湖北省黃石市大冶一中2022年高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題含解析

2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．歐拉公式為,(虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面中的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知函數(shù)，若有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．3．已知的值域?yàn)?，?dāng)正數(shù)a，b滿足時(shí)，則的最小值為（）A． B．5 C． D．94．在等差數(shù)列中，，，若（），則數(shù)列的最大值是（）A． B．C．1 D．35．設(shè)復(fù)數(shù)，則=（）A．1 B． C． D．6．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則不可能為（）A． B． C． D．7．復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．8．已知曲線且過(guò)定點(diǎn)，若且，則的最小值為（）.A． B．9 C．5 D．9．已知a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，且，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．已知函數(shù)，為圖象的對(duì)稱中心，若圖象上相鄰兩個(gè)極值點(diǎn)，滿足，則下列區(qū)間中存在極值點(diǎn)的是（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，，且，則（）A．3 B．3或7 C．5 D．5或812．隨著人民生活水平的提高，對(duì)城市空氣質(zhì)量的關(guān)注度也逐步增大，下圖是某城市月至月的空氣質(zhì)量檢測(cè)情況，圖中一、二、三、四級(jí)是空氣質(zhì)量等級(jí)，一級(jí)空氣質(zhì)量最好，一級(jí)和二級(jí)都是質(zhì)量合格天氣，下面敘述不正確的是（）A．1月至8月空氣合格天數(shù)超過(guò)天的月份有個(gè)B．第二季度與第一季度相比，空氣達(dá)標(biāo)天數(shù)的比重下降了C．8月是空氣質(zhì)量最好的一個(gè)月D．6月份的空氣質(zhì)量最差.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．集合，，則_____.14．函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)________．15．若向量滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.16．割圓術(shù)是估算圓周率的科學(xué)方法，由三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立，他用圓內(nèi)接正多邊形面積無(wú)限逼近圓面積，從而得出圓周率．現(xiàn)在半徑為1的圓內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自其內(nèi)接正十二邊形內(nèi)部的概率為_(kāi)_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知，函數(shù).（1）若函數(shù)在上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：對(duì)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，，總有成立.18．（12分）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，等比數(shù)列滿足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的前項(xiàng)和.19．（12分）已知函數(shù)（I）若討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若，且對(duì)于函數(shù)的圖象上兩點(diǎn)，存在，使得函數(shù)的圖象在處的切線.求證：.20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），為上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，點(diǎn)的軌跡為曲線.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）在以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為，與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為，求.21．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求證：.22．（10分）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在處取得最小值．（1）求證：；（2）若時(shí)，恒成立，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【解析】

計(jì)算，得到答案.【詳解】根據(jù)題意，故，表示的復(fù)數(shù)在第一象限.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和理解能力.2．C【解析】

令，可得，要使得有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，即和有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合已知，即可求得答案.【詳解】令，可得，要使得有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，即和有兩個(gè)交點(diǎn)，，令，可得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，若直線和有兩個(gè)交點(diǎn)，則.實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的解法和根據(jù)導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性的步驟，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.3．A【解析】

利用的值域?yàn)?求出m,再變形,利用1的代換,即可求出的最小值.【詳解】解：∵的值域?yàn)?∴,∴,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),∴的最小值為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)的值域運(yùn)用,同時(shí)也考查了基本不等式中“1的運(yùn)用”,屬于中檔題.4．D【解析】

在等差數(shù)列中,利用已知可求得通項(xiàng)公式,進(jìn)而,借助函數(shù)的的單調(diào)性可知,當(dāng)時(shí),取最大即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，即，又，所以公差，所以，即，因?yàn)楹瘮?shù)，在時(shí)，單調(diào)遞減，且；在時(shí)，單調(diào)遞減，且.所以數(shù)列的最大值是，且，所以數(shù)列的最大值是3.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系,借助函數(shù)單調(diào)性研究數(shù)列最值問(wèn)題,難度較易.5．A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，代入化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】復(fù)數(shù)，則故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算與化簡(jiǎn)求值，屬于基礎(chǔ)題.6．D【解析】

依題意，設(shè)，由，得，再一一驗(yàn)證.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，?jīng)驗(yàn)證不滿足，故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的幾何意義，還考查了推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.7．C【解析】

利用復(fù)數(shù)模與除法運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】解:，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的模，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8．A【解析】

根據(jù)指數(shù)型函數(shù)所過(guò)的定點(diǎn)，確定，再根據(jù)條件，利用基本不等式求的最小值.【詳解】定點(diǎn)為,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)取得最小值.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，以及基本不等式求最值，意在考查轉(zhuǎn)化與變形，基本計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.9．C【解析】

根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理和判定定理判斷與的關(guān)系即可得到答案.【詳解】若，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，可得；若，根據(jù)線面平行的判定定理，可得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行的性質(zhì)定理和判定定理，屬于基礎(chǔ)題.10．A【解析】

結(jié)合已知可知，可求，進(jìn)而可求，代入，結(jié)合，可求，即可判斷．【詳解】圖象上相鄰兩個(gè)極值點(diǎn)，滿足，即，，，且，，，，，，當(dāng)時(shí)，為函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn)，而．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是性質(zhì)的靈活應(yīng)用．11．B【解析】

