（精解版）廣東省潮州市2022屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題（解析版）

潮州市2022年高考第二次模擬考試數(shù)學(xué)一、選擇題（本題共12道小題，其中1至8小題為單項(xiàng)選擇題，9至12小題為多項(xiàng)選擇題，每小題5分，共60分）（一）單項(xiàng)選擇題（本題共8道小題，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)正確，每小題5分，共40分）1.已知集合或，則（）．A. B.C. D.或【答案】B【解析】【分析】利用補(bǔ)集的概念求解.【詳解】因?yàn)榛?，所以，故選：B2.復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡(jiǎn)，即得解.【詳解】解：由題得，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選：B3.圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率為，都是白子的概率是，則從中任意取出2粒恰好是不同色的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由取出2粒都是黑子的概率為，都是白子的概率是，根據(jù)對(duì)立事件的概率公式求解即可,【詳解】圍棋盒子中有多粒黑子和白子，∵從中取出2粒都是黑子的概率為，都是白子的概率是，∴由對(duì)立事件概率計(jì)算公式得：從中任意取出2粒恰好是不同色的概率是：.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)立事件的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.4.已知一個(gè)圓柱的軸截面為正方形，且它的側(cè)面積為，則該圓柱的體積為（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)圓柱底面半徑為R，高為h，由題意列方程組求出R、h，即可求出圓柱的體積.【詳解】設(shè)圓柱底面半徑為R，高為h，設(shè)，解得，∴圓柱的體積為．故選：D5.若點(diǎn)P是雙曲線上一點(diǎn)，，分別為的左、右焦點(diǎn)，則“”是“”的（）．A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義和充分不必要條件的定義可得答案.【詳解】由題意可知，，，，若，則，或1（舍去），若，，或13，故“”是“”的充分不必要條件．故選：A．6.唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在位置為，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）．A.5 B. C.45 D.【答案】B【解析】【分析】先求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度即為最短總路程，再利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，所以即為“將軍飲馬”的最短總路程，則“將軍飲馬”的最短總路程為．故選：B．7.已知是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，三棱錐全部頂點(diǎn)都在表面積為的球O的球面上，則三棱錐的體積的最大值為（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出球心到底面ABC的距離和球的半徑，從而確定三棱錐的高的最大值為3，利用椎體體積公式求出體積的最大值.【詳解】球O的半徑為R，則，解得：，由已知可得：，其中球心O到平面ABC的距離為，故三棱錐的高的最大值為3，體積最大值為．故選：C．8.已知函數(shù)，若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間和內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先作出的圖像，令，利用數(shù)形結(jié)合法求解即可【詳解】先作出的圖像，令，在區(qū)間內(nèi)時(shí)，，，得到，所以，；在區(qū)間內(nèi)時(shí)，，，得到，解得，所以，；綜上，得故選A【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵在于先作出的圖像，并令，然后，分段討論出的范圍，屬于中檔題（二）多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．每小題有多個(gè)選項(xiàng)正確，每小題全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，錯(cuò)選不得分）9.某旅游景點(diǎn)2021年1月至9月每月最低氣溫與最高氣溫（單位：℃）的折線圖如圖，則（）．A.1月到9月中，最高氣溫與最低氣溫相差最大的是4月B.1月到9月的最高氣溫與月份具有比較好的線性相關(guān)關(guān)系C.1月到9月的最高氣溫與最低氣溫的差逐步減小D.1月到9月的最低氣溫的極差比最高氣溫的極差大【答案】BD【解析】【分析】由該旅游景點(diǎn)2019年1月至9月每月最低氣溫與最高氣溫的折線圖逐項(xiàng)觀察出選項(xiàng)可得答案.【詳解】1月到9月中，最高氣溫與最低氣溫相差最大的是1月，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；1月到9月的最高氣溫與月份具有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，故B選項(xiàng)正確；最高氣溫與最低氣溫的差不穩(wěn)定，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；最低氣溫的極差超過(guò)35℃，最高氣溫的極差約為25℃，故D選項(xiàng)正確．故選：BD．10.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）．A.函數(shù)的最小正周期為 B.點(diǎn)是圖像的一個(gè)對(duì)稱中心C.的圖像關(guān)于直線對(duì)稱 D.在區(qū)間單調(diào)遞減【答案】ACD【解析】【分析】直接作出的圖像，利用圖像法對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一判斷.