熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理第九章系綜理論課件

系綜理論導(dǎo)引一、基本概念二、微正則系統(tǒng)三、正則系統(tǒng)四、巨正則系統(tǒng)（EnsembleTheory）系綜理論導(dǎo)引（EnsembleTheory）1在此之前，我們所討論的統(tǒng)計(jì)方法只能處理近獨(dú)立系統(tǒng)，不能用于粒子間有相互作用的系統(tǒng)。近獨(dú)立系統(tǒng)，其微觀粒子可以被看成為彼此獨(dú)立的、系統(tǒng)的能量等于每個(gè)微觀粒子能量之和，粒子之間沒有強(qiáng)的相互作用，每個(gè)粒子在相空間中為一個(gè)點(diǎn)，具有統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性。這種條件下推導(dǎo)出的分布定律適用于理想氣體。導(dǎo)引在此之前，我們所討論的統(tǒng)計(jì)方法只能處理近獨(dú)立系統(tǒng)，不能用于粒2處理粒子間有強(qiáng)相互作用這類問題，不能用粒子相空間，而要用系統(tǒng)相空間，即把整個(gè)系統(tǒng)所對應(yīng)的每個(gè)可能的微觀態(tài)集合起來進(jìn)行考慮，直接從整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)出發(fā)，不必過問個(gè)別粒子的狀態(tài)。當(dāng)粒子之間有很強(qiáng)的相互作用時(shí)，粒子除具有獨(dú)立的動(dòng)能外。還有相互作用的勢能，這樣任何一個(gè)微觀粒子狀態(tài)發(fā)生變化，都會(huì)影響其它粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。這時(shí)某個(gè)粒子具有確定的能量和動(dòng)量這句話的意義已經(jīng)含糊不清，因?yàn)樗S時(shí)間變化。結(jié)果是粒子不能從整個(gè)系統(tǒng)中分離出來。處理粒子間有強(qiáng)相互作用這類問題，不能用粒子相空間，而3§系綜理論的基本概念（TheFundamentalConceptofEnsembleTheory）、系統(tǒng)相空間Γ空間Г空間或系統(tǒng)相空間：以描述系統(tǒng)的f個(gè)廣義坐標(biāo)和f個(gè)廣義動(dòng)量為直角坐標(biāo)而構(gòu)成的一個(gè)2f維空間。設(shè)系統(tǒng)由N個(gè)粒子組成，粒子的自由度為r，則系統(tǒng)的自由度為f=Nr。任一時(shí)刻，系統(tǒng)的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由f個(gè)廣義坐標(biāo)和相應(yīng)的f個(gè)廣義動(dòng)量給出。為了形象地描述系統(tǒng)的微觀狀態(tài)，引入Г空間?！煜稻C理論的基本概念、系統(tǒng)相空間Γ空間Г空間或系統(tǒng)相空間4Г空間性質(zhì)：Г空間中的一個(gè)點(diǎn)代表系統(tǒng)的一個(gè)微觀態(tài)，這個(gè)點(diǎn)成為代表點(diǎn)。在一定宏觀條件下，若系統(tǒng)對應(yīng)Ω個(gè)微觀態(tài)，則在Г空間中就有Ω個(gè)代表點(diǎn)與之相對應(yīng)。當(dāng)系統(tǒng)的微觀狀態(tài)隨時(shí)間變化時(shí)，代表點(diǎn)相應(yīng)地在Г空間中移動(dòng)，從而形成相軌跡。相軌跡由哈密頓正則方程確定：Г空間性質(zhì)：Г空間中的一個(gè)點(diǎn)代表系統(tǒng)的一個(gè)微觀態(tài)，這個(gè)點(diǎn)成5對于孤立系，哈密頓量就是它的能量，在運(yùn)動(dòng)過程中，哈密頓量H（p,q）是一個(gè)守恒量。代表代表，E為系統(tǒng)的總能量μ為子相空間。其中N個(gè)點(diǎn)對應(yīng)Γ相空間的一個(gè)點(diǎn)；Γ相空間與μ相空間的關(guān)系可以這樣考慮：兩者都表示一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，后者是前者的集合。上式在Г空間中表示一個(gè)(2f-1)維的曲面，稱為能量曲面.