數(shù)學(xué)建模 第四篇 典型案例分析市公開課一等獎(jiǎng)省名師優(yōu)質(zhì)課賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第四篇經(jīng)典案例分析§1投籃出手角度§2水塔流量預(yù)計(jì)§3鋼管訂購和運(yùn)輸§1.1問題提出L

H0Ph從罰球點(diǎn)投籃示意圖§1投籃出手角度問題

?不考慮籃球和籃框大小,討論球心命中框心條件

?考慮籃球和籃框大小,討論球心命中框心且入框條件

?確保球入框,出手角度和出手速度允許最大偏差

?考慮空氣阻力影響

d0△xD§1.2問題分析0dD籃球入框球心偏前

?不考慮籃球和籃框大小,討論球心命中框心條件

?考慮籃球和籃框大小,討論球心命中框心且入框條件

?確保球入框,出手角度和出手速度允許最大偏差

?考慮空氣阻力影響

§1.3基本模型★不考慮籃球和籃框大小,不考慮空氣阻力影響則球心運(yùn)動(dòng)軌跡為拋物線球可視為質(zhì)點(diǎn)（球心）斜拋運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程以代入上式，就得到球心命中框心條件且有最小出手速度★球入籃框時(shí)入射角度計(jì)算公式★考慮籃球和籃框大小，球心命中框心且球入框條件為

代入得

將0dD§1.4出手角度和出手速度最大偏差預(yù)計(jì)球入框時(shí)球心偏前(偏后)最大距離

因?yàn)椤锍鍪纸嵌茸畲笃铑A(yù)計(jì)★出手速度最大偏差預(yù)計(jì)相對(duì)偏差為

只考慮水平方向阻力，且阻力與速度成正比§1.5空氣阻力影響不考慮籃球和籃框大小，確定球心命中框心條件水平方向運(yùn)動(dòng)解得h(m)v(m/s)(度)1.87.678952.60121.97.598552.01812.07.518651.42902.17.439250.8344§1.6算法實(shí)現(xiàn)和計(jì)算結(jié)果★對(duì)不一樣出手高度最小出手速度和對(duì)應(yīng)出手角度v（m/s）h(m)(度)(度)(度)(度)8.01.81.92.02.162.409942.792553.876320.921363.114740.918855.82063163.728139.130057.494119.647864.267037.4017580961519.36988.51.81.92.02.167.697537.504962.172612.625068.028836.007563.188412.775368.336734.521464.117913.024068.624433.044464.927913.35839.01.81.92.02.171.069734.132767.14267.655071.2749320761467.79748.166371.470031.388168.40988.732171.656130.012768.98409.3472★對(duì)不一樣出手速度和出手高度出手角度和入射角度h(m)(度)v(m/s)1.862.40998.067.69758.571.06979.0-0.75620.0528-0.56030.0694-0.45700.08031.22610.65970.82760.81670.64310.89252.063.72818.068.33678.571.47009.0-0.71000.0601-0.54110.0734-0.44630.08321.11400.75110.79180.86400.62440.9243★出手角度和出手速度最大偏差★空氣阻力影響v(m/s）h(m)8.01.81.92.02.160.786943.542461.610041.569362.301739.715662.901237.943362.409942.792563.114740.918863.728139.130064.267037.40178.51.81.92.02.166.571937.790566.924436.287067.250534.798267.554133.320967.697537.504968.028836.007568.336734.521468.624433.04449.01.81.92.02.170.119834.273670.332832.908770.535231.542870.727930.175671.069734.132771.2749320761471.470031.388171.656130.0127對(duì)不一樣出手速度和出手高度出手角度和入射角度§1.7結(jié)果分析1．最小出手速度和出手角度（表4-1-1）2．出手速度和出手高度對(duì)出手角度影響（表4-1-2）3．出手角度和出手速度允許偏差（表4-1-3）4．空氣阻力影響思索若出手高度和角度固定，考查阻力對(duì)出手速度影響?！?水塔流量預(yù)計(jì)§2.1問題提出時(shí)刻（h）水位(cm)

00.921.842.953.874.985.907.017.938.97968948931913898881869852839822時(shí)刻（h）水位(cm)9.9810.9210.9512.0312.9513.8814.9815.9016.83////108210501021994965941918時(shí)刻（h）水位(cm)17.93

19.0419.9620.8422.01422.9623.8824.9925.91892

866843822////105910351018已知一天水位測(cè)量統(tǒng)計(jì).圓柱形水塔:高12.2、直徑17.4米

水位降至約8.2米升到約10.8米時(shí),水泵工作.水泵天天供水一兩次，每次約兩小時(shí).

預(yù)計(jì)任何時(shí)刻流水量、一天總用水量.