【詳解】由的圖像得到的圖像如圖所示：可以得到：數(shù)的最小正周期為.故A正確；函數(shù)圖像不是中心對(duì)稱圖形，故B錯(cuò)誤；的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.故C正確；在區(qū)間單調(diào)遞減.故D正確.故選：ACD11.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列命題正確的有（）．A.函數(shù)的定義域?yàn)锽.函數(shù)為非奇非偶函數(shù)C.過(guò)點(diǎn)且與圖象相切的直線方程為D.若，則【答案】BC【解析】【分析】先利用待定系數(shù)法求出冪函數(shù)的解析式，寫出函數(shù)的定義域、判定奇偶性，即判定選項(xiàng)A錯(cuò)誤、選項(xiàng)B正確；設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和過(guò)點(diǎn)求出切線方程，進(jìn)而判定選項(xiàng)C正確；平方作差比較大小，進(jìn)而判定選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【詳解】設(shè)，將點(diǎn)代入，得，則，即，對(duì)于A：的定義域?yàn)?，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以不具有奇偶性，即選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線斜率為，切線方程為，又因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，所以，解得，即切線方程為，即，即選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，即成立，即選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：BC．12.已如斜率為k直線l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且與此拋物線交于，兩點(diǎn)，，直線l與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，且M，N兩點(diǎn)在y軸的兩側(cè)，現(xiàn)有下列四個(gè)命題，其中為真命題的是（）．A.為定值 B.為定值C.k的取值范圍為 D.存在實(shí)數(shù)k使得【答案】ACD【解析】【分析】設(shè)l方程為，聯(lián)立，整理得，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可判斷A、B選項(xiàng)．由弦長(zhǎng)公式，得，再聯(lián)立，M，N兩點(diǎn)在y軸的兩側(cè)，求得，由此判斷C．設(shè)，，由弦長(zhǎng)公式得，繼而由已知得，求解即可判斷D選項(xiàng)．【詳解】解：由題意可設(shè)l的方程為，聯(lián)立，得，則為定值，故A正確．又，故B不正確．，則，即，聯(lián)立，得，∵M(jìn)，N兩點(diǎn)在y軸的兩側(cè)，∴，且，∴．由及可得或，故k的取值范圍為，故C正確．設(shè)，，則，，則．假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，則由，得，解得或3，故存在滿足題意．D正確．故選：ACD．二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，，則______．【答案】【解析】【分析】由已知解出公比，根據(jù)通項(xiàng)公式即可求解．【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由已知，即，解得，所以．故答案為：14.已知，，則______．【答案】##1.4##【解析】【分析】先對(duì)兩邊平方得到，從而求出，結(jié)合，求出.【詳解】，得，，因?yàn)椋?，故．故答案為?5設(shè)，則______．【答案】9【解析】【分析】令，可求得，再根據(jù)二項(xiàng)式定理可求出的值，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】在中，令得，，，所以，．故答案為：.16.設(shè)函數(shù)，點(diǎn)在圖象上，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)向量，若向量，且是與的夾角，則的最大值是______．【答案】【解析】【分析】先利用平面向量的線性運(yùn)算化簡(jiǎn)，再利用直線的斜率公式求出的表達(dá)式，再利用基本不等式求其最值.【詳解】由向量的線性運(yùn)算，得，因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，是與的夾角，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），即的最大值是．故答案為：.三、解答題（本題共6道小題，第17題10分，第18～22題每小題12分，共70分）17.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，（1），（2），（1）－（2）即得解；（2）由（1）得，再利用裂項(xiàng)相消法求和得解.【小問(wèn)1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，（1），（2），由（1）－（2）得，即，所以是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，故．【小問(wèn)2詳解】解：由（1）得，所以.18.已知在中，A，B，C為三個(gè)內(nèi)角，a，b，c為三邊，，．（1）求角B的大小；（2）在下列兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求出BC邊上的中線的長(zhǎng)度．①的面積為；②的周長(zhǎng)為．【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由正弦定理可得，再由和的范圍可得答案；（2）選擇（1），由（1）可得，則解得，則由余弦定理可得BC邊上的中線的長(zhǎng)度為：選擇（2）：由（1）可得，設(shè)的外接圓半徑為R，則由正弦定理可得，則周長(zhǎng)解得，由余弦定理可得BC邊上的中線的長(zhǎng)度．