對于孤立系，哈密頓量就是它的能量，在運(yùn)動(dòng)過程中，哈密頓量H（6二、兩種統(tǒng)計(jì)平均（1）時(shí)間平均（2）系綜平均系統(tǒng)的一個(gè)宏觀量的測量一般會(huì)持續(xù)一段時(shí)間，如宏觀短是指在這個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)，系統(tǒng)的宏觀量還沒有發(fā)生任何可觀測的變化；微觀長是指從微觀的角度，在該時(shí)間間隔內(nèi)，系統(tǒng)的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)已發(fā)生很大變化，從系統(tǒng)的相空間角度看，系統(tǒng)的代表點(diǎn)已經(jīng)在相空間中移動(dòng)了相當(dāng)一段。其中是一個(gè)宏觀短而微觀長的時(shí)間間隔。二、兩種統(tǒng)計(jì)平均（1）時(shí)間平均（2）系綜平均系統(tǒng)的一個(gè)宏觀量7在時(shí)間間隔內(nèi)對系統(tǒng)的某一宏觀物理量B進(jìn)行測量，實(shí)際上是在時(shí)間間隔內(nèi)就系統(tǒng)經(jīng)歷的一切微觀態(tài)所對應(yīng)的B(t)求平均值,稱為時(shí)間平均值。其表達(dá)式為推廣到一般情況則有：由于B(t)很難求得，上述的式子只能停留在定義的層面，而不能進(jìn)行真實(shí)的計(jì)算。在時(shí)間間隔內(nèi)對系統(tǒng)的某一宏觀物理量B進(jìn)行測量，實(shí)際上是在8辦法：用統(tǒng)計(jì)平均來代替時(shí)間平均即：用假想的一大群具有同樣宏觀性質(zhì)的系統(tǒng)在同一時(shí)刻的狀態(tài)分布來代替一個(gè)系統(tǒng)在一段微觀長而宏觀短時(shí)間內(nèi)所有微觀態(tài)的分布。以擲硬幣來說（一個(gè)硬幣相當(dāng)于一個(gè)系統(tǒng)）一個(gè)硬幣擲24000次與24000個(gè)硬幣一次擲，在保證外部條件與一次擲時(shí)相同的情況下，結(jié)果應(yīng)當(dāng)是相當(dāng)?shù)?。這種大量的、完全相同的、相互獨(dú)立的假想系統(tǒng)的集合稱為統(tǒng)計(jì)系綜，簡稱系綜。辦法：用統(tǒng)計(jì)平均來代替時(shí)間平均即：用假想的一大群具有同樣宏觀9這樣如果可求得24000個(gè)硬幣的分布情況則有：此平均值稱為系綜平均,引入系綜的概念后，就可用系綜平均值代替時(shí)間平均值。量子系統(tǒng)：若t時(shí)刻系統(tǒng)處在量子態(tài)s的概率記為系統(tǒng)不同的微觀態(tài)由量子數(shù)標(biāo)記：s=1,2,3…當(dāng)系統(tǒng)處于s量子態(tài)時(shí)，微觀量B的數(shù)值為Bs，則B在一切可能微觀狀態(tài)上的平均值為這樣如果可求得24000個(gè)硬幣的分布情況則有：此平均值稱為系10經(jīng)典系統(tǒng)：稱為分布函數(shù)，須滿足歸一化條件可能的微觀態(tài)在?？臻g中構(gòu)成一個(gè)連續(xù)分布不同的微觀態(tài)由相空間的位置標(biāo)記，系統(tǒng)相空間的相體積元表示為：因此時(shí)刻t，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)處于dΩ內(nèi)的概率可表為為分布函數(shù),滿足歸一化條件：經(jīng)典系統(tǒng)：稱為分布函數(shù)，須滿足歸一化條件可能的微觀態(tài)在?？臻g11根據(jù)外部條件的不同可以將系綜分為三類：（1）微正則系綜：由孤立系統(tǒng)（N、E、V不變）組成（2）正則系綜： 由N、V、T不變的系統(tǒng)組成（3）巨正則系綜：由V、T、μ不變的系統(tǒng)組成系綜理論的根本問題：確定分布函數(shù)ρ。因此時(shí)刻t，若系統(tǒng)的微觀狀態(tài)處于dΩ內(nèi)時(shí)，微觀量B的數(shù)值為B(q,p)，則B的統(tǒng)計(jì)平均值為根據(jù)外部條件的不同可以將系綜分為三類：（1）微正則系綜：由孤12§微正則系綜（MicrocanonicalEnsemble）一.