分析力學王章輝

牛頓力學與分析力學解題方法之淺析王章輝0711370124【摘要】闡述理論力學中兩種不同的解題方法一牛頓力學與分析力學的相同之處。然后通過兩種方法在研究力學體系的平衡問題和運動問題的比較，表明分析力學方法具有更高的概括性和統(tǒng)一性，它使得經(jīng)典力學的理論體系更加嚴謹?！娟P鍵詞】理論力學；牛頓力學；分析力學；《理論力學》是理論物理中的一門基礎理論課。就研究問題方式、解決問題的方法而言，大體上可分為兩部分，即牛頓力學體系和分析力學體系。牛頓力學與分析力學是兩套平行的力學理論體系，他們用不同的數(shù)學語言表達了機械運動的同一客觀規(guī)律。從力學規(guī)律的內容來看，分析力學方程與牛頓力學方程是等價的。因為達朗伯原理的出發(fā)點就是牛頓運動定律，而后面進行的所有推導都只是改變表達式的形式。解決理論力學問題時，不論牛頓力學方法還是，然后再來分析力學方法，一般都是首先把物理問題表示（轉化）成一個數(shù)學問解決這個數(shù)學問題，最后根據(jù)數(shù)學的解答來分析力學現(xiàn)象。，然后再來本文的通過兩種方法在研究力學體系的平衡問題和運動問題的比較,體現(xiàn)出兩者在解決理論力學問題時兩種方法的不同之處從而表明表明分析力學方法具有更高的概括性和統(tǒng)一性，它使得經(jīng)典力學的理論體系更加嚴謹。-牛頓力學與分析力學方法在處理力學體系平衡問題時的比較牛頓力學在解決平衡問題時，從“力”的觀點（力系的主矢和對簡化中心的主矩均為零）出發(fā)，去表征平衡條件，靜力平衡問題和動力平衡問題都可以解決。牛頓力學中給出的靜力學平衡條件，是針對剛體而言的（質點作為其特例），它不適用于一般質點系。分析力學中解決平衡問題最具代表性的是伯努利的“虛功原理”，此原理確切表述如下：對不可解的理想的穩(wěn)定約束系統(tǒng)，在初始靜止的前提下，其保持平衡的充要條件是，作用在此力學體系的所有主動力在任意虛位移中所作的元功之和等于零，即8w=zF>8r—0i這里應注意的是原理僅僅表征了體系“靜止平衡”的條件，而不是“運動平衡”的條件，且初始靜止的前提是必要的。虛功原理從“力作功”作為研究問題的切入點，即從能量角度去表征力學體系的平衡條件，它是處理各類力學系統(tǒng)（質點、質點系、剛體等）靜力學問題的基本原理。虛功原理只涉及主動力，這是因為靜止平衡的力學體系受有理想約束，未知的約束反力不會出現(xiàn)在虛功原理中，這給解決受有理想約束的多約束力學體系的靜力學問題帶來極大方便，這是虛功原理的突出優(yōu)點。下面通過例題看看兩種方法的特點。例1半徑為r的光滑半球形碗，固定在水平面上，一均質細棒斜靠在碗緣，4。一2）一端在碗內，一端在碗外，在碗內的長度為c，試證棒的全長為：一^一解法1（牛頓力學方法）：設棒長為l，質量為m，其受力分析如圖1所示，據(jù)平衡方程得:

