第四章：先驗信息與主觀概率課件

Session4先驗信息與主觀概率Session41SessionTopic主觀概率的基本概念主觀設(shè)定先驗分布的方法SessionTopic主觀概率的基本概念2主觀概率的基本概念所謂客觀概率，是指隨機試驗意義上的概率測度。這種概率僅取決于試驗對象的某種確定的自然屬性，它不因人而異，所以稱之為客觀概率。如，大多數(shù)保險費的核定，可根據(jù)客觀概率來確定。所謂主觀概率(又稱為似然率)，是作為主體的特定個人對于某一待定命題所掌握的知識、信息所建立起來的信念的數(shù)值測度。主觀概率的基本概念所謂客觀概率，是指隨機試驗意義上的概率3（1）由決策者或者決策專家判斷得到的狀態(tài)出現(xiàn)的可能性的度量，稱為主觀概率。主觀概率反映了決策者或?qū)＜覍顟B(tài)出現(xiàn)的可能性的“信任程度”。顯然，一個狀態(tài)出現(xiàn)的主觀概率的大小，不僅依賴于客觀狀態(tài)，也依賴于決策者或?qū)＜业闹饔^條件，對同一狀態(tài)出現(xiàn)的主觀概率，不同的人，可以得出不同的值。第四章：先驗信息與主觀概率課件4（2）主觀概率的概念是在50年代由美國運籌學(xué)家L.J.Savage首先提出的。在期望效用理論中所引入的概率分布集，它作為決策的行動集或者方案集，很難被視為是由隨機試驗所確定的客觀概率測度。除了少數(shù)可重復(fù)多次的決策外，絕大多數(shù)的決策活動（選擇行為）都是一次性的，所以有必要研究主觀概率。（3）從本質(zhì)上看，無論是主觀概率還是客觀概率，都是對可能事件真實發(fā)生的可能性的一種數(shù)量測度。因此，它代表著人們對一種行為所得到的經(jīng)驗的總結(jié)，或者說是作為人們對未來事件的一種明智的推測。（2）主觀概率的概念是在50年代由美國運籌學(xué)家L.J.S5

（4）重要的是，必須把主觀概率建立在客觀的現(xiàn)實基礎(chǔ)上。主觀概率雖然強調(diào)決策者或者專家的主觀作用，但是他們在確定主觀概率時，必須對他們所掌握的信息，對類似情況的經(jīng)驗作出綜合判斷，而不是主觀臆測。承認主觀概率在決策分析中的作用，是相信決策者或者專家的綜合判斷能力。（5）主觀概率論是進行決策分析的依據(jù)。主觀概率論者要能比較正確地設(shè)定主觀概率，有賴于對事件作周密的觀察，去獲得先驗信息，而且，先驗信息愈豐富，設(shè)置的主觀概率愈準確。（4）重要的是，必須把主觀概率建立在客觀的現(xiàn)6

（6）對主觀概率的理論研究表明，如果在狀態(tài)集合上所定義的偏好二元關(guān)系具有完備性和傳遞性，則所定義的主觀概率同客觀概率一樣，都可以使用并服從概率論中一整套推理及計算方法?？陀^概率的確定如果對環(huán)境狀態(tài)已經(jīng)掌握了大量的歷史資料，并且假定影響這些環(huán)境狀態(tài)的因素沒有變化，那么可以近似地求得狀態(tài)出現(xiàn)的概率分布函數(shù)（根據(jù)大數(shù)定理，經(jīng)驗分布函數(shù)可近似地作為狀態(tài)的真正的概率分布函數(shù)）。（6）對主觀概率的理論研究表明，如果在狀態(tài)集合上所定義的偏7主觀概率的確定

確定狀態(tài)出現(xiàn)的概率的最簡便的方法是由決策者或者決策專家直接判斷每一狀態(tài)出現(xiàn)的可能性。借助于先驗信息所確定的主觀概率的分布，稱為先驗分布。設(shè)定主觀概率也就是設(shè)定離散型或連續(xù)型的先驗分布。對狀態(tài)空間是離散的情況，決策者可能按照對以往類似情況的經(jīng)驗給出如下圖所示的主觀概率。主觀概率的確定確定狀態(tài)出現(xiàn)的概率的最簡便的方法是由決策者8

一般情況下，決策者往往不能直接給出一個主觀概率分布，而給出每兩個狀態(tài)出現(xiàn)的可能性的比例關(guān)系決策者往往不可能精確地給出狀態(tài)出現(xiàn)的概率的比例關(guān)系，即他們初步給出的概率比往往違反條件2），這時可用最小二乘法估計決策者心目中的真正的主觀概率分布，