§2.2問題分析流量是單位時(shí)間流出水體積.(2)擬合水位~時(shí)間函數(shù)、求導(dǎo)數(shù)，得連續(xù)時(shí)間流量.★水泵不工作時(shí)段流量計(jì)算：水位對(duì)時(shí)間改變率.★水泵供水時(shí)段流量計(jì)算：(1)數(shù)值微分、擬合;★模型檢驗(yàn)：t=0-8.97,水位下降968-822=146,這一時(shí)段用水量=146*水塔截面積.§2.3模型假設(shè)1．流量只取決于水位差，與水位本身無關(guān).2．水泵第1次供水：t=9-11;第2次供水:t=20.8-23.3．水泵工作時(shí)單位時(shí)間供水量大致為常數(shù).4．流量是時(shí)間連續(xù)函數(shù).5流量與水泵是否工作無關(guān).6．流量:單位時(shí)間流出水高度*水塔截面積.1．?dāng)M合水位~時(shí)間函數(shù).§2.4流量預(yù)計(jì)3．一天總用水量預(yù)計(jì).2．確定流量~時(shí)間函數(shù).§2.5算法設(shè)計(jì)與編程1．?dāng)M合第1、2時(shí)段水位，并導(dǎo)出流量.2．?dāng)M合供水時(shí)段流量.3．一天總用水量預(yù)計(jì).4．流量及總用水量檢驗(yàn).Watertower.mn=(3,4)擬合流量曲線n=(5,6)擬合流量曲線§2.6計(jì)算結(jié)果各時(shí)段和一天總用水量及兩個(gè)供水時(shí)段水泵功率(n1,n2)y1y2y12y3yp1p2(3,4)146.18258.1048.5078.501263.4154.25143.59(5,6)146.52257.7646.1376.301252.5153.06142.67§2.7分析及改進(jìn)數(shù)據(jù)擬合、數(shù)值積分精度足夠.流量曲線與原始統(tǒng)計(jì)基本上相吻合，零點(diǎn)到十點(diǎn)鐘流量很低，十點(diǎn)到下午三點(diǎn)是用水高峰.供水時(shí)段用3次曲線擬合4點(diǎn)不夠好.全天平均流量22(cm/h).一天總用水量：§3鋼管訂購和運(yùn)輸要鋪設(shè)一條3.1問題提出

經(jīng)篩選后能夠生產(chǎn)這種主管道鋼管鋼廠有輸送天然氣主管道,如圖一所表示。A1325801010312012427010881070627030202030450104301750606194205201680480300220210420500600306195202720690520170690462160320160110290115011001200A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7圖一鐵路鋼管廠公路鐵路鋼管廠公路天然氣管道火車站里程（單位km）1234567800800100030001601551551601551501601km主管道鋼管稱為1單位鋼管.一鋼廠假如負(fù)擔(dān)制造這種鋼管,最少生產(chǎn)500個(gè)單位.鋼廠在指定時(shí)限內(nèi)能生產(chǎn)該鋼管最大數(shù)量為個(gè)單位.鋼管出廠銷價(jià)1單位鋼管為萬元.1單位鋼管鐵路運(yùn)價(jià)如表：里程(km)≤300301～350351～400401～450451～500運(yùn)價(jià)(萬元)2023262932里程(km)501～600601～700701～800801～900901～1000運(yùn)價(jià)(萬元)37445055601000km以上每增加1至100km運(yùn)價(jià)增加5萬元.公路運(yùn)輸費(fèi)用為1單位鋼管每公里0.1萬元（不足整公里部分按整公里計(jì)算）.鋼管可由鐵路、公路運(yùn)往鋪設(shè)地點(diǎn)和管道全線.?(1)請(qǐng)制訂一個(gè)主管道鋼管訂購和運(yùn)輸計(jì)劃，使總費(fèi)用最?。ńo出總費(fèi)用).?(2)請(qǐng)就(1)模型分析：哪個(gè)鋼廠鋼管銷價(jià)改變對(duì)購運(yùn)計(jì)劃和總費(fèi)用影響最大，哪個(gè)鋼廠鋼管產(chǎn)量上限改變對(duì)購運(yùn)計(jì)劃和總費(fèi)用影響最大，并給出對(duì)應(yīng)數(shù)字結(jié)果.?(3)假如要鋪設(shè)管道不是一條線，而是一個(gè)樹形圖，鐵路、公路和管道組成網(wǎng)絡(luò)，請(qǐng)就這種更普通情形給出一個(gè)處理方法，并對(duì)圖二按(1)要求給出模型和結(jié)果.問題

A13258010103120124270108810706270302020450104301750606194205201680480300220210420500600306195202720690520170690462160320160110290115011001200A19130190260100A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7A16A17A18A20(A21)圖二303.2.1模型假設(shè)3.2模型假設(shè)與符號(hào)約定鋪設(shè)鋼管各線段運(yùn)輸費(fèi)以1公里為單位(1公里內(nèi)不計(jì)).

