專題一 培優(yōu)點(diǎn)5 隱零點(diǎn)問題課件

培優(yōu)點(diǎn)5隱零點(diǎn)問題專題一

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)培優(yōu)點(diǎn)5隱零點(diǎn)問題專題一函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1在求解導(dǎo)數(shù)問題時(shí)，我們一般對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)設(shè)而不求，通過一種整體代換和過渡，再結(jié)合題目條件最終解決問題，我們稱這類問題為“隱零點(diǎn)問題”.在求解導(dǎo)數(shù)問題時(shí)，我們一般對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)設(shè)而不求，通過一種整體例

已知函數(shù)f(x)＝xex－a(x＋lnx).(1)討論f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；例已知函數(shù)f(x)＝xex－a(x＋lnx).①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，不存在極值點(diǎn)；②當(dāng)a>0時(shí)，令h(x)＝xex－a，h′(x)＝(x＋1)ex>0.顯然函數(shù)h(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，又因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí)，h(x)→－a<0，h(a)＝a(ea－1)>0，必存在x0>0，使h(x0)＝0.①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上為增函當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，h(x)<0，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)，h(x)>0，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù).所以，x＝x0是f(x)的極小值點(diǎn).綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)無(wú)極值點(diǎn)，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)有一個(gè)極值點(diǎn).當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，h(x)<0，f′(x)<0，f(x)專題一培優(yōu)點(diǎn)5隱零點(diǎn)問題課件證明

由(1)得，f′(x0)＝0，即

＝a，f(x0)＝

－a(x0＋lnx0)＝

(1－x0－lnx0)，因?yàn)閒(x0)>0，所以1－x0－lnx0>0，g(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，且g(1)＝0，由g(x)>g(1)得x<1，所以x0∈(0,1)，證明由(1)得，f′(x0)＝0，即＝a設(shè)φ(x)＝lnx－x＋1，x∈(0,1)，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，φ′(x)>0，所以φ(x)為增函數(shù)，φ(x)<φ(1)＝0，即φ(x)<0，即lnx<x－1，所以－lnx>1－x，所以ln(x＋1)<x，所以ex>x＋1>0.因?yàn)閤0∈(0,1)，所以

>x0＋1>0,1－x0－lnx0>1－x0＋1－x0>0，相乘得

(1－x0－lnx0)>(x0＋1)(2－2x0)，設(shè)φ(x)＝lnx－x＋1，x∈(0,1)，當(dāng)x∈(0,1結(jié)論成立.結(jié)論成立.能力提升零點(diǎn)問題求解三步曲(1)用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，列出零點(diǎn)方程f′(x0)＝0，并結(jié)合f(x)的單調(diào)性得到零點(diǎn)的取值范圍.(2)以零點(diǎn)為分界點(diǎn)，說明導(dǎo)函數(shù)f′(x)的正負(fù)，進(jìn)而得到f(x)的最值表達(dá)式.(3)將零點(diǎn)方程適當(dāng)變形，整體代入最值式子進(jìn)行化簡(jiǎn)證明，有時(shí)(1)中的零點(diǎn)范圍還可以適當(dāng)縮小.能力零點(diǎn)問題求解三步曲跟蹤演練已知函數(shù)f(x)＝－lnx－x2＋x，g(x)＝(x－2)ex－x2＋m(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f(x)>g(x)恒成立，求正整數(shù)m的最大值.跟蹤演練已知函數(shù)f(x)＝－lnx－x2＋x，g(x)＝(解當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f(x)>g(x)，即m<(－x＋2)ex－lnx＋x.令h(x)＝(－x＋2)ex－lnx＋x，x∈(0,1]，當(dāng)0<x≤1時(shí)，1－x≥0，所以u(píng)(x)在(0,1]上單調(diào)遞增.因?yàn)閡(x)在區(qū)間(0,1]上的圖象是一條不間斷的曲線，解當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f(x)>g(x)，當(dāng)0<x≤1時(shí)，當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，u(x)<0，h′(x)<0；當(dāng)x∈(x0,1)時(shí)，u(x)>0，h′(x)>0.所以函數(shù)h(x)在(0，x0]上單調(diào)遞減，在[x0,1)上單調(diào)遞增，所以h(x)min＝h(x0)＝(－x0＋2)