（2）

（1）

一般情況下，決策者往往不能直9第四章：先驗信息與主觀概率課件10其中是拉格朗日乘數(shù)。將拉格朗日乘數(shù)對每一變量pl(l=1,2,…n)求偏導(dǎo)，并令其為零，得到n個代數(shù)方程構(gòu)成n+1階非齊次線性方程組。這n各方程組的解即位所求的主觀概率分布。其中是拉格朗日乘數(shù)。將拉格朗日乘數(shù)對每一變量pl(l=11第四章：先驗信息與主觀概率課件12第四章：先驗信息與主觀概率課件13第四章：先驗信息與主觀概率課件14第四章：先驗信息與主觀概率課件15第四章：先驗信息與主觀概率課件16第四章：先驗信息與主觀概率課件17第四章：先驗信息與主觀概率課件18第四章：先驗信息與主觀概率課件19第四章：先驗信息與主觀概率課件20主觀設(shè)定先驗分布的其他方法主觀設(shè)定先驗分布的其他方法21設(shè)定先驗分布時的幾點假設(shè)

連通性(Connectivity)，又稱可比性即事件A和B發(fā)生的似然性likelihood是可以比較的：A?B或AB或B?A必有一種也僅有一種成立.A?B讀作A發(fā)生的似然性大于B發(fā)生的似然性,AB讀作A發(fā)生的似然性與B發(fā)生的似然性相當(dāng)。設(shè)定先驗分布時的幾點假設(shè)連通性(Connectivity)22設(shè)定先驗分布時的幾點假設(shè)傳遞性(Transitivity)

若對事件A，B，C,A?B，B?C則A?C設(shè)定先驗分布時的幾點假設(shè)傳遞性(Transitivity)23設(shè)定先驗分布時的幾點假設(shè)部分小于全體：若AB,則BA例：設(shè)定明年國民經(jīng)濟增長率時：①A：8～11%B：12～15%C：15～20%A?B，B?C，則A?C②A：8～11%D：8～10%必有DA設(shè)定先驗分布時的幾點假設(shè)部分小于全體：24離散型隨機變量先驗分布的設(shè)定對各事件加以比較確定相對似然率例1.考博士生E：考取F：考不取若P(E)=2P(F)則P(E)=2/3P(F)=1/3例2.某地氣候狀況：正常年景θ1，旱θ2，澇θ3正常與災(zāi)年之比：3∶2則P（θ1)=0.6水旱災(zāi)之比1∶1P(θ2)=P(θ3)=0.2該法適用于狀態(tài)數(shù)較少的場合離散型隨機變量先驗分布的設(shè)定對各事件加以比較確定相對似然率25離散型隨機變量先驗分布的設(shè)定打賭法設(shè)事件E發(fā)生時收入P，（0＜P＜1）且E＼c＝(1—P)調(diào)整P，使決策人感到兩者無差異為止,則：P(E)=P離散型隨機變量先驗分布的設(shè)定打賭法26連續(xù)型RV的先驗分布的設(shè)定

直方圖法該法適用于θ取值是實軸的的某個區(qū)間的情況步驟：①,將區(qū)間劃分子區(qū)間θi…離散化②設(shè)定每個子區(qū)間的似然率π(θi)…賦值③變換成概率密度曲線

連續(xù)型RV的先驗分布的設(shè)定直方圖法27例如：明年國民經(jīng)濟的增長率例如：明年國民經(jīng)濟的增長率28缺點：①子區(qū)間的劃分沒有標(biāo)準②賦值不易③尾部誤差過大缺點：29連續(xù)型RV的先驗分布的設(shè)定相對似然率法

適用范圍：同1步驟：①離散化②賦值：給出各區(qū)間似然的相對比值③規(guī)范化：連續(xù)型RV的先驗分布的設(shè)定相對似然率法30例如：A.相對似然率R似然率π(A)子區(qū)間8～91010／ΣR7～899／ΣR9～107.57.5／ΣRB.決策者給出每二個狀態(tài)似然率的比例關(guān)系aij=pi/pj(1)應(yīng)有aij=1/aji(2)aij=aik.akj(3)例如：31在(3)式不滿足時，可用最小二乘法估計決策人心目中真正的主觀概率分布Pii=1,…，n即求規(guī)劃問題min{∑∑(aijpj-pi)}s.t.∑pi=1,pi≥0*用拉格朗日乘數(shù)法,構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L＝

