直線與圓知識(shí)點(diǎn)及經(jīng)典例題(含答案)

直線與圓知識(shí)點(diǎn)及經(jīng)典例題(含答案)直線與圓知識(shí)點(diǎn)及經(jīng)典例題(含答案)直線與圓知識(shí)點(diǎn)及經(jīng)典例題(含答案)資料僅供參考文件編號(hào)：2022年4月直線與圓知識(shí)點(diǎn)及經(jīng)典例題(含答案)版本號(hào)：A修改號(hào)：1頁次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：圓的方程、直線和圓的位置關(guān)系【知識(shí)要點(diǎn)】一、圓的定義：平面內(nèi)與一定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡稱為圓（一）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程這個(gè)方程叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。說明：1、若圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)上，這時(shí)，則圓的方程就是。2、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個(gè)基本要素：圓心坐標(biāo)和半徑；圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小，從而確定了圓，所以，只要三個(gè)量確定了且＞0，圓的方程就給定了。就是說要確定圓的方程，必須具備三個(gè)獨(dú)立的條件確定，可以根據(jù)條件，利用待定系數(shù)法來解決。（二）圓的一般方程將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,展開可得。可見，任何一個(gè)圓的方程都可以寫成:問題：形如的方程的曲線是不是圓將方程左邊配方得：（1）當(dāng)＞0時(shí)，方程（1）與標(biāo)準(zhǔn)方程比較，方程表示以為圓心，以為半徑的圓。,（3）當(dāng)＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形。圓的一般方程的定義：當(dāng)＞0時(shí)，方程稱為圓的一般方程.圓的一般方程的特點(diǎn)：（1）和的系數(shù)相同，不等于零；（2）沒有xy這樣的二次項(xiàng)。（三）直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓位置關(guān)系的種類（1）相離---求距離；(2)相切---求切線；（3）相交---求焦點(diǎn)弦長(zhǎng)。2、直線與圓的位置關(guān)系判斷方法：幾何方法主要步驟：（1）把直線方程化為一般式，利用圓的方程求出圓心和半徑（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式求圓心到直線的距離（3）作判斷:當(dāng)d>r時(shí)，直線與圓相離；當(dāng)d＝r時(shí)，直線與圓相切;當(dāng)d<r時(shí)，直線與圓相交。代數(shù)方法主要步驟：（1）把直線方程與圓的方程聯(lián)立成方程組（2）利用消元法，得到關(guān)于另一個(gè)元的一元二次方程（3）求出其Δ的值，比較Δ與0的大?。海?）當(dāng)Δ<0時(shí)，直線與圓相離；當(dāng)Δ＝0時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)Δ>0時(shí)，直線與圓相交?！镜湫屠}】類型一：圓的方程例1求過兩點(diǎn)、且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點(diǎn)與圓的關(guān)系．變式1：求過兩點(diǎn)、且被直線平分的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.變式2：求過兩點(diǎn)、且圓上所有的點(diǎn)均關(guān)于直線對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.分析：欲求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出圓心坐標(biāo)的圓的半徑的大小，而要判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，只須看點(diǎn)與圓心的距離和圓的半徑的大小關(guān)系，若距離大于半徑，則點(diǎn)在圓外；若距離等于半徑，則點(diǎn)在圓上；若距離小于半徑，則點(diǎn)在圓內(nèi)．解法一：（待定系數(shù)法）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．∵圓心在上，故．∴圓的方程為．又∵該圓過、兩點(diǎn)．∴解之得：，．所以所求圓的方程為．解法二：（直接求出圓心坐標(biāo)和半徑）因?yàn)閳A過、兩點(diǎn)，所以圓心必在線段的垂直平分線上，又因?yàn)?，故的斜率?，又的中點(diǎn)為，故的垂直平分線的方程為：即．又知圓心在直線上，故圓心坐標(biāo)為∴半徑．故所求圓的方程為．又點(diǎn)到圓心的距離為．∴點(diǎn)在圓外．例2：求過三點(diǎn)O（0，0），M（1，1），N（4，2）的圓的方程，并求出這個(gè)圓的圓心和半徑。解：設(shè)圓的方程為：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，將三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程F＝0，D＝8，E＝6圓方程為：x2＋y28x＋6y＝0配方：（x4）2＋（y＋3）2＝25圓心：（4，3），半徑r＝5例3求經(jīng)過點(diǎn)，且與直線和都相切的圓的方程．分析：欲確定圓的方程．