等概率假設(shè)孤立系是與外界既無能量交換又無粒子交換的系統(tǒng)。由于絕對的孤立系是沒有的。所以精確的說，孤立系是指能量在E～E+?E之間，且?E<<E的系統(tǒng)。盡管?E很小，但在此范圍內(nèi)，系統(tǒng)可能具有的微觀狀態(tài)數(shù)仍是大量的，設(shè)其為Ω。由于這些微觀狀態(tài)滿足同樣的已給定的宏觀條件，因此它們之間應(yīng)當(dāng)是平權(quán)的。一個(gè)合理的想法是，系統(tǒng)處在每個(gè)微觀態(tài)上的概率是相等的，稱為等概率原理(微正則分布)?！煳⒄齽t系綜一.等概率假設(shè)孤立系是與外界既無能量交換又無13經(jīng)典表達(dá)式：是系統(tǒng)的某一微觀態(tài)出現(xiàn)在Г空間中處的概率。由等概率原理知，狀態(tài)s出現(xiàn)的概率為微正則分布的量子表式說明：(1)推論：具有同一能量和同一粒子數(shù)的全部微觀狀態(tài)都是可以經(jīng)歷的；因?yàn)橹挥兴鼈兪强梢越?jīng)歷的，才談得上是等概率的經(jīng)典表達(dá)式：是系統(tǒng)的某一微觀態(tài)出現(xiàn)在Г空間中處的概率。由等概14(2)微正則分布是平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)系綜理論中的唯一基本假設(shè)，其正確性由它的推論與實(shí)際結(jié)果符合而得到肯定二.系統(tǒng)的微觀態(tài)數(shù)由半經(jīng)典近似可知，系統(tǒng)的一個(gè)微觀態(tài)在?？臻g占體積為在能量E～E+ΔE范圍內(nèi)系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為式中N!是考慮到組成系統(tǒng)的N個(gè)微觀粒子是全同的(當(dāng)其相互交換時(shí)并不產(chǎn)生新的態(tài))引起的修正。(2)微正則分布是平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)系綜理論中的唯一基本假設(shè)，其正確15三、微正則分布的熱力學(xué)公式考慮一個(gè)孤立系統(tǒng)A0，由A1和A2構(gòu)成，其間的作用很微弱,分別是系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)。則令A(yù)1，A2進(jìn)行熱接觸，只交換能量，不交換粒子和改變體積。由于A0是孤立系統(tǒng)，上式表明對給定的E0，Ω0取決于E1，即取決于能量E0在A1，A2間的分配。三、微正則分布的熱力學(xué)公式考慮一個(gè)孤立系統(tǒng)A0，由A1和16根據(jù)等概率原理，系統(tǒng)在某一能量分配條件下的微觀狀態(tài)數(shù)越大，該能量分配出現(xiàn)的概率就越大。因?yàn)闊崞胶獗貙?yīng)概率最大的狀態(tài)則所以A1，A2達(dá)到熱平衡時(shí)應(yīng)滿足條件：根據(jù)等概率原理，系統(tǒng)在某一能量分配條件下的微觀狀態(tài)數(shù)越大，該17定義：則：--即為統(tǒng)計(jì)熱平衡條件熱力學(xué)時(shí)曾有過相似的式子：比較后可知β與1/T成正比，令二者之比為1/k，則且由于上面的討論是普遍的，因此上面兩式的關(guān)系是普適的。可以通過理想氣體參數(shù)定下k.定義：則：--即為統(tǒng)計(jì)熱平衡條件熱力學(xué)時(shí)曾有過相似的式子：比18如果A1，A2不僅可以交換能量，而且可以改變體積和交換粒子，則：虛變動(dòng)取單獨(dú)改變E虛變動(dòng)取單獨(dú)改變V虛變動(dòng)取單獨(dú)改變N定義：如果A1，A2不僅可以交換能量，而且可以改變體積和交換粒子，19則平衡條件可表為：為了確定αβγ的物理意義，將lnΩ的全微分記為：比較開系的熱力學(xué)基本方程等價(jià)于從熱力學(xué)得到的單元兩相平衡條件：則平衡條件可表為：為了確定αβγ的物理意義，將lnΩ的全微分20下面來確定k的數(shù)值：經(jīng)典理想氣體，1個(gè)分子處于V內(nèi)，可能的微觀狀態(tài)數(shù)∝VN個(gè)分子處于V內(nèi)，可能的微觀狀態(tài)數(shù)∝VN比較由實(shí)驗(yàn)得到的理想氣體的物態(tài)方程：即為玻爾茲曼常量。