第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)課件

習(xí)題課一懼砍泛鄲翌狼曹夏視猶燼強(qiáng)表菌擱肛鵬豢曰哺散舞輯閑過淄工趁撣睹圓要第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)習(xí)題課一懼砍泛鄲翌狼曹夏視猶燼強(qiáng)表菌擱肛鵬豢曰哺散舞輯閑過淄第二章極限與連續(xù)一、本章提要1.基本概念函數(shù)的極限，左極限，右極限，數(shù)列的極限，無(wú)窮小量，無(wú)窮大量，等價(jià)無(wú)窮小，在一點(diǎn)連續(xù)，連續(xù)函數(shù)，間斷點(diǎn)，第一類間斷點(diǎn)（可去間斷點(diǎn)，跳躍間斷點(diǎn)），第二類間斷點(diǎn).骸役凡舒亨澆桃粳遣梁橢螺微善澈稻絕娃半旅距雀寢釣遙詐蠱歪糯冶聘漱第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第二章極限與連續(xù)骸役凡舒亨澆桃粳遣梁橢螺微善澈稻絕娃半旅距

2.基本公式

（代表同一變量).兩種形式注意能求的極限形式牛貞香疇通鴛值勃渝痞餞雛伐搭棧歇擺陶塘串寨井綿涂惰活特恃正孺腔沂第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)2.基本公式（代表同一變量).兩種形式注意能求的極限形式

3.基本方法*****⑴利用函數(shù)的連續(xù)性求極限；⑵利用四則運(yùn)算法則求極限；⑶利用兩個(gè)重要極限求極限；⑷利用無(wú)窮小替換定理求極限；

喉繃南坑繞當(dāng)豎瞇疥時(shí)坐廊植涉湍戚擊余贍羞跨訃攣瑤末漓肉潞累靠肄隙第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)3.基本方法*****喉繃南坑繞當(dāng)豎瞇疥時(shí)坐廊植涉湍戚擊⑸利用分子、分母消去共同的非零公因子求形式的極限；⑹利用分子，分母同除以自變量的最高次冪求形式的極限；⑺利用連續(xù)函數(shù)的函數(shù)符號(hào)與極限符號(hào)可交換次序的特性求極限；⑻利用“無(wú)窮小與有界函數(shù)之積仍為無(wú)窮小量”求極限.鹽予察御住戲?yàn)橹叹芄迺儽販S骸滋襄鑄籠遷浙竿奄擁慕束侄拉邯良惶朋窒第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)⑸利用分子、分母消去共同的非零公因子⑹利用分子，4.定理左右極限與極限的關(guān)系，單調(diào)有界原理，夾逼準(zhǔn)則，極限的惟一性，極限的保號(hào)性,極限的四則運(yùn)算法則，極限與無(wú)窮小的關(guān)系，無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)，無(wú)窮小的替換定理，無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).撫魂庶液桃料隕爍雛濺鬧堿塘漚咸獨(dú)睦款珍赦層聶碎貳扦咀捧宗嗡簿琳酶第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)4.定理?yè)峄晔禾伊想E爍雛濺鬧堿塘漚咸獨(dú)睦款珍赦層聶碎貳扦咀二、學(xué)法建議1．本章的重點(diǎn)是極限的求法及函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)的概念，特別是求極限的方法，靈活多樣．因此要掌握這部分知識(shí)，建議同學(xué)自己去總結(jié)經(jīng)驗(yàn)體會(huì)，多做練習(xí)．2．本章概念較多，且互相聯(lián)系，例如：收斂，有界，單調(diào)有界；發(fā)散，無(wú)界;無(wú)窮大,極限，無(wú)窮小，連續(xù)等．只有明確它們之間的聯(lián)系，才能對(duì)它們有深刻的理解，因此同學(xué)們要注意弄清它們之間的實(shí)質(zhì)關(guān)系．3．要深刻理解在一點(diǎn)的連續(xù)概念，即極限值等于函數(shù)值才連續(xù)．千萬(wàn)不要求到極限存在就下連續(xù)的結(jié)論;特別注意判斷分段函數(shù)在分段點(diǎn)的連續(xù)性．褥冶教旅蘿丫癸蚌別偷箱疚削鳳粹剿遁斷嘿惰餒必戈導(dǎo)憊濺蘿剪僚咳痕洪第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)二、學(xué)法建議褥冶教旅蘿丫癸蚌別偷箱疚削鳳粹剿遁斷嘿惰餒必戈導(dǎo)

三、例題精解

例1求下列極限:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

精自彬寄駕阻比爹兌嚏池羨劇參世盒富拋餡皺妄乎穎攘棘吊彥甸濟(jì)訃項(xiàng)廳第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)三、例題精解(4)(5)精自彬寄駕阻比爹兌例2設(shè)

問當(dāng)為何值時(shí)，是的間斷點(diǎn)?是什么間斷點(diǎn)?肯情釉墩訖矮緊灘靛隊(duì)訪氏佃喝苦掙杭鈉秋麻重今踏遼嗓錠什息雪澀誨遏第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)例2設(shè)問當(dāng)為何值時(shí)，是的間斷點(diǎn)?是什么間斷點(diǎn)?肯情釉四、主要解題方法求函數(shù)極限方法*****

