新高考蘇教版數(shù)學(xué)理大一輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練24函數(shù)的奇偶性與周期性(含答案解析)

2.4函數(shù)的奇偶性與周期性一、填空題．設(shè)f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)≤x≤1時(shí)，f(x)＝x－x，則f－5＝102(1)2________.551111剖析f－2＝－f2＝－f2＝－2×2×1－2＝－2.1答案－22.設(shè)函數(shù)f(x)(x21)(xa)為奇函數(shù),則a=.剖析由函數(shù)f(x)(x21)(xa)為奇函數(shù)獲取f(0)=0,即(021)(0a)0.a所以=0.答案0fx是奇函數(shù)且周期為，f－＝－，則f＝3．設(shè)函數(shù)3(1)(2011)________()1剖析因?yàn)閒(－x＝－f(x)，f(x＋3)＝f(x，f(－1)＝－，所以f(1)＝，f(2))11011)＝f(3×670＋1)＝f(1)＝1.答案14．已知奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－2對(duì)稱，當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)＝2x，則f(－9)＝________.剖析由題意，得f(－x＝－f(x，f(x＝f(－－x，)))4)所以f(－9)＝f(－＋9)＝f(5)＝－f(－5)＝－f(1)＝－2.4答案－25.若yfx是奇函數(shù),且在(0)內(nèi)是增函數(shù),又f(3)=0,則xfx)<0的解集是=()(_______.剖析因?yàn)閒(x)在(0)內(nèi)是增函數(shù),f(3)=0,所以當(dāng)0<x<3時(shí),f(x)<0;當(dāng)x>3時(shí),f(x)>0.又因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以當(dāng)-3<x<0時(shí),f(x)>0;當(dāng)x<-3時(shí),f(x)<0.可見(jiàn)xf(x)<0的解集是{x|-3<x<0或0<x<3}.答案{x|-3<x<0或0<x<3}6．函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在[－1,1]上是單調(diào)增函數(shù)，又f(－1)＝－1，則滿足fx≤t2＋at＋1對(duì)所有的x∈－1,1]及a∈－1,1]都成立的t的取值范圍是( )2[[________．剖析由題意，fxmax＝f(1)＝－f(－1)＝，所以t2＋at＋≥，即t2＋at≥0( )12112對(duì)a∈－1,1]t＝0時(shí)，顯然成立；t≥0時(shí)，由t≥－a恒成立，得t≥；[恒成立，22t＜0時(shí)，由t≤－2a恒成立，得t≤－2.綜上，得t≤－2或t＝0或t≥2.答案(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)7．設(shè)f(x)是定義在(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，且f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x，則f(7.5)＝________.剖析由題意得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4為周期的函數(shù)，所以f(7.5)＝f(7.5－8)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.答案－0.5．已知函數(shù)f(x4x＋1)＋kxk∈R)是偶函數(shù)，則k的值為．8)＝log(4(________剖析由f(－x)＝f(x)，得log4(4－x＋1)－kx＝log4(4x＋1)＋kx，即2kx＝1＋4xx11log44x－log4(4＋1)＝log44x＝－x，所以k＝－2.1答案－29．若偶函數(shù)f(x)在(－∞，0)內(nèi)單調(diào)遞減，則不等式f(－1)＜f(lgx)的解集是________．剖析因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(x)＝f(|x|)，于是由f(－1)＜f(lgx)，得f(1)＜f(|lgx|)，又由f(x)在(－∞，0)內(nèi)單調(diào)遞減得f(x)在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞加，所以有|lgx＞，即lgx＜－1或lgx＞，解得x＜1或x＞10.|11101答案0，10∪(10，＋∞)．已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，fx＝－－x，則不等10( )( )121式f(x)＜－2的解集是________．－x11x31x矛剖析若x＞0，則由f(x)＝1－2＜－，得2＞，這與x＞0時(shí)，2＜122盾．若x＜，則由fx為奇函數(shù)，得fx＝－f－x＝－＋x1，得x＜1(＜－20( )( ))1222＝2－1，解得x＜－1.答案(－∞，－1)11．定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函數(shù)，給出以下關(guān)于f(x)的判斷：①f(x)是周期函數(shù)；f(x)關(guān)于直線x＝1對(duì)稱；③f(x)在[0,1]上是增函數(shù)；④f(x)在[1,2]上是減函數(shù)；⑤f(2)＝f(0)．其中正確的序號(hào)是________．剖析∵f(x＋1)＝－f(x)，f(x)＝－f(x＋1)＝f(x＋1＋1)＝f(x＋2)，f(x)是周期為2的函數(shù)，①正確．又∵f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)，∴f(x)＝f(2－x)，y＝f(x)的圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱，②正確．又∵f(x)為偶函數(shù)且在[－1,0]上是增函數(shù)，f(x)在[0,1]上是減函數(shù)．又∵對(duì)稱軸為x＝1，f(x)在[1,2]上為增函數(shù)，f(2)＝f(0)，故③④錯(cuò)誤，⑤正確．答案①②⑤12．函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)有相同的定義域，且都不是常值函數(shù)，關(guān)于定義域內(nèi)的任何x，有f(x)＋f(－x)＝0，g(x)g(－x)＝1，且當(dāng)x≠0時(shí)，g(x)≠1，則Fx＝fxfx的奇偶性為( )gx1＋( )________．剖析因?yàn)閒(－x＝－f(x，g－x＝1，))()gx所以F－x＝2fx＋f(－x＝－2fx－f(x)()gx1)1－1gxfxgx＝2－f(x)gx1fxgxfx2fx＝22－f(x)gx1fxfx－fxfxx＝Fx．＝((2()gx1)gx1)( )所以F(x)是偶函數(shù)．答案偶函數(shù)13．