2018年天津卷(理科數(shù)學(xué))含答案

絕密★啟用前2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（天津卷）本試卷分為第□卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘。第□卷1至2頁(yè)，第II卷3至5頁(yè)。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號(hào)填寫在答題考上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無(wú)效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。祝各位考生考試順利！第I卷注意事項(xiàng)：1．每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。2．本卷共8小題，每小題5分，共40分。參考公式：?如果事件兒B互斥，那么P（AUB）=P（A）+P（B）.?如果事件A,B相互獨(dú)立，那么P（AB）=P（A）P（B）.?棱柱的體積公式V=Sh，其中S表示棱柱的底面面積，h表示棱柱的高.1V=—Sh?棱錐的體積公式3，其中S表示棱錐的底面面積，h表示棱錐的高.一.選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.⑴設(shè)全集為r集合A=｛xl0<x<2｝，B=⑷-1｝，則An（（?）=【b】{x0<x<1}(B)（A）｛x|0<x<{x0<x<1}(B)(C){x1?x<2}(D){x|0<x<2}x+y<5,2x-y<4,<—x+y<1,(2)設(shè)變量x,尹滿足約束條件〔y-0，則目標(biāo)函數(shù)Z二3x+5y的最大值為【C】(A)6(B)19(C)21(D)45⑶閱讀如圖的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入N的值為20,則輸出T的值為【B】(A)1(B)2(C)3(D)4Ix-丄1<-(4)設(shè)xGR，貝y“22”是x3<1”的【A】充分而不必要條件必要而不充分條件充要條件既不充分也不必要條件(5)已知a=log2eb=ln2c=log則a，b，c的大小關(guān)系為【D】(A)a>b>c(B)b>a>c(C)c>b>a(D)c>a>b(6)將函數(shù)y=sin(2x+5)的圖象向右平移10個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)A】「3兀5兀］^7~］(A)在區(qū)間44上單調(diào)遞增礙冷］(C)在區(qū)間42上單調(diào)遞增「3兀］「〒,兀］(B)在區(qū)間4上單調(diào)遞減「可，2兀］(D)在區(qū)間2上單調(diào)遞減蘭-蘭=1(a>0,b>0)(7)已知雙曲線a2b2的離心率為2,過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn).設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且〃1+d2=6,AE-BE則雙曲線的方程為【AE-BEx2y2—=1(A)412x2y2—=1(B)124x2y2i—=1(C)39x2y2—=1(D)93(8)如圖，在平面四邊形ABCD中，AB丄BCAD丄CDZBAD=120。AB=AD=1若21325(A)16(B)2(C)16(D)3點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為【A】

第□卷注意事項(xiàng)：用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上。本卷共12小題，共110分。二.填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。6+7i_TOC\o"1-5"\h\zi是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)1+2i4-i.(x_—廠)55在3x的展開(kāi)式中，x2的系數(shù)為2.(11)已知正方體ABC。_aibicidi的棱長(zhǎng)為1,除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分丄別為點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐M_EFGH的體積為121YJ=1近x——1+t,2—=1近x——1+t,2—3—t2(t為參數(shù))與該圓相交于A,B兩(13)已知a'beR,且a一3b+6=0，則，且2a+-8b1的最小值為4f(x)=<(14)已知a>0，函數(shù)x2+2ax+a,x<0,、-x2+2ax-2a,x>0-若關(guān)于x的方程f(x)=ax恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是(4，8)(12)已知圓x2+y2—2x=0的圓心為C,1點(diǎn)，則△ABC的面積為2_三.解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步15)(本小題滿分13分)在△ABC中，內(nèi)角在△ABC中，內(nèi)角a,b,c所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知bsinA=aC0S(B-卻求角B的大小;(II)設(shè)a=2,c=3，求b和sin(2AB)的值.bsinA—acos(B——)asinB—acos(B——)6，得6，即n因?yàn)锽e(0,n)bsinA—acos(B——)asinB—acos(B——)6，得6，即n因?yàn)锽e(0,n)，可得b=36，可得tanB=^3.又n(II)解：在AABC中，由余弦定理及a=2,c=3,B=3，有b2=a2+c2—2accosB=7故b=x~bsinA—acos(B——)sinA=cosA=〒由6，可得'門.因?yàn)閍<c,故口.因此sin2A=2sinAcosA=cos2A=2cos2A—1=.7,74*311運(yùn)3啟所以sin(2A一B)-sin2AcosB一cos2AsinB-727214"(16)(本小題滿分13分)已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為24，16，16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查.(I)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取多少人？(II)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.解：由已知，甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)之比為3：2：2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．(i)解：隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1,2，3.Ck?C3-kP(X=k)=43(k=o,1，2，3).C37所以，隨機(jī)變量X的分布列為X0123P丄121843535353511218412隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)-0X-5+1X15+2X15+3X35-牛(ii)解：設(shè)事件B為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；事件C為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，則A=BUC,且B與C互斥，由(i)知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1),故P(A)=P(BUC)=P(X=2)+P(X=1)=