上式對，i=1,2…n求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0，得：

l=1,2,…,n.與聯(lián)列，構(gòu)成n+1階齊次方程組，求得Pi,i=1,…，n在(3)式不滿足時，可用最小二乘法估計決策人心目32連續(xù)型RV的先驗分布的設(shè)定區(qū)間對分法適用范圍：可以是開區(qū)間·步驟：①求中位②確定上、下四分位點(quartilefractile)③由于誤差積累,最多確定八分位點(Eighthfractile)·缺點：精度差連續(xù)型RV的先驗分布的設(shè)定區(qū)間對分法33連續(xù)型RV的先驗分布的設(shè)定概率盤法(dart)用園盤中的扇形區(qū)表示抽獎事件,透用于西方管理人員·注意：狀態(tài)的概率或概率分布不是也不應(yīng)富由決策分析人員來設(shè)定，而應(yīng)當(dāng)由決策人和有關(guān)問題專家提供基本信息。連續(xù)型RV的先驗分布的設(shè)定概率盤法(dart)34無信息先驗分布無信息先驗分布35如果隨機變量X的密度函數(shù)為f(x-)，則稱f為位置密度，而參數(shù)

稱為位置參數(shù)（為參數(shù)空間）。例如，正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望是位置參數(shù)。記樣本空間為，和都是一維實空間R1子集，在此種情況下推導(dǎo)位置參數(shù)的無信息先驗。設(shè)Y=X+c(cR1).定義=+c，Y的密度為f(y-)如果==R1,則（X,）問題和（Y,）問題有相同的樣本空間。

位置參數(shù)的無信息先驗如果隨機變量X的密度函數(shù)為f(x-)，則稱f36第四章：先驗信息與主觀概率課件37第四章：先驗信息與主觀概率課件38標(biāo)度參數(shù)的無信息先驗如果隨機變量X的密度函數(shù)為，則稱f為標(biāo)度密度，而參數(shù)稱為標(biāo)度參數(shù)。如，正態(tài)分布的均方差為標(biāo)度參數(shù)。設(shè)Y=cX

(c>0).定義=c，Y的密度為。如果=R1,=(0,),則（X,）問題和（Y,）問題有相同的樣本空間。標(biāo)度參數(shù)的無信息先驗如果隨機變量X的密度函數(shù)為39第四章：先驗信息與主觀概率課件40設(shè)定先驗分布時要注意：第一，充分利用已知信息去設(shè)定；第二，要求密度函數(shù)必須對某一類特定的變換是不變的。設(shè)定先驗分布時要注意：第一，充分利用已知信息41有信息主觀先驗概率的確定有信息主觀先驗概率的確定42有信息主觀先驗概率的確定所謂有信息是指決策者已經(jīng)積累了處理類似決策問題的經(jīng)驗，或者通過對有關(guān)專家咨詢獲得了對自然狀態(tài)的某些認識。確定有信息主觀先驗概率的主要方法有以下幾種：比較法。先討論只取兩個值1、2的簡單情形。為確定1、2出現(xiàn)的概率(1)、(2)，首先比較1和2出現(xiàn)可能性的大小。如果分析后認為1出現(xiàn)的可能性大于2出現(xiàn)的可能性，則：(1)1/2，(2)<1/2，有信息主觀先驗概率的確定43

在初步確定1、2出現(xiàn)概率的取值范圍后，接著對1、2出現(xiàn)可能性作進一步比較。即進一步分析1出現(xiàn)的可能性是否大于2出現(xiàn)可能性的2倍，如果是，則可得到：(1)2/3，(2)<1/3如果不是，則1/2(1)<2/3,1/3(2)<1/2如此等等，直到把(1)的取值范圍縮小到合理的程度。這時便得到了自然狀態(tài)的主觀先驗概率。設(shè)1、2的主觀先驗概率為：(1)=p，(2)=1-p0p1在初步確定1、2出現(xiàn)概率的取值范圍后，接著對144同時對由此得到的概率必須按2進行檢查。如果(2)的值不合理，還必須重新調(diào)整以確保一致性。如果自然狀態(tài)可取多于兩個不同的有限值，即={1,2,…,n}，這時也可以通過比較法確定(i)=pi(i=1,2,…,n)。但要注意滿足概率的完全性（即和為1）。當(dāng)n比較大時，可以采用如下兩種方法。一種時首先詢問專家或決策者，給出任意兩種狀態(tài)出現(xiàn)可能性的比較，然后采用最小二乘法求解。另一種方法是采用下述方法：同時對由此得到的概率必須按2進行檢查。如果(2)的值不45分解——綜合比較法。如果i(i=1,2,…,n)均可視為兩種或兩種以上獨立變量Wj(j=1,2,…,m)，Vk(k=1,2,…,s)等的組合，即i=(Wj，Vk，…)，且m、s等遠小于n，則先用比較法確定(Wj)、(Vk)等，再根據(jù)獨立隨機變量交集的公式：(i)=(Wj)(Vk)這樣可大大簡化比較的過程。例1.某電視機廠準備生產(chǎn)一種新型號的電視機供應(yīng)市場，但未來的銷售量對于決策者而言是一個未知因素。為簡單計，決策者選定的可能值如下表3.1所示。序號i123456銷售量i（臺）210001950016500660045001500分解——綜合比較法。如果i(i=1,2,…,n)均可46但銷售量獨立地依賴于社會需求量W和電視機的質(zhì)量V。W和V的可能值如表3.2所示，且i對Wj和Vk的組合關(guān)系如表3.3所示，試確定i的先驗概率。表3.2