下面來確定k的數(shù)值：經(jīng)典理想氣體，1個(gè)分子處于V內(nèi)，可能的微21四、應(yīng)用微正則分布求熱力學(xué)函數(shù)的程序：1.求出微觀狀態(tài)數(shù)Ω(N,E,V)2.求熵S=lnΩ3.從S(N,E,V)→E(S,N,V)4.由dE=TdS-PdV從而將熵，內(nèi)能和物態(tài)方程均表達(dá)為TVN的函數(shù)，進(jìn)而確定系統(tǒng)的全部平衡性質(zhì)四、應(yīng)用微正則分布求熱力學(xué)函數(shù)的程序：1.求出微觀狀態(tài)數(shù)Ω(22以單原子分子理想氣體為例：設(shè)理想氣體含有N個(gè)單原子分子，則哈密頓量在半經(jīng)典近似下，系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：先計(jì)算能量小于某一數(shù)值Ｅ的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)以單原子分子理想氣體為例：設(shè)理想氣體含有N個(gè)單原子分子，則哈23令，則半徑為1的3N維球體積。所以令，則半徑為1的3N維球體積。所以24于是理想氣體的熵為：所以在E～E+ΔE內(nèi)的微觀狀態(tài)數(shù)為其中利用了斯特林公式。再注意到所以上式中最后一項(xiàng)遠(yuǎn)小于前面兩項(xiàng)，可忽略不計(jì)于是于是理想氣體的熵為：所以在E～E+ΔE內(nèi)的微觀狀態(tài)數(shù)為其中利25由可分別得出理想氣體的內(nèi)能和狀態(tài)方程為結(jié)果與我們在M-B統(tǒng)計(jì)所得結(jié)果是完全一致的。由可分別得出理想氣體的內(nèi)能和狀態(tài)方程為結(jié)果與我們在M-B統(tǒng)計(jì)26§正則系綜（CanonicalEnsemble）N,V,T都相同且恒定的大量系統(tǒng)所組成的系綜。分析：為保證系統(tǒng)溫度Ｔ一定，可設(shè)想系統(tǒng)與一個(gè)具有恒定溫度T的大熱源進(jìn)行接觸，且處于熱平衡。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)s確定時(shí)，即：正則系綜的概率分布稱為正則分布。引入：復(fù)合系統(tǒng)E0（孤立）§正則系綜N,V,T都相同且恒定的大量系統(tǒng)所組成的系綜。分27即系統(tǒng)處在狀態(tài)S的概率對在E0附近泰勒展開取頭兩項(xiàng)有由于Ωr是極大的數(shù)，在物理上可等價(jià)的考察lnΩr即系統(tǒng)處在狀態(tài)S的概率對在E0附近泰勒展開取頭兩項(xiàng)有由于Ωr28由于是一個(gè)與系統(tǒng)無關(guān)的常量，因而其中Ｃ是與狀態(tài)s無關(guān)的比例常數(shù)。由歸一化條件Z為正則配分函數(shù)。由于ρs只與狀態(tài)s的能量Es有關(guān)，考慮到有些微觀態(tài)具有相同的能量，如果以El表示系統(tǒng)的各個(gè)能級，Ωl表示簡并度，則系統(tǒng)處在能級El的概率可表為：由于是一個(gè)與系統(tǒng)無關(guān)的常量，因而其中Ｃ是與狀態(tài)s無關(guān)的比例常29配分函數(shù)也可表為此二式即是正則分布的量子表達(dá)式。正則分布的經(jīng)典表達(dá)式：量子到經(jīng)典的推廣配分函數(shù)也可表為此二式即是正則分布的量子表達(dá)式。正則分布的經(jīng)30§正則分布的熱力學(xué)量（ThermodynamicQuantitiesofCanonicalEnsemble）采用從、熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表式內(nèi)能U：給定Ｎ，V，Ｔ條件下，系統(tǒng)能量E在一切可能系統(tǒng)微觀態(tài)上的統(tǒng)計(jì)平均值，即廣義力：系統(tǒng)狀態(tài)確定在s態(tài)時(shí)，受力為§正則分布的熱力學(xué)量采用從、熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表式內(nèi)能U：給定Ｎ31重要特例：壓強(qiáng)熵：已知熱力學(xué)中熵的表達(dá)式（閉系）下面由統(tǒng)計(jì)學(xué)的內(nèi)能和廣義力表達(dá)式來構(gòu)造類似的全微分公式。