分析力學(xué)王章輝

牛頓力學(xué)與分析力學(xué)解題方法之淺析王章輝0711370124【摘要】闡述理論力學(xué)中兩種不同的解題方法一牛頓力學(xué)與分析力學(xué)的相同之處。然后通過兩種方法在研究力學(xué)體系的平衡問題和運(yùn)動(dòng)問題的比較，表明分析力學(xué)方法具有更高的概括性和統(tǒng)一性，它使得經(jīng)典力學(xué)的理論體系更加嚴(yán)謹(jǐn)。【關(guān)鍵詞】理論力學(xué)；牛頓力學(xué)；分析力學(xué)；《理論力學(xué)》是理論物理中的一門基礎(chǔ)理論課。就研究問題方式、解決問題的方法而言，大體上可分為兩部分，即牛頓力學(xué)體系和分析力學(xué)體系。牛頓力學(xué)與分析力學(xué)是兩套平行的力學(xué)理論體系，他們用不同的數(shù)學(xué)語言表達(dá)了機(jī)械運(yùn)動(dòng)的同一客觀規(guī)律。從力學(xué)規(guī)律的內(nèi)容來看，分析力學(xué)方程與牛頓力學(xué)方程是等價(jià)的。因?yàn)檫_(dá)朗伯原理的出發(fā)點(diǎn)就是牛頓運(yùn)動(dòng)定律，而后面進(jìn)行的所有推導(dǎo)都只是改變表達(dá)式的形式。解決理論力學(xué)問題時(shí)，不論牛頓力學(xué)方法還是，然后再來分析力學(xué)方法，一般都是首先把物理問題表示（轉(zhuǎn)化）成一個(gè)數(shù)學(xué)問解決這個(gè)數(shù)學(xué)問題，最后根據(jù)數(shù)學(xué)的解答來分析力學(xué)現(xiàn)象。，然后再來本文的通過兩種方法在研究力學(xué)體系的平衡問題和運(yùn)動(dòng)問題的比較,體現(xiàn)出兩者在解決理論力學(xué)問題時(shí)兩種方法的不同之處從而表明表明分析力學(xué)方法具有更高的概括性和統(tǒng)一性，它使得經(jīng)典力學(xué)的理論體系更加嚴(yán)謹(jǐn)。-牛頓力學(xué)與分析力學(xué)方法在處理力學(xué)體系平衡問題時(shí)的比較牛頓力學(xué)在解決平衡問題時(shí)，從“力”的觀點(diǎn)（力系的主矢和對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩均為零）出發(fā)，去表征平衡條件，靜力平衡問題和動(dòng)力平衡問題都可以解決。牛頓力學(xué)中給出的靜力學(xué)平衡條件，是針對(duì)剛體而言的（質(zhì)點(diǎn)作為其特例），它不適用于一般質(zhì)點(diǎn)系。分析力學(xué)中解決平衡問題最具代表性的是伯努利的“虛功原理”，此原理確切表述如下：對(duì)不可解的理想的穩(wěn)定約束系統(tǒng)，在初始靜止的前提下，其保持平衡的充要條件是，作用在此力學(xué)體系的所有主動(dòng)力在任意虛位移中所作的元功之和等于零，即8w=zF>8r—0i這里應(yīng)注意的是原理僅僅表征了體系“靜止平衡”的條件，而不是“運(yùn)動(dòng)平衡”的條件，且初始靜止的前提是必要的。虛功原理從“力作功”作為研究問題的切入點(diǎn)，即從能量角度去表征力學(xué)體系的平衡條件，它是處理各類力學(xué)系統(tǒng)（質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系、剛體等）靜力學(xué)問題的基本原理。虛功原理只涉及主動(dòng)力，這是因?yàn)殪o止平衡的力學(xué)體系受有理想約束，未知的約束反力不會(huì)出現(xiàn)在虛功原理中，這給解決受有理想約束的多約束力學(xué)體系的靜力學(xué)問題帶來極大方便，這是虛功原理的突出優(yōu)點(diǎn)。下面通過例題看看兩種方法的特點(diǎn)。例1半徑為r的光滑半球形碗，固定在水平面上，一均質(zhì)細(xì)棒斜靠在碗緣，4。一2）一端在碗內(nèi)，一端在碗外，在碗內(nèi)的長(zhǎng)度為c，試證棒的全長(zhǎng)為：一^一解法1（牛頓力學(xué)方法）：設(shè)棒長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m，其受力分析如圖1所示，據(jù)平衡方程得:

F=0xNcos2F=0xNcos29-Nsin9=0 ,、1 2 (1)Nsin2)-NcoS9-mg=0\o"CurrentDocument"1 2M=0N2C-mg2?cos9=0c?2c

co期=%=一r2r,可求得棒長(zhǎng)為：2c 4(c2-2r2)coS9(，g29?sin9+coS9) C證畢。牛頓力學(xué)解決此類問，運(yùn)用了靜力學(xué)平衡方程及簡(jiǎn)單的幾何知識(shí)，總體看牛頓力學(xué)解決此類問，運(yùn)用了靜力學(xué)平衡方程及簡(jiǎn)單的幾何知識(shí)，總體看來，思路明確清晰，方法簡(jiǎn)便易懂。解法2（分析力學(xué)方法）：桿受理想約束，桿的位置可由桿與水平方向夾角唯一確定，桿的自由度為1，設(shè)棒長(zhǎng)為L(zhǎng)，如圖2所示，建立坐^系x0y，棒所受主動(dòng)力只有重力

y圖y圖29由虛功原理：有即”廣°8w=F?8r=0TOC\o"1-5"\h\zi ii取"為廣義坐標(biāo)：AD=c=2rcosa1 1y=(c-_)sinoc=(2rcosa-_)since=rsin2a-_since5y=(2rcos2a-_cosa)5a=0c 2只有2r只有2rcocscoos02CO80L4rcos2x4r(cos2x-l)4(。2-2尸2)/= CO80L所以cosot所以運(yùn)用“虛功原理”建立方程，不像牛頓力學(xué)那樣各個(gè)力都確切標(biāo)明，只須分析、標(biāo)明主動(dòng)力即可，這是它的優(yōu)點(diǎn)。它不僅適用于剛體，而且也適用于一般質(zhì)點(diǎn)系。

較牛頓力學(xué)的平衡方程更具廣泛性，更反映問題實(shí)質(zhì)。二 牛頓力學(xué)與分析力學(xué)方法在處理力學(xué)體系運(yùn)動(dòng)問題時(shí)的比較2.1牛頓力學(xué)牛頓把物質(zhì)、時(shí)空、運(yùn)動(dòng)，從一般哲學(xué)概念發(fā)展為可用數(shù)學(xué)作定量表述的定義、定律、定理，以其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹R(shí)結(jié)構(gòu)，建立了牛頓力學(xué)體系，并使之成為力學(xué)中最基本的理論體系，迅速得到公眾的廣泛確認(rèn)。隨著生產(chǎn)力的發(fā)展，求力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)問題時(shí)常常要解算大量的微分方程，如果力學(xué)體系受到約束，則因約束反力都是未知的，所以方程數(shù)不但不會(huì)減少反而會(huì)增加，隨著約束的增加，方程的數(shù)量也在增加，從而增加了問的復(fù)雜性，有時(shí)會(huì)使問題的求解變?yōu)椴豢赡?。的?shù)量也在增加，從而增加了問的復(fù)雜性，有時(shí)會(huì)使問題的求解變?yōu)椴豢赡堋?.2分析力學(xué)分析力學(xué)方法處理力學(xué)體系運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，拉格朗日方程是最具代表性的普遍適用的方程。對(duì)于受有完整、理想的具有，個(gè)自由度的力學(xué)體系，拉格朗日方程為ddT dT — dtdq吃a上述方程的數(shù)目等于力學(xué)體系的自由度數(shù)，其中T是力學(xué)體系相對(duì)慣性系的動(dòng)能，qa，d分別為廣義坐標(biāo)和廣義速度，Qa是與廣義坐標(biāo)qa對(duì)應(yīng)的廣義力Qa^F.導(dǎo)i=1 a如果力學(xué)體系受有完整、理想約束且主動(dòng)力為保守力，則拉格朗日方程為：

ddL=0 (a=1,2,...ddLdt前吃a用分析力學(xué)方法建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，無須過問約束反力的具體情況，未知的約束力不出現(xiàn)在方程中，且約束越多，方程數(shù)越少。它克服了牛頓力學(xué)方法在多約束系統(tǒng)中遇到的困難。例2質(zhì)量為M半徑為『的均質(zhì)圓柱體放在粗糙的水平面上，柱的外面繞有輕繩，繩子跨過一個(gè)很輕的滑輪，并懸掛一質(zhì)量為m的物體，設(shè)圓柱體只滾不滑，并且圓柱體與滑輪間的繩子是水平的，如圖3所示，求圓柱體質(zhì)心的加速度al.，物體的加速度a2及繩中張力T。解法1(牛頓力學(xué)方法)：取隔離體，受力分析如圖3所示。圓柱體作平面平行運(yùn)動(dòng)，物體皿作平動(dòng)，動(dòng)力學(xué)方程為：對(duì)mTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"ma=mg-1 (1)2對(duì)M'ma1=T+f (2)<1 ?\o"CurrentDocument"Mr2。=(T-f)r (3)J乙圓柱體只滾不滑