序號i123序號k12需求量Wj（臺）300002500020000質(zhì)量（合格率）Vk0.980.85表3.3123456(W1,V1)(W2,V1)(W3,V1)(W1,V2)(W2,V2)(W3,V2)但銷售量獨立地依賴于社會需求量W和電視機的質(zhì)量V。W和V的可47解：工廠決策者責(zé)成供銷部門和技術(shù)部門分別就Wj和Vk的可能性賦予先驗概率。根據(jù)供銷部門對社會需求的經(jīng)驗積累以及技術(shù)部門對過去產(chǎn)品的試驗總結(jié)，Wj和Vk得先驗概率如表3.4所式（注意：）表3.4WjW1W1W3VkV1V2(Wj)0.30.50.2(Vk)0.900.10最后根據(jù)表3.4以及(i)=(Wj)(Vk)得表3.5。

解：工廠決策者責(zé)成供銷部門和技術(shù)部門分別就Wj和Vk的可能性48表3.5序號i123456銷售量i（臺）210001950016500660045001500先驗概率(i)0.270.450.180.030.050.02表3.5序號i123456銷售量i（臺）210001949分位法。當(dāng)是連續(xù)變量時，確定先驗概率用得比較多的一種方法是所謂分位法。設(shè)mk是一個實數(shù)，且有：F(mk)=P(:mk)0k1則稱mk為的概率密度函數(shù)()的k分位數(shù)；式中F表示的分布函數(shù)。特別，稱()的1/2分位數(shù)為m1/2為中位數(shù)，m1/4為下1/4分位數(shù)，m3/4為上1/4分位數(shù)等。

如果=[a,b]R，則有：

分位法。當(dāng)是連續(xù)變量時，確定先驗概率用得比較多的一種方50決策人可以根據(jù)已有的先驗信息確定中位數(shù)和上、下1/4分位數(shù)等等，再根據(jù)分布函數(shù)的平滑性、嚴格增等基本性質(zhì)求得先驗分布F()，然后再據(jù)此求得密度函數(shù)()。決策人可以根據(jù)已有的先驗信息確定中位數(shù)和上、下51曲線擬合法。利用分位法求先驗概率分布，更多的是采用曲線擬合法，即根據(jù)大致分析認為先驗分布屬于某個已知的分布函數(shù)族；為了確定所求先驗分布是該分部族中的哪一條曲線，只需確定有關(guān)參數(shù)，而這些參數(shù)又可由已經(jīng)得到的分位數(shù)近似確定。例.設(shè)得分布屬于正態(tài)分布，而一個正態(tài)分布函數(shù)曲線完全由參數(shù)（均值）和（方差）所確定。現(xiàn)在假設(shè)已求得()的分位數(shù)m1/4=35，m1/2=45，m3/4=57，求和的值。解：由正態(tài)分布的對稱性，有：

=m1/2=45，m1/2-m1/4=m3/4-m1/2，從已給定的分位數(shù)得，m1/2-m1/4=10m3/4-m1/2=12這時需對分位數(shù)進行修正，修正后得分位數(shù)m1/4=34，m1/2=45，m3/4=56