重要特例：壓強(qiáng)熵：已知熱力學(xué)中熵的表達(dá)式（閉系）下面由統(tǒng)計(jì)學(xué)32同樣考慮：同樣考慮：33所以：即已知系統(tǒng)能量Es可從二、正則系綜的能量漲落系統(tǒng)的能量值與能量平均值的偏差的方均值稱為能量漲落漲落所以：即已知系統(tǒng)能量Es可從二、正則系綜的能量漲落系統(tǒng)的能量34，，35能量的相對漲落：所以相對漲落即對于宏觀系統(tǒng)，能量的相對漲落極小，可忽略正則分布微正則分布（對宏觀系統(tǒng)）能量的相對漲落：所以相對漲落即對于宏觀系統(tǒng)，能量的相對漲落極36正則系綜可處理有相互作用的系統(tǒng)，能正確給出相互作用對系統(tǒng)性質(zhì)的修正，以實(shí)際氣體的態(tài)方程為例，說明典型的“三部曲”方法?！鞂?shí)際氣體的物態(tài)方程（EquationofStateforaRealGas）、模型設(shè)：1.無外場。突出主要矛盾，不要交叉，分解難點(diǎn)與x、y、z無關(guān)。正則系綜可處理有相互作用的系統(tǒng)，能正確給出相互作用對系統(tǒng)性質(zhì)372．氣體仍較稀薄，只有兩兩互作用，略去三個(gè)以上互作用。，i<j保證只有。3．的形式二、配分函數(shù)與位形積分2．氣體仍較稀薄，只有兩兩互作用，略去三個(gè)以上互作用。，i<38其中Ｑ稱為位形積分或位形配分函數(shù)。為計(jì)算Q，我們對每一對分子引進(jìn)一個(gè)函數(shù)，其定義為稱為梅逸函數(shù)，其意義為：當(dāng)較大時(shí)，趨于零，分子i，j相互獨(dú)立，；相反，當(dāng)兩個(gè)分子靠近時(shí)變小，不等于零，分子i，j相互關(guān)聯(lián)，不等于零。其中Ｑ稱為位形積分或位形配分函數(shù)。為計(jì)算Q，我們對每一對分子39引入兩分子的質(zhì)心坐標(biāo)和相對坐標(biāo)對質(zhì)心的積分得體積V引入兩分子的質(zhì)心坐標(biāo)和相對坐標(biāo)對質(zhì)心的積分得體積V40由于只在r小于分子力程時(shí)才不為零，所以的數(shù)量級是以分子力程為半徑的球體，于是對于低密度氣體有所以氣體的壓強(qiáng)為：由于只在r小于分子力程時(shí)才不為零，所以的數(shù)量級是以分子力程為41稱為第二位力系數(shù)。此即實(shí)際氣體的狀態(tài)方程。為進(jìn)一步求出，需要進(jìn)一步假設(shè)的形式?？梢娂僭O(shè)是很“有功夫”的，對否得看結(jié)果與實(shí)際的符合程度。稱為第二位力系數(shù)。此即實(shí)際氣體的狀態(tài)方程。為進(jìn)一步求出，需要42§巨正則系綜（GrandCanonicalEnsemble）由Ｔ、Ｖ和μ都相同且恒定的大量系統(tǒng)組成。分析：具有確定V，T，μ的系統(tǒng)可設(shè)想為同時(shí)與大熱源和大粒子源接觸達(dá)到平衡的系統(tǒng)引入復(fù)合系統(tǒng)（孤立系統(tǒng)）：sr(N,E)開系巨正則系綜的概率分布稱為巨正則分布?！炀拚齽t系綜由Ｔ、Ｖ和μ都相同且恒定的大量系統(tǒng)組成。分析：43一、分布函數(shù)：與正則系綜相似討論系統(tǒng)狀態(tài)S確定時(shí)，即即系統(tǒng)處在狀態(tài)S的概率對在E0，N0附近泰勒展開取頭兩項(xiàng)有一、分布函數(shù)：與正則系綜相似討論系統(tǒng)狀態(tài)S確定時(shí)，即即系統(tǒng)處44對無窮大熱源和粒子源，分別視作E，V不變和N，V不變，故由微正則分布的定義：對系統(tǒng)來說是一常數(shù)。所以對無窮大熱源和粒子源，分別視作E，V不變和N，V不變，故由微45將分布函數(shù)歸一化，可得式中雙重求和表示：在某一粒子數(shù)N下，對系統(tǒng)所有可能的微觀態(tài)求和，再對所有可能的粒子數(shù)求和。巨正則分布的經(jīng)典表達(dá)式為將分布函數(shù)歸一化，可得式中雙重求和表示：在某一粒子數(shù)N下，對46二.巨正則分布的熱力學(xué)公式：平均粒子數(shù)平均能量—內(nèi)能二.