需確定圓心坐標(biāo)與半徑，由于所求圓過定點(diǎn)，故只需確定圓心坐標(biāo)．又圓與兩已知直線相切，故圓心必在它們的交角的平分線上．解：∵圓和直線與相切，∴圓心在這兩條直線的交角平分線上，又圓心到兩直線和的距離相等．∴．∴兩直線交角的平分線方程是或．又∵圓過點(diǎn)，∴圓心只能在直線上．設(shè)圓心∵到直線的距離等于，∴．化簡(jiǎn)整理得．解得：或∴圓心是，半徑為或圓心是，半徑為．∴所求圓的方程為或．說明：本題解決的關(guān)鍵是分析得到圓心在已知兩直線的交角平分線上，從而確定圓心坐標(biāo)得到圓的方程，這是過定點(diǎn)且與兩已知直線相切的圓的方程的常規(guī)求法．類型二：切線方程、切點(diǎn)弦方程、公共弦方程例4已知圓，求過點(diǎn)與圓相切的切線．解：∵點(diǎn)不在圓上，∴切線的直線方程可設(shè)為根據(jù)∴.解得，所以，即因?yàn)檫^圓外一點(diǎn)作圓得切線應(yīng)該有兩條，可見另一條直線的斜率不存在．易求另一條切線為．說明：上述解題過程容易漏解斜率不存在的情況，要注意補(bǔ)回漏掉的解．本題還有其他解法，例如把所設(shè)的切線方程代入圓方程，用判別式等于0解決（也要注意漏解）．還可以運(yùn)用，求出切點(diǎn)坐標(biāo)、的值來解決，此時(shí)沒有漏解．例5兩圓與相交于、兩點(diǎn)，求它們的公共弦所在直線的方程．分析：首先求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)式求直線的方程，但是求兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)的過程太繁．為了避免求交點(diǎn)，可以采用“設(shè)而不求”的技巧．解：設(shè)兩圓、的任一交點(diǎn)坐標(biāo)為，則有：①②①－②得：．∵、的坐標(biāo)滿足方程．∴方程是過、兩點(diǎn)的直線方程．又過、兩點(diǎn)的直線是唯一的．∴兩圓、的公共弦所在直線的方程為．說明：上述解法中，巧妙地避開了求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，雖然設(shè)出了它們的坐標(biāo)，但并沒有去求它，而是利用曲線與方程的概念達(dá)到了目標(biāo)．從解題的角度上說，這是一種“設(shè)而不求”的技巧，從知識(shí)內(nèi)容的角度上說，還體現(xiàn)了對(duì)曲線與方程的關(guān)系的深刻理解以及對(duì)直線方程是一次方程的本質(zhì)認(rèn)識(shí)．它的應(yīng)用很廣泛．例6、求過點(diǎn)，且與圓相切的直線的方程．解：設(shè)切線方程為，即，∵圓心到切線的距離等于半徑，∴，解得，∴切線方程為，即，當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，圓心到此直線的距離等于半徑，故直線也適合題意。所以，所求的直線的方程是或．類型三：弦長(zhǎng)、弧問題例7、求直線被圓截得的弦的長(zhǎng).例8、直線截圓得的劣弧所對(duì)的圓心角為解：依題意得，弦心距，故弦長(zhǎng)，從而△OAB是等邊三角形，故截得的劣弧所對(duì)的圓心角為.例9、求兩圓和的公共弦長(zhǎng)類型四：直線與圓的位置關(guān)系例10、已知直線和圓，判斷此直線與已知圓的位置關(guān)系.例11、若直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：∵曲線表示半圓，∴利用數(shù)形結(jié)合法，可得實(shí)數(shù)的取值范圍是或.例12、圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有幾個(gè)分析：借助圖形直觀求解．或先求出直線、的方程，從代數(shù)計(jì)算中尋找解答．解法一：圓的圓心為，半徑．設(shè)圓心到直線的距離為，則．如圖，在圓心同側(cè)，與直線平行且距離為1的直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)符合題意．又．∴與直線平行的圓的切線的兩個(gè)切點(diǎn)中有一個(gè)切點(diǎn)也符合題意．∴符合題意的點(diǎn)共有3個(gè)．解法二：符合題意的點(diǎn)是平行于直線，且與之距離為1的直線和圓的交點(diǎn)．設(shè)所求直線為，則，∴，即，或，也即，或．設(shè)圓的圓心到直線、的距離為、，則，．∴與相切，與圓有一個(gè)公共點(diǎn)；與圓相交，與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)．即符合題意的點(diǎn)共3個(gè)．類型五：圓與圓的位置關(guān)系例13、判斷圓與圓的位置關(guān)系，例14：圓和圓的公切線共有條。解：∵圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，∴.∵，∴兩圓相交.共有2條公切線。類型六：圓中的最值問題例15：圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是解：∵圓的圓心為（2，2），半徑，∴圓心到直線的距離，∴直線與圓相離，∴圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是.例16(1)已知圓，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大、最小值．(2)已知圓，為圓上任一點(diǎn)．求的最大、最小值，求的最大、最小值．分析：(1)、(2)兩小題都涉及到圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，可考慮用圓的參數(shù)方程或數(shù)形結(jié)合解決．解：(1)圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值等于圓心到原點(diǎn)的距離加上半徑1，圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值等于圓心到原