最新高中數(shù)學平面幾何拓展-數(shù)學競賽知識

高中數(shù)學平面幾何拓展第一大定理：共角定理〔鳥頭定理〕即在兩個三角形中，它們有一個角相等〔互補〕，那么它們就是共角三角形。它們的面積之比，就是對應角〔相等角、互補角〕兩夾邊的乘積之比。內(nèi)容：假設兩三角形有一組對應角相等或互補，那么它們的面積比等于對應兩邊乘積的比。即：假設△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE，那么S△ABC÷S△ADE=第二大定理：等積變換定理。1、等底等高的兩個三角形面積相等；2、兩個三角形〔底〕高相等，面積之比等于高〔底〕之比。3、在一組平行線之間的等積變形。如下圖，S△ACD=S△BCD；反之，如果S△ACD=S△BCD，那么可知直線AB平行于CD。第三大定理：梯形蝴蝶定理。任意四邊形中，同樣也有蝴蝶定理。上述的梯形蝴蝶定理，就是因為AD‖EC得來的第四大定理：相似三角形定理。1、相似三角形：形狀相同,大小不相等的兩個三角形相似；2、尋找相似模型的大前提是平行線：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長線相交，所構成的三角形與原三角形相似。3、相似三角形性質：1.相似三角形的一切對應線段(對應高、對應邊〕的比等于相似比；②相似三角形周長的比等于相似比；③相似三角形面積的比等于相似比的平方。相似模型大致分為金字塔模型、沙漏模型這兩大類，注意這兩大類中都含有BC平行DE這樣的一對平行線！圖形：第五大定理：燕尾定理。性質：1.S△ABG：S△ACG=S△BGE：S△CGE=BE：CE2.S△BGA：S△BGC=S△GAF：S△GCF=AF：CF3.S△AGC：S△BGC=S△AGD：S△BGD=AD：BD這就是燕尾模型。其他幾何定理：塞瓦定理塞瓦定理是指在△ABC內(nèi)任取一點O，延長AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，那么(BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。梅涅勞斯定理當直線交三邊所在直線于點時，使用梅涅勞斯定理可以進行直線形中線段長度比例的計算，其逆定理還可以用來解決三點共線、三線共點等問題的判定方法，是平面幾何學以及射影幾何學中的一項根本定理，具有重要的作用。梅涅勞斯定理的對偶定理是塞瓦定理。[2]它的逆定理也成立：假設有三點F、D、E分別在的邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，那么F、D、E三點共線。利用這個逆定理，可以判斷三點共線。托勒密定理定理內(nèi)容指圓內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積推論1.任意凸四邊形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，當且僅當ABCD四點共圓時取等號。2.托勒密定理的逆定理同樣成立：一個凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積，那么這個凸四邊形內(nèi)接于一圓清宮定理設P、Q為△ABC的外接圓上異于A、B、C的兩點，P關于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，且QU、QV、QW分別交三邊BC、CA、AB或其延長線于D、E、F，那么D、E、F在同一直線上射影定理射影定理，又稱“歐幾里得定理〞：在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項，每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。是數(shù)學圖形計算的重要定理。概述圖中，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜邊AC上的高，那么有射影定理如下：BD2=AD·DCAB2=AC·ADBC2=CD·AC面積射影定理規(guī)定“平面圖形射影面積等于被射影圖形的面積乘以該圖形所在平面與射影面所夾角的余弦。(即COSθ=S射影/S原〕。〞(平面多邊形及其射影的面積分別是和,它們所在平面所成的二面角為)歐拉定理幾何定理內(nèi)容1)設三角形的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為d，那么d^2=R^2-2Rr．2)三角形ABC的垂心H，九點圓圓心V,重心G,外心O共線，稱為歐拉線拓撲公式V+F-E=2，V是多面體P的頂點個數(shù)，F(xiàn)是多面體P的面數(shù)，E是多面體P的棱的條數(shù)利用歐拉定理可解決一些實際問題如：為什么正多面體只有5種？足球與C60的關系？否有棱數(shù)為7的正多面體？等復變函數(shù)定理內(nèi)容e是自然對數(shù)的底，i是虛數(shù)單位。它將三角函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系，它在復變函數(shù)論里占有非常重要的地位。將公式里的x換成-x，得到：，然后采用兩式相加減的方法得到：，.這兩個也叫做歐拉公式。上帝創(chuàng)造的公式將中的x取作π就得到：.這個等式也叫做歐拉公式，它是數(shù)學里最令人著迷的一個公式，它將數(shù)學里最重要的幾個數(shù)字聯(lián)系到了一起：兩個超越數(shù)：自然對數(shù)的底e，圓周率π，兩個單位：虛數(shù)單位i和自然數(shù)的單位1，以及數(shù)學里常見的0。數(shù)學家們評價它是“上帝創(chuàng)造的公式〞，我們只能看它而不能理解它。蝴蝶定理蝴蝶定理〔ButterflyTheorem〕：設M為圓內(nèi)弦PQ的中點，過M作弦AB和CD。設AD和BC各相交PQ于點X和Y，那么M是XY的中點。去掉中點的條件，結論變?yōu)橐粋€一般關于有向線段的比例式，稱為“坎迪定理〞，不為中點時滿足:1/MY-1/MX=1/MQ-1/MP在圓錐曲線中通過射影幾何，我們可以非常容易的將蝴蝶定理推廣到普通的任意圓錐曲線〔包括橢圓，雙曲線，拋物線，甚至退化到兩條相交直線的情況〕。圓錐曲線C上弦PQ的中點為M，過點M任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ于X，Y，那么M為XY之中點。１，橢圓的長軸A1、A2與x軸平行，短軸B1B2在y軸上，中心為M〔o，r〕〔b＞r＞0〕。