－lnx0＋x0當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，u(x)<0，h′(x)<0；所以h(所以當(dāng)m≤3時(shí)，不等式m<(－x＋2)ex－lnx＋x對(duì)任意的x∈(0,1]恒成立，所以正整數(shù)m的最大值是3.所以當(dāng)m≤3時(shí)，不等式m<(－x＋2)ex－lnx＋x對(duì)任本課結(jié)束更多精彩內(nèi)容請(qǐng)登錄：本課結(jié)束更多精彩內(nèi)容請(qǐng)登錄：www.xinjiaoyu.co15培優(yōu)點(diǎn)5隱零點(diǎn)問題專題一

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)培優(yōu)點(diǎn)5隱零點(diǎn)問題專題一函數(shù)與導(dǎo)數(shù)16在求解導(dǎo)數(shù)問題時(shí)，我們一般對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)設(shè)而不求，通過一種整體代換和過渡，再結(jié)合題目條件最終解決問題，我們稱這類問題為“隱零點(diǎn)問題”.在求解導(dǎo)數(shù)問題時(shí)，我們一般對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)設(shè)而不求，通過一種整體例

已知函數(shù)f(x)＝xex－a(x＋lnx).(1)討論f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；例已知函數(shù)f(x)＝xex－a(x＋lnx).①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，不存在極值點(diǎn)；②當(dāng)a>0時(shí)，令h(x)＝xex－a，h′(x)＝(x＋1)ex>0.顯然函數(shù)h(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，又因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí)，h(x)→－a<0，h(a)＝a(ea－1)>0，必存在x0>0，使h(x0)＝0.①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上為增函當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，h(x)<0，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)，h(x)>0，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù).所以，x＝x0是f(x)的極小值點(diǎn).綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)無(wú)極值點(diǎn)，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)有一個(gè)極值點(diǎn).當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，h(x)<0，f′(x)<0，f(x)專題一培優(yōu)點(diǎn)5隱零點(diǎn)問題課件證明

由(1)得，f′(x0)＝0，即

＝a，f(x0)＝

－a(x0＋lnx0)＝

(1－x0－lnx0)，因?yàn)閒(x0)>0，所以1－x0－lnx0>0，g(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，且g(1)＝0，由g(x)>g(1)得x<1，所以x0∈(0,1)，證明由(1)得，f′(x0)＝0，即＝a設(shè)φ(x)＝lnx－x＋1，x∈(0,1)，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，φ′(x)>0，所以φ(x)為增函數(shù)，φ(x)<φ(1)＝0，即φ(x)<0，即lnx<x－1，所以－lnx>1－x，所以ln(x＋1)<x，所以ex>x＋1>0.因?yàn)閤0∈(0,1)，所以

>x0＋1>0,1－x0－lnx0>1－x0＋1－x0>0，相乘得

(1－x0－lnx0)>(x0＋1)(2－2x0)，設(shè)φ(x)＝lnx－x＋1，x∈(0,1)，當(dāng)x∈(0,1結(jié)論成立.結(jié)論成立.能力提升零點(diǎn)問題求解三步曲(1)用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，列出零點(diǎn)方程f′(x0)＝0，并結(jié)合f(x)的單調(diào)性得到零點(diǎn)的取值范圍.(2)以零點(diǎn)為分界點(diǎn)，說明導(dǎo)函數(shù)f′(x)的正負(fù)，進(jìn)而得到f(x)的最值表達(dá)式.(3)將零點(diǎn)方程適當(dāng)變形，整體代入最值式子進(jìn)行化簡(jiǎn)證明，有時(shí)(1)中的零點(diǎn)范圍還可以適當(dāng)縮小.能力零點(diǎn)問題求解三步曲跟蹤演練已知函數(shù)f(x)＝－lnx－x2＋x，g(x)＝(x－2)ex－x2＋m(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f(x)>g(x)恒成立，求正整數(shù)m的最大值.跟蹤演練已知函數(shù)f(x)＝－lnx－x2＋x，g(x)＝(解當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f(x)>g(x)，即m<(－x＋2)ex－lnx＋x.令h(x)＝(－x＋2)ex－lnx＋x，x∈(0,1]，當(dāng)0<x≤1時(shí)，1－x≥0，所以u(píng)(x)在(0,1]上單調(diào)遞增.因?yàn)閡(x)在區(qū)間(0,1]上的圖象是一條不間斷的曲線，解當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f(x)>g(x)，當(dāng)0<x≤1時(shí)，當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，u(x)<0，h′(x)<0；當(dāng)x∈(x0,1)時(shí)，u(x)>0，h′(x)>0.所以函數(shù)h(x)在(0，x0]上單調(diào)遞減，在[x0,1)上單調(diào)遞增，所以h(x)min