等差數(shù)列的前項和性質(zhì)及應(yīng)用

關(guān)于等差數(shù)列的前項和性質(zhì)及應(yīng)用第1頁，共23頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五等差數(shù)列的前n項和公式:形式1:形式2:復(fù)習(xí)回顧第2頁，共23頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五1.將等差數(shù)列前n項和公式

看作是一個關(guān)于n的函數(shù)，這個函數(shù)有什么特點？當(dāng)d≠0時,Sn是常數(shù)項為零的二次函數(shù)則Sn=An2+Bn令第3頁，共23頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五等差數(shù)列的前n項的最值問題例1.已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時,Sn取最大值.解法1由S3=S11得∴d=－2∴當(dāng)n=7時,Sn取最大值49.第4頁，共23頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五等差數(shù)列的前n項的最值問題例1.已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時,Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=－2<0∴當(dāng)n=7時,Sn取最大值49.則Sn的圖象如圖所示又S3=S11所以圖象的對稱軸為7n113Sn第5頁，共23頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五等差數(shù)列的前n項的最值問題例1.已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時,Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=－2∴當(dāng)n=7時,Sn取最大值49.∴an=13+(n-1)×(-2)=－2n+15由得第6頁，共23頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五∴a7+a8=0等差數(shù)列的前n項的最值問題例1.已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時,Sn取最大值.解法4由S3=S11得∴當(dāng)n=7時,Sn取最大值49.a4+a5+a6+……+a11=0而a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又d=－2<0,a1=13>0∴a7>0,a8<0第7頁，共23頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五求等差數(shù)列前n項的最大(小)的方法方法1:由利用二次函數(shù)的對稱軸求得最值及取得最值時的n的值.方法2:利用an的符號①當(dāng)a1>0,d<0時,數(shù)列前面有若干項為正,此時所有正項的和為Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得.②當(dāng)a1<0,d>0時,數(shù)列前面有若干項為負(fù),此時所有負(fù)項的和為Sn的最小值,其n的值由an≤0且an+1≥

0求得.第8頁，共23頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五練習(xí):已知數(shù)列{an}的通項為an=26-2n,要使此數(shù)列的前n項和最大,則n的值為()A.12B.13C.12或13D.14C第9頁，共23頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五2.等差數(shù)列{an}前n項和的性質(zhì)性質(zhì)1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也在等差數(shù)列,公差為在等差數(shù)列{an}中,其前n項的和為Sn,則有性質(zhì)2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),則Sm+p=性質(zhì)3:若Sm=Sp(m≠p),則Sp+m=性質(zhì)4:(1)若項數(shù)為偶數(shù)2n,則

S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1為中間兩項),此時有:S偶－S奇=,n2d0nd－(m+p)第10頁，共23頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五性質(zhì)4:(1)若項數(shù)為奇數(shù)2n－1,則S2n-1=(2n－1)an(an為中間項),

此時有:S偶－S奇=

,兩等差數(shù)列前n項和與通項的關(guān)系性質(zhì)6:若數(shù)列{an}與{bn}都是等差數(shù)列,且前n項的和分別為Sn和Tn,則性質(zhì)5:為等差數(shù)列.an第11頁，共23頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五例1.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.27例2.在等差數(shù)列{an}中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=()A.85B.145C.110D.90BA3.等差數(shù)列{an}前n項和的性質(zhì)的應(yīng)用第12頁，共23頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五例3.一個等差數(shù)列的前10項的和為100,前100項的和為10,則它的前110項的和為

.－110例4.兩等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項和分別是Sn和Tn,且求和.等差數(shù)列{an}前n項和的性質(zhì)的應(yīng)用第13頁，共23頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五例5.一個等差數(shù)列的前12項的和為354,其中項數(shù)為偶數(shù)的項的和與項數(shù)為奇數(shù)的項的和之比為32:27,則公差為

.例6.(09寧夏)等差數(shù)列{an}的前n項的和為Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,則m=.例7.設(shè)數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-7,則|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|=

.510153等差數(shù)列{an}前n項和的性質(zhì)的應(yīng)用第14頁，共23頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五例8.設(shè)等差數(shù)列的前n項和為Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.(1)求公差d的取值范圍;(2)指出數(shù)列{Sn}中數(shù)值最大的項,并說明理由.解:(1)由已知得a1+2d=1212a1+6×11d>013a1+13×6d<0等差數(shù)列{an}前n項和的性質(zhì)第15頁，共23頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五(2)∵∴Sn圖象的對稱軸為由(1)知由上得即由于n為正整數(shù),所以當(dāng)n=6時Sn有最大值.∴Sn有最大值.第16頁，共23頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五練習(xí)1已知等差數(shù)列25,21,19,…的前n項和為Sn,求使得Sn最大的序號n的值.第17頁，共23頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五練習(xí)2:求集合的元素個數(shù)，并求這些元素的和.第18頁，共23頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五練習(xí)3：已知在等差數(shù)列{an}中,a10=23,a25=-22,Sn為其前n項和.（1）問該數(shù)列從第幾項開始為負(fù)？（2）求S10（3）求使Sn<0的最小的正整數(shù)n.(4)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值第19頁，共23頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五課堂小結(jié)1.根據(jù)等差數(shù)列前n項和，求通項公式.2、結(jié)合二次函數(shù)圖象和性質(zhì)求的最值.第20頁，共23頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五3.等差數(shù)列{an}前n項和的性質(zhì)性質(zhì)1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也在等差數(shù)列,公差為在等差數(shù)列{an}中,其前n項的和為Sn,則有性質(zhì)2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),則Sm+p=性質(zhì)3:若Sm=Sp(m≠p),則Sp+m=性質(zhì)4:(1)若項數(shù)為偶數(shù)2n,則

S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1為中間兩項),此時有:S偶－S奇=,n2d0nd－(m+p)第21頁，共23頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五性質(zhì)4:(1)若項數(shù)為奇數(shù)2n－1,則S2n-1=(2n－1)an(a