已知定義在R上的函數(shù)y＝f(x)滿足條件3＝－f(x)，且函數(shù)y＝fx＋23為奇函數(shù)，給出以下四個(gè)命題：①函數(shù)f(x)是周期函數(shù)；②函數(shù)f(x)的fx－43對(duì)稱；③函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)；④函數(shù)f(x)為R上的圖象關(guān)于點(diǎn)－，04單調(diào)函數(shù)，其中真命題的序號(hào)為________(寫出所有真命題的序號(hào))．3＝－f(x)，得f(x＋3)剖析①由fx＋23＝－fx＋2＝f(x)，所以①正確．②由y＝fx－3為奇函數(shù)，得f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)3，0對(duì)稱，所以②不正確．③由44f－x－3＝－fx－3，得f(x)＝－f－x－3，又fx＋3＝－f(x)，所以442233－x－2＝fx＋2，所以f(x)是偶函數(shù)，③正確．由③正確知④不正確．答案①③二、解答題14．設(shè)f(x)＝ex＋ae－x(a∈R，x∈R)．談?wù)摵瘮?shù)g(x)＝xf(x)的奇偶性；(2)若g(x)是個(gè)偶函數(shù)，解不等式f(x2－2)≤f(x)．剖析(1)a＝1時(shí)，f(x＝x＋－x是偶函數(shù)，所以gx＝xfx是奇函數(shù)；)ee( )( )a＝－1時(shí)，fx－xg(x)＝xf(x)是偶函數(shù)．(x)＝e－e是奇函數(shù)，所以a≠±，由fx既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，得gx＝xfx是非奇非偶函數(shù)．1( )( )( )gx是偶函數(shù)時(shí)，a＝－，fx＝x－－x是R上的單調(diào)增函數(shù)，于是由f(x2(2)當(dāng)( )1( )ee2)≤f(x)得x2－2≤x，即x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2.x22xx015.已知函數(shù)f(x)=0x0是奇函數(shù).x2mxx0求實(shí)數(shù)m的值;若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1a2]上單調(diào)遞加，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.剖析(1)設(shè)x<0,則-x>0,所以f(-x)=(x)22(x)x22x.又f(x)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x).于是x<0時(shí)f(x)x22xx2mx所以m=2.(2)要使f(x)在[1a2]上單調(diào)遞加，結(jié)合a21f(x)的圖象（略）知21a所以1a3故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3].已知函數(shù)f(x)，當(dāng)x，y∈R時(shí)，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求證：f(x)是奇函數(shù)；1(2)若是x∈R＋，f(x)<0，并且f(1)＝－2，試求f(x)在區(qū)間[－2,6]上的最值．剖析(1)證明：∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，∴其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x，∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．令x＝y(tǒng)＝0，∴f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0.∴f(x)＋f(－x)＝0，得f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)．(2)法一：設(shè)x，y∈R＋，∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)－f(x)＝f(y)．∵x∈R＋，f(x)<0，f(x＋y)－f(x)<0，∴f(x＋y)<f(x)．x＋y>x，∴f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)．又∵f(x)為奇函數(shù)，f(0)＝0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)．∴f(－2)為最大值，f(6)為最小值．1∵f(1)＝－2，∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.∴所求f(x)在區(qū)間[－2,6]上的最大值為1，最小值為－3.法二：設(shè)x1<x2，且x1，x2∈R.則f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)．∵x2－x1>0，∴f(x2－x1)<0.∴f(x2)－f(x1)<0.即f(x)在R上單調(diào)遞減．∴f(－2)為最大值，f(6)為最小值．∵f1(1)＝－，∴f－f＝－f＝，f＝f2f＋f＝－(2)(2)(1)(6)＝2[(1)(2)]3.＝－－212(3)∴所求f(x在區(qū)間[2,6]上的最大值為，最小值為－3.)11＋ax217．已知函數(shù)f(x)＝x＋b(a≠0)是奇函數(shù)，并且函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,3)．求實(shí)數(shù)a，b的值；求函數(shù)f(x)的值域．1＋ax2剖析(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x＋b是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)．1＋ax所以－x＋b因?yàn)閍≠0，

1＋ax2＝－x＋b.所以－x＋b＝－x－b.所以b＝0.又函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,3)，所以f(1)＝3.1＋a所以1＋b＝3.因?yàn)閎＝0，故a＝2.x21(2)由(1)知f(x)＝x＝2x＋x(x≠0)．x＞11，當(dāng)且僅當(dāng)x12當(dāng)0222x2x2x21x≥21當(dāng)x＜0時(shí)，(－2x)＋－2x－x＝22.1所以2x＋x≤－22.12當(dāng)且僅當(dāng)－2x＝－x，即x＝－2時(shí)取等號(hào)．綜上可知，函數(shù)f(x)的值域?yàn)?－∞，－22]∪[22，＋∞)．1－mx18．設(shè)f(x)＝logax－1為奇函數(shù)，g(x)＝f(x)＋loga[(x－1)(ax＋1)](a＞1，且m≠1)．求m的值；求g(x)的定義域；3若g(x)在－2，－2上恒正，求a的取值范圍．剖析(1)f(x)是奇函數(shù)，f(x)＝－f(－x)，1－mx1＋mx－x－1logax－1＝－loga－x－1＝loga＋mx，1∴1－mx－x－12－＝mx2－，＝1＋mx，xx－11( )12(m－1)x＝0，又m≠1，∴m