2022-2023學年高二數學理期末試卷含解析

2022-2023學年高二數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.劉徽是一個偉大的數學家，他的杰作《九章算術注》和《海島算經》是中國最寶貴的文化遺產，他所提出的割圓術可以估算圓周率π，理論上能把π的值計算到任意的精度．割圓術的第一步是求圓的內接正六邊形的面積．若在圓內隨機取一點，則此點取自該圓內接正六邊形的概率是（

）A. B. C. D.參考答案：B2.如圖甲所示，三棱錐的高，，，M、N分別在和上，且，，圖乙中的四個圖像大致描繪了三棱錐的體積V與的變化關系，其中正確的是（

）參考答案：A,

,

是拋物線的一部分．3.已知a,b為正實數，且的最小值為（

）A．

B．6

C．3+

D．3－

參考答案：C略4.類比“兩角和與差的正、余弦公式”的形式，對于給定的兩個函數：，，其中，且，下面正確的運算公式是（）①；②；③；④.A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④參考答案：D5.已知=（1，0），||=，|﹣|=||，則，的夾角是（）A． B．C．D．參考答案：C【考點】數量積表示兩個向量的夾角．【分析】由條件利用兩個向量的數量積的定義，求得cosθ的值，可得設與夾角θ的值．【解答】解：已知=（1，0），||=，|﹣|=||，設，的夾角為θ，θ∈[0，π]，則+﹣2=，∴=2?，∴2=2?1?cosθ，∴cosθ=，∴θ=，故選：C．【點評】本題主要考查兩個向量的數量積的定義，屬于基礎題．6.已知兩點,O為坐標原點，點C在第二象限，且,則等于（

）A．

B．

C．-1

D．1參考答案：A7.等差數列{an}的前n項和Sn，若，則()A.8 B.10 C.12 D.14參考答案：C試題分析：假設公差為,依題意可得.所以.故選C.考點：等差數列的性質.8.已知兩點，點為坐標平面內的動點，滿足＝0，則動點到兩點、的距離之和的最小值為A.4

B.5

C.6

D.參考答案：B9.是等差數列，，則使的最小的n值是（

）(A)5

(B)

(C)7

(D)8w參考答案：B10.設斜率為2的直線l過雙曲線的右焦點，且與雙曲線的左、右兩支分別相交，則雙曲線離心率e的取值范圍是（

）

A．e＞

B．e＞

C．1＜e＜

D．1＜e＜參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.雙曲線的準線方程為

。參考答案：略12.在正項等比數列{}中，則滿足的最大正整數n的值為___________．參考答案：12略13.若函數與函數的零點分別為，，則函數的極大值為

．參考答案：是與交點橫坐標，是與交點橫坐標，與應為反函數，函數關于對稱，又與垂直，與的中點就是與的交點，，，當時，，在上遞減，在上遞增，當時，，在上遞減，在上遞增，所以函數在處取得極大值，即函數的極大值為，故答案為.

14.橢圓+=1上的點到直線l：x﹣2y﹣12=0的最大距離為．參考答案：4【考點】橢圓的簡單性質．【分析】先將橢圓方程化為參數方程，再求圓心到直線的距離d，利用三角函數的性質求其最大值，故得答案．【解答】解：由題意，設P（4cosθ，2sinθ）則P到直線的距離為d==，當sin（θ﹣）=1時，d取得最大值為4，故答案為：4．15.若曲線在點處的切線平行于直線，則點的坐標為

