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第三章線性方程組求解的數(shù)值方法求解第三章線性方程組求解的數(shù)值方法求解1§3.1消元法思路首先將A化為上三角陣,再回代求解。=§3.1消元法思路首先將A化為上三角陣,=2消元記Step1:設(shè),計(jì)算因子將增廣矩陣第i行mi1
第1行,得到其中Stepk:設(shè),計(jì)算因子且計(jì)算共進(jìn)行?步n
1消元記Step1:設(shè),計(jì)算因子將增廣矩陣第i3回代如果?沒有唯一解.如果?定理若A的所有順序主子式均不為0,則高斯消元無需換行即可進(jìn)行到底,得到唯一解。注:事實(shí)上,只要A非奇異,即A1存在,則可通過逐次消元及行交換,將方程組化為三角形方程組,求出唯一解?;卮绻?沒有唯一解4消去法是按照系數(shù)矩陣的主對(duì)角線上的元素(主元)進(jìn)行消元。從而可能出現(xiàn):(1)某個(gè)主元為零,導(dǎo)致消元過程無法進(jìn)行。(2)當(dāng)某個(gè)主元的絕對(duì)值很小時(shí),計(jì)算結(jié)果誤差很大。問題?消去法是按照系數(shù)矩陣的主對(duì)角線上的元素(主元)進(jìn)行消元。從而5例:?jiǎn)尉冉夥匠探M/*精確解為和*/8個(gè)8個(gè)用高斯消元法計(jì)算:8個(gè)小主元可能導(dǎo)致計(jì)算失敗。例:?jiǎn)尉冉夥匠探M/*精確解為6
全主元消去法每一步選絕對(duì)值最大的元素為主元素,保證。Stepk:①選?、贗fik
k
then交換第k行與第ik
行;Ifjk
k
then交換第k列與第jk
列;③消元注:列交換改變了xi的順序,須記錄交換次序,解完后再換回來。列主元消去法省去換列的步驟,每次僅選一列中最大的元。全主元消去法每一步選絕對(duì)值最大的元素為主元素,保證7例:注:列主元法沒有全主元法穩(wěn)定。例:注意:這兩個(gè)方程組在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格等價(jià)。例:注:列主元法沒有全主元法穩(wěn)定。例:注意:這兩個(gè)方程組在8
用矩陣?yán)碚摲治鱿ǎ骸?.2矩陣三角分解法用矩陣?yán)碚摲治鱿ǎ骸?.2矩陣三角分解法9直接計(jì)算A的LU分解:直接計(jì)算A的LU分解:10直接比對(duì)等式兩端矩陣元素直接比對(duì)等式兩端矩陣元素11一般計(jì)算公式:一般計(jì)算公式:12LU分解求解線性方程組思路LU分解求解線性方程組思路13兩步算法:兩步算法:14例:例:15定義一個(gè)矩陣A=(aij)nn稱為對(duì)稱陣,如果aij=aji。定義一個(gè)矩陣A稱為正定陣,如果對(duì)任意非零向量都成立。回顧:對(duì)稱正定陣的幾個(gè)重要性質(zhì)
A1
亦對(duì)稱正定,且aii>0若不然,則存在非零解,即存在非零解。
A
的順序主子陣Ak
亦對(duì)稱正定
A
的特征值i
>0
A
的全部順序主子式
det(Ak
)>0Cholesky分解:
——對(duì)稱
正定矩陣的分解法定義一個(gè)矩陣A=(aij)nn稱為對(duì)稱陣,如果16將對(duì)稱
正定陣
A做LU
分解U=uij=u11uij/uii111u22unn記為
A對(duì)稱即記D1/2=Whyisuii>0?Sincedet(Ak)>0則仍是下三角陣定理設(shè)矩陣A對(duì)稱正定,則存在非奇異下三角陣使得。若限定L對(duì)角元為正,則分解唯一。注:對(duì)于對(duì)稱正定陣A,從可知對(duì)任意ki有。即L
