2020屆高考數(shù)學(xué)(理)一輪復(fù)習(xí)講義 12.3 離散型隨機(jī)變量的分布列及期望、方差

§12.3離散型隨機(jī)變量的分布列及期望、方差取新考綱考情考向分析1?理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，認(rèn)識分布列刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性，會(huì)求某些取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的分布列.2.了解超幾何分布，并能進(jìn)行簡單應(yīng)用.3?理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念?會(huì)求簡單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能利用離散型隨機(jī)變量的均值、方差概念解決一些簡單問題.以理解離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念為主，經(jīng)常以頻率分布直方圖為載體，結(jié)合頻率與概率，考查離散型隨機(jī)變量、離散型隨機(jī)變量分布列的求法.在高考中以解答題的形式進(jìn)行考查，難度多為中低檔.1．離散型隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱X為離散型隨機(jī)變量.2．離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)(1)離散型隨機(jī)變量的分布列：若離散型隨機(jī)變量X所有可能取的值為x1，x2，…，x.,…，x,X取每一個(gè)值x.(i=l,2,…,12inin)的概率為p1，p2，…，pn，則表Xx1X2???x.???xnPPlP2???Pi???prn稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列.(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)：①p.三0(.=1,2,3,…，n):②P]+p2Pn=1；@P(x.WxWxj)=P.+p.七Pj.3．常見離散型隨機(jī)變量的分布列(1)二點(diǎn)分布如果隨機(jī)變量X的分布列為X10Ppq其中Ovpvl,q=l—p,則稱離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的二點(diǎn)分布.(2)超幾何分布設(shè)有總數(shù)為N件的兩類物品，其中一類有M件，從所有物品中任取n件(nWN)，這n件中所含這類物品件數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，當(dāng)X=m時(shí)的概率為P(X=m)=CMC『為(OWmWl,CnNl為n和M中較小的一個(gè))，稱離散型隨機(jī)變量X的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量X所有可能取的值是X],x2，…，xn，這些值對應(yīng)的概率是p1，p2，…,pn.數(shù)學(xué)期望稱E^^x^ixpi…為離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡稱期望),它刻畫了這個(gè)離散型隨機(jī)變量的平均取值水平.方差稱D(X)=(x十_E(X))2p++(x2_E(X))2p2——(x”_E(X))2p”叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量X的方差，即反映了離散型隨機(jī)變量取值相對于期望的平均波動(dòng)大小(或說離散程度),D(X)的算術(shù)平方根nDXj叫做離散型隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.期望與方差的性質(zhì)E(aX+b)=aE(X)+b.D(aX+b)=a2D(X).(a,b為常數(shù))概念方法微思考概念方法微思考1．隨機(jī)變量和函數(shù)有何聯(lián)系和區(qū)別？提示區(qū)別：隨機(jī)變量和函數(shù)都是一種映射，隨機(jī)變量是隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果到實(shí)數(shù)的映射，函數(shù)是實(shí)數(shù)到實(shí)數(shù)的映射；聯(lián)系：隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域．2.離散型隨機(jī)變量X的每一個(gè)可能取值為實(shí)數(shù)，其實(shí)質(zhì)代表的是什么？提示代表的是“事件”，即事件是用一個(gè)反映結(jié)果的實(shí)數(shù)表示的．3．如何判斷所求離散型隨機(jī)變量的分布列是否正確？提示可用Pj三0,i=l,2,…，n及P]+p2Pn=l檢驗(yàn).4．隨機(jī)變量的期望、方差與樣本期望、方差的關(guān)系是怎樣的？提示隨機(jī)變量的期望、方差是一個(gè)常數(shù)，樣本期望、方差是一個(gè)隨機(jī)變量，隨觀測次數(shù)的增加或樣本容量的增加，樣本的期望、方差趨于隨機(jī)變量的期望與方差.