曲線擬合法。利用分位法求先驗概率分布，更多的是采用曲線擬52已滿足對稱性要求。令FN表示標(biāo)準正態(tài)分布函數(shù)，則F(m3/4)=FN((m3/4-)/)=3/4查標(biāo)準正態(tài)分布表，得(m3/4-)/=0.674又=m1/2=45，最后得=(56-45)/0.674=16.32已滿足對稱性要求。令FN表示標(biāo)準正態(tài)分布函數(shù)，則53極大熵先驗分布極大熵先驗分布54極大熵先驗分布在一個信息通道中傳送的第I個信號的信息量為li=-lnpi

n個信號的平均信息量為

用極大熵（極大平均信息量）準則設(shè)定先驗密度pi的值，是在先驗密度pi適合這個不確定事件的先驗信息的約束時，選擇pi，使平均信息量達到極大。使用這個準則，先驗信息將構(gòu)成求極值問題的約束條件。例如，設(shè)包含所有正整數(shù)，而且的先驗信息是等于或小于10。求極大平均信息量的約束條件應(yīng)為極大熵先驗分布在一個信息通道中傳送的第I個信號的信息量為55如果知道的平均值為5，則另一個約束條件為此使用極大熵準則去設(shè)定先驗密度(i)，i，就是求解下面的有約束最優(yōu)化問題Suchthat

如果知道的平均值為5，則另一個約束條件為56利用過去數(shù)據(jù)設(shè)定先驗分布利用過去數(shù)據(jù)設(shè)定先驗分布57有θ的統(tǒng)計數(shù)據(jù)

為能獲得θ的觀察值θii=1,…,n的數(shù)據(jù)，則可：①通過直方圖勾劃出先驗分布②選取可能的函數(shù)形式作為先驗分布，再定參數(shù)③求頻率(離散RV)有θ的統(tǒng)計數(shù)據(jù)為能獲得θ的觀察值θii=1,…58狀態(tài)θ不能直接觀察時

若直接觀察的只是與有關(guān)的(通常都是如此)則要從中獲取的先驗信息很困難：的分布是隨邊緣分布m(.)而定的：m(x)=或m(x)=估計m(x)不難，但即使f(x｜θ)已知，由此估計(θ)卻難得多。當(dāng)f(x|θ)近似于一個函數(shù)(x-θ)時，可以用m(.)逼近(.)狀態(tài)θ不能直接觀察時若直接觀察的只是與有關(guān)的(通59Session4先驗信息與主觀概率Session460SessionTopic主觀概率的基本概念主觀設(shè)定先驗分布的方法SessionTopic主觀概率的基本概念61主觀概率的基本概念所謂客觀概率，是指隨機試驗意義上的概率測度。這種概率僅取決于試驗對象的某種確定的自然屬性，它不因人而異，所以稱之為客觀概率。如，大多數(shù)保險費的核定，可根據(jù)客觀概率來確定。所謂主觀概率(又稱為似然率)，是作為主體的特定個人對于某一待定命題所掌握的知識、信息所建立起來的信念的數(shù)值測度。主觀概率的基本概念所謂客觀概率，是指隨機試驗意義上的概率62（1）由決策者或者決策專家判斷得到的狀態(tài)出現(xiàn)的可能性的度量，稱為主觀概率。主觀概率反映了決策者或?qū)＜覍顟B(tài)出現(xiàn)的可能性的“信任程度”。顯然，一個狀態(tài)出現(xiàn)的主觀概率的大小，不僅依賴于客觀狀態(tài)，也依賴于決策者或?qū)＜业闹饔^條件，對同一狀態(tài)出現(xiàn)的主觀概率，不同的人，可以得出不同的值。第四章：先驗信息與主觀概率課件63（2）主觀概率的概念是在50年代由美國運籌學(xué)家L.J.Savage首先提出的。在期望效用理論中所引入的概率分布集，它作為決策的行動集或者方案集，很難被視為是由隨機試驗所確定的客觀概率測度。除了少數(shù)可重復(fù)多次的決策外，絕大多數(shù)的決策活動（選擇行為）都是一次性的，所以有必要研究主觀概率。（3）從本質(zhì)上看，無論是主觀概率還是客觀概率，都是對可能事件真實發(fā)生的可能性的一種數(shù)量測度。因此，它代表著人們對一種行為所得到的經(jīng)驗的總結(jié)，或者說是作為人們對未來事件的一種明智的推測。（2）主觀概率的概念是在50年代由美國運籌學(xué)家L.J.S64

