最新高中數(shù)學(xué)典型例題大全第二章數(shù)列-等比數(shù)列的前n項和doc

【例1】設(shè)等比數(shù)列的首項為a(a＞0)，公比為q(q＞0)，前n項和為80，其中最大的一項為54，又它的前2n項和為6560，求a和q．解由Sn=80，S2n=6560，故q≠1∵a＞0，q＞1，等比數(shù)列為遞增數(shù)列，故前n項中最大項為an．∴an=aqn-1=54 ④將③代入①化簡得a=q－1 ⑤由⑤，⑥聯(lián)立方程組解得a=2，q=3證∵Sn=a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1S2n=Sn＋(a1qn＋a1qn+1＋…＋a1q2n-1)=Sn＋qn(a1＋a1q＋…＋a1qn-1)=Sn＋qnSn=Sn(1＋qn)類似地，可得S3n=Sn(1＋qn＋q2n)說明此題直接運用前n項和公式去解，也很容易．上邊的解法，靈活地處理了S2n、S3n與Sn的關(guān)系．介紹它的用意在于讓讀者體會利用結(jié)合律、提取公因式等方法將某些解析式變形經(jīng)常是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵，并且變得好，那么解法巧．【例3】一個有窮的等比數(shù)列的首項為1，項數(shù)為偶數(shù)，其奇數(shù)項的和為85，偶數(shù)項的和為170，求這個數(shù)列的公比和項數(shù)．分析設(shè)等比數(shù)列為{an}，公比為q，取其奇數(shù)項或偶數(shù)項所成的數(shù)列仍然是等比數(shù)列，公比為q2，首項分別為a1，a1q．解設(shè)項數(shù)為2n(n∈N*)，因為a1=1，由可得q≠1．即公比為2，項數(shù)為8．說明運用等比數(shù)列前n項和公式進(jìn)行運算、推理時，對公比q要分情況討論．有關(guān)等比數(shù)列的問題所列出的方程(組)往往有高次與指數(shù)方程，可采用兩式相除的方法到達(dá)降次的目的．【例4】選擇題：在等比數(shù)列{an}中，對任意正整數(shù)n，有Sn=2n[]解D．∵a1=S1=1，an=Sn－Sn-1=2n-1∴an=2n-1∴bn=(an)2=(2n-1)2=22n-2=4n-1【例5】設(shè)0＜V＜1，m為正整數(shù)，求證：(2m＋1)Vm(1－V)＜1－V2m+1分析直接作，不好下手．變形：右邊分式的外形，使我們聯(lián)想到等比數(shù)列求和公式，于是有：(2m＋1)Vm＜1＋V＋V2＋…＋V2m發(fā)現(xiàn)左邊有(2m＋1)個Vm，右邊有(2m＋1)項，變形：Vm＋Vm＋…＋Vm＜1＋V＋V2＋…＋V2m．顯然不能左右各取一項比擬其大小，試用“二對二〞法，即左邊選兩項與右邊的兩項相比擬．鑒于左、右兩邊都具有“距首末等遠(yuǎn)的任意兩項指數(shù)之和均相等〞的特點，想到以如下方式比擬：Vm＋Vm＜1＋V2m，Vm＋Vm＜V＋V2m-1，…，Vm＋Vm＜Vm-1＋Vm+1，Vm=Vm．即2Vm＜1＋V2m，2Vm＜V＋V2m-1，…．根據(jù)“兩個正數(shù)的算術(shù)平均值大于等于其幾何平均值〞，這些式子顯然成立．(具體證法從略)．說明此題最大的特點是解題過程中需要屢次用到“逆向思考〞：C，B＜D，等等．善于進(jìn)行逆向思考，是對知識熟練掌握的一種表現(xiàn)，同時也是一種重要的思維能力，平時應(yīng)注意訓(xùn)練．【例6】數(shù)列{an}是等比數(shù)列，其中Sn=48，S2n=60，求S3n．解法一利用等比數(shù)列的前n項和公式假設(shè)q=1，那么Sn=na1，即na1=48，2na1=96≠60，所以q≠1=Sn(1＋qn＋q2n)解法二利用等比數(shù)列的性質(zhì)：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列∴(60－48)2=48·(S3n－60)∴S3n=63．解法三取特殊值法取n=1，那么S1=a1=48，S2n=S2=a1＋a2=60∴a2=12∵{an}為等比數(shù)列S3n=S3=a1＋a2＋a3=63【例7】數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項和，并且Sn+1=4an＋2(n∈N*)，a1=1(1)設(shè)bn=an+1－2an(n∈N*)，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；解(1)∵Sn+1=4an＋2Sn+2=4an+1＋2兩式相減，得Sn+2－Sn+1=4an+1=4an(n∈N*)即：an+2=4an+1－4an變形，得an+2－2an+1=2(an+1－2an)∵bn=an+1－2an(n∈N*)∴bn+1=2bn由此可知，數(shù)列{bn}是公比為2的等比數(shù)列．由S2=a1＋a2=4a1＋2，a1