題組一思考辨析1?判斷下列結(jié)論是否正確請?jiān)诶ㄌ栔写颉?”或“X”)(1拋擲均勻硬幣一次，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機(jī)變量.(J)(2離散型隨機(jī)變量的概率分布列描述了由這個(gè)隨機(jī)變量所刻畫的隨機(jī)現(xiàn)象.(“)(3從4名男演員和3名女演員中選出4名，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布.(“)(4)離散型隨機(jī)變量的分布列中，隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率之和可以小于1.(X)(5隨機(jī)變量的期望是常數(shù)，樣本的平均數(shù)是隨機(jī)變量，它不確定.(“)(6)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離期望的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量的平均程度越小.(h)題組二教材改編2?設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下:X12345P111112636p則p為()A-i1B-3C-|A-i1B-3C-|1D-112答案C解析由分布列的性質(zhì)知，112+6+3+6+p=1,^p=1-l=1-3.已知X的分布列為X-101P121316設(shè)Y=2X+3，則E(Y)的值為()CC4B7-3A.答案A解析e(x)=—2十6=—3，TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"27E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=—3+3=3.4．有一批產(chǎn)品共12件，其中次品3件，每次從中任取一件，在取到合格品之前取出的次品數(shù)X的所有可能取值是．答案0,1,2,3解析因?yàn)榇纹饭灿?件，所以在取到合格品之前取出的次品數(shù)X的可能取值為0丄2,3.題組三易錯(cuò)自糾5．袋中有3個(gè)白球、5個(gè)黑球，從中任取2個(gè)，可以作為隨機(jī)變量的是()至少取到1個(gè)白球至多取到1個(gè)白球取到白球的個(gè)數(shù)取到的球的個(gè)數(shù)答案C解析選項(xiàng)A，B表述的都是隨機(jī)事件；選項(xiàng)D是確定的值2,并不隨機(jī)；選項(xiàng)C是隨機(jī)變量，可能取值為0,1,2.此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，則P(X=4)的值為27220由題意知取出的3此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，則P(X=4)的值為27220由題意知取出的3個(gè)球必為2個(gè)舊球、1個(gè)新球，解析故P(X=4)=罟=僉.22題型一分布列的求法例1設(shè)某人有5發(fā)子彈，當(dāng)他向某一目標(biāo)射擊時(shí)，每發(fā)子彈命中目標(biāo)的概率為3?若他連續(xù)兩發(fā)命中或連續(xù)兩發(fā)不中則停止射擊，否則將子彈打完．求他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率；求他所耗用的子彈數(shù)X的分布列.2解記“第k發(fā)子彈命中目標(biāo)”為事件Ak，則A1，A2,A3,A4,A5相互獨(dú)立，且P(Ak)=3,1P(Ak)=3，k=1,2,3,4,5.方法一他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率為

P(A1A2)+P(A^A2)=P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)方法二由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式知，他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率為P=C2x221,12321,123X3+3X3=49.14x3=9-X的所有可能值為2,3,4,5.p(X=2)=p(A1a2)+p(T1T2)——y—I————_3x3十3x3—9,P(X=3)=P(A1P(X=3)=P(A1A2A3)+P(A^3)=3=3x32+3X2232=9,P(X=4)=P(A1A2A3A4)+P(A1A2A3A4)13x13x3+2103x3=8i，p(x=5)=p(A1a2a3a4)+p(a1a2a3A4)211282112832=8T-故X的分布列為X2345P2T0_8_98181思維升華求離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟理解X的意義，寫出X可能取的全部值；求X取每個(gè)值的概率；寫出X的分布列．求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量所取值對應(yīng)的概率，在求解時(shí)，要注意應(yīng)用計(jì)數(shù)原理、古典概型等知識．跟蹤訓(xùn)練1已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時(shí)檢測結(jié)束．求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；已知每檢測一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時(shí)所需要的檢測費(fèi)用單位：元)，求X的分布列.解(1記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件a,則p(A)=AAAi=T30-(2)X的可能取值為200,300,400.

