天津耀華嘉誠國際2023學(xué)年高三一診考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)是上一點(diǎn),,則()A. B. C. D.2.已知某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖與側(cè)視圖是全等的直角三角形,則該幾何體的各個(gè)面中,最大面的面積為()A.2 B.5 C. D.3.記遞增數(shù)列的前項(xiàng)和為.若,,且對(duì)中的任意兩項(xiàng)與(),其和,或其積,或其商仍是該數(shù)列中的項(xiàng),則()A. B.C. D.4.甲、乙、丙三人參加某公司的面試,最終只有一人能夠被該公司錄用,得到面試結(jié)果以后甲說:丙被錄用了;乙說:甲被錄用了;丙說:我沒被錄用.若這三人中僅有一人說法錯(cuò)誤,則下列結(jié)論正確的是()A.丙被錄用了 B.乙被錄用了 C.甲被錄用了 D.無法確定誰被錄用了5.已知函數(shù)的最大值為,若存在實(shí)數(shù),使得對(duì)任意實(shí)數(shù)總有成立,則的最小值為()A. B. C. D.6.若(是虛數(shù)單位),則的值為()A.3 B.5 C. D.7.已知函數(shù),若,則的取值范圍是()A. B. C. D.8.設(shè),是兩條不同的直線,,是兩個(gè)不同的平面,給出下列四個(gè)命題:①若,,則;②若,,則;③若,,則;④若,,則;其中真命題的個(gè)數(shù)為()A. B. C. D.9.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A. B. C. D.10.某中學(xué)2019年的高考考生人數(shù)是2016年高考考生人數(shù)的1.2倍,為了更好地對(duì)比該??忌纳龑W(xué)情況,統(tǒng)計(jì)了該校2016年和2019年的高考情況,得到如圖柱狀圖:則下列結(jié)論正確的是().A.與2016年相比,2019年不上線的人數(shù)有所增加B.與2016年相比,2019年一本達(dá)線人數(shù)減少C.與2016年相比,2019年二本達(dá)線人數(shù)增加了0.3倍D.2016年與2019年藝體達(dá)線人數(shù)相同11.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),其右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c,0),點(diǎn)A是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線上的一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),滿足|OA|=A.2 B.2 C.23312.若非零實(shí)數(shù)、滿足,則下列式子一定正確的是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列的首項(xiàng),函數(shù)在上有唯一零點(diǎn),則數(shù)列|的前項(xiàng)和__________.14.“直線l1:與直線l2:平行”是“a=2”的_______條件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”).15.在三棱錐中,,,兩兩垂直且,點(diǎn)為的外接球上任意一點(diǎn),則的最大值為______.16.我國著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》提出了“三斜求積術(shù)”.他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜.三斜求積術(shù)就是用小斜平方加上大斜平方,送到中斜平方,取相減后余數(shù)的一半,自乘而得一個(gè)數(shù),小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那個(gè)數(shù),相減后余數(shù)被4除,所得的數(shù)作為“實(shí)”,1作為“隅”,開平方后即得面積.所謂“實(shí)”、“隅”指的是在方程中,p為“隅”,q為“實(shí)”.即若的大斜、中斜、小斜分別為a,b,c,則.已知點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn),,,,,則的面積為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在長方體中,,為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),為線段上一點(diǎn),且滿足,為的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求二面角的余弦值.18.(12分)已知.(1)若的解集為,求的值;(2)若對(duì)任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)設(shè)函數(shù).(1)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時(shí),設(shè)的最小值為,若恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.20.(12分)如圖,平面四邊形為直角梯形,,,,將繞著翻折到.(1)為上一點(diǎn),且,當(dāng)平面時(shí),求實(shí)數(shù)的值;(2)當(dāng)平面與平面所成的銳二面角大小為時(shí),求與平面所成角的正弦.21.(12分)如圖,在中,,,點(diǎn)在線段上.(1)若,求的長;(2)若,,求的面積.22.(10分)設(shè)函數(shù),.(1)求函數(shù)的極值;(2)對(duì)任意,都有,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】

根據(jù)拋物線定義得,即可解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所?故選B【點(diǎn)睛】本題考查拋物線定義,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.2.D【解析】

根據(jù)三視圖還原出幾何體,找到最大面,再求面積.【詳解】由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)三棱錐,如圖所示,將其放在一個(gè)長方體中,并記為三棱錐.,,,故最大面的面積為.選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的識(shí)別,復(fù)雜的三視圖還原為幾何體時(shí),一般借助長方體來實(shí)現(xiàn).3.D【解析】

由題意可得,從而得到,再由就可以得出其它各項(xiàng)的值,進(jìn)而判斷出的范圍.【詳解】解:,或其積,或其商仍是該數(shù)列中的項(xiàng),或者或者是該數(shù)列中的項(xiàng),又?jǐn)?shù)列是遞增數(shù)列,,,,只有是該數(shù)列中的項(xiàng),同理可以得到,,,也是該數(shù)列中的項(xiàng),且有,,或(舍,,根據(jù),,,同理易得,,,,,,,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的新定義的理解和運(yùn)用,以及運(yùn)算能力和推理能力,屬于中檔題.4.C【解析】