的元素不會(huì)增大,誤差可控,不需選主元。將對(duì)稱正定陣A做LU分解U=uij=u11uij17Matlab中的Cholesky分解函數(shù)chol()例對(duì)矩陣A=進(jìn)行Cholesky分解。程序A=[4,1,0;1,4,1;0,1,4];P=chol(A)Matlab中的Cholesky分解函數(shù)chol()例對(duì)矩18§
3.3向量和矩陣的范數(shù)為了研究線性方程組近似解的誤差估計(jì)和迭代法的收斂性,引進(jìn)向量(矩陣)的范數(shù)的概念?!?.3向量和矩陣的范數(shù)為了研究線性方程組近似解的誤差19向量范數(shù)定義
Rn空間的向量范數(shù)||·||對(duì)任意滿足下列條件:(正定性)對(duì)任意(齊次性)(三角不等式)常用向量范數(shù):向量范數(shù)定義Rn空間的向量范數(shù)||·||對(duì)20定義向量序列收斂于向量是指對(duì)每一個(gè)1in都有。可以理解為定理Rn上一切范數(shù)都等價(jià)。可以理解為對(duì)任何向量范數(shù)都成立。定義向量序列收斂于向量是21矩陣范數(shù)定義
Rmn空間的矩陣范數(shù)||·||對(duì)任意滿足:(正定性)對(duì)任意(齊次性)(三角不等式)(4)*||AB||||A||·||B||
(相容(當(dāng)
m=n
時(shí)))矩陣范數(shù)定義Rmn空間的矩陣范數(shù)||·||22常用矩陣范數(shù):Frobenius范數(shù)—向量||·||2的直接推廣
對(duì)方陣以及有利用Cauchy不等式可證。算子范數(shù)
由向量范數(shù)||·||p導(dǎo)出關(guān)于矩陣A
Rnn
的p范數(shù):則特別有:(行和范數(shù))(列和范數(shù))(譜范數(shù))矩陣ATA的最大特征根常用矩陣范數(shù):Frobenius范數(shù)—向量||·||23注:
我們只關(guān)心有相容性的范數(shù),算子范數(shù)總是相容的。
即使A中元素全為實(shí)數(shù),其特征根和相應(yīng)特征向量仍可能是復(fù)數(shù)。將上述定義中絕對(duì)值換成復(fù)數(shù)模均成立。譜半徑定義矩陣A的譜半徑記為(A)=,其中i
為
A的特征根。ReIm(A)注:我們只關(guān)心有相容性的范數(shù),算子范數(shù)總是相容的。即24定理對(duì)任意算子范數(shù)||·||有證明:由算子范數(shù)的相容性,得到將任意一個(gè)特征根所對(duì)應(yīng)的特征向量代入定理若A對(duì)稱,則有證明:A對(duì)稱若是A的一個(gè)特征根,則2必是A2的特征根。又:對(duì)稱矩陣的特征根為實(shí)數(shù),即2(A)為非負(fù)實(shí)數(shù),故得證。對(duì)某個(gè)
A的特征根成立所以2-范數(shù)亦稱為譜范數(shù)。定理對(duì)任意算子范數(shù)||·||有證明:由算子范數(shù)的相容25若矩陣B對(duì)某個(gè)算子范數(shù)滿足||B||<1,則必有定理①可逆;②證明:①若不然,則有非零解,即存在非零向量使得②若矩陣B對(duì)某個(gè)算子范數(shù)滿足||B||<1,則必有定26例,X=[-35]T,分別求A、X的“1-范數(shù)”和“無窮大范數(shù)”Matlab:A=[4,-3;2,1],X=[-35]’norm(A,1),norm(A,inf)norm(X,1),norm(X,inf)例,X=[27§3.4解線性方程組的迭代法
求解思路與解f(x)=0的不動(dòng)點(diǎn)迭代相似……,將等價(jià)改寫為形式,建立迭代。從初值出發(fā),得到序列。研究?jī)?nèi)容:
如何建立迭代格式?