P(X=200)=a2丄10P(X=200)=a2丄10,P(X=300)=A3±A2C3A2=310,P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)_丄-3=3=1-^-1^=5-故X的分布列為X200300400P丄_3_1010題型二期望與方差例2某投資公司在2019年年初準(zhǔn)備將1000萬元投資到“低碳”項(xiàng)目上，現(xiàn)有兩個(gè)項(xiàng)目供選擇：項(xiàng)目一：新能源汽車．據(jù)市場調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利30%，也可能虧損15%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為7和2；項(xiàng)目二：通信設(shè)備．據(jù)市場調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利50%，可能損失30%，311也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為33和石.針對以上兩個(gè)投資項(xiàng)目，請你為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目，并說明理由．解若按“項(xiàng)目一”投資，設(shè)獲利為X］萬元，則X］的分布列為X1300-150P7299???E(X1)=300x7+(-150)x9=200.若按“項(xiàng)目二”投資，設(shè)獲利為X2萬元，則X2的分布列為X2500—300031丄P5315TOC\o"1-5"\h\z311.??E(X2)=500X5+(—300)X3+0X^=200.72D(X1)=(300—200)2X9+(-150—200)2X9=35000,311D(X2)=(500—200)2X5+(-300—200)2X3+(0—200)2X忑=140000.?E(X1)=E(X2)，D(X1)<D(X2)，這說明雖然項(xiàng)目一、項(xiàng)目二獲利相等，但項(xiàng)目一更穩(wěn)妥．綜上所述，建議該投資公司選擇項(xiàng)目一投資．思維升華離散型隨機(jī)變量的期望與方差的常見類型及解題策略(1)求離散型隨機(jī)變量的期望與方差．可依題設(shè)條件求出離散型隨機(jī)變量的分布列，然后利用期望、方差公式直接求解．(2)由已知期望或方差求參數(shù)值．可依據(jù)條件利用期望、方差公式得出含有參數(shù)的方程(組)，解方程(組)即可求出參數(shù)值．由已知條件，作出對兩種方案的判斷．可依據(jù)期望、方差的意義，對實(shí)際問題作出判斷．跟蹤訓(xùn)練2為迎接2022年北京冬奧會(huì)，推廣滑雪運(yùn)動(dòng)，某滑雪場開展滑雪促銷活動(dòng)．該滑雪場的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時(shí)間不超過1小時(shí)免費(fèi)，超過1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)．有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來該滑雪場運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲、乙1112不超過1小時(shí)離開的概率分別為4,6；1小時(shí)以上且不超過2小時(shí)離開的概率分別為2,3；兩人滑雪時(shí)間都不會(huì)超過3小時(shí)．求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量d，求乙的分布列與期望ECD，方差D?.解(1)兩人所付費(fèi)用相同，相同的費(fèi)用可能為0,40,80元，甲、乙兩人2小時(shí)以上且不超過3小時(shí)離開的概率分別為f1—4—2^=4，(1—6一2)=6?兩人都付0元的概率為戶呂乂”二士，121兩人都付40元的概率為P2=^X^=3，

兩人都付80元的概率為卩3=*6=24,則兩人所付費(fèi)用相同的概率為丄—丄,,丄，1,丄—丄2412P=Pi+P2+P3=24+3+2412(2)設(shè)甲、乙所付費(fèi)用之和為￡的可能取值為0,40,80,120,160,則p(^=0)=4x6=24，p(￡=40)=1x|+|xi1=4,P(￡=80)=4X6+2X3+4X6=12,p(￡=120)=|x1+1x|=4,P(￡=160)=4X6=24-所以￡的分布列為￡0408012016011_5_11P24412424E(￡)=0Xz4+40x4+80Xi|+120x4+160X24=80.1-24+5-12X