F=0xNcos2F=0xNcos29-Nsin9=0 ,、1 2 (1)Nsin2)-NcoS9-mg=0\o"CurrentDocument"1 2M=0N2C-mg2?cos9=0c?2c

co期=%=一r2r,可求得棒長為：2c 4(c2-2r2)coS9(，g29?sin9+coS9) C證畢。牛頓力學解決此類問，運用了靜力學平衡方程及簡單的幾何知識，總體看牛頓力學解決此類問，運用了靜力學平衡方程及簡單的幾何知識，總體看來，思路明確清晰，方法簡便易懂。解法2（分析力學方法）：桿受理想約束，桿的位置可由桿與水平方向夾角唯一確定，桿的自由度為1，設棒長為L，如圖2所示，建立坐^系x0y，棒所受主動力只有重力

y圖y圖29由虛功原理：有即”廣°8w=F?8r=0TOC\o"1-5"\h\zi ii取"為廣義坐標：AD=c=2rcosa1 1y=(c-_)sinoc=(2rcosa-_)since=rsin2a-_since5y=(2rcos2a-_cosa)5a=0c 2只有2r只有2rcocscoos02CO80L4rcos2x4r(cos2x-l)4(。2-2尸2)/= CO80L所以cosot所以運用“虛功原理”建立方程，不像牛頓力學那樣各個力都確切標明，只須分析、標明主動力即可，這是它的優(yōu)點。它不僅適用于剛體，而且也適用于一般質點系。

較牛頓力學的平衡方程更具廣泛性，更反映問題實質。二 牛頓力學與分析力學方法在處理力學體系運動問題時的比較2.1牛頓力學牛頓把物質、時空、運動，從一般哲學概念發(fā)展為可用數(shù)學作定量表述的定義、定律、定理，以其嚴謹?shù)闹R結構，建立了牛頓力學體系，并使之成為力學中最基本的理論體系，迅速得到公眾的廣泛確認。隨著生產(chǎn)力的發(fā)展，求力學體系的運動問題時常常要解算大量的微分方程，如果力學體系受到約束，則因約束反力都是未知的，所以方程數(shù)不但不會減少反而會增加，隨著約束的增加，方程的數(shù)量也在增加，從而增加了問的復雜性，有時會使問題的求解變?yōu)椴豢赡?。的?shù)量也在增加，從而增加了問的復雜性，有時會使問題的求解變?yōu)椴豢赡堋?.2分析力學分析力學方法處理力學體系運動問題時，拉格朗日方程是最具代表性的普遍適用的方程。對于受有完整、理想的具有，個自由度的力學體系，拉格朗日方程為ddT dT — dtdq吃a上述方程的數(shù)目等于力學體系的自由度數(shù)，其中T是力學體系相對慣性系的動能，qa，d分別為廣義坐標和廣義速度，Qa是與廣義坐標qa對應的廣義力Qa^F.導i=1 a如果力學體系受有完整、理想約束且主動力為保守力，則拉格朗日方程為：

ddL=0 (a=1,2,...ddLdt前吃a用分析力學方法建立系統(tǒng)的運動微分方程，無須過問約束反力的具體情況，未知的約束力不出現(xiàn)在方程中，且約束越多，方程數(shù)越少。它克服了牛頓力學方法在多約束系統(tǒng)中遇到的困難。例2質量為M半徑為『的均質圓柱體放在粗糙的水平面上，柱的外面繞有輕繩，繩子跨過一個很輕的滑輪，并懸掛一質量為m的物體，設圓柱體只滾不滑，并且圓柱體與滑輪間的繩子是水平的，如圖3所示，求圓柱體質心的加速度al.，物體的加速度a2及繩中張力T。解法1(牛頓力學方法)：取隔離體，受力分析如圖3所示。圓柱體作平面平行運動，物體皿作平動，動力學方程為：對mTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"ma=mg-1 (1)2對M'ma1=T+f (2)<1 ?\o"CurrentDocument"Mr2。=(T-f)r (3)J乙圓柱體只滾不滑

TOC\o"1-5"\h\za=r& (4)\o"CurrentDocument"a=a+r(b=2a (5)以上5式聯(lián)立得4mg 8mg 丁3Mmai~3M+8ma2~3M+8m 一3M+8mg可以看出，牛頓力學解決力學體系運動問題時,注重的物理量是力和加速度,研究問題的方法基本上是借助于矢量和幾何圖形，分析質點的受力情況，根據(jù)牛頓運動定律，建立運動微分方程，求解未知量。解法2（分析力學方法）：如下圖4建立坐標系下oy，系統(tǒng)自由度為1，選y為廣義坐標。物體m的動能和勢能為：V=—mgy,圓柱體M的動能1T=_Mv2+i2