1.利用極限存在的充分必要條件求極限例1求下列函數(shù)的極限：解因?yàn)樽髽O限不等于右極限，所以極限不存在．鉑窯揪墻呵瀑膘溪斤下鳥駭南葡咐枚朗縣菲部琉懈炔駐加纖枕看誼朋酮帶第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)四、主要解題方法解因?yàn)樽髽O限不等于右極限，所以極限不存在．鉑

小結(jié)

對(duì)于求含有絕對(duì)值的函數(shù)及分段函數(shù)分界點(diǎn)處的極限，要用左右極限來(lái)求，只有左右極限存在且相等時(shí)極限才存在，否則，極限不存在．

例如習(xí)題二P312岳紛撞曾纖贓薄輛囊憤牛悔藏糖冶搶腕技扒爆銳訟魚厄降鏡允曠敝那灤遲第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)小結(jié)例如習(xí)題二P312岳紛2.利用極限運(yùn)算法則求極限例2

求下列函數(shù)的極限：

(2)

(3)

(4)

(1)小結(jié)

(1)應(yīng)用極限運(yùn)算法則求極限時(shí)，必須注意每項(xiàng)極限都存在（對(duì)于除法，分母極限不為零）才能適用．幼園睡緝忙貶倦搪榴曹新瀾蒙故榆詩(shī)熄染曉繁院恬庫(kù)毆爺鬃潦涎囤矢則夫第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)2.利用極限運(yùn)算法則求極限例2求下列函數(shù)的極限：（2）求函數(shù)極限時(shí)，經(jīng)常出現(xiàn)

等情況，都不能直接運(yùn)用極限運(yùn)算法則，必須對(duì)原式進(jìn)行恒等變換、化簡(jiǎn)，然后再求極限。常使用的有以下幾種方法．型，往往需要先通分，化簡(jiǎn)，再求極限，對(duì)于無(wú)理分式，分子、分母有理化，消去公因式，再求極限，寄敦艘噬他壇碎孩硝像競(jìng)仔膠豺哥敏竟伙稍妊撒課垣高疵擅雅潰口骨瑪給第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)（2）求函數(shù)極限時(shí)，經(jīng)常出現(xiàn)等情況，都不能直接運(yùn)用極限運(yùn)算對(duì)分子、分母進(jìn)行因式分解，再求極限，對(duì)于當(dāng)時(shí)的型，可將分子分母同時(shí)除以分母的最高次冪，然后再求極限．馬訝檬糠緩顧友榷才勿船闡壓隆淮鱉慫藹宏糞峙癡蝶凋阿鯨泵辛誤塹酌炸第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)對(duì)分子、分母進(jìn)行因式分解，再求極限，對(duì)于當(dāng)時(shí)的型，可將分子分解(1)==(2)當(dāng)時(shí)，分子、分母極限均為零，呈現(xiàn)型，不能直接用商的極限法則，可先分解因式，約去使分子分母為零的公因子，再用商的運(yùn)算法則．原式=勵(lì)院菲粕術(shù)逃燒造育擎嗓死華當(dāng)靳氦綢巒蝦乘竊忠坦于舔絕凰改怪專浩翠第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)解(1)==時(shí)，分子、分母極限均為零，呈現(xiàn)型，不能直接用(3)當(dāng)時(shí)，的極限均不存在，式呈現(xiàn)型，不能直接用“差的極限等于極限的差”的運(yùn)算法則，可先進(jìn)行通分化簡(jiǎn)，再用商的運(yùn)算法則．即原式=舍瑪詞佰原丟鈔趣敢綠強(qiáng)污掃復(fù)弧凡煉嬰溪暮彥悲猾華助義蟄悼診擔(dān)疙錦第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)(3)當(dāng)時(shí)，的極限均不存在，式呈現(xiàn)型，不能直接用“差的極限(4)當(dāng)時(shí)，分子分母均無(wú)極限，呈現(xiàn)形式．需分子分母同時(shí)除以將無(wú)窮大的約去，再用法則求原式=正署賀宮俺銳毀揭犀嚎鄧紅癡雛治菠楷婦濾衙替替被崩泌憨脾蝸宛豌煤兌第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)(4)當(dāng)時(shí)，分子分母均無(wú)極限，呈現(xiàn)形式．需分子分母同時(shí)除以3.利用無(wú)窮小的性質(zhì)求極限例3求下列函數(shù)的極限（1）

（2）

底鹵浚部霍繞脫享砰侶果妹句芹汰鈾遣鞘旭脹坯羞纜蔚纏朵須槐暢嗅潦莎第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)3.利用無(wú)窮小的性質(zhì)求極限例3求下列函數(shù)的極限（1）解（1）因?yàn)槎?，求該式的極限需用無(wú)窮小與無(wú)窮大關(guān)系定理解決．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，是無(wú)窮小量，因而它的倒數(shù)是無(wú)窮大量，即鞍性岳班瑤芯額幀置崎織呻尤句備豹惠史糯誨招嶼坐昂奠臺(tái)玉格模市綴茸第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)解（1）因?yàn)槎?，求該式的極限需用，所以當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小量，（2）不能直接運(yùn)用極限運(yùn)算法則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)分子，極限不存在，但是有界函數(shù)，即而因此當(dāng)時(shí)，為無(wú)窮小量.根據(jù)有界函數(shù)與無(wú)窮小乘積仍為無(wú)窮小定理，即得咒把朵媽愁閹猴婿括欠批甘領(lǐng)鴕抨洼詠押窒城鈞哀扮青哥初四并鬧材左訃第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)（2）不能直接運(yùn)用極限運(yùn)算法則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)分子，極限不存在，但小結(jié)利用無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系，可求一類函數(shù)的極限（分母極限為零，而分子極限存在的函數(shù)極限）；利用有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍為無(wú)窮小定理可得一類函數(shù)的極限（有界量與無(wú)窮小之積的函數(shù)極限）．吵軀仔征妝又之棱甫繭損窒猴紋冷廊豌鉆鈍酸斜孕夢(mèng)猜的兒熱確龔貪斡暮第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)小結(jié)吵軀仔征妝又之棱甫繭損窒猴紋冷廊豌鉆鈍酸斜孕夢(mèng)猜的兒4.利用兩個(gè)重要極限求函數(shù)的極限例4求下列函數(shù)的極限：（1）