〔Ⅰ〕寫出橢圓的方程，求橢圓的焦點坐標及離心率；

〔Ⅱ〕直線y=k1x交橢圓于兩點Ｃ〔x1,y1〕,D(x2，y2)〔y2＞０〕；直線y=k2x交橢圓于兩點Ｇ〔x3，y3〕，Ｈ〔x4，y4〕〔y４＞０〕。

求證：k１x１x2／(x1+x2)=k2x3x4／(x3+x4)

〔Ⅲ〕對于〔Ⅱ〕中的C，D，G，H，設CH交X軸于點P，GD交X軸于點Q。

求證：|OP|=|OQ|。

〔證明過程不考慮CH或GD垂直于X軸的情形〕

〔Ⅰ〕解：橢圓方程為x2/a2+(y-r)2/b2=1

焦點坐標為x代入橢圓方程，得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2，

〔Ⅱ〕證明：將直線CD的方程y=k

整理，得

(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0

根據(jù)韋達定理，得

x1+x2=2k1a2r/(b2+a2k12)，x1·x2=(a2r2-a2b2)/(b2+a2k12)，

所以x1x2/(x1+x2)=(r2-b2)/2k1r①

將直線GH的方程y=k2x代入橢圓方程，同理可得

x3x4/(x3+x4)=(r2-b2)/2k2r②

由①，②得k1x1x2/(x1+x2)=(r2-b2/2r=k2x3x4/(x3+x4)

所以結論成立。

〔Ⅲ〕證明：設點P〔p，o〕，點Q〔q，o〕。

由C，P，H共線，得

(x1-p)/(x4-p)=k1x1/k2x4

解得P=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)

由D，Q，G共線，同理可得

q=(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)

由k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)，變形得：

x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4)

即：(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)

所以|p|=|q|，即，|OP|=|OQ|。圓冪定理圓冪定理是平面幾何中的一個定理，是相交弦定理、切割線定理及割線定理(切割線定理推論)的統(tǒng)一相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。割線定理：從圓外一點P引兩條割線與圓分別交于A、B、C、D，那么有PA·PB=PC·PD共邊定理設直線AB與PQ交于M，那么S△PAB/S△QAB=PM/QM西姆松定理過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊的垂線，那么三垂足共線?！泊司€常稱為西姆松線〕。西姆松定理的逆定理為：假設一點在三角形三邊所在直線上的射影共線，那么該點在此三角形的外接圓上。九點圓三角形三邊的中點，三高的垂足和三個歐拉點〔連結三角形各頂點與垂心所得三線段的中點〕九點共圓。通常稱這個圓為九點圓〔nine-pointcircle〕，或歐拉圓、費爾巴哈圓。九點圓具有許多有趣的性質，例如：1.三角形的九點圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半；2.九點圓的圓心在歐拉線上，且恰為