北京市順義區(qū)第九中學(xué)2021-2022學(xué)年高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析

2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線：的焦點為，，且上點滿足，，，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．52．已知函數(shù)，則下列判斷錯誤的是（）A．的最小正周期為 B．的值域為C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．的圖象關(guān)于點對稱3．等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則()A．12 B．10 C．8 D．4．某人2018年的家庭總收人為元，各種用途占比如圖中的折線圖，年家庭總收入的各種用途占比統(tǒng)計如圖中的條形圖，已知年的就醫(yī)費用比年的就醫(yī)費用增加了元，則該人年的儲畜費用為（）A．元 B．元 C．元 D．元5．某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是邊長為4的正三角形，俯視圖是由邊長為4的正三角形和一個半圓構(gòu)成，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．6．在精準(zhǔn)扶貧工作中，有6名男干部、5名女干部，從中選出2名男干部、1名女干部組成一個扶貧小組分到某村工作，則不同的選法共有()A．60種 B．70種 C．75種 D．150種7．關(guān)于函數(shù)，有下述三個結(jié)論：①函數(shù)的一個周期為；②函數(shù)在上單調(diào)遞增；③函數(shù)的值域為.其中所有正確結(jié)論的編號是（）A．①② B．② C．②③ D．③8．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．9．已知雙曲線的一條漸近線傾斜角為，則（）A．3 B． C． D．10．已知復(fù)數(shù)滿足：，則的共軛復(fù)數(shù)為（）A． B． C． D．11．設(shè)分別是雙線的左、右焦點，為坐標(biāo)原點，以為直徑的圓與該雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點（位于軸右側(cè)），且四邊形為菱形，則該雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．12．中，，為的中點，，，則（）A． B． C． D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若在定義域內(nèi)恒有，則實數(shù)的取值范圍是__________．14．已知多項式滿足，則_________，__________．15．已知集合，.若，則實數(shù)a的值是______.16．已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知為各項均為整數(shù)的等差數(shù)列，為的前項和，若為和的等比中項，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求最大的正整數(shù)，使得.18．（12分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦點為為橢圓上任意一點，且.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線交橢圓于兩點，且滿足（分別為直線的斜率），求的面積為時直線的方程.19．（12分）在三棱錐中，是邊長為的正三角形，平面平面，，M、N分別為、的中點.?（1）證明：；（2）求三棱錐的體積.20．（12分）如圖，在正四棱錐中，，，為上的四等分點，即．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．21．（12分）已知在平面四邊形中，的面積為.（1）求的長；（2）已知，為銳角，求.22．（10分）在中，角的對邊分別為，已知．（1）求角的大??；（2）若，求的面積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

根據(jù)雙曲線定義可以直接求出，利用勾股定理可以求出，最后求出離心率.【詳解】依題意得，，，因此該雙曲線的離心率.【點睛】本題考查了雙曲線定義及雙曲線的離心率，考查了運算能力.2．D【解析】

先將函數(shù)化為，再由三角函數(shù)的性質(zhì)，逐項判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】可得對于A，的最小正周期為,故A正確；對于B，由，可得，故B正確；對于C，正弦函數(shù)對稱軸可得：解得：，當(dāng)，，故C正確；對于D，正弦函數(shù)對稱中心的橫坐標(biāo)為：解得：若圖象關(guān)于點對稱，則解得：，故D錯誤；故選：D.【點睛】本題考查三角恒等變換，三角函數(shù)的性質(zhì)，熟記三角函數(shù)基本公式和基本性質(zhì)，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.3．B【解析】

由等比數(shù)列的性質(zhì)求得，再由對數(shù)運算法則可得結(jié)論．【詳解】∵數(shù)列是等比數(shù)列，∴，，∴．故選：B.【點睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查對數(shù)的運算法則，掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．A【解析】