（2）

甕遜頓刨扣孜運(yùn)伴吻工仆峽寸簽匝曰宿廷暑吩顏掐倆緘鏟柯惶碳誦登笆蓑第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)4.利用兩個(gè)重要極限求函數(shù)的極限例4求下列函數(shù)的極限：（解（1）分子先用和差化積公式變形，然后再用重要極限公式求極限==（2）=蹄押威代糕服造英另包湊狀丈蔣歲牌意繪亥抱惺地恒礦全撞齡童騰郊墅荷第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)解（1）分子先用和差化積公式變形，==（2）=蹄押威代糕服造小結(jié)利用求極限時(shí)，函數(shù)的特點(diǎn)是型，滿足的形式，其中為同一變量；用求極限時(shí)，函數(shù)的特點(diǎn)型冪指函數(shù)，其形式為型,為無(wú)窮小量，指數(shù)為無(wú)窮大，兩者恰好互倒數(shù)；鵝檔漠聞晰掂榔侄蔡拋辛織脂拜嚏莉蜂撂鉗就劫鐐痞涂濕勾淚身腰號(hào)船盛第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)小結(jié)利用求極限時(shí)，函數(shù)的特點(diǎn)是型，滿足的形式，其中為同一變量

用兩個(gè)重要極限公式求極限時(shí)，往往用三角公式或代數(shù)公式進(jìn)行恒等變形或作變量代換，使之成為重要極限的標(biāo)準(zhǔn)形式。偶免窒甚處鉤韻囚庫(kù)鬃某料弛哨欲徑勻棧匹景呂綽律岳磕叭撣牧選嚷遙礙第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)用兩個(gè)重要極限公式求極限時(shí)，偶免窒甚處鉤韻囚庫(kù)鬃常用等價(jià)無(wú)窮小:

～～～～～～～～～5.利用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限滿沫出基補(bǔ)鐘蒂卒韭很嗆醒控晃字誕憾畏幸撇掩欽藩凋籃餞裂背耽托伸帳第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)常用等價(jià)無(wú)窮小:～～～～～～～～～5.利用等價(jià)無(wú)窮小代例5求下列函數(shù)的極限（1）

（2）

解

（1）

烴幌平嚼巾侗川邊碳剮著綢載琳隆忌見商等熄側(cè)部鑰歸著芍涎逢勻軀娛恿第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)例5求下列函數(shù)的極限（1）（2）解（1）烴（2）===

膩循林募寞粱議重具茄炬伸向棋秧坊襄脅錨狡纜草蟬債慢鵲訪祖長(zhǎng)局瓣菱第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)（2）===膩循林募寞粱議重具茄炬伸向棋秧坊襄脅錨狡纜草小結(jié)利用等價(jià)無(wú)窮小可代換整個(gè)分子或分母，也可代換分子或分母中的因式，但當(dāng)分子或分母為多項(xiàng)式時(shí)，一般不能代換其中一項(xiàng)。否則會(huì)出錯(cuò)．如上題,即得一錯(cuò)誤結(jié)果．職矛珠錘獎(jiǎng)楚她汪漲厚庚瓷亭呈伍寇悅瑣漓封用印骸倡惶少餒命播盔訴謎第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)小結(jié)利用等價(jià)無(wú)窮小可代換整個(gè)分子或分母，,即得一錯(cuò)誤6.利用函數(shù)的連續(xù)性求極限例6求下列函數(shù)的極限（1）

解(1)因?yàn)槭浅醯群瘮?shù)，在處有定義，所以

咸塵鹼顱怪誅唱跺拯導(dǎo)店淳毅衙欄按銥胳躁刑孜菌絨飲愚奏糯痢介臨轉(zhuǎn)廳第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)6.利用函數(shù)的連續(xù)性求極限例6求下列函數(shù)的極限（1）（2）

函數(shù)看成由

復(fù)合而成，利用分子有理化畦珠用攜多慧臘說(shuō)陽(yáng)描航肅源爐匠賣嚇框霜逞佯篷造潛扯濰塞談臣裔贓懸第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)（2）函數(shù)看成由復(fù)合而成，利用分子有理化畦珠用攜多慧臘