巨正則分布的熱力學(xué)公式：平均粒子數(shù)平均能量—內(nèi)能47廣義力：熵：由于廣義力：熵：由于48因此有將上式與開系的熱力學(xué)基本方程比較，可得巨熱力學(xué)勢因此有將上式與開系的熱力學(xué)基本方程比較，可得巨熱力學(xué)勢49三、巨正則系綜的粒子數(shù)漲落粒子數(shù)漲落所以粒子數(shù)的相對漲落為三、巨正則系綜的粒子數(shù)漲落粒子數(shù)漲落所以粒子數(shù)的相對漲落為50所以粒子數(shù)的相對漲落即對于宏觀系統(tǒng)，粒子數(shù)的相對漲落是極小的巨正則分布正則分布（對宏觀系統(tǒng)）由于是廣延量，也是廣延量，其量級所以粒子數(shù)的相對漲落即對于宏觀系統(tǒng)，粒子數(shù)的相對漲落是極小的51由于宏觀體系的粒子數(shù)極大，使得系綜平均值的漲落極小上都是適用的。由它們得到的結(jié)果應(yīng)該是相等的。三種系綜的宏觀條件的差別在實(shí)際問題中并不總顯示出來。但在某些條件下系綜平均值的漲落會(huì)比較大，這時(shí)就有差別了。從數(shù)學(xué)上的方便程度來看，微正則系綜是最不方便的。實(shí)際上幾乎從來不用。正則系綜與巨正則系綜是等價(jià)的。實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于采用不同的特性函數(shù)。對正則系綜來說采用以T、V、N(或)為獨(dú)立參量的自由能（F），而巨正則系綜則為特性函數(shù)。實(shí)際應(yīng)用上巨正則系綜更方便些。。對于確定宏觀體系的熱力學(xué)性質(zhì)來說，三種系綜原則采用以為獨(dú)立參量的巨熱力學(xué)勢（J）由于宏觀體系的粒子數(shù)極大，使得系綜平均值的漲落極小上都是適用52綜合上述：一方面，巨正則系綜略去粒子數(shù)漲落就成了正則系綜，正則系綜略去能量漲落就成了微正則系綜，即微正則系綜是正則系綜或巨正則系綜的極限情況?；蛘哒f，巨正則系綜“包含”正則系綜或微正則系綜。另一方面，由于一個(gè)大孤立系包含了封閉系或開放系，可由微正則分布導(dǎo)出正則分布或巨正則分布，所以從這個(gè)意義上說微正則系綜應(yīng)“包含”正則系綜或巨正則系綜?？梢姡齻€(gè)系綜之間的關(guān)系可謂“你中有我，我中有你，景中有景”。它們各自選取不同的自變量，等效地處理宏觀系統(tǒng)的熱力學(xué)問題。綜合上述：一方面，巨正則系綜略去粒子數(shù)漲落就成了正則53不同統(tǒng)計(jì)方法的區(qū)別：最概然理論：宏觀量是微觀量在最概然分布下的平均值系綜理論：宏觀量是微觀量在給定宏觀條件下一切可能的微觀狀態(tài)上的平均值定義兩種統(tǒng)計(jì)方法的區(qū)別：相對漲落可證明：相對漲落是1/N的量級，所以對于宏觀系統(tǒng)，N極大，則兩種統(tǒng)計(jì)方法得到的統(tǒng)計(jì)平均值是相同的。不同統(tǒng)計(jì)方法的區(qū)別：最概然理論：宏觀量是微觀量在最概然分布下54氣體：看作是熱源和粒子源N個(gè)分子在N0個(gè)吸附中心上的排列數(shù)有：被吸附的分子：可與氣體(源)交換粒子和能量的系統(tǒng),遵從巨正則分布。四、巨正則分布的簡單應(yīng)用： 吸附現(xiàn)象設(shè)吸附表面有N0個(gè)吸附中心，每個(gè)吸附中心可吸附一個(gè)氣體分子。被吸附的氣體分子能量為.求達(dá)到平衡時(shí)吸附率與氣體溫度和壓強(qiáng)的關(guān)系氣體：看作是熱源和粒子源N個(gè)分子在N0個(gè)吸附中心上的排列數(shù)有55熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理第九章系綜理論課件56簡單應(yīng)用（二）由巨正則分布導(dǎo)出Ｆ-Ｄ分布和Ｂ-Ｅ分布巨正則分布為：假設(shè)系統(tǒng)只含一種近獨(dú)立粒子，粒子能級為εl，為簡單起見，設(shè)能級均為非簡并，則簡單應(yīng)用（二）由巨正則分布導(dǎo)出Ｆ-Ｄ分布和Ｂ-Ｅ分布巨正則分57即：能級上的平均粒子數(shù)為：即：能級上的平均粒子數(shù)為：58對于玻色子，單粒子態(tài)上的粒子數(shù)沒有限制，于是對于費(fèi)米子，考慮泡利不相容原理的限制，于是對于玻色子，單粒子態(tài)上的粒子數(shù)沒有限制，于是對于費(fèi)米子，考慮59系綜理論導(dǎo)引一、基本概念二、微正則系統(tǒng)三、正則系統(tǒng)四、巨正則系統(tǒng)（EnsembleTheory）系綜理論導(dǎo)引（EnsembleTheory）60在此之前，我們所討論的統(tǒng)計(jì)方法只能處理近獨(dú)立系統(tǒng)，不能用于粒子間有相互作用的系統(tǒng)。