收斂速度?
向量序列的收斂條件?
誤差估計(jì)?§3.4解線性方程組的迭代法求解思路與解f(x28迭代法:從解的某個(gè)近似值出發(fā),通過構(gòu)造一個(gè)無窮序列去逼近精確解的方法。(一般有限步內(nèi)得不到精確解)稀疏性:迭代法則能保持矩陣的稀疏性,具有計(jì)算簡(jiǎn)單,編制程序容易的優(yōu)點(diǎn),并在許多情況下收斂較快。故能有效地解一些高階方程組。直接法:比較適用于中小型方程組。對(duì)高階方程組,既使系數(shù)矩陣是稀疏的,但在運(yùn)算中很難保持稀疏性,因而有存儲(chǔ)量大,程序復(fù)雜等不足。與直接解法的比較迭代法:從解的某個(gè)近似值出發(fā),通過構(gòu)造一個(gè)無窮序列去逼近精確29思路思路30收斂問題收斂問題31數(shù)值分析_第三章課件32§3.4.1.雅可比(Jacobi)迭代法§3.4.1.雅可比(Jacobi)迭代法33數(shù)值分析_第三章課件34數(shù)值分析_第三章課件35矩陣簡(jiǎn)化記法矩陣簡(jiǎn)化記法36收斂與解故如果序列收斂,則收斂到解.B稱迭代矩陣.收斂與解故如果序列收斂,則收斂到解.B稱迭代矩陣.37數(shù)值分析_第三章課件38Jacobi迭代法的計(jì)算過程如下:Jacobi迭代法的計(jì)算過程如下:39§3.4.2高斯—塞德爾迭代法§3.4.2高斯—塞德爾迭代法40數(shù)值分析_第三章課件41數(shù)值分析_第三章課件42數(shù)值分析_第三章課件43數(shù)值分析_第三章課件44比較:比較:45Gauss-Seidel迭代法的計(jì)算過程:Gauss-Seidel迭代法的計(jì)算過程:46§3.4.3松弛法§3.4.3松弛法47數(shù)值分析_第三章課件48數(shù)值分析_第三章課件49數(shù)值分析_第三章課件50松弛法計(jì)算過程如下:松弛法計(jì)算過程如下:51§3.5迭代法的收斂性§3.5迭代法的收斂性52數(shù)值分析_第三章課件53數(shù)值分析_第三章課件54數(shù)值分析_第三章課件55數(shù)值分析_第三章課件56數(shù)值分析_第三章課件57數(shù)值分析_第三章課件58數(shù)值分析_第三章課件59數(shù)值分析_第三章課件60數(shù)值分析_第三章課件61數(shù)值分析_第三章課件62數(shù)值分析_第三章課件63數(shù)值分析_第三章課件64數(shù)值分析_第三章課件65數(shù)值分析_第三章課件66數(shù)值分析_第三章課件67誤差估計(jì):誤差估計(jì):68數(shù)值分析_第三章課件69數(shù)值分析_第三章課件70數(shù)值分析_第三章課件71一個(gè)例子:§3.7誤差分析一個(gè)例子:§3.7誤差分析72問題的提出:?jiǎn)栴}的提出:73設(shè)有方程組Ax=b,設(shè)右端項(xiàng)b有一擾動(dòng)將引起方程組解x的擾動(dòng)設(shè)x是方程組Ax=b的解,則有方程組1.b有擾動(dòng),A無擾動(dòng)設(shè)有方程組Ax=b,設(shè)右端項(xiàng)b有一擾動(dòng)74化簡(jiǎn),得由Ax=b得所以化簡(jiǎn),得由Ax=b得所以75設(shè)方程組Ax=b,矩陣A有一擾動(dòng)時(shí),將引起方程組解x的擾動(dòng)設(shè)x是方程組Ax=b的解,則有方程組2.A有擾動(dòng),b無擾動(dòng)設(shè)方程組Ax=b,矩陣A有一擾動(dòng)76化簡(jiǎn),得取范數(shù)化簡(jiǎn),得取范數(shù)77當(dāng)A和b均有一擾動(dòng)時(shí),將引起方程組解x的擾動(dòng)。設(shè)x是方程組Ax=b的解,則有方程組3.A有擾動(dòng),b有擾動(dòng)當(dāng)A和b均有一擾動(dòng)時(shí),將引起方程組解x的擾動(dòng)。設(shè)x是方78數(shù)值分析_第三章課件79條件數(shù):cond(A)=||A–1||||A||