參考答案：略16.函數在區(qū)間［-1，2］上的值域是

.參考答案：［，8］略17.圓的圓心到直線的距離

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓C的離心率為，點在橢圓C上．直線l過點（1，1），且與橢圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M．（I）求橢圓C的方程；（Ⅱ）點O為坐標原點，延長線段OM與橢圓C交于點P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求出此時直線l的方程，若不能，說明理由．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的簡單性質．【分析】（Ⅰ）根據題意，可得，解得a2與b2的值，代入橢圓的標準方程即可得答案；（Ⅱ）根據題意，分2種情況討論，（1）當直線l與x軸垂直時，分析可得直線l的方程為x=1滿足題意；（2）當直線l與x軸不垂直時，設直線l為y=kx+m，分析A、B、M的坐標，將y=kx+m代入．得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由根與系數的關系可得M的坐標，進而由四邊形OAPB為平行四邊形當且僅當線段AB與線段OP互相平分可得P的坐標，代入橢圓的標準方程可得，進而分析可得，解可得k、m的值，即可得答案．【解答】解：（I）由題意得，解得a2=4，b2=1．所以橢圓C的方程為．…..（Ⅱ）四邊形OAPB能為平行四邊形，分2種情況討論：（1）當直線l與x軸垂直時，直線l的方程為x=1滿足題意；（2）當直線l與x軸不垂直時，設直線l：y=kx+m，顯然k≠0，m≠0，A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）．將y=kx+m代入．得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，．故，．四邊形OAPB為平行四邊形當且僅當線段AB與線段OP互相平分，即．則．由直線l：y=kx+m（k≠0，m≠0），過點（1，1），得m=1﹣k．則，則（4k2+1）（8k﹣3）=0．則．滿足△＞0．所以直線l的方程為時，四邊形OAPB為平行四邊形．綜上所述：直線l的方程為或x=1．…..19.某商場為了促銷，采用購物打折的優(yōu)惠辦法：每位顧客一次購物：①在1000元以上者按九五折優(yōu)惠；②在2000元以上者按九折優(yōu)惠；③在5000元以上者按八折優(yōu)惠。(1）寫出實際付款y（元）與購物原價款x（元）的函數關系式；(2）寫出表示優(yōu)惠付款的算法；參考答案：（1）設購物原價款數為元，實際付款為元，則實際付款方式可用分段函數表示為：(2）用條件語句表示表示為：20.設函數f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的導函數．（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表達式；（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求實數a的取值范圍；（Ⅲ）設n∈N+，比較g（1）+g（2）+…+g（n）與n﹣f（n）的大小，并加以證明．參考答案：【考點】利用導數求閉區(qū)間上函數的最值；利用導數研究函數的單調性．【分析】（Ⅰ）由已知，，…可得用數學歸納法加以證明；（Ⅱ）由已知得到ln（1+x）≥恒成立構造函數φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），利用導數求出函數的最小值即可；（Ⅲ）在（Ⅱ）中取a=1，可得，令則，n依次取1，2，3…，然后各式相加即得到不等式．【解答】解：由題設得，（Ⅰ）由已知，，…可得下面用數學歸納法證明．①當n=1時，，結論成立．②假設n=k時結論成立，即，那么n=k+1時，=即結論成立．由①②可知，結論對n∈N+成立．（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥恒成立．設φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），則φ′（x）=，當a≤1時，φ′（x）≥0（僅當x=0，a=1時取等號成立），∴φ（x）在[0，+∞）上單調遞增，又φ（0）=0，∴φ（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．∴當a≤1時，ln（1+x）≥恒成立，（僅當x=0時等號成立）當a＞1時，對x∈（0，a﹣1]有φ′（x）＜0，∴φ（x）在∈（0，a﹣1]上單調遞減，∴φ（a﹣1）＜φ（0）=0即當a＞1時存在x＞0使φ（x）＜0，故知ln（1+x）≥不恒成立，綜上可知，實數a的取值范圍是（﹣∞，1]．（Ⅲ）由題設知，g（1）+g（2）+…+g（n）=，n﹣f（n）=n﹣ln（n+1），比較結果為g（1）+g（2）+…+g（n）＞n﹣ln（n+1）證明如下：上述不等式等價于，在（Ⅱ）中取a=1，可得，令則故有，ln3﹣ln2，…，上述各式相加可得結論得證．21.現有一只不透明的袋子里面裝有6個小球，其中3個為紅球，3個為黑球，這些小球除顏色外無任何差異，現從袋中一次性地隨機摸出2個小球．（1）求這兩個小球都是紅球的概率；（2）記摸出的小球中紅球的個數為X，求隨機變量X的概率分布及其均值E（X）．參考答案：（1）記“取得兩個小球都為紅球”為事件A，利用排列組合知識能求出這兩個小球都是紅球的概率．（2）隨機變量X的可能取值為：0、1、2，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量X的概率分布列和數學期望．（理科）解：（1）記“取得兩個小球都為紅球”為事件A，則這兩個小球都是紅球的概率P（A）==．…（2）隨機變量X的可能取值為：0、1、2，…X=0表示取得兩個球都為黑球，P（X=0）==，X=1表示取得一個紅球一個黑球，P（X=1