)1-24+5-12X

)282024X2800O4題型三超幾何分布例3(2017?山東)在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗(yàn)的方法評價(jià)不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價(jià)兩種心理暗示的作用．現(xiàn)從中隨機(jī)抽取5有6名男志愿者A”A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,人接受甲種心理暗示，另5從中隨機(jī)抽取5求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A］但不包含B1的概率；用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與期望E(X).解(1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M,則p(m)=C50=^-(2)由題意知X可取的值為0,1,2,3,4，貝UC51p(x=O)=c560=42P(X=1)=P(X=1)=COP(X=2)=C6C4_10c5o—21'P(X=4)=因此X的分布列為X01234P丄_5_衛(wèi)_5_丄4221212142所以X的期望E(X)=0XP(X=0)+1XP(X=1)+2XP(X=2)+3XP(X=3)+4XP(X=4)=0+1x2i+2X11+3X21+4X42=2-思維升華(1)超幾何分布的兩個(gè)特點(diǎn)①超幾何分布是不放回抽樣問題；②隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)．(2)超幾何分布的應(yīng)用條件兩類不同的物品(或人、事)；已知各類對象的個(gè)數(shù)；從中抽取若干個(gè)個(gè)體．跟蹤訓(xùn)練3PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動(dòng)力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于2.5微米的可入肺顆粒物.根據(jù)現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)GB3095—2012,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級;在35微克/立方米?75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級;在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo).從某自然保護(hù)區(qū)2018年全年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本,監(jiān)測值頻數(shù)如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85]頻數(shù)311113(1)從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出3天，求恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級的概率;⑵從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，記￡表示抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求E的分布列．解(1)記“從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出3天，恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級”為事件A,則p⑷=CO=21則P(A)q040-⑵由條件知,，服從超幾何分布，其中N=10,M=3,n=3,且隨機(jī)變量￡的可能取值為0,1,2,3.P(^=k)=^3C^(k=0,1,2,3).Z24,P(^Z24,P(^=1)=C1C7_21C3o_40'740,故d的分布列為0123P72171244040120離散型隨機(jī)變量的期望與方差問題例(12分)為回饋顧客，某商場擬通過模擬兌獎(jiǎng)的方式對1000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額．若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元，其余3個(gè)均為10元，求：顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率；顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及期望；商場對獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成．為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對均衡，請對袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說明理由．規(guī)范解答解(1)設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X.依題意，得P(X=60)=^^=2，即顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率為2?[2分]依題意，得X的所有可能取值為20,60.p(x=60)=2,p(x=20)=||=2,2C422故X的分布列為X206011P22[4分]所以顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望為E(X)=20x2+60X1=40.[5分](2)根據(jù)商場的預(yù)算，每個(gè)顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)額為60元，所以，先尋找期望為60的可能方案．對于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇(10,10,10,50)的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最大值，所以期望不可能為60元；如果選擇(50,50,50,10)的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最小值，所以期望也不可能為60元；因此可能的方案是(10,10,50,50)，記為方案1.對于面值由20元和40元組成的情況，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，記為方案2.以下是對兩個(gè)方案的分析．對于方案1，即方案(10,10,50,50)，設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X],則X]的分布列為Xi2060100121PJL636[7分]]2]X]的期望為E(XJ=20X6+60X3+100X6=60,X]的方差為D(X])=(20-60)2X6+(60-60)2X2+(100-60)2X[9分]對于方案2,即方案(20,20,40,40),設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X2,則X2的分布列為X2406080121PJL636[10分]121X2的期望為E(X2)=40X6+60X3+80X6=60,121400X2的方差為D(X2)=(40—60)2X6+(60—60)2X3+(80—60)2X6=丁.由于兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望都符合要求，但方案2獎(jiǎng)勵(lì)額的方差比方案1的小，所以應(yīng)該選擇方案2.[12分]求離散型隨機(jī)變量的期望和方差問題的一般步驟第一步：確定隨機(jī)變量的所有可能取值；第二步：求每一個(gè)可能取值所對應(yīng)的概率；第三步：列出離散型隨機(jī)變量的分布列；第四步：求期望和方差；第五步：根據(jù)期望、方差進(jìn)行判斷，并得出結(jié)論(適用于期望、方差的應(yīng)用問題)第六步：反思回顧．查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范性．1．若離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01Paa222則X的期望E(X)等于()A.2B.2或扌C.2D.1答案C解析由題意知，a+a2=l，a>0,所以a=1,所以E(X)=0X2+ix2=|.故選C.2.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下，則P(IX—21=1)等于()

X1234111P64m3An1An151B?2c.正d?6答案解析由6+1+m+3=1,得m=4所以P(IX-2I=1)=P(X=1)+P(X=3)=1+4=12.故選c.3．有10張卡片，其中8張標(biāo)有數(shù)字2,2張標(biāo)有數(shù)字5，從中任意抽出3張卡片，設(shè)3張卡片上的數(shù)字和為X,則X28的概率是(答案c解析由題意知，X的取值為6,9,12,又P(X=9)=瓷=末，P(X=12)=罟t，718所以X28的概率為石，故選C.4?設(shè)隨機(jī)變量￡的分布列為P(d=5)=ak(k=1,2,3,4,5),則戶時(shí)產(chǎn)總)等于()A.4A.421B.5C.5D.5答案c解析由題意知，分布列為￡152535451Pa2a3a4a5a由分布列的性質(zhì)可得，a+2a+3a+4a+5a=1,解得a=右.所以血vdv￡)=PC=5)+PC=2)+應(yīng)=5)=古+15+咅=5.故選C5．一個(gè)袋中有4個(gè)紅球,3個(gè)黑球,小明從袋中隨機(jī)取球,設(shè)取到一個(gè)紅球得2分,取到一個(gè)黑球得1分,從袋中任取4個(gè)球,則小明得分大于6分的概率是()