（4）重要的是，必須把主觀概率建立在客觀的現(xiàn)實基礎(chǔ)上。主觀概率雖然強調(diào)決策者或者專家的主觀作用，但是他們在確定主觀概率時，必須對他們所掌握的信息，對類似情況的經(jīng)驗作出綜合判斷，而不是主觀臆測。承認主觀概率在決策分析中的作用，是相信決策者或者專家的綜合判斷能力。（5）主觀概率論是進行決策分析的依據(jù)。主觀概率論者要能比較正確地設(shè)定主觀概率，有賴于對事件作周密的觀察，去獲得先驗信息，而且，先驗信息愈豐富，設(shè)置的主觀概率愈準確。（4）重要的是，必須把主觀概率建立在客觀的現(xiàn)65

（6）對主觀概率的理論研究表明，如果在狀態(tài)集合上所定義的偏好二元關(guān)系具有完備性和傳遞性，則所定義的主觀概率同客觀概率一樣，都可以使用并服從概率論中一整套推理及計算方法?？陀^概率的確定如果對環(huán)境狀態(tài)已經(jīng)掌握了大量的歷史資料，并且假定影響這些環(huán)境狀態(tài)的因素沒有變化，那么可以近似地求得狀態(tài)出現(xiàn)的概率分布函數(shù)（根據(jù)大數(shù)定理，經(jīng)驗分布函數(shù)可近似地作為狀態(tài)的真正的概率分布函數(shù)）。（6）對主觀概率的理論研究表明，如果在狀態(tài)集合上所定義的偏66主觀概率的確定

確定狀態(tài)出現(xiàn)的概率的最簡便的方法是由決策者或者決策專家直接判斷每一狀態(tài)出現(xiàn)的可能性。借助于先驗信息所確定的主觀概率的分布，稱為先驗分布。設(shè)定主觀概率也就是設(shè)定離散型或連續(xù)型的先驗分布。對狀態(tài)空間是離散的情況，決策者可能按照對以往類似情況的經(jīng)驗給出如下圖所示的主觀概率。主觀概率的確定確定狀態(tài)出現(xiàn)的概率的最簡便的方法是由決策者67

一般情況下，決策者往往不能直接給出一個主觀概率分布，而給出每兩個狀態(tài)出現(xiàn)的可能性的比例關(guān)系決策者往往不可能精確地給出狀態(tài)出現(xiàn)的概率的比例關(guān)系，即他們初步給出的概率比往往違反條件2），這時可用最小二乘法估計決策者心目中的真正的主觀概率分布，

（2）

（1）

一般情況下，決策者往往不能直68第四章：先驗信息與主觀概率課件69其中是拉格朗日乘數(shù)。將拉格朗日乘數(shù)對每一變量pl(l=1,2,…n)求偏導(dǎo)，并令其為零，得到n個代數(shù)方程構(gòu)成n+1階非齊次線性方程組。這n各方程組的解即位所求的主觀概率分布。其中是拉格朗日乘數(shù)。將拉格朗日乘數(shù)對每一變量pl(l=70第四章：先驗信息與主觀概率課件71第四章：先驗信息與主觀概率課件72第四章：先驗信息與主觀概率課件73第四章：先驗信息與主觀概率課件74第四章：先驗信息與主觀概率課件75第四章：先驗信息與主觀概率課件76第四章：先驗信息與主觀概率課件77第四章：先驗信息與主觀概率課件78第四章：先驗信息與主觀概率課件79主觀設(shè)定先驗分布的其他方法主觀設(shè)定先驗分布的其他方法80設(shè)定先驗分布時的幾點假設(shè)

連通性(Connectivity)，又稱可比性即事件A和B發(fā)生的似然性likelihood是可以比較的：A?B或AB或B?A必有一種也僅有一種成立.A?B讀作A發(fā)生的似然性大于B發(fā)生的似然性,AB讀作A發(fā)生的似然性與B發(fā)生的似然性相當(dāng)。設(shè)定先驗分布時的幾點假設(shè)連通性(Connectivity)81設(shè)定先驗分布時的幾點假設(shè)傳遞性(Transitivity)

若對事件A，B，C,A?B，B?C則A?C設(shè)定先驗分布時的幾點假設(shè)傳遞性(Transitivity)82設(shè)定先驗分布時的幾點假設(shè)部分小于全體：若AB,則BA例：設(shè)定明年國民經(jīng)濟增長率時：①A：8～11%B：12～15%C：15～20%A?B，B?C，則A?C②A：8～11%D：8～10%必有DA設(shè)定先驗分布時的幾點假設(shè)部分小于全體：83離散型隨機變量先驗分布的設(shè)定對各事件加以比較確定相對似然率例1.考博士生E：考取F：考不取若P(E)=2P(F)則P(E)=2/3P(F)=1/3例2.某地氣候狀況：正常年景θ1，旱θ2，澇θ3正常與災(zāi)年之比：3∶2則P（θ1)=0.6水旱災(zāi)之比1∶1P(θ2)=P(θ3)=0.2該法適用于狀態(tài)數(shù)較少的場合離散型隨機變量先驗分布的設(shè)定對各事件加以比較確定相對似然率84離散型隨機變量先驗分布的設(shè)定打賭法設(shè)事件E發(fā)生時收入P，（0＜P＜1）且E＼c＝(1—P)調(diào)整P，使決策人感到兩者無差異為止,則：P(E)=P離散型隨機變量先驗分布的設(shè)定打賭法85連續(xù)型RV的先驗分布的設(shè)定