67所以，事件A發(fā)生的概率為7.（17）（本小題滿分13分）如圖，AD〃BC且AD=2BC,AD丄CD,EG^AD且EG=AD,cD^FG且CD=2FG,DG丄平面ABCD,DA=DC=DG=2.（I）若M為CF的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，求證：MN〃平面CDE；（II）求二面角E-BC-F的正弦值;（III）若點(diǎn)P在線段DG上，且直線BP（III）若點(diǎn)P在線段DG上，且直線BP與平面ADGE所成的角為60°，求線段DP的長(zhǎng).分別以DA，DC，DG的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方依題意，可以建立以D為原點(diǎn)，向的空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得D（0，0，0），A（2,0,0）,B（1,2,0）,C（0，n-DC—0,[2y=0,?的法向量，則50—-即仁不妨令z=-1,可得"0=(1,0,-1).又MN=n-DE—0,〔2x+2z—0，J03>(1,--,1),可得MN-n—0，又因?yàn)橹本€MN乞平面CDE,所以MN〃平面CDE.20(II)解：依題意，可得BC=(―1,0,0),BE—(1,-2,2),CF=(0,—1,2).設(shè)n=(x設(shè)n=(x，y,z)為平面BCE的法向量，則5n-BC—0,n-BE—0,-x—0,x-2y+2z—0,不妨令z=1,得n=(0,1,1).,,,,「m-BC—0,(—x—0,人設(shè)m=(x,y,z)為平面BCF的法向量，則5—-即門不妨令z=1,可得Im-CF—0,〔—y+2z—°，m=(0,2,1).因此有cos<m,n因此有cos<m,n>=m-n|m||n|3帀10于是sin<m,n>=<1010所以，二面角E—BC—F的正弦值為?10(III)解:設(shè)線段DP的長(zhǎng)為(hw[0,2]),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0,h),可得BP—(-1,-2,h)易知，DC=(0,2,0)為平面ADGE的一個(gè)法向量，故2h2+5BP2h2+5BPHDCcos<BP-DC>BPHDC由題意，可得：?=sin60°=-，解得h=3三[0,2].\h2+523所以線段DP的長(zhǎng)為3.3(18)(本小題滿分13分)設(shè)｛役｝是等比數(shù)列，公比大于0,其前n項(xiàng)和為Sn(n&N*),｛匕｝是等差數(shù)列.已知《=1,a—a+2a—b+ba—b+2b32，435，546.(I)求｛鐵｝和｛孝的通項(xiàng)公式；