A13A13b14a.35b-35C18D22C.35D-35答案A解析記得分為X,則X的可能取值為5,6,7,8,P(X=7)=CC1=35；P(X=8)=CCC0=35,12113所以P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)=35+55=35-6.設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為X-101P132—3qq2333B2土333B2土6A．1TOC\o"1-5"\h\z_3岳^333C2—肓d?2+肓答案C143\/3323解析?乜+鳥一3q+q2=l,?冷2—3q+3=O，解得纟二尹冷--又由題意知0<q2<2，?冷=2—667.口袋中有5只球，編號為1,2,3,4,5，從中任取3只球，以X表示取出的球的最大號碼，則X的分布列為.答案X345P解析X的取值為3,4,5.又P(X=3)=C3=0?1，P(X=4)=c；=0.3,P(X=5)=c2=0.6.C35所以X的分布列為X345P8?隨機(jī)變量X的分布列如下:X—101Pabc其中其中a,b,c成等差數(shù)列，則P(XI=1)=，公差d的取值范圍是其中其中a,b,c成等差數(shù)列，則P(XI=1)=，公差d的取值范圍是解析Ta，b，c成等差數(shù)列，.2b=a＋c.又a又a＋b＋c=1，1-3-

b2/.P(IXI=1)=a+c=3，又a=3-d,c=1+d,1212根據(jù)分布列的性質(zhì)，得0W3—dW3，0<3+d<3,—§Wd虧9．在一個(gè)口袋中裝有黑、白兩個(gè)球，從中隨機(jī)取一球，記下它的顏色，然后放回，再取一球又記下它的顏色，則這兩次取出白球數(shù)n的分布列為?答案n012111PJL424解析Tn的所有可能值為0,1,2.p(n=o)=p(n=o)=p(n=2)=-二-二QcQC=4，P(n=i)=14.CQX2C21C2112,:?n的分布列為n012111PJL42410.某公司有5萬元資金用于投資開發(fā)項(xiàng)目，如果成功，一年后可獲利12%；如果失敗，一年后將喪失全部資金的50%，下表是過去200例類似項(xiàng)目開發(fā)的實(shí)施結(jié)果：投資成功投資失敗192例8例則估計(jì)該公司一年后可獲收益的期望是元．答案4760解析由題意知，一年后獲利6000元的概率為0.96，獲利－25000元的概率為0.04，故一年后收益的均值是6000X0.96+(—25000)X0.04=4760(元).11．為創(chuàng)建級文明城市，某城市號召出租車司機(jī)在高考期間至少進(jìn)行一次“愛心送考”，該城市某出租車公司共200名司機(jī)，他們進(jìn)行“愛心送考”的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示．(1)求該出租車公司的司機(jī)進(jìn)行“愛心送考”的人均次數(shù)；(2)從這200名司機(jī)中任選兩人，設(shè)這兩人進(jìn)行送考次數(shù)之差的絕對值為隨機(jī)變量X,求X的分布列及期望．解(1)由統(tǒng)計(jì)圖得200名司機(jī)中送考1次的有20人送考2次的有100人，送考3次的有80人，???該出租車公司的司機(jī)進(jìn)行“???該出租車公司的司機(jī)進(jìn)行“愛心送考”的人均次數(shù)為20X1+100X2+80X3200=2.3.(2)從該公司任選兩名司機(jī)，記“這兩人中一人送考1次，另一人送考2次”為事件A,“這兩人中一人送考2次，另一人送考3次”為事件B,“這兩人中一人送考1次，另一人送考3次”為事件C，“這兩人送考次數(shù)相同”為事件D，由題意知X的所有可能取值為0,1,2，p(x=1)=p⑷+p(b)=ccc00+ccC0=109，22002200p(x=2)=p(C)=CC02C10=-199，2200Cgn+C?nn+C?n83p(x=0)=p(d)=4CT如=詢9，2200AX的分布列為X012P8310016199199199E(X)=0X13鮎X型+2XE(X)=0X199^iX199^zX199_199-12.（2018.大連模擬）某超市計(jì)劃按月訂購一種冰激凌，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本為每桶5元，售價(jià)為每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完畢，根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：°C）有關(guān)，如果最高氣溫不低于25°C,需求量為600桶，如果最高氣溫（單位：°C）位于區(qū)間［20,25）,需求量為400桶，如果最高氣溫低于20C，需求量為200桶.