高中數(shù)學(xué)專題2.11已知不等恒成立分離參數(shù)定最值（原卷版）

第8頁共8頁高中數(shù)學(xué)專題2.11,不等恒成立，別離參數(shù)定最值〔原卷版〕專題11不等恒成立，別離參數(shù)定最值【題型綜述】不等式恒成立的轉(zhuǎn)化策略一般有以下幾種：①別離參數(shù)＋函數(shù)最值；②直接化為最值＋分類討論；③縮小范圍＋證明不等式；④別離函數(shù)＋數(shù)形結(jié)合。分類參數(shù)的優(yōu)勢(shì)在于所得函數(shù)不含參數(shù)，缺點(diǎn)在于函數(shù)構(gòu)造復(fù)雜，一般是函數(shù)的積與商，因?yàn)闃?gòu)造復(fù)雜，導(dǎo)函數(shù)可能也是超越函數(shù)，那么需要屢次求導(dǎo)，也有可能不存在最值，故需要求極限，會(huì)用到傳說中的洛必達(dá)法那么求極限〔超出教學(xué)大綱要求〕；直接化為最值的優(yōu)點(diǎn)是函數(shù)構(gòu)造簡(jiǎn)單，是不等式恒成立的同性通法，高考參考答案一般都是以這種解法給出，缺點(diǎn)是一般需要分類討論，解題過程較長(zhǎng)，解題層級(jí)數(shù)較多，不易掌握分類標(biāo)準(zhǔn)?？s小參數(shù)范圍優(yōu)點(diǎn)是函數(shù)構(gòu)造簡(jiǎn)單，分類范圍較小，分類情況較少，難點(diǎn)在于尋找特殊值，并且這種解法并不流行，容易被誤判。別離函數(shù)主要針對(duì)選擇填空題。因?yàn)閳D形難以從微觀層面解釋清楚圖像的交點(diǎn)以及圖像的上下，這要涉及到圖像的連續(xù)性以及凸凹性。還有在構(gòu)作函數(shù)圖像時(shí)，實(shí)際上是從特殊到一般，由特殊幾點(diǎn)到整個(gè)函數(shù)圖像，實(shí)際是一種猜想。俗話說，形缺數(shù)時(shí)難入微?！镜淅敢坷?己知函數(shù).〔1〕假設(shè)函數(shù)在處獲得極值，且，求；〔2〕假設(shè)，且函數(shù)在上單調(diào)遞増，求的取值范圍.解：〔1〕，由題意可得：，又，所以.經(jīng)檢驗(yàn)合適題意.(2)，在上單調(diào)遞增在上恒成立在上恒成立法一〔別離參數(shù)＋函數(shù)最值〕：那么在上恒成立，令，下面求在上的最大值.，令，那么.顯然，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，從而.所以，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，從而.因此，.法二〔直接化為最值＋分類討論〕：令，.令，①當(dāng)時(shí)，，所以，即在上單調(diào)遞減.而，與在上恒成立相矛盾.②當(dāng)時(shí)，那么開口向上(方案一〕：Ⅰ.假設(shè)，即時(shí)，,即，所以在上遞增，所以，即.Ⅱ.假設(shè)，即時(shí)，此時(shí)，不合題意.(方案二〕：Ⅰ.假設(shè)對(duì)稱軸，即時(shí)，那么在上為增函數(shù)，，即，所以在上遞增，所以，即.Ⅱ.假設(shè)對(duì)稱軸，即時(shí)，那么，不合題意.法三〔縮小范圍＋證明不等式〕：令，那么.另一方面，當(dāng)時(shí)，那么有，令，開口向上，對(duì)稱軸，故在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，那么，故合適題意.例2.(2022全國新課標(biāo)Ⅱ文20)己知函數(shù).〔Ⅰ〕當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；〔Ⅱ〕假設(shè)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.簡(jiǎn)析：〔Ⅰ〕的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，，，，所以曲線在處的切線方程為.〔Ⅱ〕法一〔參考答案，系數(shù)常數(shù)化〕：在恒成立在恒成立，令，①當(dāng)時(shí)，那么)時(shí)，,故，在上是增函數(shù)，故有②當(dāng)時(shí)，那么，，由，故，在上是減函數(shù)，故有，故不合適題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為法二〔直接化為最值〕：在恒成立，那么(導(dǎo)函數(shù)為超越函數(shù)〕；在為增函數(shù)，那么〔1〕當(dāng)即時(shí)，那么(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”)，故在為增函數(shù)，那么有，故在恒成立，故合適題意.〔2〕當(dāng)即時(shí)，那么，且，故在有唯一實(shí)根，那么在為減函數(shù)，在增函數(shù)，又有，那么存在,使得，故不合適題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.法三〔別離參數(shù)〕：在恒成立在恒成立〔端點(diǎn)自動(dòng)成立〕，那么設(shè)，令在為增函數(shù)，那么在為增函數(shù)，又因，故實(shí)數(shù)的取值范圍為法四〔縮小范圍〕：在恒成立，且，那么存在，使得在上為增函數(shù)在上恒成立，令.又當(dāng)時(shí)，在為增函數(shù)，那么(當(dāng)且僅當(dāng)(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”)，故在為增函數(shù)，那么有，故在恒成立，故合適題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.點(diǎn)評(píng)：當(dāng)端點(diǎn)剛好合適題意時(shí)，那么別離參數(shù)法一般會(huì)用到傳說中的洛必達(dá)法那么，縮小范圍那么可利用端點(diǎn)值導(dǎo)數(shù)符號(hào)來求出參數(shù)范圍。這兩種轉(zhuǎn)化方式都有超出教學(xué)大綱要求的嫌疑。2.