11496工大概率論與數(shù)理統(tǒng)計1-概率統(tǒng)計

希望知道在n次拋擲中出現(xiàn)正面的次數(shù)。在靠碰運氣取勝的

中，人們感的是某一

者凈勝或者凈輸多少。在第一、二章中

還沒有用術(shù)語隨理論需要：隨實際上已涉及到這種量來定義的函數(shù)。

量概念的引進(jìn)和研究是概率論發(fā)展中的重大事件，它使概率論的研究從事件擴大為隨

量，這樣2就利于使用精細(xì)的數(shù)學(xué)工具實變函數(shù)來進(jìn)行研究和處理，使概率論成為一門真正的數(shù)學(xué)學(xué)科。隨

量與實變量的實值函數(shù)之間主要區(qū)別在于概率分布的有關(guān)概念，但是高等微積分或?qū)嵎治鲋R仍是研究隨量以及它們的概率分布的基本工具。3直觀上，

把隨機現(xiàn)象的每一種表

現(xiàn)，把隨機試驗的每一個要以觀察到的結(jié)果叫做隨機事件。有些E的結(jié)果本身是數(shù)量，有些雖然本身并不是數(shù)量但可以數(shù)量化。這樣的量隨著E的重復(fù)可以取不同的值，并且在每次E中究竟取什么值事先無法確切

，是帶有隨機性的。自然地稱這樣的變量為隨

量。因

此，4直觀上隨

量即在隨機試驗中被測量的量。例1

向一目標(biāo)射擊n次，共命中目標(biāo)次數(shù)（或隨意抽驗n件產(chǎn)品其中不合格品的件數(shù)），它有n+1個可能值：0，1，2…，n。例2

接連不斷地射擊，首次命中目標(biāo)需1要的射擊次數(shù)，它可取任意的自然數(shù)5例3

在長為t的時間內(nèi)，某交換臺接到呼叫的次數(shù)，它可取任何非負(fù)整數(shù)值。v(t)例4

一自動裝置無故障運轉(zhuǎn)的時間，它可取區(qū)間（0，

）上的任何值。例5

隨機測量的誤差（例在分析天平上稱量某物品的實際稱量結(jié)果與該物品的質(zhì)量之差）其值域為（

,

）例6

擲硬幣試驗中被測量的量：正面0,X

X

e

1,6于是于是X是隨機試驗結(jié)果的數(shù)量化。（1）在n重的貝努里E中總成功次數(shù)X，Xi表示第i次貝努里E成功次數(shù)（

i

1,n

）7成功失敗0,X

X

e

1,i

inX

Xii18若成功k次事件為Bk(k=0,1,2,…,n)則

Bk

(

X

k

)（2）E：接連射擊兩次，S

e1

0,0,e2

0,1,e3

1,0,e4

1,1其中“0”表示來命中目標(biāo)，“1”表示命中目標(biāo)，X表示命中目標(biāo)次數(shù)，則X=X(e)是基本事件的函數(shù)。（3）E：擲三枚一次，用X表示三枚ee1e2e3e4X(e)0112S

1,1,1,

,

6,6,63點數(shù)之和，Xi表示第i枚（i=1,2,3），于是X

Xii1出現(xiàn)的點數(shù)9亦是基本事件函數(shù)。采納對應(yīng)思想建立結(jié)果空間S上的r·v!定義1

設(shè)E為隨機試驗，其樣本空間為S，若對于

，都有唯一的實數(shù)值X(e)