假設(shè)若甲被錄用了,若乙被錄用了,若丙被錄用了,再逐一判斷即可.【詳解】解:若甲被錄用了,則甲的說法錯(cuò)誤,乙,丙的說法正確,滿足題意,若乙被錄用了,則甲、乙的說法錯(cuò)誤,丙的說法正確,不符合題意,若丙被錄用了,則乙、丙的說法錯(cuò)誤,甲的說法正確,不符合題意,綜上可得甲被錄用了,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了邏輯推理能力,屬基礎(chǔ)題.5.B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的兩角和差公式得到,進(jìn)而可以得到函數(shù)的最值,區(qū)間(m,n)長度要大于等于半個(gè)周期,最終得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)則函數(shù)的最大值為2,存在實(shí)數(shù),使得對(duì)任意實(shí)數(shù)總有成立,則區(qū)間(m,n)長度要大于等于半個(gè)周期,即故答案為:B.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了三角函數(shù)的兩角和差的正余弦公式的應(yīng)用,以及三角函數(shù)的圖像的性質(zhì)的應(yīng)用,題目比較綜合.6.D【解析】

直接利用復(fù)數(shù)的模的求法的運(yùn)算法則求解即可.【詳解】(是虛數(shù)單位)可得解得本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算法則的應(yīng)用,復(fù)數(shù)的模的求法,考查計(jì)算能力.7.B【解析】

對(duì)分類討論,代入解析式求出,解不等式,即可求解.【詳解】函數(shù),由得或解得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用分段函數(shù)性質(zhì)解不等式,屬于基礎(chǔ)題.8.C【解析】

利用線線、線面、面面相應(yīng)的判定與性質(zhì)來解決.【詳解】如果兩條平行線中一條垂直于這個(gè)平面,那么另一條也垂直于這個(gè)平面知①正確;當(dāng)直線平行于平面與平面的交線時(shí)也有,,故②錯(cuò)誤;若,則垂直平面內(nèi)以及與平面平行的所有直線,故③正確;若,則存在直線且,因?yàn)椋?,從而,故④正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系,里面涉及到了相應(yīng)的判定定理以及性質(zhì)定理,是一道基礎(chǔ)題.9.A【解析】

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn),求得的坐標(biāo)得出答案.【詳解】解:,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.10.A【解析】

設(shè)2016年高考總?cè)藬?shù)為x,則2019年高考人數(shù)為,通過簡(jiǎn)單的計(jì)算逐一驗(yàn)證選項(xiàng)A、B、C、D.【詳解】設(shè)2016年高考總?cè)藬?shù)為x,則2019年高考人數(shù)為,2016年高考不上線人數(shù)為,2019年不上線人數(shù)為,故A正確;2016年高考一本人數(shù),2019年高考一本人數(shù),故B錯(cuò)誤;2019年二本達(dá)線人數(shù),2016年二本達(dá)線人數(shù),增加了倍,故C錯(cuò)誤;2016年藝體達(dá)線人數(shù),2019年藝體達(dá)線人數(shù),故D錯(cuò)誤.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查柱狀圖的應(yīng)用,考查學(xué)生識(shí)圖的能力,是一道較為簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)類的題目.11.C【解析】

計(jì)算得到Ac,bca【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為y=bax,A故Ac,bca,F(xiàn)c,0,故Mc,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線離心率,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.12.C【解析】

令,則,,將指數(shù)式化成對(duì)數(shù)式得、后,然后取絕對(duì)值作差比較可得.【詳解】令,則,,,,,因此,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用作差法比較大小,同時(shí)也考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的轉(zhuǎn)化,考查推理能力,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

由函數(shù)為偶函數(shù),可得唯一零點(diǎn)為,代入可得數(shù)列的遞推關(guān)系式,再進(jìn)行配湊轉(zhuǎn)換為等比數(shù)列,最后運(yùn)用分部求和可得答案.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù),在上有唯一零點(diǎn),所以,∴,∴,∴為首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.所以,.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的零點(diǎn),同時(shí)也考查了由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng),考查了數(shù)列的分部求和,屬于中檔題.14.必要不充分【解析】

先求解直線l1與直線l2平行的等價(jià)條件,然后進(jìn)行判斷.【詳解】“直線l1:與直線l2:平行”等價(jià)于a=±2,故“直線l1:與直線l2:平行”是“a=2”的必要不充分條件.故答案為:必要不充分.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分必要條件的判定,把已知條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化是求解這類問題的關(guān)鍵,側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).15.【解析】