根據(jù)2018年的家庭總收人為元，且就醫(yī)費用占得到就醫(yī)費用，再根據(jù)年的就醫(yī)費用比年的就醫(yī)費用增加了元，得到年的就醫(yī)費用，然后由年的就醫(yī)費用占總收人，得到2019年的家庭總收人再根據(jù)儲畜費用占總收人求解.【詳解】因為2018年的家庭總收人為元，且就醫(yī)費用占所以就醫(yī)費用因為年的就醫(yī)費用比年的就醫(yī)費用增加了元，所以年的就醫(yī)費用元，而年的就醫(yī)費用占總收人所以2019年的家庭總收人為而儲畜費用占總收人所以儲畜費用：故選：A【點睛】本題主要考查統(tǒng)計中的折線圖和條形圖的應(yīng)用，還考查了建模解模的能力，屬于基礎(chǔ)題.5．A【解析】由題意得到該幾何體是一個組合體，前半部分是一個高為底面是邊長為4的等邊三角形的三棱錐，后半部分是一個底面半徑為2的半個圓錐，體積為故答案為A.點睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長對正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.6．C【解析】

根據(jù)題意，分別計算“從6名男干部中選出2名男干部”和“從5名女干部中選出1名女干部”的取法數(shù)，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，從6名男干部中選出2名男干部，有種取法，從5名女干部中選出1名女干部，有種取法，則有種不同的選法；故選：C．【點睛】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計數(shù)原理問題，屬于基礎(chǔ)題．7．C【解析】

①用周期函數(shù)的定義驗證.②當(dāng)時，，，再利用單調(diào)性判斷.③根據(jù)平移變換，函數(shù)的值域等價于函數(shù)的值域，而，當(dāng)時，再求值域.【詳解】因為，故①錯誤；當(dāng)時，，所以，所以在上單調(diào)遞增，故②正確；函數(shù)的值域等價于函數(shù)的值域，易知，故當(dāng)時，，故③正確.故選：C.【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于中檔題.8．D【解析】

構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，由此判斷出的大小關(guān)系.【詳解】依題意，得，，.令，所以.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以，且，即，所以.故選：D.【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查對數(shù)式比較大小，屬于中檔題.9．D【解析】

由雙曲線方程可得漸近線方程，根據(jù)傾斜角可得漸近線斜率，由此構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由雙曲線方程可知：，漸近線方程為：，一條漸近線的傾斜角為，，解得：.故選：.【點睛】本題考查根據(jù)雙曲線漸近線傾斜角求解參數(shù)值的問題，關(guān)鍵是明確直線傾斜角與斜率的關(guān)系；易錯點是忽略方程表示雙曲線對于的范圍的要求.10．B【解析】

轉(zhuǎn)化，為，利用復(fù)數(shù)的除法化簡，即得解【詳解】復(fù)數(shù)滿足：所以故選：B【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法和復(fù)數(shù)的基本概念，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.11．B【解析】

由于四邊形為菱形，且，所以為等邊三角形，從而可得漸近線的傾斜角，求出其斜率.【詳解】如圖，因為四邊形為菱形，，所以為等邊三角形，，兩漸近線的斜率分別為和.故選：B【點睛】此題考查的是求雙曲線的漸近線方程，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.12．D【解析】

在中，由正弦定理得；進(jìn)而得，在中，由余弦定理可得.【詳解】在中，由正弦定理得，得，又，所以為銳角，所以，，在中，由余弦定理可得，.故選：D【點睛】本題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運算求解能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象可將原題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，湊而可知的圖象在過原點且與兩函數(shù)相切的兩條切線之間；利用過一點的曲線切線的求法可求得兩切線斜率，結(jié)合分母不為零的條件可最終確定的取值范圍.【詳解】由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象可知：，恒成立可轉(zhuǎn)化為恒成立，即恒成立，，即是夾在函數(shù)與的圖象之間，的圖象在過原點且與兩函數(shù)相切的兩條切線之間.設(shè)過原點且與相切的直線與函數(shù)相切于點，則切線斜率，解得：；設(shè)過原點且與相切的直線與函數(shù)相切于點，則切線斜率，解得：；當(dāng)時，，又，滿足題意；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查恒成立問題的求解，重點考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用中的過一點的曲線切線的求解方法；關(guān)鍵是能夠結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象將問題轉(zhuǎn)化為切線斜率的求解問題；易錯點是忽略分母不為零的限制，忽略對于臨界值能否取得的討論.14．【解析】∵多項式滿足∴令，得，則∴∴該多項式的一次項系數(shù)為∴∴∴令，得故答案為5，7215．9【解析】