直方圖法該法適用于θ取值是實軸的的某個區(qū)間的情況步驟：①,將區(qū)間劃分子區(qū)間θi…離散化②設(shè)定每個子區(qū)間的似然率π(θi)…賦值③變換成概率密度曲線

連續(xù)型RV的先驗分布的設(shè)定直方圖法86例如：明年國民經(jīng)濟的增長率例如：明年國民經(jīng)濟的增長率87缺點：①子區(qū)間的劃分沒有標(biāo)準②賦值不易③尾部誤差過大缺點：88連續(xù)型RV的先驗分布的設(shè)定相對似然率法

適用范圍：同1步驟：①離散化②賦值：給出各區(qū)間似然的相對比值③規(guī)范化：連續(xù)型RV的先驗分布的設(shè)定相對似然率法89例如：A.相對似然率R似然率π(A)子區(qū)間8～91010／ΣR7～899／ΣR9～107.57.5／ΣRB.決策者給出每二個狀態(tài)似然率的比例關(guān)系aij=pi/pj(1)應(yīng)有aij=1/aji(2)aij=aik.akj(3)例如：90在(3)式不滿足時，可用最小二乘法估計決策人心目中真正的主觀概率分布Pii=1,…，n即求規(guī)劃問題min{∑∑(aijpj-pi)}s.t.∑pi=1,pi≥0*用拉格朗日乘數(shù)法,構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L＝

上式對，i=1,2…n求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0，得：

l=1,2,…,n.與聯(lián)列，構(gòu)成n+1階齊次方程組，求得Pi,i=1,…，n在(3)式不滿足時，可用最小二乘法估計決策人心目91連續(xù)型RV的先驗分布的設(shè)定區(qū)間對分法適用范圍：可以是開區(qū)間·步驟：①求中位②確定上、下四分位點(quartilefractile)③由于誤差積累,最多確定八分位點(Eighthfractile)·缺點：精度差連續(xù)型RV的先驗分布的設(shè)定區(qū)間對分法92連續(xù)型RV的先驗分布的設(shè)定概率盤法(dart)用園盤中的扇形區(qū)表示抽獎事件,透用于西方管理人員·注意：狀態(tài)的概率或概率分布不是也不應(yīng)富由決策分析人員來設(shè)定，而應(yīng)當(dāng)由決策人和有關(guān)問題專家提供基本信息。連續(xù)型RV的先驗分布的設(shè)定概率盤法(dart)93無信息先驗分布無信息先驗分布94如果隨機變量X的密度函數(shù)為f(x-)，則稱f為位置密度，而參數(shù)

稱為位置參數(shù)（為參數(shù)空間）。例如，正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望是位置參數(shù)。記樣本空間為，和都是一維實空間R1子集，在此種情況下推導(dǎo)位置參數(shù)的無信息先驗。設(shè)Y=X+c(cR1).定義=+c，Y的密度為f(y-)如果==R1,則（X,）問題和（Y,）問題有相同的樣本空間。

位置參數(shù)的無信息先驗如果隨機變量X的密度函數(shù)為f(x-)，則稱f95第四章：先驗信息與主觀概率課件96第四章：先驗信息與主觀概率課件97標(biāo)度參數(shù)的無信息先驗如果隨機變量X的密度函數(shù)為，則稱f為標(biāo)度密度，而參數(shù)稱為標(biāo)度參數(shù)。如，正態(tài)分布的均方差為標(biāo)度參數(shù)。設(shè)Y=cX