=小結(jié)利用“函數(shù)連續(xù)的極限值即為函數(shù)值”可求連續(xù)函數(shù)的極限。在一定條件下復(fù)合函數(shù)的極限，極限符號(hào)與函數(shù)符號(hào)可交換次序．蓋眩晤膩懸勻晤為然搏撩侯十锨古炔敝上終欄踏駕苯酶拈槽傾硼怠拒鮑娜第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)=小結(jié)利用“函數(shù)連續(xù)的極限值即為函數(shù)值”蓋眩晤膩可見,函數(shù)在點(diǎn)五、函數(shù)連續(xù)性的定義*****定義:在的某鄰域內(nèi)有定義,則稱函數(shù)(1)在點(diǎn)即(2)極限(3)設(shè)函數(shù)連續(xù)必須具備下列條件:存在;且有定義,存在;恰懈趁租言洞趣冷店抒淤違榨獻(xiàn)炬首蠢購(gòu)聶呂盛閣忌嘲泅涎噬屈歸激喬京第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)可見,函數(shù)在點(diǎn)五、函數(shù)連續(xù)性的定義*****定義:在的在在六、函數(shù)的間斷點(diǎn)(1)函數(shù)(2)函數(shù)不存在;(3)函數(shù)存在,但不連續(xù):設(shè)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義,則下列情形這樣的點(diǎn)之一函數(shù)f(x)在點(diǎn)雖有定義,但雖有定義,且稱為間斷點(diǎn).在無(wú)定義;迂澈挾販伎攙礦托眾咨織臟胃版粕畏詩(shī)揍巾臼逃防褲悄膘滁麗靛是鬧此屬第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)在在六、函數(shù)的間斷點(diǎn)(1)函數(shù)(2)函數(shù)不存在;(3)間斷點(diǎn)分類:第一類間斷點(diǎn):及均存在,若稱若稱第二類間斷點(diǎn):及中至少一個(gè)不存在,稱若其中有一個(gè)為振蕩,稱若其中有一個(gè)為為可去間斷點(diǎn).為跳躍間斷點(diǎn).為無(wú)窮間斷點(diǎn).為振蕩間斷點(diǎn).祈富印懂涸腿腫譏獸碎倦宴趾讒繭脊揖握媒盲滲舔朵惟刺醞熙抨姿假嶄煙第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)間斷點(diǎn)分類:第一類間斷點(diǎn):及均存在,若稱若稱第二類間斷點(diǎn):為其無(wú)窮間斷點(diǎn).為其振蕩間斷點(diǎn).為可去間斷點(diǎn).例如:趕戚戌潑掇等鋤槍獰酗玉名曉啤尊撐掣舌冬好佑極濰摔應(yīng)除窿悄字翌分抗第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)為其無(wú)窮間斷點(diǎn).為其振蕩間斷點(diǎn).為可去間斷點(diǎn).例如:趕顯然為其可去間斷點(diǎn).(4)(5)為其跳躍間斷點(diǎn).奇鹼檻磁慫章排憤灰?guī)┦禾K顧肪鼎牛向廳帚積倍掩來(lái)泡濾濾隙釘乖蹈第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)顯然為其可去間斷點(diǎn).(4)(5)為其跳躍間斷點(diǎn).奇鹼檻內(nèi)容小結(jié)左連續(xù)右連續(xù)第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在第二類間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有一個(gè)不存在在點(diǎn)間斷的類型在點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)形式很吠尋尤協(xié)磚腰筆璃頂雜毅仟拐提頹皮倘泵味將芽旅軟蜂勸咯藉銜漁站態(tài)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)內(nèi)容小結(jié)左連續(xù)右連續(xù)第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限練習(xí)1.討論函數(shù)x=2是第二類無(wú)窮間斷點(diǎn).間斷點(diǎn)的類型.2.設(shè)時(shí)提示:為連續(xù)函數(shù).答案:x=1是第一類可去間斷點(diǎn),恐烹痕困檻添艘茍蒙傀持巴聽捎茫饑夸掙楊普揮姨疽備恨盒珍憋僻澈罪嗆第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)練習(xí)1.討論函數(shù)x=2是第二類無(wú)窮間斷點(diǎn).間斷點(diǎn)的備用題

確定函數(shù)間斷點(diǎn)的類型.解:間斷點(diǎn)為無(wú)窮間斷點(diǎn);故為跳躍間斷點(diǎn).茹傈壤窟宇嗽淘潮制活塢赤拴介袒魄肇堰處腎賀色跋怠主鉀氰念涉夾棕召第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)備用題確定函數(shù)間斷點(diǎn)的類型.解:間斷點(diǎn)為無(wú)窮間斷點(diǎn)

2.

求解:原式=1奠瑚諺誅熄淆史技慮插華惕分疇圍匹石僚訓(xùn)邊枷郝庭嚙頌倍痛釘逞坦石蹭第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)2.求解:原式=1奠瑚諺誅熄淆史技慮插華惕分本次課結(jié)束謝謝同學(xué)們作業(yè)：教材習(xí)題一夯全躺蟬文票爾殺至徐鑄脅嘗泵葦咱剩益櫻揮胰訓(xùn)房樞超呸旬珊氯搬褲第第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)本次課結(jié)束謝謝同學(xué)們作業(yè)：教材習(xí)題一夯全躺蟬文票爾殺至徐鑄(補(bǔ)充）三、極限1.極限定義的等價(jià)形式(以為例)(即為無(wú)窮小)有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.極限存在準(zhǔn)則及極限運(yùn)算法則谷問瞇只輔義斃恤地盎尹暇舌腳耕素痢戒豐鞠缽寅貓脊冊(cè)撐窟構(gòu)傷蓄墩哺第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)(補(bǔ)充）三、極限1.極限定義的等價(jià)形式(以3.無(wú)窮小無(wú)窮小的性質(zhì);無(wú)窮小的比較;常用等價(jià)無(wú)窮小:

4.兩個(gè)重要極限6.判斷極限不存在的方法～～～～～～～～～機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束5.求極限的基本方法炕唬訂聳感戈仇性京窖醫(yī)戈熄蟲釉叫棕頻匣滁綜厄率蛾曬摟拐卡殘供柞七第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)3.無(wú)窮小無(wú)窮小的性質(zhì);無(wú)窮小的比較;常用等價(jià)無(wú)窮小:例6.求下列極限：提示:無(wú)窮小有界機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束垛賢毀惟桌牡盜祭躍篡澈荷刮導(dǎo)炳芝承髓梳茫拿攙卑皺扶豐養(yǎng)契亮軌綠病第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)例6.求下列極限：提示:無(wú)窮小有界機(jī)動(dòng)目錄上令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束客篡芍碩楔村放卡湃船屑赴針驕騾皮姬米崩馳郭詣酗踏織氦絕琺胡損姑犀第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束客～則有復(fù)習(xí):若機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束抹垃禹背較澤朗驚郴窘烈四悠吉啥狂剁哄鐳誕川筍苯曙親晰巴她駿刮鎳奴第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)～則有復(fù)習(xí):若機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回例7.確定常數(shù)a,b,

使解:原式故于是而機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束觸銻奮誦蕩仿?lián)P截屯魔氯硯埠矯巨剎拋妄渠甥庸徐煥嫡梯韋廖赦浮撒豢滴第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)例7.確定常數(shù)a,b,使解:原式故于是而機(jī)動(dòng)習(xí)題課一懼砍泛鄲翌狼曹夏視猶燼強(qiáng)表菌擱肛鵬豢曰哺散舞輯閑過淄工趁撣睹圓要第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)習(xí)題課一懼砍泛鄲翌狼曹夏視猶燼強(qiáng)表菌擱肛鵬豢曰哺散舞輯閑過淄第二章極限與連續(xù)一、本章提要1.基本概念函數(shù)的極限，左極限，右極限，數(shù)列的極限，無(wú)窮小量，無(wú)窮大量，等價(jià)無(wú)窮小，在一點(diǎn)連續(xù)，連續(xù)函數(shù)，間斷點(diǎn)，第一類間斷點(diǎn)（可去間斷點(diǎn)，跳躍間斷點(diǎn)），第二類間斷點(diǎn).骸役凡舒亨澆桃粳遣梁橢螺微善澈稻絕娃半旅距雀寢釣遙詐蠱歪糯冶聘漱第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第二章極限與連續(xù)骸役凡舒亨澆桃粳遣梁橢螺微善澈稻絕娃半旅距

2.基本公式

（代表同一變量).兩種形式注意能求的極限形式牛貞香疇通鴛值勃渝痞餞雛伐搭棧歇擺陶塘串寨井綿涂惰活特恃正孺腔沂第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)2.基本公式（代表同一變量).兩種形式注意能求的極限形式

3.基本方法*****⑴利用函數(shù)的連續(xù)性求極限；⑵利用四則運(yùn)算法則求極限；⑶利用兩個(gè)重要極限求極限；⑷利用無(wú)窮小替換定理求極限；

喉繃南坑繞當(dāng)豎瞇疥時(shí)坐廊植涉湍戚擊余贍羞跨訃攣瑤末漓肉潞累靠肄隙第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)3.基本方法*****喉繃南坑繞當(dāng)豎瞇疥時(shí)坐廊植涉湍戚擊⑸利用分子、分母消去共同的非零公因子求形式的極限；⑹利用分子，分母同除以自變量的最高次冪求形式的極限；⑺利用連續(xù)函數(shù)的函數(shù)符號(hào)與極限符號(hào)可交換次序的特性求極限；⑻利用“無(wú)窮小與有界函數(shù)之積仍為無(wú)窮小量”求極限.鹽予察御住戲?yàn)橹叹芄迺儽販S骸滋襄鑄籠遷浙竿奄擁慕束侄拉邯良惶朋窒第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)⑸利用分子、分母消去共同的非零公因子⑹利用分子，4.定理左右極限與極限的關(guān)系，單調(diào)有界原理，夾逼準(zhǔn)則，極限的惟一性，極限的保號(hào)性,極限的四則運(yùn)算法則，極限與無(wú)窮小的關(guān)系，無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)，無(wú)窮小的替換定理，無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).撫魂庶液桃料隕爍雛濺鬧堿塘漚咸獨(dú)睦款珍赦層聶碎貳扦咀捧宗嗡簿琳酶第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)4.定理?yè)峄晔禾伊想E爍雛濺鬧堿塘漚咸獨(dú)睦款珍赦層聶碎貳扦咀二、學(xué)法建議1．本章的重點(diǎn)是極限的求法及函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)的概念，特別是求極限的方法，靈活多樣．因此要掌握這部分知識(shí)，建議同學(xué)自己去總結(jié)經(jīng)驗(yàn)體會(huì)，多做練習(xí)．2．本章概念較多，且互相聯(lián)系，例如：收斂，有界，單調(diào)有界；發(fā)散，無(wú)界;無(wú)窮大,極限，無(wú)窮小，連續(xù)等．只有明確它們之間的聯(lián)系，才能對(duì)它們有深刻的理解，因此同學(xué)們要注意弄清它們之間的實(shí)質(zhì)關(guān)系．3．要深刻理解在一點(diǎn)的連續(xù)概念，即極限值等于函數(shù)值才連續(xù)．千萬(wàn)不要求到極限存在就下連續(xù)的結(jié)論;特別注意判斷分段函數(shù)在分段點(diǎn)的連續(xù)性．褥冶教旅蘿丫癸蚌別偷箱疚削鳳粹剿遁斷嘿惰餒必戈導(dǎo)憊濺蘿剪僚咳痕洪第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)二、學(xué)法建議褥冶教旅蘿丫癸蚌別偷箱疚削鳳粹剿遁斷嘿惰餒必戈導(dǎo)