定義條件數(shù):cond(A)=||A–1||||A||定80條件數(shù)的性質(zhì):條件數(shù)的性質(zhì):81當(dāng)條件數(shù)很大時(shí),方程組Ax=b是病態(tài)問題;當(dāng)條件數(shù)較小時(shí),方程組Ax=b是良態(tài)問題結(jié)論當(dāng)條件數(shù)很大時(shí),方程組Ax=b是病態(tài)問題;當(dāng)條件數(shù)較小82病態(tài)矩陣的例子:病態(tài)矩陣的例子:83在消元過程中,出現(xiàn)小主元。矩陣行列式的值很小,或有某些行(列)近似線性相關(guān)。矩陣元素間的數(shù)量級(jí)相差太大。實(shí)際計(jì)算中,病態(tài)矩陣的判斷:在消元過程中,出現(xiàn)小主元。實(shí)際計(jì)算中,病態(tài)矩陣的判斷:84作業(yè):P.66~70思考題:1,2,4,8習(xí)題:4,6,7實(shí)驗(yàn)題:4作業(yè):P.66~7085第三章線性方程組求解的數(shù)值方法求解第三章線性方程組求解的數(shù)值方法求解86§3.1消元法思路首先將A化為上三角陣,再回代求解。=§3.1消元法思路首先將A化為上三角陣,=87消元記Step1:設(shè),計(jì)算因子將增廣矩陣第i行mi1
第1行,得到其中Stepk:設(shè),計(jì)算因子且計(jì)算共進(jìn)行?步n
1消元記Step1:設(shè),計(jì)算因子將增廣矩陣第i88回代如果?沒有唯一解.如果?定理若A的所有順序主子式均不為0,則高斯消元無需換行即可進(jìn)行到底,得到唯一解。注:事實(shí)上,只要A非奇異,即A1存在,則可通過逐次消元及行交換,將方程組化為三角形方程組,求出唯一解?;卮绻?沒有唯一解89消去法是按照系數(shù)矩陣的主對(duì)角線上的元素(主元)進(jìn)行消元。從而可能出現(xiàn):(1)某個(gè)主元為零,導(dǎo)致消元過程無法進(jìn)行。(2)當(dāng)某個(gè)主元的絕對(duì)值很小時(shí),計(jì)算結(jié)果誤差很大。問題?消去法是按照系數(shù)矩陣的主對(duì)角線上的元素(主元)進(jìn)行消元。從而90例:?jiǎn)尉冉夥匠探M/*精確解為和*/8個(gè)8個(gè)用高斯消元法計(jì)算:8個(gè)小主元可能導(dǎo)致計(jì)算失敗。例:?jiǎn)尉冉夥匠探M/*精確解為91
全主元消去法每一步選絕對(duì)值最大的元素為主元素,保證。Stepk:①選取②Ifik
k
then交換第k行與第ik
行;Ifjk
k
then交換第k列與第jk
列;③消元注:列交換改變了xi的順序,須記錄交換次序,解完后再換回來。列主元消去法省去換列的步驟,每次僅選一列中最大的元。全主元消去法每一步選絕對(duì)值最大的元素為主元素,保證92例:注:列主元法沒有全主元法穩(wěn)定。例:注意:這兩個(gè)方程組在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格等價(jià)。例:注:列主元法沒有全主元法穩(wěn)定。例:注意:這兩個(gè)方程組在93