為了確定六月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫(C)[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．求六月份這種冰激凌一天的需求量X(單位：桶)的分布列；設(shè)六月份一天銷售這種冰激凌的利潤為Y(單位：元)，當(dāng)六月份這種冰激凌一天的進(jìn)貨量n(單位：桶)為多少時(shí)，Y的期望取得最大值？解(1)由已知得，X的所有可能取值為200,400,600,記六月份最髙氣溫低于20°C為事件A1，最髙氣溫(單位：C)位于區(qū)間［20,25)為事件A2，最髙氣溫不低于25C為事件A3，根據(jù)題意，結(jié)合頻數(shù)分布表，用頻率估計(jì)概率，十181362362可知p(x=200)=p(a1)=9q=5，p(x=400)=p(a2)=9q=5，p(x=600)=p(a3)=90=5，故六月份這種冰激凌一天的需求量X(單位：桶)的分布列為X2004006001P5(2)由題意得，當(dāng)nW200時(shí)，E(Y)=2nW400；146當(dāng)200vnW400時(shí)，E(Y)=5X[200x2+(n-200)x(-2)]+5xnx2=5n+160￡(400,640]；當(dāng)400vnW600時(shí)，1222E(Y)=5x[200x2+(n—200)x(—2)]+5x[400x2+(n—400)x(—2)]+〒xnx2=—5n+800￡[560,640)；當(dāng)n>600時(shí)，122E(Y)=jX[200x2+(n—200)x(—2)]+5x[400x2+(n—400)x(—2)]+&x[600x2+(n—600)x(—2)]=1760—2n<560，所以當(dāng)n=400時(shí)，Y的期望取得最大值640.13．已知6只小白鼠中有1只感染了病毒，需要對6只小白鼠進(jìn)行病毒DNA化驗(yàn)來確定哪一只受到了感染．下面是兩種化驗(yàn)方案：方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定感染病毒的小白鼠為止．方案乙：將6只小白鼠分為兩組，每組三只，將其中一組的三只小白鼠的待化驗(yàn)物質(zhì)混合在一起化驗(yàn)，若化驗(yàn)結(jié)果顯示含有病毒DNA，則表明感染病毒的小白鼠在這三只當(dāng)中，然后逐個(gè)化驗(yàn)，直到確定感染病毒的小白鼠為止；若化驗(yàn)結(jié)果顯示不含病毒DNA，則在另外一組中逐個(gè)進(jìn)行化驗(yàn)．求執(zhí)行方案乙化驗(yàn)次數(shù)恰好為2次的概率；若首次化驗(yàn)的化驗(yàn)費(fèi)為10元，第二次化驗(yàn)的化驗(yàn)費(fèi)為8元，第三次及以后每次化驗(yàn)的化驗(yàn)費(fèi)都是6元，求方案甲所需化驗(yàn)費(fèi)的分布列和期望．解(1)執(zhí)行方案乙化驗(yàn)次數(shù)恰好為2次的情況分兩種：第一種，先化驗(yàn)一組，結(jié)果顯示不含病毒DNA，再從另一組中任取一只進(jìn)行化驗(yàn)，其恰好含有病毒DNA，此種情況的概率為C6有病毒DNA，此種情況的概率為C6=1；第二種，先化驗(yàn)一組，結(jié)果顯示含病毒DNA,再從中逐個(gè)化驗(yàn)，恰好第一只含有病毒，此種情況的概率為宣乂吉=6.所以執(zhí)行方案乙化驗(yàn)次數(shù)恰好為2次的概率為TOC\o"1-5"\h\z1丄116+6=3.(2)設(shè)用方案甲化驗(yàn)需要的化驗(yàn)費(fèi)為"(單位：元)，則n的可能取值為10,18,24,30,36.p(n=10)=6，511P(n=18)=6X5=15411p(n=24)=6X5X4=1

54311P(n=30)=6x5x4x3=654321P（n=36）=6x5x4x3=3,則化驗(yàn)費(fèi)n的分布列為n101824303611111PP666631111177所以E（n）=10x$+18乂6+24乂6+30乂6+36乂3=_3（元）.14?為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與抽象（能力指標(biāo)X）、推理（能力指標(biāo)y）、建模（能力指標(biāo)z）的相關(guān)性，并將它們各自量化為1,2,3三個(gè)等級，再用綜合指標(biāo)w=x+y+z的值評定學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：若w三7,則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為一級；若5WwW6,則數(shù)