(Il)設(shè)數(shù)列｛Sn｝的前n項(xiàng)和為Tn("&N*)(i)求Tn；為(7+b+2)件=土i-2(neN*)(ii)證明k=i(k+1)(k+2)n+2(I)解：設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q?由ai=ha3=a2+2,可得q2-q-2=0因?yàn)閝因?yàn)閝〉0，可得q=2，故an=2n_1，故設(shè)等差數(shù)列｛竽的公差為〃，由°4=b3+b5，可得々3d=4.由企=b4+2b6可得3bi+13d=16,從而bi=hd=h故bn=①所以，數(shù)列｛叮的通項(xiàng)公式為"n=2"-1，數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式為="，故=2n—1(II)(i)解：由(I)，有n1—2，故2X(1-2X(1-2n)T=E(2k-1)=E2k-n=^r-^-n=2n+1-n-2nk=1k=1(ii)證明：因?yàn)?T+b)b(2k+1-k-2+k(T+b)b(2k+1-k-2+k+2)kkk+2k-k?2k+12k+22k+1k+2(k+1)(k+2)(k+1)(k+2)(k+1)(k+2)k+2k+1，，2n+22n+12n+2n(T+b)b.23222423工kk+2k=(—)+(—)++(—)=—2審w(k+1)(k+2)3243n+2n+1n+2所以，k=14k4k(19)(本小題滿分14分)x2x2+=1設(shè)橢圓a2b2(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為3，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(b,0)，且坐標(biāo)為(b,0)，且FB-AB=6忑(I)求橢圓的方程;(II)設(shè)直線1：y=k%(k〉0)與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為F，且l與直線AB交于點(diǎn)Q.

1AQ二空sinZAOQ若4(O為原點(diǎn))，求k的值.c25(I)解：設(shè)橢圓的焦距為2c,由已知有一=—,又由a2=b2+c2，可得2a=3b.由已知可a29得，=a,\ab\=\：2b，由|fb|-\ab\=6、」2，可得ab=6，從而a=3,b=2.所以，橢圓的方程為乂+22=194(II)解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(X],y1)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x2，y2).由已知有y1>y2>0，故|pQ|sinZA°Q=y-y.又因?yàn)閈aQ=殳,而ZOAB=嚴(yán)，故\aQ=\：2y.由12sinZOAB42IaQ=

両=IaQ=

両=sin4ZAOQ可得—y1=9y2．y=kx,6k由方程組\x2y2消去x,可得兒=<—.易知直線AB的方程為x+y-2=0，由方—^―=1,1V9k2+4TOC\o"1-5"\h\z〔94程組<yE消去X,可得y=Y~.由—y1=9y2，可得—(k+l)=3^9k2+4，兩邊x+y一2=0,2k+112111平方，整理得—6k2-—0k+11=0，解得k=，或k=-228111所以，k的值為或228(20)(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=ax,g(x)=lOgax，其中a>1.求函數(shù)h(x)=f(x)一xlna的單調(diào)區(qū)間；若曲線y=f(x)在點(diǎn)(S'f(^：1))處的切線與曲線y=g⑷在點(diǎn)(J'g①)處的切2lnlnax+g(x)=-線平行，證明12lna；證明當(dāng)a工建時(shí)，存在直線/，使l是曲線y=/(對(duì)的切線，也是曲線y=g的切線.

(I)解由已矢口h(x)=ax-xIna有h'(x)=axIna-Ina令h'(x)二0，解得x=0.由a>1,可知當(dāng)x變化時(shí)，h(x),h(x)的變化情況如下表:(y,0)0(0,+w)h(x)0+h(x)\極小值所以函數(shù)h(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-^,0)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0,十^)?(II)證明：由fx)二axlna，可得曲線y二f(x)在點(diǎn)(xi'f(xi))處的切線斜率為axilna?1xlna11xlna可得曲線y二g(x)在點(diǎn)(x2'g("2))處的切線斜率為x2lna?ax]lna=因?yàn)檫@兩條切線平行，故有1xlna2即x2ax1(lnaax]lna=因?yàn)檫@兩條切線平行，故有1xlna2即x2ax1(lna)2-1兩邊取以a為底的對(duì)數(shù)，得lOgaX2+"1+2lOgalna二02lnlnax+g(x)二一，所以12lna(III)證明：曲線y二f(x)在點(diǎn)(x1'ax1)處的切線l]:y-g二ax*lna?(x-X1)y-logx=—1——(x-x)曲線y=g(在點(diǎn)(x2，lOgax2)處的切線l2：a2X2lna2要證明當(dāng)a>建時(shí)，存在直線1，使l是曲線y=f⑷的切線，也是曲線y=gE的切線,只需證明當(dāng)a-ee時(shí)，存在x1￡'+")，x2￡(0,+")，使得1]與12重合.ax1lna=一1，①xlna21即只需證明當(dāng)aee時(shí),方程組ax1一xax1lna=logx--^②1a2lna有解x—由①得2ax1(lna)212lnlnaax1一xax