(重慶市2022屆一診理20)曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為1；〔1〕假設(shè)函數(shù)在上為減函數(shù)，求的取值范圍；〔2〕當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍.解：〔Ⅰ〕由題知∴，，在上單減，∴在上恒成立即在上恒成立，，∴；〔Ⅱ〕法一〔直接化為最值〕令，那么在上恒成立，當(dāng)即時(shí)，，在上單減，∴，符合題意；當(dāng)時(shí)，，在上單增，∴當(dāng)時(shí)，，矛盾；當(dāng)時(shí)，在上單減，上單增，而，矛盾；綜上，.法二〔別離參數(shù)〕在上恒成立〔端點(diǎn)自動(dòng)成立〕設(shè)，令在上為減函數(shù)，那么在上為減函數(shù)，又因，故實(shí)數(shù)的取值范圍為法三〔縮小范圍〕：令，那么在上恒成立，注意到，，那么存在，使得在上為減函數(shù)在上恒成立，又有.那么存在，使得在上為減函數(shù)[ZXXK]在上恒成立，又有.又當(dāng)時(shí)，那么[]〔1〕假設(shè)時(shí)，，在上單減，∴，符合題意；〔2〕假設(shè)時(shí)，那么，故在上單減，上單增，而，矛盾；[學(xué)+科+網(wǎng)]綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為點(diǎn)評(píng)：〔1)在端點(diǎn)處恰好合適題意，別離參數(shù)所得函數(shù)卻在時(shí)得到下確界，值得留意.〔2〕縮小范圍所得參數(shù)范圍不一定恰好具有充分性，那么需要分類討論，這時(shí)可以減少分類的層級(jí)數(shù)，縮短解題步驟?！?〕構(gòu)造反例，尋找適宜的特殊值，具有很強(qiáng)的技巧性。因函數(shù)分解為二次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)之和，故構(gòu)造特殊值的反例時(shí)可以分別考慮二次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的零點(diǎn)，對(duì)數(shù)函數(shù)的零點(diǎn)為，而二次函數(shù)的零點(diǎn)為及，又知當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)，故易得，從而導(dǎo)出矛盾?！緮U(kuò)展鏈接】洛必達(dá)法那么簡(jiǎn)介：[]法那么1假設(shè)函數(shù)和滿足以下條件：〔1)及；〔2〕在點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)，且；〔3〕，那么.法那么2假設(shè)函數(shù)和滿足以下條件：〔1)及；〔2〕，和在與上可導(dǎo)，且；〔3〕，那么.法那么3假設(shè)函數(shù)和滿足以下條件：〔1)及；〔2〕在點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)且；〔3〕，那么.利用洛必達(dá)法那么求未定式的極限是微分學(xué)中的重點(diǎn)之一，在解題中應(yīng)注意：①將上面公式中的換成洛必達(dá)法那么也成立。②洛必達(dá)法那么可處理型。[]③在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足型定式，否那么濫用洛必達(dá)法那么會(huì)出錯(cuò)。當(dāng)不滿足三個(gè)前提條件時(shí)，就不能用洛必達(dá)法那么，這時(shí)稱洛必達(dá)法那么不適用，應(yīng)從另外途徑求極限。④假設(shè)條件符合，洛必達(dá)法那么可連續(xù)屢次使用，直到求出極限為止?！就接?xùn)練】1．函數(shù).〔1〕假設(shè)，求證：當(dāng)時(shí)，；〔2〕假設(shè)存在，使，務(wù)實(shí)數(shù)的取值范圍.2．，是的導(dǎo)函數(shù)．〔Ⅰ〕求的極值；〔Ⅱ〕假設(shè)在時(shí)恒成立，務(wù)實(shí)數(shù)的取值范圍．3．函數(shù)．〔Ⅰ〕假設(shè)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；〔Ⅱ〕求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；〔Ⅲ〕設(shè)函數(shù)．假設(shè)對(duì)于任意，都有成立，務(wù)實(shí)數(shù)的取值范圍．4．函數(shù)，.(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求證：過點(diǎn)有三條直線與曲線相切；(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，，務(wù)實(shí)數(shù)的取值范圍.5．函數(shù)〔〕.〔1〕當(dāng)曲線在點(diǎn)處的切線的斜率大于時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；〔2〕假設(shè)對(duì)恒成立，求的取值范圍.〔提示：〕6．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為,且.(Ⅰ)求函數(shù)的極值；(Ⅱ)假設(shè)在上恒成立，求正整數(shù)的最大值.7．函數(shù)，，其中，.〔1〕假設(shè)的一個(gè)極值點(diǎn)為，求的單調(diào)區(qū)間與極小值；〔2〕當(dāng)時(shí)，，，，且在上有極值，求的取值范圍.8．函數(shù).(1)求函數(shù)的圖象在處的切線方程；(2)假設(shè)任意，不等式恒成立，務(wù)實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)設(shè)，，證明：.9．函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，務(wù)實(shí)數(shù)的取值范圍.10．設(shè)函數(shù).〔1〕當(dāng)時(shí),求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；〔2〕對(duì)任意的函數(shù)恒成立