根據(jù)集合交集的定義即得.【詳解】集合，，，，則a的值是9.故答案為：9【點睛】本題考查集合的交集，是基礎(chǔ)題.16．【解析】

畫圖分析可得函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，利用偶函數(shù)性質(zhì)和單調(diào)性可解.【詳解】作出函數(shù)的圖如下所示，觀察可知，函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，故實數(shù)的取值范圍為.故答案為：【點睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性及單調(diào)性解不等式.函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：(1)如果函數(shù)是偶函數(shù)，那么．(2)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）1008【解析】

（1）用基本量求出首項和公差，可得通項公式；（2）用裂項相消法求得和，然后解不等式可得．【詳解】解：（1）由題得，即解得或因為數(shù)列為各項均為整數(shù)，所以，即（2）令所以即，解得所以的最大值為1008【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式、前項和公式，考查裂項相消法求數(shù)列的和．在等差數(shù)列和等比數(shù)列中基本量法是解題的基本方法．18．（1）（2）或【解析】

（1）根據(jù)橢圓定義求得，得橢圓方程；（2）設(shè)，由得，應(yīng)用韋達(dá)定理得，代入已知條件可得，再由橢圓中弦長公式求得弦長，原點到直線的距離，得三角形面積，從而可求得，得直線方程．【詳解】解：（1）據(jù)題意設(shè)橢圓的方程為則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）據(jù)得設(shè)，則又原點到直線的距離解得或所求直線的方程為或【點睛】本題考查求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓相交問題．解題時采取設(shè)而不求思想，即設(shè)交點坐標(biāo)為，直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得，把這個結(jié)論代入題中條件求得參數(shù)，用它求弦長等等，從而解決問題．19．（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）取中點，連接，，證明平面，由線面垂直的性質(zhì)可得；（2）由，即可求得三棱錐的體積．【詳解】解：（1）證明：取中點D，連接，.因為，，所以且，因為，平面，平面，所以平面.又平面，所以；（2）解：因為平面，平面，所以平面平面，過N作于E，則平面，因為平面平面，，平面平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，由于，所以所以，所以.【點睛】本題考查線面垂直，考查三棱錐體積的計算，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直的判定與性質(zhì)，屬于中檔題．20．（1）答案見解析．（2）【解析】

（1）根據(jù)題意可得，在中，利用余弦定理可得，然后同理可得，利用面面垂直的判定定理即可求解.（2）以為原點建立直角坐標(biāo)系，求出面的法向量為，的法向量為，利用空間向量的數(shù)量積即可求解.【詳解】（1）由由因為是正四棱錐，故于是，由余弦定理，在中，設(shè)再用余弦定理，在中，∴是直角，同理，而在平面上，∴平面平面（2）以為原點建立直角坐標(biāo)系，如圖：則設(shè)面的法向量為，的法向量為則，取于是，二面角的余弦值為：【點睛】本題考查了面面垂直的判定定理、空間向量法求二面角，屬于基礎(chǔ)題.21．（1）；（2）4.【解析】

（1）利用三角形的面積公式求得，利用余弦定理求得.（2）利用余弦定理求得，由此求得，進(jìn)而求得，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得.【詳解】（1）在中，由面積公式：在中，由余弦定理可得：（2）在中，由余弦定理可得：在中，由正弦定理可得:，為銳角.【點睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理