先根據(jù)三棱錐的幾何性質(zhì),求出外接球的半徑,結(jié)合向量的運(yùn)算,將問題轉(zhuǎn)化為求球體表面一點(diǎn)到外心距離最大的問題,即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閮蓛纱怪鼻遥嗜忮F的外接球就是對(duì)應(yīng)棱長為2的正方體的外接球.且外接球的球心為正方體的體對(duì)角線的中點(diǎn),如下圖所示:容易知外接球半徑為.設(shè)線段的中點(diǎn)為,故可得,故當(dāng)取得最大值時(shí),取得最大值.而當(dāng)在同一個(gè)大圓上,且,點(diǎn)與線段在球心的異側(cè)時(shí),取得最大值,如圖所示:此時(shí),故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查球體的幾何性質(zhì),幾何體的外接球問題,涉及向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算,屬綜合性困難題.16..【解析】

利用正切的和角公式求得,再求得,利用余弦定理求得,代入“三斜求積術(shù)”公式即可求得答案.【詳解】,所以,由余弦定理可知,得.根據(jù)“三斜求積術(shù)”可得,所以.【點(diǎn)睛】本題考查正切的和角公式,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,余弦定理的應(yīng)用,考查學(xué)生分析問題的能力和計(jì)算整理能力,難度較易.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)證明見解析(2)【解析】

(1)解法一:作的中點(diǎn),連接,.利用三角形的中位線證得,利用梯形中位線證得,由此證得平面平面,進(jìn)而證得平面.解法二:建立空間直角坐標(biāo)系,通過證明直線的方向向量和平面的法向量垂直,證得平面.(2)利用平面和平面法向量,計(jì)算出二面角的余弦值.【詳解】(1)法一:作的中點(diǎn),連接,.又為的中點(diǎn),∴為的中位線,∴,又為的中點(diǎn),∴為梯形的中位線,∴,在平面中,,在平面中,,∴平面平面,又平面,∴平面.另解:(法二)∵在長方體中,,,兩兩互相垂直,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則,,,,,,,,,,,.(1)設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,令,則,.∴,又,∵,,又平面,平面.(2)設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,令,則,.∴.同理可算得平面的一個(gè)法向量為∴,又由圖可知二面角的平面角為一個(gè)鈍角,故二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本小題考查線面的位置關(guān)系,空間向量與線面角,二面角等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力,推理論證能力,運(yùn)算求解能力,數(shù)形結(jié)合思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想.18.(1);(2)【解析】

(1)利用兩邊平方法解含有絕對(duì)值的不等式,再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出的值;(2)利用絕對(duì)值不等式求出的最小值,把不等式化為只含有的不等式,求出不等式解集即可.【詳解】(1)不等式,即兩邊平方整理得由題意知和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根即,解得(2)因?yàn)樗砸共坏仁胶愠闪ⅲ恍璁?dāng)時(shí),,解得,即;當(dāng)時(shí),,解得,即;綜上所述,的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查了含有絕對(duì)值的不等式解法與應(yīng)用問題,也考查了分類討論思想,是中檔題.19.(1)的增區(qū)間為,減區(qū)間為;(2).【解析】

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由于參數(shù)的范圍對(duì)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有影響,對(duì)參數(shù)分類,再研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)由(1)的結(jié)論,求出的表達(dá)式,由于恒成立,故求出的最大值,即得實(shí)數(shù)的取值范圍的左端點(diǎn).【詳解】解:(1)解:,當(dāng)時(shí),,解得的增區(qū)間為,解得的減區(qū)間為.(2)解:若,由得,由得,所以函數(shù)的減區(qū)間為,增區(qū)間為;,因?yàn)椋?,,令,則恒成立,由于,當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在上是減函數(shù),所以成立;當(dāng)時(shí),若則,故函數(shù)在上是增函數(shù),即對(duì)時(shí),,與題意不符;綜上,為所求.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值與最小值問題中的應(yīng)用,求解本題關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性,由最值的定義得出函數(shù)的最值,本題中第一小題是求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,第二小題是一個(gè)求函數(shù)的最值的問題,此類題運(yùn)算量較大,轉(zhuǎn)化靈活,解題時(shí)極易因?yàn)樽冃闻c運(yùn)算出錯(cuò),故做題時(shí)要認(rèn)真仔細(xì).20.(1);(2).【解析】

(1)連接交于點(diǎn),連接,利用線面平行的性質(zhì)定理可推導(dǎo)出,然后利用平行線分線段成比例定理可求得的值;(2)取中點(diǎn),連接、,過點(diǎn)作,則,作于,連接,推導(dǎo)出,,可得出為平面與平面所成的銳二面角,由此計(jì)算出、,并證明出平面,可得出直線與平面所成的角為,進(jìn)而可求得與平面所成角的正弦值.【詳解】(1)連接交于點(diǎn),連接,平面,平面,平面平面,,在梯形中,,則,,,,所以,;(2)取中點(diǎn),連接、,過點(diǎn)作,則,作于,連接.為的中點(diǎn),且,,且,所以,四邊形為平行四邊形,由于,,,,,,,為的中點(diǎn),所以,,,同理,,,,平面,,,,為面與面所成的銳二面角,,,,,則,,,平面,平面,,,,面,為與底面所成的角,,,.在中,.因此,與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查利用線面平行的性質(zhì)求參數(shù),同時(shí)也考查了線面角的計(jì)算,涉及利用

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