近獨(dú)立系統(tǒng)，其微觀粒子可以被看成為彼此獨(dú)立的、系統(tǒng)的能量等于每個(gè)微觀粒子能量之和，粒子之間沒有強(qiáng)的相互作用，每個(gè)粒子在相空間中為一個(gè)點(diǎn)，具有統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性。這種條件下推導(dǎo)出的分布定律適用于理想氣體。導(dǎo)引在此之前，我們所討論的統(tǒng)計(jì)方法只能處理近獨(dú)立系統(tǒng)，不能用于粒61處理粒子間有強(qiáng)相互作用這類問題，不能用粒子相空間，而要用系統(tǒng)相空間，即把整個(gè)系統(tǒng)所對應(yīng)的每個(gè)可能的微觀態(tài)集合起來進(jìn)行考慮，直接從整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)出發(fā)，不必過問個(gè)別粒子的狀態(tài)。當(dāng)粒子之間有很強(qiáng)的相互作用時(shí)，粒子除具有獨(dú)立的動(dòng)能外。還有相互作用的勢能，這樣任何一個(gè)微觀粒子狀態(tài)發(fā)生變化，都會(huì)影響其它粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。這時(shí)某個(gè)粒子具有確定的能量和動(dòng)量這句話的意義已經(jīng)含糊不清，因?yàn)樗S時(shí)間變化。結(jié)果是粒子不能從整個(gè)系統(tǒng)中分離出來。處理粒子間有強(qiáng)相互作用這類問題，不能用粒子相空間，而62§系綜理論的基本概念（TheFundamentalConceptofEnsembleTheory）、系統(tǒng)相空間?？臻gГ空間或系統(tǒng)相空間：以描述系統(tǒng)的f個(gè)廣義坐標(biāo)和f個(gè)廣義動(dòng)量為直角坐標(biāo)而構(gòu)成的一個(gè)2f維空間。設(shè)系統(tǒng)由N個(gè)粒子組成，粒子的自由度為r，則系統(tǒng)的自由度為f=Nr。任一時(shí)刻，系統(tǒng)的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由f個(gè)廣義坐標(biāo)和相應(yīng)的f個(gè)廣義動(dòng)量給出。為了形象地描述系統(tǒng)的微觀狀態(tài)，引入Г空間?！煜稻C理論的基本概念、系統(tǒng)相空間?？臻gГ空間或系統(tǒng)相空間63Г空間性質(zhì)：Г空間中的一個(gè)點(diǎn)代表系統(tǒng)的一個(gè)微觀態(tài)，這個(gè)點(diǎn)成為代表點(diǎn)。在一定宏觀條件下，若系統(tǒng)對應(yīng)Ω個(gè)微觀態(tài)，則在Г空間中就有Ω個(gè)代表點(diǎn)與之相對應(yīng)。當(dāng)系統(tǒng)的微觀狀態(tài)隨時(shí)間變化時(shí)，代表點(diǎn)相應(yīng)地在Г空間中移動(dòng)，從而形成相軌跡。相軌跡由哈密頓正則方程確定：Г空間性質(zhì)：Г空間中的一個(gè)點(diǎn)代表系統(tǒng)的一個(gè)微觀態(tài)，這個(gè)點(diǎn)成64對于孤立系，哈密頓量就是它的能量，在運(yùn)動(dòng)過程中，哈密頓量H（p,q）是一個(gè)守恒量。代表代表，E為系統(tǒng)的總能量μ為子相空間。其中N個(gè)點(diǎn)對應(yīng)Γ相空間的一個(gè)點(diǎn)；Γ相空間與μ相空間的關(guān)系可以這樣考慮：兩者都表示一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，后者是前者的集合。上式在Г空間中表示一個(gè)(2f-1)維的曲面，稱為能量曲面.