與之對應(yīng)，則稱X(e)為隨

量，簡記為X?！璭

(1,1,1)X

3(2,1,1)4…(6,6,6)18e

S10，有定義于S上的一個函數(shù)為事件A的示性函數(shù)。首先

xA(e)為一個隨

量。對于e

S與之對應(yīng)：事件A的示性函數(shù)：對于e

S

，定義e

AA

0,

eAx

e

1,1112于是A的概率計算等價于求等價，此外，易驗證：其次，PA

PxA

1r

vxA

e

取1值的概率。此外，事件的關(guān)系和運算與示性函數(shù)的關(guān)系與運算是一一對應(yīng)的，例：A

B與xA

xB

,

A

B與xA

xB

,

A

B

與xA

xB

0于是，事件的研究可以納入隨研究。量的A

B與xAB

xA

xB

xA

B

;A

B與xA

B

xA

xB

;A

B與xA

/

B

xA

xA

B

;A與xA

1

xA

;13Note：（1）問題：r

vX數(shù)，定義于S上，其值域是單值實函X

S

R

!對一般情形（非結(jié)果空間S），需對X加限制。（2）r

vX

引入，事件關(guān)系與運算轉(zhuǎn)化為

r

v

之間關(guān)系運算，事件概率計算轉(zhuǎn)化為r

vX概率分布

，利于用高等微積分與實分析解決概率中問題。14于是引入分布列概念：§3.2離散型隨

量離散型隨量X：X的取值至多為有限個實數(shù)或可數(shù)無窮多個實數(shù)。要了解一兩個方面事情：取值范圍及可能取值；以多大概率來取得這些值。個

r

vX

需（1）r

vX（2）r

vX1516定義：設(shè)X為離散型x1,x2,…xn,…，且有：(

I)（1）Pk≥0

（k=1,2,…)（2）r，vX所有可能取值為k

1,2,PX

xk

pk

,則稱（I）為離散型

r

vX

的概率分布列or

分布列。易證，

r

vX

的分布列具有性質(zhì)：

kkk

1P

1

S

X

k

反之，滿足（1）（2）的實數(shù)列{pk}亦可作為某一離散型分布列表格形式：rvX的分布列。x2…xn…xn+k…X

x1P

p1p2…

pn…pn+k…Note：若S是離散的，F(xiàn)是S的一切子集的集合，則定義在S上的任何單值函數(shù)都是離散型

r

v

。1718例1

（巴斯卡分布-Pascal分布）考慮相繼的貝努里E，用X表示第r次成功時貝努里E發(fā)生的總次數(shù)，求X的分布列，P表示成功概率。解：若第r次成功發(fā)生在第k次試驗，則必有k≥r，設(shè)Ck表示第r次成功發(fā)生在第k次試驗這一事件。19于是Ck發(fā)生

前面k-1次試驗中有r-1次成功，k-r次失敗，而第k次試驗的結(jié)果為成功。利用試驗的獨立性：對于p

C

,

k

r,

r

1,PC

Ck

1p

q p

qr1

k

r

r1

r k

rk

1k

1kp

k

r,r

1,

k20（1）Pk≥0，易證。C

r1

lk

r（2）

Pk

Ck

1k

r k

rl0r1

pr

qlrl

1l0

pr

1

qr

1這里利用推廣的二項系數(shù)公式。l

pr

q

Lrl

1C1

rl

1llrl21時，P(Ck)稱為Pascal分布，特別當(dāng)r=1得到幾何分布，Pascal是十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家，他對概率論的早期發(fā)展作出過重大貢獻(xiàn)。例2

貝努里E中首次出現(xiàn)成功試驗次數(shù)X的分布列。解：設(shè)貝努里E中首次成功出現(xiàn)在第X次，22（II）（II）稱為幾何分布，X=k,

k=1,2,…于是(X=k)

=

A1A2

Ak1

Ak利用事件的獨立性：p,

k

1,2,PX

k

P

qk

1k

1kq

k

1

p

k

k

1,

2

,

(1

)

p

k

0(

2

)

p

p

k

1

k

123例2

一個人要開門，他共有n把

，其中僅有一把是能開這門的，他隨機地選取一把

開門，即在每次試開時每一

把

都以概率1/n被使用，這人在第S次試開時成功的概率是多少？解：這是一個貝努里E，p

1

nn1n

pX

S

n

1

S

124幾個常見的分布列：（1）兩點分布（貝努里分布）：X~(0,1)（2）二項分布：X~B(n,p)（3）泊松分布：X~P(λ)Question:泊松分布與二項分布之間關(guān)系？下面

X~B(n,p)具有什么規(guī)律性：PX

k

1PX

k

n

k

1P

1

n

1P

kkq(k

1,n)kq25X01P1-pp（1）兩點分布：若

r

vX分布列為：0<p<1，則稱X服從兩點分布記X~

B1,P（2）二項分布：若r

vXP

P

k

X

C

p

qk

k

nkk

n其中0

p

1,p

q

1分布列為：,

k

0,1,

,

n則稱X服從參數(shù)為n,p

的二項分布，記（3）泊松分布：若

r

vX

分布列為：26

,

0P

X

ke

,k

0,1,2,k!kkP

則稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布：記X

~

PX

~

B

n,

p

27（1）當(dāng)k<(n+1)P時，P(X=k)>P(X=k-1),P(X=k)單調(diào)上升。（2）當(dāng)k>(n+1)P時，P(X=k)<P(X=k-1),P(X=k)單調(diào)下降。（3）1）k=(n+1)P=[(n+1)P]時，P(X=k)=P(X=k-1)=max282）當(dāng)(n+1)P≠[(n+1)P]時，令k=[(n+1)P]0i20例k=?n=20,p=0.2,由于(n+1)p=(20+1)×0.2=4.2取k=[4.2]=4故P(X=4)=max

