三重積分課件

定義:設存在,記作稱為體積元素

若對作任意

分割,及任意取點,下列“乘積和式”的極限則稱此極限為函數在上的三重積分.在直角坐標系下也常寫作定義:設存在,記作稱為體積元素若對作任意分割1性質中值定理:

設在有界閉域上連續(xù),使得其中V為的體積.三重積分的性質與二重積分相似,例如則存在一點性質中值定理:設在有界閉2直角坐標系中將三重積分化為三次積分．二、三重積分的計算如圖，直角坐標系中將三重積分化為三次積分．二、三重積分的計算如圖，3得得4注意“先一后二”注意“先一后二”5解解6三重積分課件7三重積分課件8三重積分課件9三重積分課件10三重積分課件11解解12原式原式13三、利用柱面坐標計算三重積分規(guī)定：三、利用柱面坐標計算三重積分規(guī)定：14柱面坐標與直角坐標的關系為如圖，三坐標面分別為圓柱面；半平面；平面．柱面坐標與直角坐標的關系為如圖，三坐標面分別為15如圖，柱面坐標系中的體積元素為如圖，柱面坐標系中的體積元素為16例4.計算三重積分解:

在柱面坐標系下所圍成.與平面其中由拋物面例4.計算三重積分解:在柱面坐標系下所圍成.與平面其中17解知交線為解知交線為18三重積分課件19解所圍成的立體如圖，解所圍成的立體如圖，20所圍成立體的投影區(qū)域如圖，所圍成立體的投影區(qū)域如圖，21三重積分課件22四、利用球面坐標計算三重積分四、利用球面坐標計算三重積分23規(guī)定：如圖，三坐標面分別為圓錐面；球面；半平面．規(guī)定：如圖，三坐標面分別為圓錐面；球面；半平面．24球面坐標與直角坐標的關系為如圖，球面坐標與直角坐標的關系為如圖，25球面坐標系中的體積元素為如圖，球面坐標系中的體積元素為如圖，26三重積分課件27三重積分課件28三重積分課件29解解30三重積分課件31補充：利用對稱性化簡三重積分計算使用對稱性時應注意：１、積分區(qū)域關于坐標面的對稱性；２、被積函數在積分區(qū)域上的關于三個坐標軸的奇偶性．補充：利用對稱性化簡三重積分計算使用對稱性時應注意：１、積分32解積分域關于三個坐標面都對稱，被積函數是的奇函數,解積分域關于三個坐標面都對稱，被積函數是的奇函數,33解解34三重積分課件35三重積分課件36（2）柱面坐標的體積元素三重積分計算法柱面坐標球面坐標五、小結直角坐標（1）直角坐標的體積元素為長方體，四面體或任意形體為柱體，椎體或由柱面，錐面，旋轉拋物面與其它曲面所圍成的形體（2）柱面坐標的體積元素三重積分計算法柱面坐標球面坐標五、37（3）球面坐標的體積元素（4）對稱性簡化運算被積函數：被積函數：為球體或球體的一部分，椎體（3）球面坐標的體積元素（4）對稱性簡化運算被積函數：被38思考題思考題39練習題練習題40三重積分課件41三重積分課件42練習題答案練習題答案43三重積分課件44作業(yè)P1645,9(1)，11(4)作業(yè)P1645,9(1)，11(4)45定義:設存在,記作稱為體積元素

若對作任意

分割,及任意取點,下列“乘積和式”的極限則稱此極限為函數在上的三重積分.在直角坐標系下也常寫作定義:設存在,記作稱為體積元素若對作任意分割46性質中值定理:

設在有界閉域上連續(xù),使得其中V為的體積.三重積分的性質與二重積分相似,例如則存在一點性質中值定理:設在有界閉47直角坐標系中將三重積分化為三次積分．二、三重積分的計算如圖，直角坐標系中將三重積分化為三次積分．二、三重積分的計算如圖，48得得49注意“先一后二”注意“先一后二”50解解51三重積分課件52三重積分課件53三重積分課件54三重積分課件55三重積分課件56解解57原式原式58三、利用柱面坐標計算三重積分規(guī)定：三、利用柱面坐標計算三重積分規(guī)定：59柱面坐標與直角坐標的關系為如圖，三坐標面分別為圓柱面；半平面；平面．柱面坐標與直角坐標的關系為如圖，三坐標面分別為60如圖，柱面坐標系中的體積元素為如圖，柱面坐標系中的體積元素為61例4.計算三重積分解:

在柱面坐標系下所圍成.與平面其中由拋物面例4.計算三重積分解:在柱面坐標系下所圍成.與平面其中62解知交線為解知交線為63三重積分課件64解所圍成的立體如圖，解所圍成的立體如圖，65所圍成立體的投影區(qū)域如圖，所圍成立體的投影區(qū)域如圖，66三重積分課件67四、利用球面坐標計算三重積分四、利用球面坐標計算三重積分68規(guī)定：如圖，三坐標面分別為圓錐面；球面；半平面．規(guī)定：如圖，三坐標面分別為圓錐面；球面；半平面．69球面坐標與直角坐標的關系為如圖，球面坐標與直角坐標的關系為如圖，70球面坐標系中的體積元素為如圖，球面坐標系中的體積元素為如圖，71三重積分課件72三重積分課件73三重積分課件74解解75三重積分課件76補充：利用對稱性化簡三重積分計算使用對稱性時應注意：１、積分區(qū)域關于坐標面的對稱性；２、被積函數在積分區(qū)域上的關于三個坐標軸的奇偶性．補充：利用對稱性化簡三重積分計算使用對稱性時應注意：１、積分77解積分域關于三個坐標面都對稱，被積函數是的奇函數,解積分域關于三個坐標面都對稱，被積函數是的奇函數,78解解79三重積分課件80三重積分課件81（2）柱面坐標的體積元素三重積分計算法柱面坐標球面坐標五、小結直角坐標（1）直角坐標的體積元素為長方體，四面體或任意形體為柱體，椎體或由柱面，錐面，旋轉拋物面與其它曲面所圍成的形體（2）柱面坐標的體積元素三重積分計算法柱面坐標球面坐標五、82（3）球面坐標的體積元素（4）對稱性簡化運算被積函數：被積函數：為球體或球體的一部分，椎體（3）球面坐標的體積元