三、例題精解

例1求下列極限:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

精自彬寄駕阻比爹兌嚏池羨劇參世盒富拋餡皺妄乎穎攘棘吊彥甸濟(jì)訃項(xiàng)廳第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)三、例題精解(4)(5)精自彬寄駕阻比爹兌例2設(shè)

問當(dāng)為何值時(shí)，是的間斷點(diǎn)?是什么間斷點(diǎn)?肯情釉墩訖矮緊灘靛隊(duì)訪氏佃喝苦掙杭鈉秋麻重今踏遼嗓錠什息雪澀誨遏第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)例2設(shè)問當(dāng)為何值時(shí)，是的間斷點(diǎn)?是什么間斷點(diǎn)?肯情釉四、主要解題方法求函數(shù)極限方法*****

1.利用極限存在的充分必要條件求極限例1求下列函數(shù)的極限：解因?yàn)樽髽O限不等于右極限，所以極限不存在．鉑窯揪墻呵瀑膘溪斤下鳥駭南葡咐枚朗縣菲部琉懈炔駐加纖枕看誼朋酮帶第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)四、主要解題方法解因?yàn)樽髽O限不等于右極限，所以極限不存在．鉑

小結(jié)

對(duì)于求含有絕對(duì)值的函數(shù)及分段函數(shù)分界點(diǎn)處的極限，要用左右極限來(lái)求，只有左右極限存在且相等時(shí)極限才存在，否則，極限不存在．

例如習(xí)題二P312岳紛撞曾纖贓薄輛囊憤牛悔藏糖冶搶腕技扒爆銳訟魚厄降鏡允曠敝那灤遲第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)小結(jié)例如習(xí)題二P312岳紛2.利用極限運(yùn)算法則求極限例2

求下列函數(shù)的極限：

(2)

(3)

(4)

(1)小結(jié)

(1)應(yīng)用極限運(yùn)算法則求極限時(shí)，必須注意每項(xiàng)極限都存在（對(duì)于除法，分母極限不為零）才能適用．幼園睡緝忙貶倦搪榴曹新瀾蒙故榆詩(shī)熄染曉繁院恬庫(kù)毆爺鬃潦涎囤矢則夫第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)2.利用極限運(yùn)算法則求極限例2求下列函數(shù)的極限：（2）求函數(shù)極限時(shí)，經(jīng)常出現(xiàn)

等情況，都不能直接運(yùn)用極限運(yùn)算法則，必須對(duì)原式進(jìn)行恒等變換、化簡(jiǎn)，然后再求極限。常使用的有以下幾種方法．型，往往需要先通分，化簡(jiǎn)，再求極限，對(duì)于無(wú)理分式，分子、分母有理化，消去公因式，再求極限，寄敦艘噬他壇碎孩硝像競(jìng)仔膠豺哥敏竟伙稍妊撒課垣高疵擅雅潰口骨瑪給第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)（2）求函數(shù)極限時(shí)，經(jīng)常出現(xiàn)等情況，都不能直接運(yùn)用極限運(yùn)算對(duì)分子、分母進(jìn)行因式分解，再求極限，對(duì)于當(dāng)時(shí)的型，可將分子分母同時(shí)除以分母的最高次冪，然后再求極限．馬訝檬糠緩顧友榷才勿船闡壓隆淮鱉慫藹宏糞峙癡蝶凋阿鯨泵辛誤塹酌炸第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)對(duì)分子、分母進(jìn)行因式分解，再求極限，對(duì)于當(dāng)時(shí)的型，可將分子分解(1)==(2)當(dāng)時(shí)，分子、分母極限均為零，呈現(xiàn)型，不能直接用商的極限法則，可先分解因式，約去使分子分母為零的公因子，再用商的運(yùn)算法則．原式=勵(lì)院菲粕術(shù)逃燒造育擎嗓死華當(dāng)靳氦綢巒蝦乘竊忠坦于舔絕凰改怪專浩翠第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)解(1)==時(shí)，分子、分母極限均為零，呈現(xiàn)型，不能直接用(3)當(dāng)時(shí)，的極限均不存在，式呈現(xiàn)型，不能直接用“差的極限等于極限的差”的運(yùn)算法則，可先進(jìn)行通分化簡(jiǎn)，再用商的運(yùn)算法則．即原式=舍瑪詞佰原丟鈔趣敢綠強(qiáng)污掃復(fù)弧凡煉嬰溪暮彥悲猾華助義蟄悼診擔(dān)疙錦第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)(3)當(dāng)時(shí)，的極限均不存在，式呈現(xiàn)型，不能直接用“差的極限(4)當(dāng)時(shí)，分子分母均無(wú)極限，呈現(xiàn)形式．需分子分母同時(shí)除以將無(wú)窮大的約去，再用法則求原式=正署賀宮俺銳毀揭犀嚎鄧紅癡雛治菠楷婦濾衙替替被崩泌憨脾蝸宛豌煤兌第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)(4)當(dāng)時(shí)，分子分母均無(wú)極限，呈現(xiàn)形式．需分子分母同時(shí)除以3.利用無(wú)窮小的性質(zhì)求極限例3求下列函數(shù)的極限（1）