【小問(wèn)1詳解】∵，則由正弦定理可得，∴，∵，∴，，∴，解得．【小問(wèn)2詳解】若選擇（1），由（1）可得，即則，解得，則由余弦定理可得BC邊上的中線的長(zhǎng)度為：．若選擇（2）：由（1）可得，設(shè)的外接圓半徑為R，則由正弦定理可得，，則周長(zhǎng)，解得，則，，由余弦定理可得BC邊上的中線的長(zhǎng)度為：．19.如圖，平面平面CEFG，四邊形CEFG中，，，點(diǎn)B在正方形ACDE的外部，且，，，．（1）證明：；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）證明平面CEFG，即得證；（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，再利用向量法求解.【小問(wèn)1詳解】證明：正方形ACDE中，，平面平面ABCDE，交線為CE，所以平面CEFG，又平面CEFG，所以．【小問(wèn)2詳解】解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，所以點(diǎn)B到AC的距離為1，，則，，，，，所以，．設(shè)平面BFG的法向量為，則，即，令，得．為平面CEFG的一個(gè)法向量，所以，故二面角的余弦值為．20.我國(guó)在芯片領(lǐng)域的短板有光刻機(jī)和光刻膠，某風(fēng)險(xiǎn)投資公司準(zhǔn)備投資芯片領(lǐng)域，若投資光刻機(jī)項(xiàng)目，據(jù)預(yù)期，每年的收益率為30％的概率為，收益率為％的概率為；若投資光刻膠項(xiàng)目，據(jù)預(yù)期，每年的收益率為30％的概率為0.4，收益率為％的概率為0.1，收益率為零的概率為0.5．（1）已知投資以上兩個(gè)項(xiàng)目，獲利的期望是一樣的，請(qǐng)你從風(fēng)險(xiǎn)角度考慮為該公司選擇一個(gè)較穩(wěn)妥的項(xiàng)目；（2）若該風(fēng)險(xiǎn)投資公司準(zhǔn)備對(duì)以上你認(rèn)為較穩(wěn)妥的項(xiàng)目進(jìn)行投資，4年累計(jì)投資數(shù)據(jù)如下表：年份x20182019202020211234累計(jì)投資金額y（單位：億元）2356請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)到哪一年年末，該公司在芯片領(lǐng)域的投資收益預(yù)期能達(dá)到0.75億元．附：收益＝投入的資金×獲利的期望；線性回歸中，，．【答案】（1）該風(fēng)投公司投資光刻膠項(xiàng)目；（2）；2022年年末．【解析】【分析】（1）設(shè)投資光刻機(jī)項(xiàng)目和光刻膠項(xiàng)目的年收益分別為和，分別列出和的分布列，計(jì)算出數(shù)學(xué)期望，使期望值相等求解出的值，再計(jì)算方差即可比較；（2）根據(jù)題目所給公式先計(jì)算回歸系數(shù)和，寫出回歸直線方程，列出收益的表達(dá)式，使收益大于或等于億元，求解的取值范圍．【小問(wèn)1詳解】若投資光刻機(jī)項(xiàng)目，設(shè)收益率為，則的分布列為0.3Pp所以．若投資光刻膠項(xiàng)目，設(shè)收益率為，則的分布列為0.30P0.40.10.5所以．因?yàn)橥顿Y以上兩個(gè)項(xiàng)目，獲利的期望是一樣的，所以，所以．因?yàn)?，，所以，，這說(shuō)明光刻機(jī)項(xiàng)目和光刻膠項(xiàng)目獲利相等，但光刻膠項(xiàng)目更穩(wěn)妥．綜上所述，建議該風(fēng)投公司投資光刻膠項(xiàng)目．【小問(wèn)2詳解】，，，，則，，故線性回歸方程為．設(shè)該公司在芯片領(lǐng)域的投資收益為Y，則，解得，故在2022年年末該投資公司在芯片領(lǐng)域的投資收益可以超過(guò)0.75億元．21.設(shè)橢圓為左右焦點(diǎn),為短軸端點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,焦距為,且,的面積為.(Ⅰ)求橢圓的方程(Ⅱ)設(shè)動(dòng)直線橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),且與直線相交于點(diǎn).試探究:在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn),使得以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)?若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在.請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）存在定點(diǎn)P(1,0)【解析】【分析】（Ⅰ）由橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為2c，且b＞c，△BF1F2的面積為，列方程組，求出a，b，c，得橢圓方程．（Ⅱ）將直線l方程與橢圓方程聯(lián)立，由直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求出M，由，得N（4，4k+m）．假設(shè)存在定點(diǎn)P滿足條件，由圖形對(duì)稱性知，點(diǎn)P必在x軸上．設(shè)P（x1，0），由，得（4x1﹣4）+x12﹣4x1+3＝0，由此可求出滿足條件的定點(diǎn).【詳解】(1)由題意知，解得：，故橢圓C的方程是．(2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0．因?yàn)閯?dòng)直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)M(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化簡(jiǎn)得4k2－m2＋3＝0.(*)此時(shí)x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以M(－由得N(4,4k＋m)．假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)P滿足條件，由圖形對(duì)稱性知，點(diǎn)P必在x軸上．設(shè)P(x1,0)，則對(duì)滿足(*)式的m、k恒成立．因?yàn)椋?－，＝(4－