PX

i29通?！?.3隨

量的分布函數(shù)例1

向區(qū)間(a,b]內(nèi)任擲一質(zhì)點,此E為幾何型的，

落點坐標(biāo)X的分布。解：易知，利用分布列方法

(a,b],

PX

x

0且(a,b]中實數(shù)不可數(shù)，因此，用離散型r·vX的分布列描述隨機事件的概率行不30一種自然做法：對于

x1,

x2

,

x1

x2

只需要求1

2Px

X

x

Px1

X

x2

Px1

X

x2

即可。由于Halmos已證明實軸上所有開區(qū)間或所有區(qū)間的集合類生成的σ-域與由所即可。σ-域所有形式為(a,b]的有界半閉區(qū)間所成的集合類生成的σ-域相重合(β)，于是只須Px1

X

x2or

Px1

X

x2(2)

A,

AAii1(1)S封閉！3132而。這樣做只是為了充分利完整地描Px1

X

x2

PX

x2

X

x1

PX

x2

PX

x1

從而研究Px1

X

x2

概率轉(zhuǎn)化為研究PX

x,x

R用函數(shù)

F

x

PX

x所顯示出的巨大的優(yōu)越性，亦使分布函數(shù)定義更具一般性。這樣，F(xiàn)

(x)

P(

X

x)33定義1

設(shè)

稱為

的分布函數(shù)，記為dfF(x)。Note：F(x)=P(X<x)是分布函數(shù)另一種定義，在一些優(yōu)良性質(zhì)上有差異。F(x)是左連續(xù)的。述了r

vX（即r

vX

取哪一些值及以怎樣的概率取這些值）。r

vXx

RF

x

PX

x34定義1

設(shè)

稱為

的分布函數(shù)，記為dfF(x)。Note：F(x)=P(X<x)是分布函數(shù)另一種定義，在一些優(yōu)良性質(zhì)上有差異。F(x)是左連續(xù)的。述了r

vX（即r

vX取哪一些值及以怎樣的概率取這些值）。r

vXx

RF

x

PX

x例11,x

aF

x

x

a/

b

a,

a

x

bx

b0,b1x35y0

a例2

設(shè)

r

vX-11

23xX363的分布列為-1

21/2

1/31/6的df

F(x)P求r

vXy1/237圖象為一梯形。1,

0,x

11

x

22

x

3x

31/

2,F

x

PX

x

1/

2

1/

3解：x

R38對于一般離散型

r

vX

,

PX

xi

Pi

,(i=1,2,…)

則r

vX

的d

f

為F

x

PX

x

PX

xi

xi

xF(x)在x=xi處有跳躍。39例3

向半徑為1圓內(nèi)任擲一質(zhì)點，此E為幾何型的，求落點到圓心距離X的d

fF(x)。解：由題設(shè)對x

R2

0,x

00

x

1

1,

x

1PX

x

x

,Fx11xy0dfF(x)具有下列性質(zhì)：綜上所述，可歸納r

vX的0

Fx1(1)x

R,x0x

x(4)對于x

R,lim

Fx

x

Fx

0Fx是單調(diào)不減函數(shù)lim

Fx

0,

lim

Fx1,反之，若某一實函數(shù)F(x)亦滿足(1)(2)(3)(4)則必存在r

vX以F

x作為r

vX

的df

。40求A，B=？解：由題意：例4

設(shè)

r

vX

的df

為F

x

A

Barctgx,

x

41

2

2

F

1

lim

A

Bartgx

A

B

F

0

lim

A

Barctgx

A

B

xx42例5袋中裝有a個白球，b個黑球，從袋中任取r個球，求r個球中黑球個數(shù)X的分布列。解：設(shè)X為r個球中黑球個數(shù)，則X的分布列為：B