用矩陣?yán)碚摲治鱿ǎ骸?.2矩陣三角分解法用矩陣?yán)碚摲治鱿ǎ骸?.2矩陣三角分解法94直接計(jì)算A的LU分解:直接計(jì)算A的LU分解:95直接比對(duì)等式兩端矩陣元素直接比對(duì)等式兩端矩陣元素96一般計(jì)算公式:一般計(jì)算公式:97LU分解求解線性方程組思路LU分解求解線性方程組思路98兩步算法:兩步算法:99例:例:100定義一個(gè)矩陣A=(aij)nn稱為對(duì)稱陣,如果aij=aji。定義一個(gè)矩陣A稱為正定陣,如果對(duì)任意非零向量都成立?;仡櫍簩?duì)稱正定陣的幾個(gè)重要性質(zhì)
A1
亦對(duì)稱正定,且aii>0若不然,則存在非零解,即存在非零解。
A
的順序主子陣Ak
亦對(duì)稱正定
A
的特征值i
>0
A
的全部順序主子式
det(Ak
)>0Cholesky分解:
——對(duì)稱
正定矩陣的分解法定義一個(gè)矩陣A=(aij)nn稱為對(duì)稱陣,如果101將對(duì)稱
正定陣
A做LU
分解U=uij=u11uij/uii111u22unn記為
A對(duì)稱即記D1/2=Whyisuii>0?Sincedet(Ak)>0則仍是下三角陣定理設(shè)矩陣A對(duì)稱正定,則存在非奇異下三角陣使得。若限定L對(duì)角元為正,則分解唯一。注:對(duì)于對(duì)稱正定陣A,從可知對(duì)任意ki有。即L
的元素不會(huì)增大,誤差可控,不需選主元。將對(duì)稱正定陣A做LU分解U=uij=u11uij102Matlab中的Cholesky分解函數(shù)chol()例對(duì)矩陣A=進(jìn)行Cholesky分解。程序A=[4,1,0;1,4,1;0,1,4];P=chol(A)Matlab中的Cholesky分解函數(shù)chol()例對(duì)矩103§
3.3向量和矩陣的范數(shù)為了研究線性方程組近似解的誤差估計(jì)和迭代法的收斂性,引進(jìn)向量(矩陣)的范數(shù)的概念?!?.3向量和矩陣的范數(shù)為了研究線性方程組近似解的誤差104向量范數(shù)定義
Rn空間的向量范數(shù)||·||對(duì)任意滿足下列條件:(正定性)對(duì)任意(齊次性)(三角不等式)常用向量范數(shù):向量范數(shù)定義Rn空間的向量范數(shù)||·||對(duì)105定義向量序列收斂于向量是指對(duì)每一個(gè)1in都有。可以理解為定理Rn上一切范數(shù)都等價(jià)??梢岳斫鉃閷?duì)任何向量范數(shù)都成立。定義向量序列收斂于向量是106矩陣范數(shù)定義
Rmn空間的矩陣范數(shù)||·||對(duì)任意滿足:(正定性)對(duì)任意(齊次性)(三角不等式)(4)*||AB||||A||·||B||
(相容(當(dāng)
m=n
時(shí)))矩陣范數(shù)定義Rmn空間的矩陣范數(shù)||·||107常用矩陣范數(shù):Frobenius范數(shù)—向量||·||2的直接推廣
對(duì)方陣以及有利用Cauchy不等式可證。算子范數(shù)
由向量范數(shù)||·||p導(dǎo)出關(guān)于矩陣A
Rnn
的p范數(shù):則特別有:(行和范數(shù))(列和范數(shù))(譜范數(shù))矩陣ATA的最大特征根常用矩陣范數(shù):Frobenius范數(shù)—向量||·||108注:
我們只關(guān)心有相容性的范數(shù),算子范數(shù)總是相容的。
即使A中元素全為實(shí)數(shù),其特征根和相應(yīng)特征向量仍可能是復(fù)數(shù)。將上述定義中絕對(duì)值換成復(fù)數(shù)模均成立。譜半徑定義矩陣A的譜半徑記為(A)=,其中i