根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸以及函數(shù)值，可得結(jié)果.【詳解】函數(shù)，若，則的圖象關(guān)于對(duì)稱，又，所以或，所以的值是7或3.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查的是三角函數(shù)的概念及性質(zhì)和函數(shù)的對(duì)稱性問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題12．D【解析】由圖表可知月空氣質(zhì)量合格天氣只有天，月份的空氣質(zhì)量最差．故本題答案選．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

分析出集合A為奇數(shù)構(gòu)成的集合，即可求得交集.【詳解】因?yàn)楸硎緸槠鏀?shù)，故.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查求集合的交集，根據(jù)已知集合求解，屬于簡(jiǎn)單題.14．【解析】

利用換元法，得到，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可得到函數(shù)的值域，得到答案．【詳解】由題意，可得，令，，即，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，又，，，故函數(shù)的值域?yàn)椋海军c(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的最值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，其中解答中合理利用換元法得到函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性與最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與預(yù)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．【解析】

根據(jù)題意計(jì)算，解得答案.【詳解】，故，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.16．【解析】

求出圓內(nèi)接正十二邊形的面積和圓的面積，再用幾何概型公式求出即可．【詳解】半徑為1的圓內(nèi)接正十二邊形，可分割為12個(gè)頂角為，腰為1的等腰三角形，∴該正十二邊形的面積為，根據(jù)幾何概型公式，該點(diǎn)取自其內(nèi)接正十二邊形的概率為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本小題主要考查面積型幾何概型的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得在上恒成立，參變分離得在上恒成立.設(shè)，求出即可得到參數(shù)的取值范圍；（2）不妨設(shè)，，，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)在上是減函數(shù)，即可得證；【詳解】解：（1）∵∴，且函數(shù)在上為減函數(shù)，即在上恒成立，∴在上恒成立.設(shè)，∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，∴，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）不妨設(shè)，，，則，∴.∵，∴，又，令，∴，∴在上為減函數(shù)，∴，∴，即，∴在上是減函數(shù)，∴，即，∴，∴當(dāng)時(shí)，.∵，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．18．（1）（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【解析】

（1）利用數(shù)列與的關(guān)系，求得；（2）由（1）可得：，，算出公比，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)檫m合上式，所以.（2）由（1）得，，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列與的關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力..19．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)證明【解析】

(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分別討論，以及，即可得出結(jié)果；(2)根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)幾何意義得到，將證明轉(zhuǎn)化為證明即可，再令，設(shè)，用導(dǎo)數(shù)方法判斷出的單調(diào)性，進(jìn)而可得出結(jié)論成立.【詳解】（1）解：易得，函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，得?①當(dāng)時(shí)，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.此時(shí)，的減區(qū)間為，增區(qū)間為.②當(dāng)時(shí)，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.此時(shí)，的減區(qū)間為，增區(qū)間為，.③當(dāng)時(shí)，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；此時(shí)，的減區(qū)間為.綜上，當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，增區(qū)間為：當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，增區(qū)間為.；當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為.（2）證明：由題意及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得由（1）中得.易知，導(dǎo)函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，要證，只要證，即，即證.因?yàn)?，不妨令，則.所以，所以在上為增函數(shù)，所以，即，所以，即，即.故有（得證）.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，通常需要對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)極值等即可，屬于?？碱}型.20．（Ⅰ）（為參數(shù)）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，，則，代入化簡(jiǎn)得到答案.（Ⅱ）分別計(jì)算，的極坐標(biāo)方程為，，取代入計(jì)算得到答案.【詳解】（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，，，故，故的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）.（Ⅱ），故，極坐標(biāo)方程為：；，故，極坐標(biāo)方程為：.，故，，故.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程，弦長(zhǎng)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.21．（1）；（2）當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；（3）證明見(jiàn)解析.【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，求得其導(dǎo)函數(shù)，，可求得函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）由已知得，得出導(dǎo)函數(shù)，并得出導(dǎo)函數(shù)取得正負(fù)的區(qū)間，可得出函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，，，由（2）得的單調(diào)區(qū)間，以當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)，且有，，構(gòu)造函數(shù)，分析其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得出函數(shù)的單調(diào)性，得出其最值，所證的不等式可得證.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，，所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為，即；（2）由已知得，，令，得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；（3）當(dāng)時(shí)，，，由（2）得在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)，且有，，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，所以，在上單調(diào)遞減，且，，由，在上單調(diào)遞增，.所以.【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)在某點(diǎn)的切線方程，討論函數(shù)的單調(diào)性，以及證明不等式，關(guān)鍵在于構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，得出其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性，屬于難度題.22．（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）對(duì)求導(dǎo)，令，求導(dǎo)研究單調(diào)性，分析可得存在使得，即，即得證；（2）分，兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化利用均值不等式即得證；當(dāng)，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，分析可得的最小值為，分，討論即得解.【詳解】（1）由題意，令，則，知為的增函數(shù)，因?yàn)?，，所以，存在使得，即．所以，?dāng)時(shí)，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，也就是取得最小值．故，于是有，即，所以有，