1/∴解得：

A

1/243由題設(shè)，k為有意義數(shù)必有：CrabCk

CrkPX

k

b

a

r

a

br

a

bk

br

k

0k

0

k

r

ar

k

a

k

rk

bk

044的分布列為：于是max0,r

a

k

minb,r于是r

vXCrabCk

CrkPX

k

b

a

k

max

0,

r

a

,max

0,

r

a

1, ,

min

b,

r

個非負(fù)的可積函數(shù)P(x)，對于有：§3.4連續(xù)型隨

量：r

vX

取值充滿一個區(qū)間或者為整個實軸，而且其分布函數(shù)F(x)是絕對連續(xù)函數(shù)。定義：設(shè)F(x)是r

vX

的df，若存在一x

RxF

x

Ptdt45則稱r

為連續(xù)型r

v

，同時稱P(x)為vX

X

的pdf

。定義的直接推論：（1）在R上，F(xiàn)(x)是連續(xù)的；（2）若P(x)在點x=x0連續(xù)，則有：F

'x0

Px0

（2）刻劃了

r

vX

的pdfP(x)與dfF(x)之間們工科學(xué)生常用的

r

vX

的pdfP(x)常常為連續(xù)的。46科學(xué)生常用的連續(xù)的。的pdfP(x)常常為（2），則有：rvX的pdfpx與d

fF(x)之間們工r

vXr

vX

的

pdfP

x

滿足（1）Px

0,x

RPxdx

1（3）若對于x1

x2147的pdfP(x)幾何意義：反之，若存在一個實函數(shù)P(x)滿足（1）（2），則P(x)一定是某個r

vX的pdf。x

x+△x48x1

x2x0關(guān)于

r

vXy49（3）以(x1,x2]為底，以曲線（1）

y=P(x)曲線分布在x軸上方；（2）y=P(x)與x軸所圍區(qū)域面積數(shù)值為1。y

Px為

頂?shù)那吿菪蔚拿娣e表示概率

P

x

1

X

x

2

的值。以曲線y=P(x)為頂，以(-∞,x]為底的曲邊梯形面積A，表示F(x)的值。另外，pdfP(x)的數(shù)值大小反映了rvX取x鄰近值的概率之大小。于是又F(x)在R上連續(xù)，§1.6公理1故PX

x

0最后，x

R因為X

x

x

x

X

x,對于x

0PX

x

Pxx

X

x

FxFxx0

PX

x

limFxFxx0x0利用Theorem:PX

x

05051Note：一個事件概率為0，此事件不一定是不可能事件；同樣一個事件概率為1，此事件不一定為必然事件。的pdf為求：（1）A=？（2）df

F(X)（3）P(1<x≤2)例1

設(shè)

r

vX0,Px

x

0

Ae3

x

,

x

052(1)由題意30A

A303x3x

Ae

dx

e

0dxPxdx

10

A

300x

0Ptdt

(2)F

x

x3e3t

x

0x2）

e3

x

|2

e3

e611

e0x

0x

03

x（3）兩種方法1）P1

X

2

F

2

F

1

e6

1

e6

1

e3

e353具有對稱的pdfP(x)即:例2

設(shè)

r

vXPx

p

x證明：對于a

0,有a54

Pxdx(2)P|

X

|

a

2F

a1(3)P|

X

|

a

21

F

a21

a

1

F

a

(1)F055Proof(1)Ptdt100

21(

aaaPtdta

aaxtaaPxdxtdt)Ptdt

P1Fa0Fa

Pxdx

Ptdt

Ptdt56(2)

2Fa1P

a)

F

t

dt

F(a)F(

a

1FaP|

X

|

aaa(3)

P|

X

|

a1

P|

X

|

a

21Fa幾個重要的分布：（1）均勻分布：X~U[a,b]（等價于一維情幾何概率）（2）指數(shù)分布：X~E(λ)

（λ>0）（1）均勻分布：若X的概率密度為,

a

x

b其它Px

b

a

0,

157則稱X服從[a,b]上均勻分布，記X~

U

a,bP(x)滿足1)Px

02)aba

b

adx

0dx1b

1

0dxPxdx則Px

X

x

（2）指數(shù)分布：若X的概率密度為：則稱X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，記X~E(λ)。x1,

x2

a,b3)x1

x2

,x2x121dx

x2581b

a

x1b

a0

0x

0x

0P

x

e

x59002)0dx

Pxdx

易知P(x)滿足：1)Px

0xe

dx

e

x|

121x1xxe

dxx

ex2

ex

|x2

ex1Px1

X

x2

03)x1

x2

,

x1,

x20,則有在許多重要場合，某一復(fù)雜系統(tǒng)中接連兩次故障的時間間隔服從指數(shù)分布。它具有無后效性。與Poisson分布有密切聯(lián)系，在可靠性理論及排隊論中有廣泛應(yīng)用。指數(shù)分布另一個應(yīng)用：常用來近似表示各種“