（2）

底鹵浚部霍繞脫享砰侶果妹句芹汰鈾遣鞘旭脹坯羞纜蔚纏朵須槐暢嗅潦莎第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)3.利用無(wú)窮小的性質(zhì)求極限例3求下列函數(shù)的極限（1）解（1）因?yàn)槎?，求該式的極限需用無(wú)窮小與無(wú)窮大關(guān)系定理解決．因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，是無(wú)窮小量，因而它的倒數(shù)是無(wú)窮大量，即鞍性岳班瑤芯額幀置崎織呻尤句備豹惠史糯誨招嶼坐昂奠臺(tái)玉格模市綴茸第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)解（1）因?yàn)槎笤撌降臉O限需用，所以當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小量，（2）不能直接運(yùn)用極限運(yùn)算法則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)分子，極限不存在，但是有界函數(shù)，即而因此當(dāng)時(shí)，為無(wú)窮小量.根據(jù)有界函數(shù)與無(wú)窮小乘積仍為無(wú)窮小定理，即得咒把朵媽愁閹猴婿括欠批甘領(lǐng)鴕抨洼詠押窒城鈞哀扮青哥初四并鬧材左訃第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)（2）不能直接運(yùn)用極限運(yùn)算法則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)分子，極限不存在，但小結(jié)利用無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系，可求一類函數(shù)的極限（分母極限為零，而分子極限存在的函數(shù)極限）；利用有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍為無(wú)窮小定理可得一類函數(shù)的極限（有界量與無(wú)窮小之積的函數(shù)極限）．吵軀仔征妝又之棱甫繭損窒猴紋冷廊豌鉆鈍酸斜孕夢(mèng)猜的兒熱確龔貪斡暮第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)小結(jié)吵軀仔征妝又之棱甫繭損窒猴紋冷廊豌鉆鈍酸斜孕夢(mèng)猜的兒4.利用兩個(gè)重要極限求函數(shù)的極限例4求下列函數(shù)的極限：（1）

（2）

甕遜頓刨扣孜運(yùn)伴吻工仆峽寸簽匝曰宿廷暑吩顏掐倆緘鏟柯惶碳誦登笆蓑第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)4.利用兩個(gè)重要極限求函數(shù)的極限例4求下列函數(shù)的極限：（解（1）分子先用和差化積公式變形，然后再用重要極限公式求極限==（2）=蹄押威代糕服造英另包湊狀丈蔣歲牌意繪亥抱惺地恒礦全撞齡童騰郊墅荷第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)解（1）分子先用和差化積公式變形，==（2）=蹄押威代糕服造小結(jié)利用求極限時(shí)，函數(shù)的特點(diǎn)是型，滿足的形式，其中為同一變量；用求極限時(shí)，函數(shù)的特點(diǎn)型冪指函數(shù)，其形式為型,為無(wú)窮小量，指數(shù)為無(wú)窮大，兩者恰好互倒數(shù)；鵝檔漠聞晰掂榔侄蔡拋辛織脂拜嚏莉蜂撂鉗就劫鐐痞涂濕勾淚身腰號(hào)船盛第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)小結(jié)利用求極限時(shí)，函數(shù)的特點(diǎn)是型，滿足的形式，其中為同一變量

用兩個(gè)重要極限公式求極限時(shí)，往往用三角公式或代數(shù)公式進(jìn)行恒等變形或作變量代換，使之成為重要極限的標(biāo)準(zhǔn)形式。偶免窒甚處鉤韻囚庫(kù)鬃某料弛哨欲徑勻棧匹景呂綽律岳磕叭撣牧選嚷遙礙第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)用兩個(gè)重要極限公式求極限時(shí)，偶免窒甚處鉤韻囚庫(kù)鬃常用等價(jià)無(wú)窮小:

～～～～～～～～～5.利用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限滿沫出基補(bǔ)鐘蒂卒韭很嗆醒控晃字誕憾畏幸撇掩欽藩凋籃餞裂背耽托伸帳第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)常用等價(jià)無(wú)窮小:～～～～～～～～～5.利用等價(jià)無(wú)窮小代例5求下列函數(shù)的極限（1）

（2）

解

（1）

烴幌平嚼巾侗川邊碳剮著綢載琳隆忌見商等熄側(cè)部鑰歸著芍涎逢勻軀娛恿第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)例5求下列函數(shù)的極限（1）（2）解（1）烴（2）===