為
A的特征根。ReIm(A)注:我們只關(guān)心有相容性的范數(shù),算子范數(shù)總是相容的。即109定理對(duì)任意算子范數(shù)||·||有證明:由算子范數(shù)的相容性,得到將任意一個(gè)特征根所對(duì)應(yīng)的特征向量代入定理若A對(duì)稱,則有證明:A對(duì)稱若是A的一個(gè)特征根,則2必是A2的特征根。又:對(duì)稱矩陣的特征根為實(shí)數(shù),即2(A)為非負(fù)實(shí)數(shù),故得證。對(duì)某個(gè)
A的特征根成立所以2-范數(shù)亦稱為譜范數(shù)。定理對(duì)任意算子范數(shù)||·||有證明:由算子范數(shù)的相容110若矩陣B對(duì)某個(gè)算子范數(shù)滿足||B||<1,則必有定理①可逆;②證明:①若不然,則有非零解,即存在非零向量使得②若矩陣B對(duì)某個(gè)算子范數(shù)滿足||B||<1,則必有定111例,X=[-35]T,分別求A、X的“1-范數(shù)”和“無窮大范數(shù)”Matlab:A=[4,-3;2,1],X=[-35]’norm(A,1),norm(A,inf)norm(X,1),norm(X,inf)例,X=[112§3.4解線性方程組的迭代法
求解思路與解f(x)=0的不動(dòng)點(diǎn)迭代相似……,將等價(jià)改寫為形式,建立迭代。從初值出發(fā),得到序列。研究?jī)?nèi)容:
如何建立迭代格式?
收斂速度?
向量序列的收斂條件?
誤差估計(jì)?§3.4解線性方程組的迭代法求解思路與解f(x113迭代法:從解的某個(gè)近似值出發(fā),通過構(gòu)造一個(gè)無窮序列去逼近精確解的方法。(一般有限步內(nèi)得不到精確解)稀疏性:迭代法則能保持矩陣的稀疏性,具有計(jì)算簡(jiǎn)單,編制程序容易的優(yōu)點(diǎn),并在許多情況下收斂較快。故能有效地解一些高階方程組。直接法:比較適用于中小型方程組。對(duì)高階方程組,既使系數(shù)矩陣是稀疏的,但在運(yùn)算中很難保持稀疏性,因而有存儲(chǔ)量大,程序復(fù)雜等不足。與直接解法的比較迭代法:從解的某個(gè)近似值出發(fā),通過構(gòu)造一個(gè)無窮序列去逼近精確114思路思路115收斂問題收斂問題116數(shù)值分析_第三章課件117§3.4.1.雅可比(Jacobi)迭代法§3.4.1.雅可比(Jacobi)迭代法118數(shù)值分析_第三章課件119數(shù)值分析_第三章課件120矩陣簡(jiǎn)化記法矩陣簡(jiǎn)化記法121收斂與解故如果序列收斂,則收斂到解.B稱迭代矩陣.收斂與解故如果序列收斂,則收斂到解.B稱迭代矩陣.122數(shù)值分析_第三章課件123Jacobi迭代法的計(jì)算過程如下:Jacobi迭代法的計(jì)算過程如下:124§3.4.2高斯—塞德爾迭代法§3.4.2高斯—塞德爾迭代法125數(shù)值分析_第三章課件126數(shù)值分析_第三章課件127數(shù)值分析_第三章課件128數(shù)值分析_第三章課件129比較:比較:130Gauss-Seidel迭代法的計(jì)算過程:Gauss-Seidel迭代法的計(jì)算過程:131§3.4.3松弛法§3.4.3松弛法132數(shù)值分析_第三章課件133數(shù)值分析_第三章課件134數(shù)值分析_第三章課件135松弛法計(jì)算過程如下:松弛法計(jì)
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