分布”。60例3

設(shè)已使用了t小時的電子管在以后的t小時內(nèi)損壞的概率為t

0t，

其中λ為正常數(shù)，0(

t)是t的高階無窮小(

t→0)，

若電子管

為X，P(X=0)=0，求r

vX

的pdfP(x)。解：由題設(shè)Pt

X

t

t

|X

t

t

0t

61Pt

X

t

t

Ft

t

Ft

t

0t62PX

t

1

Ft

令t

0得:F

't

1

F

t11

Ft1

F(t)

ec1e

t

F(t)

1ec1

e

t

c

ec1Ln(1

Ft)

t

cd1

Ft

dtF

t

1

cet63又已知于是：PX

0

0

PX

0

F

0

0F

t

0從而C=1，F(xiàn)

t

1

et

,t

01

et

,t

0,t

0Pt

0,t

0et,t

0§3.5

正態(tài)分布Question：一個實函數(shù)P(x)滿足（1）Px

0,x

R（2）

Pxdx

1則一定有一個

r

vX

（連續(xù)型）以P(x)作為其pdf。可觀察一下這樣的函數(shù)：64（2）于是，P(x)作為pdf，X稱為正態(tài)變量。ePx1x2222,

x

0其中,

2

為兩個參數(shù)且可驗證：（1）

Px

0,x

RPxdx

1能找到一個r

vX

，它以65為常數(shù)且服從參數(shù)為的正態(tài)分布(又稱Gauss分布)。正態(tài)分布在理論與實際中的地位：總的來說，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計的理論研究定義：若連續(xù)型r

vX

的dpf為：Px

66e

,

x

x

22

212,

20

，則稱r

vX,

2亦稱X為正態(tài)變量。記作

X

~

N

,

2

67和實際應(yīng)用中，正態(tài)分布起著特別重要的作用，它在各種概率分布中居首要地位。(1)在實際中遇到的許多隨機現(xiàn)象都跟服從或近似地服從正態(tài)分布。例：在生產(chǎn)中，在正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，一般都服從正態(tài)分布；在隨機測量中，測量結(jié)果一般可表示為

a

e68其中a為真值（未知常數(shù)），e為隨機誤差，

和e一般都是正態(tài)分布；在生物學(xué)中，同一群體的某種特征一般亦服從正態(tài)分布；其它，氣象中，某地年七月份的平均氣溫，平均濕度及降雨量等；水文中的水位；…亦都服從或近似地服從正態(tài)分布。總之，正態(tài)分布律廣泛地存在于自然界的自然現(xiàn)象，生產(chǎn)及科學(xué)技69術(shù)的各領(lǐng)域之中。（2）正態(tài)分布是許多重要概率分布的極限分布。例1 De

Moivre-Laplace

積分極限定理：則當(dāng)n充分大時，若npq設(shè)

X

~

Bn,

p亦充分大，則近似地有：X

~

N

np,npq即二項分布可用正態(tài)分布近似(利用Stirling公式證）。，則當(dāng)λ充分大時，量的

~

N

0,1量是正態(tài)隨例2

若

X

~

PX~N(λ,λ)，即X

*

X

/(3)許多非正態(tài)隨函數(shù)。70例在數(shù)理統(tǒng)計的理論和應(yīng)用中占極重要地位的隨量函數(shù)的分布。（4）正態(tài)分布的pdfP(x)與dfF(x)有各種良質(zhì)和簡潔的數(shù)學(xué)形式。在概率論與數(shù)理統(tǒng)計的研究和應(yīng)用中，每當(dāng)涉及正態(tài)分布時，一般均可得到完滿和簡單的結(jié)果。特別在數(shù)理統(tǒng)計中非常明顯。

分布，x2t

分布和F

分，布都是正態(tài)7172（5）許多隨機現(xiàn)象不能用正態(tài)分布來描繪，除了正態(tài)分布之外，還存在許多重要的非正態(tài)分布，它們亦很有成效地用于理論與實際中。產(chǎn)生正態(tài)分布的一般條件：假設(shè)X是E的rv，若決定試驗結(jié)果的是大量偶然因素的總和，假設(shè)各個因