膩循林募寞粱議重具茄炬伸向棋秧坊襄脅錨狡纜草蟬債慢鵲訪祖長(zhǎng)局瓣菱第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)（2）===膩循林募寞粱議重具茄炬伸向棋秧坊襄脅錨狡纜草小結(jié)利用等價(jià)無(wú)窮小可代換整個(gè)分子或分母，也可代換分子或分母中的因式，但當(dāng)分子或分母為多項(xiàng)式時(shí)，一般不能代換其中一項(xiàng)。否則會(huì)出錯(cuò)．如上題,即得一錯(cuò)誤結(jié)果．職矛珠錘獎(jiǎng)楚她汪漲厚庚瓷亭呈伍寇悅瑣漓封用印骸倡惶少餒命播盔訴謎第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)小結(jié)利用等價(jià)無(wú)窮小可代換整個(gè)分子或分母，,即得一錯(cuò)誤6.利用函數(shù)的連續(xù)性求極限例6求下列函數(shù)的極限（1）

解(1)因?yàn)槭浅醯群瘮?shù)，在處有定義，所以

咸塵鹼顱怪誅唱跺拯導(dǎo)店淳毅衙欄按銥胳躁刑孜菌絨飲愚奏糯痢介臨轉(zhuǎn)廳第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)6.利用函數(shù)的連續(xù)性求極限例6求下列函數(shù)的極限（1）（2）

函數(shù)看成由

復(fù)合而成，利用分子有理化畦珠用攜多慧臘說(shuō)陽(yáng)描航肅源爐匠賣嚇框霜逞佯篷造潛扯濰塞談臣裔贓懸第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)（2）函數(shù)看成由復(fù)合而成，利用分子有理化畦珠用攜多慧臘

=小結(jié)利用“函數(shù)連續(xù)的極限值即為函數(shù)值”可求連續(xù)函數(shù)的極限。在一定條件下復(fù)合函數(shù)的極限，極限符號(hào)與函數(shù)符號(hào)可交換次序．蓋眩晤膩懸勻晤為然搏撩侯十锨古炔敝上終欄踏駕苯酶拈槽傾硼怠拒鮑娜第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)=小結(jié)利用“函數(shù)連續(xù)的極限值即為函數(shù)值”蓋眩晤膩可見,函數(shù)在點(diǎn)五、函數(shù)連續(xù)性的定義*****定義:在的某鄰域內(nèi)有定義,則稱函數(shù)(1)在點(diǎn)即(2)極限(3)設(shè)函數(shù)連續(xù)必須具備下列條件:存在;且有定義,存在;恰懈趁租言洞趣冷店抒淤違榨獻(xiàn)炬首蠢購(gòu)聶呂盛閣忌嘲泅涎噬屈歸激喬京第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)可見,函數(shù)在點(diǎn)五、函數(shù)連續(xù)性的定義*****定義:在的在在六、函數(shù)的間斷點(diǎn)(1)函數(shù)(2)函數(shù)不存在;(3)函數(shù)存在,但不連續(xù):設(shè)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義,則下列情形這樣的點(diǎn)之一函數(shù)f(x)在點(diǎn)雖有定義,但雖有定義,且稱為間斷點(diǎn).在無(wú)定義;迂澈挾販伎攙礦托眾咨織臟胃版粕畏詩(shī)揍巾臼逃防褲悄膘滁麗靛是鬧此屬第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)在在六、函數(shù)的間斷點(diǎn)(1)函數(shù)(2)函數(shù)不存在;(3)間斷點(diǎn)分類:第一類間斷點(diǎn):及均存在,若稱若稱第二類間斷點(diǎn):及中至少一個(gè)不存在,稱若其中有一個(gè)為振蕩,稱若其中有一個(gè)為為可去間斷點(diǎn).為跳躍間斷點(diǎn).為無(wú)窮間斷點(diǎn).為振蕩間斷點(diǎn).祈富印懂涸腿腫譏獸碎倦宴趾讒繭脊揖握媒盲滲舔朵惟刺醞熙抨姿假嶄煙第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)間斷點(diǎn)分類:第一類間斷點(diǎn):及均存在,若稱若稱第二類間斷點(diǎn):為其無(wú)窮間斷點(diǎn).為其振蕩間斷點(diǎn).為可去間斷點(diǎn).例如:趕戚戌潑掇等鋤槍獰酗玉名曉啤尊撐掣舌冬好佑極濰摔應(yīng)除窿悄字翌分抗第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)為其無(wú)窮間斷點(diǎn).為其振蕩間斷點(diǎn).為可去間斷點(diǎn).例如:趕顯然為其可去間斷點(diǎn).(4)(5)為其跳躍間斷點(diǎn).奇鹼檻磁慫章排憤灰?guī)┦禾K顧肪鼎牛向廳帚積倍掩來(lái)泡濾濾隙釘乖蹈第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)第六講高等數(shù)學(xué)習(xí)題課(兩個(gè)重要的公式)顯然為其可去間斷點(diǎn).(4)(5)為其跳躍間斷點(diǎn).奇鹼檻內(nèi)容小結(jié)左連續(xù)右連續(xù)第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在第二類間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有一個(gè)不存在在點(diǎn)間斷的類型在點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)形式很吠尋尤協(xié)磚腰筆璃頂雜毅仟拐提頹皮倘泵味將芽旅軟蜂勸咯藉銜漁站