1 、.2_(_Mr2)92.圓柱體只滾不滑cA點的速度等于皿的速度:TOC\o"1-5"\h\z1 21 2 3 2 3 2:.T=_Mr0+_Mr0=_Mr0=_Myi2 4 4 16系統(tǒng)拉氏函1、.2 13 、.2L-T+T-V-(_6M+_m)y+mgy-_(_M+m)y+mgy竺=(3竺=(3M+m)yoy8=mg

oy代人拉氏方程得:dOLOL 3 ??dt(—7)—oy=(_M+m)y-mg=0通過例題可以看出，對于主動力是保守力的力學體系，分析力學注重的物理.. 8mg?-偵y通過例題可以看出，對于主動力是保守力的力學體系，分析力學注重的物理.. 8mg?-偵y二3M+_ma=r0=%=i23M+8m量是能量，從數(shù)學上講，處理對象從矢量轉變?yōu)闃肆?，處理方法也從幾何方法轉

變?yōu)閿?shù)學分析的方法。我們也看到，在處理束縛體系時，由于拉格朗日方程中不含約束反力，避免了約束反力引起的麻煩。所以分析力學方法在處理力學體系運動問時顯示出了很大的優(yōu)越性。動問時顯示出了很大的優(yōu)越性。由分析比較我們認識到，牛頓力學方法，面對的物理量是矢量，借助幾何圖形，解題思路明確清晰，既可求出運動規(guī)律，也能求出約束反力，但對于多約束的力學體系，此方法會陷入困境。分析力學方法，面對的物理量是標量，采用數(shù)學分析的方法，此方法具有更高的概括性和統(tǒng)一性，較牛頓力學方法有一定的優(yōu)越性，主要反映在以下幾個方面（以拉格朗日方程為例）：1） 拉格朗日方程的形式對任何廣義坐標保持不變，而且廣義坐標可以同時選線量和角量，也可以同時選相對量和絕對量，分析力學采用的廣義坐標比牛頓力學中采用的坐標變量要廣泛的多。2） 拉格朗日方程的個數(shù)與力學體系的約束條件有關，約束越多，方程數(shù)越少，對多約束的力學體系，分析力學方法顯示出了優(yōu)越性。3） 拉格朗日方程為建立系統(tǒng)的運動微分方程提供了統(tǒng)一的程序化的方法，不論對任何力學系統(tǒng)，不論對何種運動形式，用分析力學方法建立方程的過程都是相同的。分析力學方法采用能量分析以及數(shù)學解析的方法，這不僅是計算方法上的進步，而且有利于將這種方法推廣到物理學的其它領域中去。4） 拉格朗日方程的形式與力學系統(tǒng)的結構和運動形式無關，在牛頓力學中，質點、質點組、剛體等力學系統(tǒng)都各有適合于該系統(tǒng)的基本動力學方程，這些方程不是都能通用的。但分析力學中，各種力學系統(tǒng)的運動方程潛藏在統(tǒng)一的拉格朗日方程中。由于拉格朗日方程形式的高度概括性，使方程的物理圖像不如牛頓力學那么直觀、那么容易理解，這是分析力學方法的不足之處。綜上所述從理論上看，牛頓力學是從物體受力的角度導出其動力學方程的，分析力學則是從能量的角度來導出其動力學方程的。力僅是力學范國內的一個物理量，而能量則是整個物理學的一個基本物理量，這就使拉格朗日方程成為了力學和物理學其他分支相互聯(lián)系的橋梁，所以分析力學方法具有更高的概括性和統(tǒng)一性，它使得經(jīng)典力學的理論體系更