(c>0).定義=c，Y的密度為。如果=R1,=(0,),則（X,）問題和（Y,）問題有相同的樣本空間。標(biāo)度參數(shù)的無信息先驗如果隨機變量X的密度函數(shù)為98第四章：先驗信息與主觀概率課件99設(shè)定先驗分布時要注意：第一，充分利用已知信息去設(shè)定；第二，要求密度函數(shù)必須對某一類特定的變換是不變的。設(shè)定先驗分布時要注意：第一，充分利用已知信息100有信息主觀先驗概率的確定有信息主觀先驗概率的確定101有信息主觀先驗概率的確定所謂有信息是指決策者已經(jīng)積累了處理類似決策問題的經(jīng)驗，或者通過對有關(guān)專家咨詢獲得了對自然狀態(tài)的某些認識。確定有信息主觀先驗概率的主要方法有以下幾種：比較法。先討論只取兩個值1、2的簡單情形。為確定1、2出現(xiàn)的概率(1)、(2)，首先比較1和2出現(xiàn)可能性的大小。如果分析后認為1出現(xiàn)的可能性大于2出現(xiàn)的可能性，則：(1)1/2，(2)<1/2，有信息主觀先驗概率的確定102

在初步確定1、2出現(xiàn)概率的取值范圍后，接著對1、2出現(xiàn)可能性作進一步比較。即進一步分析1出現(xiàn)的可能性是否大于2出現(xiàn)可能性的2倍，如果是，則可得到：(1)2/3，(2)<1/3如果不是，則1/2(1)<2/3,1/3(2)<1/2如此等等，直到把(1)的取值范圍縮小到合理的程度。這時便得到了自然狀態(tài)的主觀先驗概率。設(shè)1、2的主觀先驗概率為：(1)=p，(2)=1-p0p1在初步確定1、2出現(xiàn)概率的取值范圍后，接著對1103同時對由此得到的概率必須按2進行檢查。如果(2)的值不合理，還必須重新調(diào)整以確保一致性。如果自然狀態(tài)可取多于兩個不同的有限值，即={1,2,…,n}，這時也可以通過比較法確定(i)=pi(i=1,2,…,n)。但要注意滿足概率的完全性（即和為1）。當(dāng)n比較大時，可以采用如下兩種方法。一種時首先詢問專家或決策者，給出任意兩種狀態(tài)出現(xiàn)可能性的比較，然后采用最小二乘法求解。另一種方法是采用下述方法：同時對由此得到的概率必須按2進行檢查。如果(2)的值不104分解——綜合比較法。如果i(i=1,2,…,n)均可視為兩種或兩種以上獨立變量Wj(j=1,2,…,m)，Vk(k=1,2,…,s)等的組合，即i=(Wj，Vk，…)，且m、s等遠小于n，則先用比較法確定(Wj)、(Vk)等，再根據(jù)獨立隨機變量交集的公式：(i)=(Wj)(Vk)這樣可大大簡化比較的過程。例1.某電視機廠準備生產(chǎn)一種新型號的電視機供應(yīng)市場，但未來的銷售量對于決策者而言是一個未知因素。為簡單計，決策者選定的可能值如下表3.1所示。序號i123456銷售量i（臺）210001950016500660045001500分解——綜合比較法。如果i(i=1,2,…,n)均可105但銷售量獨立地依賴于社會需求量W和電視機的質(zhì)量V。W和V的可能值如表3.2所示，且i對Wj和Vk的組合關(guān)系如表3.3所示，試確定i的先驗概率。表3.2

序號i123序號k12需求量Wj（臺）300002500020000質(zhì)量（合格率）Vk0.980.85表3.3123456(W1,V1)(W2,V1)(W3,V1)(W1,V2)(W2,V2)(W3,V2)但銷售量獨立地依賴于社會需求量W和電視機的質(zhì)量V。W和V的可106解：工廠決策者責(zé)成供銷部門和技術(shù)部門分別就Wj和Vk的可能性賦予先驗概率。根據(jù)供銷部門對社會需求的經(jīng)驗積累以及技術(shù)部門對過去產(chǎn)品的試驗總結(jié)，Wj和Vk得先驗概率如表3.4所式（注意：）表3.4WjW1W1W3VkV1V2(Wj)0.30.50.2(Vk)0.900.10最后根據(jù)表3.4以及(i)=(Wj)(Vk)得表3.5。

解：工廠決策者責(zé)成供銷部門和技術(shù)部門分別就Wj和Vk的可能性107表3.5序號i123456銷售量i（臺）210001950016500660045001500先驗概率(i)0.270.450.180.030.050.02表3.5序號i123456銷售量i（臺）2100019108分位法。當(dāng)是連續(xù)變量時，確定先驗概率用得比較多的一種方法是所謂分位法。設(shè)mk是一個實數(shù)，且有：F(mk)=P(:mk)0