個(gè)數(shù)列模型.28編輯ppt①(1+k)Sn=p(1+k)n+2p(1+k)n-1+…+(n-1)·p·(1+k)2+np(1+k).②②-①，得所以(元).上述結(jié)果就是此人第n+1年初一次性獲得的養(yǎng)老金總額.29編輯ppt

1.銀行按規(guī)定每經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間結(jié)算存(貸)款的利息一次，結(jié)算后即將利息并入本金，這種計(jì)算利息的方法叫復(fù)利.現(xiàn)在有某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案：甲方案——一次性貸款10萬(wàn)元，第一年便可獲利1萬(wàn)元，以后每年比前一年增加30%的利潤(rùn)；乙方案——每年貸款1萬(wàn)元，第一年可獲利1萬(wàn)元，以后每年比前一年多獲利5千元.兩種方案的使用期限都是10年，到期一次性歸還本息.題型分期付款問(wèn)題30編輯ppt若銀行貸款利息均按年息10%的復(fù)利計(jì)算，試比較兩種方案哪個(gè)獲利更多(計(jì)算結(jié)果精確到千元，參考數(shù)據(jù)：1.110≈2594，1.310≈13.786).

解：甲方案10年獲利是每年獲利數(shù)組成的數(shù)列的前10項(xiàng)的和，即1+(1+30%)+(1+30%)2+…+(1+30%)9=≈42.62(萬(wàn)元).到期時(shí)銀行貸款的本息為10(1+10%)10=10×2.594=25.94(萬(wàn)元)，31編輯ppt乙方案逐年獲利組成一個(gè)等差數(shù)列,10年共獲利1+(1+0.5)+(1+2×0.5)+…+(1+9×0.5)(萬(wàn)元)，而貸款本息為1.1×［1+(1+10%)+…+(1+10%)9］=≈17.53(萬(wàn)元)，所以乙方案扣除貸款本息后，凈獲利32.50-17.53≈15.0(萬(wàn)元).比較可知，甲方案比乙方案獲利多.32編輯ppt2.近年來(lái)，沙塵暴肆虐我國(guó)西北地區(qū)，造成了嚴(yán)重的自然災(zāi)害，在今后若干年內(nèi)，防沙、治沙已成為沙漠地區(qū)一項(xiàng)重要而艱巨的工作.某縣位于沙漠邊緣地帶，人與自然經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期頑強(qiáng)的斗爭(zhēng)，到2009年底，全縣綠化率已達(dá)30%，但每年的治沙工作都出現(xiàn)這樣的情形：上一年的沙漠面積的16%被栽上樹(shù)改造為綠洲，而同時(shí)，上一年的綠洲面積的4%又被侵蝕變?yōu)樯衬?問(wèn)至少要到哪一年底，該縣的綠洲面積才能超過(guò)60%？(0.84≈0.4096，0.85≈0.32768)題型

遞推數(shù)列的應(yīng)用33編輯ppt

解：設(shè)該縣的土地面積為1，以2009年為第一年，第n年底的綠洲面積為an，則an=an-1·(1-4%)+(1-an-1)·16%，即所以所以數(shù)列{}是公比為