間近乎獨立，并且每個因素的單獨作用相對均勻地

小，73那么X的分布一般近似于正態(tài)分布。實際應(yīng)用做法：假設(shè)—試驗數(shù)據(jù)—檢驗數(shù)理統(tǒng)計。1

正態(tài)變量X的pdfP(x)與dfF(x)性質(zhì)、圖x-μμx0x+μ12象、特點。

P

x直線對稱；遞增，在為唯一極大值（亦最大；在

x

,（1）P(x)圖形關(guān)于x

（2）

P(x)有各階導(dǎo)數(shù)；（3）

P(x)在(,)(,)遞減；x

值），等于1274處有拐點；且lim

P

x

lim

P

x

0x

x

（4）y=P(x)圖形如鐘狀；參數(shù)μ決定y=P(x)圖形的中心位置，而參數(shù)定y=P(x)圖形中峰的陡峭形狀。

2

決11/2075μ76（5）

y=F(x)以,1/2為中心對稱；（6）

y=F(x)各階導(dǎo)數(shù)均存在；x

為y

F

x拐點（7）F(x)滿足（1）（2）（3）（4）特殊性質(zhì)。2

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與一般正態(tài)分布之間關(guān)系：設(shè)X

~

N

,

2

,若

0,

1,則，稱rvX服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其pdf,df分別為X

~

N

0,1xx,

x

x

exe

2

dt

,

x

x

22

,

t

22121

x

兩個等式：(1)

x

x(2)

x1

x77關(guān)系：設(shè)

X

~

N

,

2

別為P(x)、F(x)于是，其pdf，df分x

R

F

x

x

作替換：v

t

78dtexF

x

x

R2t

212e

2

d

vxV

t

v212

x

x

v2

e2

dv

21

79

F

x

x

編制了圖表！X

~

N

,

2

故x1

x2

12x

x

Px1

X

x2

F

x2

F

x1

對于x

0x80xt

2e

2

dt12P|

X

|

K例1

設(shè)

X

~

N

,

2

，求k

0,1,2,

81

k

k

解：P|

X

|

k

=

k

1

k

2k

182于是P|

X

|

21

1

0.6826

P|

X

|

22

1

0.9544

P|

X

|

231

0.9973P|

X

|3

0.0027|

X

|

3

——小概率事件！因而，在一次E中，X幾乎總是落在

3

,

3

3

原則

1

1200

1600

0.96例2

某工廠生產(chǎn)的電子管計）~N(1600,σ2)，若要求X（小時在1200小時以外的概率不小于0.96，求σ。解：由題意：PX

1200

0.96

1

PX

1200

0.9683

400

0.96

1.76

1

400

1

1

400

又x是單調(diào)上升的函數(shù)1.7684

400

1.76于是

400

227.27例3

測量到某一目標(biāo)的距離所產(chǎn)生的隨機誤差X(m)具有pdf。求三次測量中，至少有一次誤差絕對值不超過30m的概率。320085

x20

2ePx

140

286

40

40解：這是一個n=3重貝努里E，成功概率為p=P(|X|≤30)設(shè)至少有一次誤差絕對值不超過30m事件為A。P

P|

X

|

30

30203020

0.25

1.251

0.493187于是0.25

0.59871.25

0894433k

1k

k

3kC

p

qPA

1

q3

1

1

0.49313

0.8788§3.6

隨

量函數(shù)的分布：設(shè)X是一個具有已知分布的r·v，且設(shè)f是一個定義在實線上的函數(shù)。

尋找Y=f(x)的分布，只要Y亦是一個r·v。定義：設(shè)f(x)是定義在r·vX的一切可能取值x集合上的函數(shù)，若r·vY隨r·vX取x的值而取y=f(x)的值，則稱r·vY為r·vX的函數(shù)。記作Y=f(X)，結(jié)果空間S上r·vX函數(shù)。一、當(dāng)X為離散型r·v時，f(X)分布可直接由X的分布列求得：例1