鋼管鋪設(shè)情況以從某一頭向另一頭鋪設(shè)為準(zhǔn).負(fù)擔(dān)生產(chǎn)任務(wù)鋼管廠，供給量最少為500個(gè)單位.3.2.2符號(hào)約定第i段長度.第i段內(nèi)運(yùn)費(fèi).i段用j廠單位鋼管最小費(fèi)用.i段用j工廠鋼管數(shù)量.j工廠單位鋼管生產(chǎn)價(jià)格.j工廠生產(chǎn)鋼管上限.?(3)要鋪設(shè)一個(gè)樹形管道網(wǎng)絡(luò)圖,處理方法.?(1)制訂鋼管訂購和運(yùn)輸計(jì)劃，使總費(fèi)用最小.鋪設(shè)鋼管總費(fèi)用包含三部分3.3問題分析

？

？

？

？

？鋼管生產(chǎn)成本運(yùn)到各段費(fèi)用鋪設(shè)時(shí)運(yùn)輸費(fèi)用問題：求各廠單位鋼管運(yùn)到各段最小費(fèi)用、最優(yōu)運(yùn)量?(2)哪個(gè)廠銷價(jià)改變（產(chǎn)量上限改變）對(duì)購運(yùn)計(jì)劃和總費(fèi)用影響最大.處理問題方法與問題(1)類似.將各廠最大生產(chǎn)上限和生產(chǎn)價(jià)格逐一進(jìn)行變動(dòng)，在一廠變動(dòng)時(shí)，其它廠不變.3.4模型建立與處理目標(biāo)函數(shù)是總費(fèi)用:從工廠到各段運(yùn)費(fèi)及其材料費(fèi)之和:鋪設(shè)時(shí)運(yùn)費(fèi)0.1為單位鋼管每公里運(yùn)費(fèi)其中為一定值設(shè)單位生產(chǎn)價(jià)格與單位運(yùn)費(fèi)相加之和為單位運(yùn)費(fèi)則目標(biāo)函數(shù)限定條件1)各廠運(yùn)往各段鋼管量之和為此段鋪設(shè)鋼管總量.2)各路段所需各廠鋼管量之和應(yīng)小于此廠最大生產(chǎn)量，大于其最小生產(chǎn)量.3.4.1問題一計(jì)算：計(jì)算：計(jì)算方法：觀察法、枚舉法和動(dòng)態(tài)規(guī)劃法采取觀察法和枚舉法,比較得出工廠到各路段單位產(chǎn)品最優(yōu)費(fèi)用單位供給量

8008001000500854717500利用MATLAB解線性規(guī)劃，得考慮各廠均供給各廠供給量得因?yàn)樯a(chǎn)量全部供給給了為使全局更優(yōu)計(jì)算可得各廠供給量單位供給量

800800100050076713040一樣可知供給給了然而材料價(jià)格運(yùn)輸情況相對(duì)更高即使使用代替其供給量不會(huì)有影響為使全局最優(yōu)再次考慮計(jì)算可得各廠供給量單位供給量80080010000120113700各廠供給量（即（）代表路段，代表供給廠）分配以下：供給廠路段A1----A2010400000A2----A30125.777867.44440107.777800A3----A4272.5184.6111126.27780166.611100A4----A5128.5184.6111126.27780166.611100A5----A6194000000A6----A7205000000A7----A8020100000A8----A9006800000A9----A1000002402400A10---A11000030000A11---A12000022000A12---13---14---別將各廠生產(chǎn)價(jià)格與生產(chǎn)上限改變一個(gè)單位，看他們對(duì)總費(fèi)用影響。S改變?yōu)?時(shí)10335300000P改變?yōu)?時(shí)8008001000500854717500廠銷價(jià)改變對(duì)總費(fèi)用影響大3.4.2問題二廠產(chǎn)量上限改變對(duì)購運(yùn)計(jì)劃總費(fèi)用影響最大評(píng)注程序計(jì)算可得：

=1170626.1+122387.2=1293013.3對(duì)于更普通情況，如樹形圖，考慮情況可與（1）類似。在廠取舍過程中亦同。詳細(xì)模型與求解最正確方案一致，從而再次重復(fù)求解過程，可得：=1296491.1;=128973.8.3.4.3問題三

各廠供給量單位供給量80080010000167316300各廠供給量（即（）代表路段，代表供給廠）分配以下：供給廠路段A1----A2010400000A2----A30125.777853.44440121.777800A3----A4272.5184.611122.27780180.611100A4----A5128.5184.611122.27780180.611100A5----A6194000000A6----A72050