TOC\o"1-5"\h\za=r& (4)\o"CurrentDocument"a=a+r(b=2a (5)以上5式聯(lián)立得4mg 8mg 丁3Mmai~3M+8ma2~3M+8m 一3M+8mg可以看出，牛頓力學(xué)解決力學(xué)體系運(yùn)動(dòng)問題時(shí),注重的物理量是力和加速度,研究問題的方法基本上是借助于矢量和幾何圖形，分析質(zhì)點(diǎn)的受力情況，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，建立運(yùn)動(dòng)微分方程，求解未知量。解法2（分析力學(xué)方法）：如下圖4建立坐標(biāo)系下oy，系統(tǒng)自由度為1，選y為廣義坐標(biāo)。物體m的動(dòng)能和勢(shì)能為：V=—mgy,圓柱體M的動(dòng)能1T=_Mv2+i2

1 、.2_(_Mr2)92.圓柱體只滾不滑cA點(diǎn)的速度等于皿的速度:TOC\o"1-5"\h\z1 21 2 3 2 3 2:.T=_Mr0+_Mr0=_Mr0=_Myi2 4 4 16系統(tǒng)拉氏函1、.2 13 、.2L-T+T-V-(_6M+_m)y+mgy-_(_M+m)y+mgy竺=(3竺=(3M+m)yoy8=mg

oy代人拉氏方程得:dOLOL 3 ??dt(—7)—oy=(_M+m)y-mg=0通過例題可以看出，對(duì)于主動(dòng)力是保守力的力學(xué)體系，分析力學(xué)注重的物理.. 8mg?-偵y通過例題可以看出，對(duì)于主動(dòng)力是保守力的力學(xué)體系，分析力學(xué)注重的物理.. 8mg?-偵y二3M+_ma=r0=%=i23M+8m量是能量，從數(shù)學(xué)上講，處理對(duì)象從矢量轉(zhuǎn)變?yōu)闃?biāo)量，處理方法也從幾何方法轉(zhuǎn)

變?yōu)閿?shù)學(xué)分析的方法。我們也看到，在處理束縛體系時(shí)，由于拉格朗日方程中不含約束反力，避免了約束反力引起的麻煩。所以分析力學(xué)方法在處理力學(xué)體系運(yùn)動(dòng)問時(shí)顯示出了很大的優(yōu)越性。動(dòng)問時(shí)顯示出了很大的優(yōu)越性。由分析比較我們認(rèn)識(shí)到，牛頓力學(xué)方法，面對(duì)的物理量是矢量，借助幾何圖形，解題思路明確清晰，既可求出運(yùn)動(dòng)規(guī)律，也能求出約束反力，但對(duì)于多約束的力學(xué)體系，此方法會(huì)陷入困境。分析力學(xué)方法，面對(duì)的物理量是標(biāo)量，采用數(shù)學(xué)分析的方法，此方法具有更高的概括性和統(tǒng)一性，較牛頓力學(xué)方法有一定的優(yōu)越性，主要反映在以下幾個(gè)方面（以拉格朗日方程為例）：1） 拉格朗日方程的形式對(duì)任何廣義坐標(biāo)保持不變，而且廣義坐標(biāo)可以同時(shí)選線量和角量，也可以同時(shí)選相對(duì)量和絕對(duì)量，分析力學(xué)采用的廣義坐標(biāo)比牛頓力學(xué)中采用的坐標(biāo)變量要廣泛的多。2） 拉格朗日方程的個(gè)數(shù)與力學(xué)體系的約束條件有關(guān)，約束越多，方程數(shù)越少，對(duì)多約束的力學(xué)體系，分析力學(xué)方法顯示出了優(yōu)越性。3） 拉格朗日方程為建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程提供了統(tǒng)一的程序化的方法，不論對(duì)任何力學(xué)系統(tǒng)，不論對(duì)何種運(yùn)動(dòng)形式，用分析力學(xué)方法建立方程的過程都是相同的。分析力學(xué)方法采用能量分析以及數(shù)學(xué)解析的方法，這不僅是計(jì)算方法上的進(jìn)步，而且有利于將這種方法推廣到物理學(xué)的其它領(lǐng)域中去。4） 拉格朗日方程的形式與力學(xué)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)形式無關(guān)，在牛頓力學(xué)中，質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)組、剛體等力學(xué)系統(tǒng)都各有適合于該系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)方程，這些方程不是都能通用的。但分析力學(xué)中，各種力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程潛藏在統(tǒng)一的拉格朗日方程中。由于拉格朗日方程形式的高度概括性，使方程的物理圖像不如牛頓力學(xué)那么直觀、那么容易理解，這是分析力學(xué)方法的不足之處。綜上所述從理論上看，牛頓力學(xué)是從物體受力的角度導(dǎo)出其動(dòng)力學(xué)方程的，分析力學(xué)則是從能量的角度來導(dǎo)出其動(dòng)力學(xué)方程的。力僅是力學(xué)范國(guó)內(nèi)的一個(gè)物理量，而能量則是整個(gè)物理學(xué)的一個(gè)基本物理量，這就使拉格朗日方程成為了力學(xué)和物理學(xué)其他分支相互聯(lián)系的橋梁，所以分析力學(xué)方法具有更高的概括性和統(tǒng)一性，它使得經(jīng)典力學(xué)的理論體系更