已知r·vX的分布列為X

0

1

2

3

4

5

P 1/12

1/6

1/3 1/12

2/9

1/9求：Y1=2X+1及Y2=(X-2)2的分布列。8990解：由題設(shè)故Y1=2X+1的分布列為P1/121/61/31/122/91/9X012345Y11357911Y2410149Y11357911P1/121/61/31/122/91/991至于Y2的分布列，只需注意在（I）中Y2取值有重復(fù)相同的，應(yīng)把相同的值所對應(yīng)的概率按概率的加法公式加起來。這樣得到Y(jié)2的分布列：Y20149P1/31/6+1/121/12+2/91/92

Y

1

(

X

2

2

1)22Y

4

X

2

4

同理6

1292

X

2

1

X

2

1

X

3

X

1

PY2

1

PX

3

PX

1

1

1

X

4

X

0PY2

4

PX

4

PX

012

9

1

222Y

9

X

2

9

X

5

X

1PY2

9

PX

5

PX

1

1

0

1。9

9對于一般離散型r·vX函數(shù)分布列處理方式一致93二、連續(xù)型r·vX函數(shù)Y=f(X)的概率分布：例2．設(shè)Y=aX+b,

a,b為常數(shù)且a≠0，若r·vX的pdf為PX(X)，求r·vY

的pdf

pY(y)。解：由已知的r·vY亦FY

(

y是)

續(xù)型r·v，設(shè)r·vY的df分別為

FY

(y)，

r·vX,

r·vY

pdf分別為PX(X)

,

PY(y)

。y

R94FY

(

y)

P(Y

y)

P

(aX

b

y)（1）當(dāng)

a>0

時，a

y

baPX

(

x)dxy

bFY

(

y)

P(

X

)

yXax

t

ba

a1

P

(

t

b

)

dt于是由概率密度定義：a95aXY(

y

b

)P

(

y

)

1

P（2）當(dāng)a<0時Xay

byb

P

(x)dxa(F

(

y)

P(

X

Yxt

byXyXaa

a1

t

b)P

(

)dtt

b

1a

a)

dt

P

(1

y

b于是由pdf定義：PY

(y)

a

PY

(a

)

y

Ra

a96YY1

P

(

y

b

)綜上所述

:

P

(

y

)

Question:（1）正態(tài)變量的線性函數(shù)是否還是正態(tài)變量呢Y

？是aX。

ba

Ye1|

a

|

2yba2P

y2|a|

2y

RY

~

N

b

a,|

a

|

2

a971

y

b原因：0PY

(

y

)

|

a

|

PX

(

)1X

98（2）當(dāng)a

,b

時即Y

，X

~

N

,

2

則Y

~

N

0,1一般而言，r

vX

的函數(shù)Y

f

X

（針對連續(xù)型r

vX

而言）是否為r

v？或者更強一些，它是否為連續(xù)型r

v呢？有條件！A．若X

為連續(xù)型的r

v，若y

f

x為Borel函數(shù)，則Y

f

X

為另一r

v

，

所接觸函數(shù)（1）一切連續(xù)函數(shù)；（2）事件的示性函數(shù)及其線性組合；均為Borel

函數(shù)。特別有：Theorem1

設(shè)Y=f(X)，X為連續(xù)型，PX(x)為X的pdf,若y=f(x)為嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)，且反函數(shù)x=h(y)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則Y

為連續(xù)型，且pdf為：99調(diào)，對應(yīng)的反函數(shù)分別為而且PY

y

PX

hy|

h'y

|約定：使x

hy無意義點及其導(dǎo)數(shù)無意義點，定義PY

y

0Theorem2

設(shè)Y=f(X)，X為連續(xù)型，其pdf為PX(x)，若f(x)為一般連續(xù)函數(shù)，它在不相

的區(qū)間I1,I2,…上逐段嚴(yán)格單h1y,

h2

y,h1'y,h2

'y

…均為連續(xù)函數(shù)，則100Y=f(X)是連續(xù)型r·V，且其這pdf為：iX

iiPY

y

P

h

y

|

hy

|'例

3

對球直徑進(jìn)

量，

設(shè)直徑r

vX

~

U

a,b，求球的體積r

vY

的pdfPY(y)。解：（I）由已知4163X3

Y

2

X

31016y

1x3x

a,b，336

61

1y

a

,

b336

61

1于是：y

a

,

b102

6

1/

3y1/

3

F

Py

Y

y

P

X

Y

y

aya1/

31/

3

61

1b

a

dx

b

a

1/

3

6

1/3

233'yyP

y

F

YY1

2b

a

910333616a31,

61

10,

y

b當(dāng)y

Yy

1b3a

,

b時F

y

336

61

1y

0,y

P

xa

,

b于是3

1

10,

其它23

,yPY

y

6

6y

a

3

,

b3

1

2b

a

96104（II）

y

1

x3在（a,b）上為嚴(yán)格單調(diào)連續(xù)函

數(shù)

，

y

(1a3

,

1

b3

)

其

反

函

數(shù)6

616

6

6

1

1x

h(

y)

(

)1/

3

y3

在(

a3

,

b3

)內(nèi)有連續(xù)1

232y

3,導(dǎo)數(shù)于是：PY

(y)PX(h(y))|h'(y)|ba

96

61053y

(1a

,

b3)當(dāng)a3

,

b3

)

6

by

(時PX

(y)

0例4

設(shè)X~N（0，1），求Y=X2

R

pdf。解（I），因為y

x2

在(,0)與(0,)上分別為嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)，其反函數(shù)分別為x1

y,

x2

y

即可導(dǎo)且連續(xù)！于是：y

0P

(

y)

P

(h

(

y)

|

h'

(

y)

|

P

(h

(

y)

|

h'

(

y)

|Y

X

1

1

X

2

2106e11

y

y

e

2

2

1e12

2

y

2

2

y

y212y當(dāng)y

0時PX

(y)

00,107

1e

2

,

y

0y

0故

P

(

y

)

yY

2y（II）

y

0FY

(

y)

P(Y

y)

P(y

X

y

)

P(

X

y)

P(

X

y)e112

2

'P

(

y)

F

(

y)

eX

X

y

y112

2

y

2

2

ye108

y212y當(dāng)y

0時，F(xiàn)X

(y)

0于是PX

(y)

0故P

(y){109Y2y1

e

y

,

y

020,

y

0例

5

設(shè)質(zhì)點

M

隨機地落在以原點為圓點，以

R為半徑的圓周上，且對弧長是均勻分布的，求質(zhì)點

M

橫坐標(biāo)

X

的

pdf。解：設(shè)X軸與OM夾角點r·vZ，其pdf為，而弧長為r·vW。RZOM(Z,Y)110W=ZR，PZ

(Z

)

RPW

(W

)而

1,

w

[R,R]其它PW

(W

)

2R0,于是0,111

1

2,Z

[,]其它P

(z)

P

(W)

Z

W有連續(xù)導(dǎo)數(shù)。X

R

cos

Z

，x

[R,

R]，Z

[

,

]在(0,π)上，為嚴(yán)格單調(diào)連續(xù)函數(shù)其反函在(－π,0)上，

X

R

cos

Z

為嚴(yán)格單調(diào)R2連續(xù)函數(shù)其反函數(shù)z

h

(x)

arccos

x有連續(xù)導(dǎo)數(shù)。R1121數(shù)z

h

x

arccos

xx

(R,

R)'P

(x)

P

(h

(x)(|

h

(x)

|

P'(h

(x))

|

h

(x)

|1Z

2

2X

Z

11R2

x2當(dāng)x

(R,R)時PX

(x)

0于是1130,1,

x

(R,

R)其它

x2R2PX

(x)

例6

設(shè)X~N（μσ2）求Y

e

X

的pdf10,

y

0

e

,

y

02

2(ln

y

)22YP

(

y)

y例7

設(shè)r·VX的pdf

為

0,

其它114Y2x,0

x

P

(x)

2115求Y

sin

X

的pdf21

y2

,0

y

10,

其它PY

(

y)

116習(xí)題1．自動生產(chǎn)線在調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的概率為P。在生產(chǎn)過程中出現(xiàn)廢品立即進(jìn)行重新調(diào)

整，求在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)的分布列。解：以X表示兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)，則X的分布列為P(X=k)=(1p)kp

,

k=0，1，2，…2．在

車行駛的道

有四盞紅綠信號燈，若汽車遇到綠燈順利通過和遇到紅燈停止前進(jìn)的概率是相同的，求汽車停止前進(jìn)時通過的信號燈數(shù)的分布列。解：以X表示通過的信號燈數(shù)，則X的分布列為X

0

1

2

3

4P2

2

2

2

2

2

221

1×1

1

4(1)2×1

(1)3×1

(

)1173.進(jìn)行某種試驗，設(shè)成功的概率為3/4，以X表示首次成功所需試驗次數(shù)，求X的分布列及X取偶數(shù)的概率。解X的分布列為211811(2)

,K

0,1,2,3或

P(

X

K