對于孤立系，哈密頓量就是它的能量，在運(yùn)動(dòng)過程中，哈密頓量H（65二、兩種統(tǒng)計(jì)平均（1）時(shí)間平均（2）系綜平均系統(tǒng)的一個(gè)宏觀量的測量一般會(huì)持續(xù)一段時(shí)間，如宏觀短是指在這個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)，系統(tǒng)的宏觀量還沒有發(fā)生任何可觀測的變化；微觀長是指從微觀的角度，在該時(shí)間間隔內(nèi)，系統(tǒng)的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)已發(fā)生很大變化，從系統(tǒng)的相空間角度看，系統(tǒng)的代表點(diǎn)已經(jīng)在相空間中移動(dòng)了相當(dāng)一段。其中是一個(gè)宏觀短而微觀長的時(shí)間間隔。二、兩種統(tǒng)計(jì)平均（1）時(shí)間平均（2）系綜平均系統(tǒng)的一個(gè)宏觀量66在時(shí)間間隔內(nèi)對系統(tǒng)的某一宏觀物理量B進(jìn)行測量，實(shí)際上是在時(shí)間間隔內(nèi)就系統(tǒng)經(jīng)歷的一切微觀態(tài)所對應(yīng)的B(t)求平均值,稱為時(shí)間平均值。其表達(dá)式為推廣到一般情況則有：由于B(t)很難求得，上述的式子只能停留在定義的層面，而不能進(jìn)行真實(shí)的計(jì)算。在時(shí)間間隔內(nèi)對系統(tǒng)的某一宏觀物理量B進(jìn)行測量，實(shí)際上是在67辦法：用統(tǒng)計(jì)平均來代替時(shí)間平均即：用假想的一大群具有同樣宏觀性質(zhì)的系統(tǒng)在同一時(shí)刻的狀態(tài)分布來代替一個(gè)系統(tǒng)在一段微觀長而宏觀短時(shí)間內(nèi)所有微觀態(tài)的分布。以擲硬幣來說（一個(gè)硬幣相當(dāng)于一個(gè)系統(tǒng)）一個(gè)硬幣擲24000次與24000個(gè)硬幣一次擲，在保證外部條件與一次擲時(shí)相同的情況下，結(jié)果應(yīng)當(dāng)是相當(dāng)?shù)?。這種大量的、完全相同的、相互獨(dú)立的假想系統(tǒng)的集合稱為統(tǒng)計(jì)系綜，簡稱系綜。辦法：用統(tǒng)計(jì)平均來代替時(shí)間平均即：用假想的一大群具有同樣宏觀68這樣如果可求得24000個(gè)硬幣的分布情況則有：此平均值稱為系綜平均,引入系綜的概念后，就可用系綜平均值代替時(shí)間平均值。量子系統(tǒng)：若t時(shí)刻系統(tǒng)處在量子態(tài)s的概率記為系統(tǒng)不同的微觀態(tài)由量子數(shù)標(biāo)記：s=1,2,3…當(dāng)系統(tǒng)處于s量子態(tài)時(shí)，微觀量B的數(shù)值為Bs，則B在一切可能微觀狀態(tài)上的平均值為這樣如果可求得24000個(gè)硬幣的分布情況則有：此平均值稱為系69經(jīng)典系統(tǒng)：稱為分布函數(shù)，須滿足歸一化條件可能的微觀態(tài)在?？臻g中構(gòu)成一個(gè)連續(xù)分布不同的微觀態(tài)由相空間的位置標(biāo)記，系統(tǒng)相空間的相體積元表示為：因此時(shí)刻t，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)處于dΩ內(nèi)的概率可表為為分布函數(shù),滿足歸一化條件：經(jīng)典系統(tǒng)：稱為分布函數(shù)，須滿足歸一化條件可能的微觀態(tài)在?？臻g70根據(jù)外部條件的不同可以將系綜分為三類：（1）微正則系綜：由孤立系統(tǒng)（N、E、V不變）組成（2）正則系綜： 由N、V、T不變的系統(tǒng)組成（3）巨正則系綜：由V、T、μ不變的系統(tǒng)組成系綜理論的根本問題：確定分布函數(shù)ρ。因此時(shí)刻t，若系統(tǒng)的微觀狀態(tài)處于dΩ內(nèi)時(shí)，微觀量B的數(shù)值為B(q,p)，則B的統(tǒng)計(jì)平均值為根據(jù)外部條件的不同可以將系綜分為三類：（1）微正則系綜：由孤71§微正則系綜（MicrocanonicalEnsemble）一.等概率假設(shè)孤立系是與外界既無能量交換又無粒子交換的系統(tǒng)。由于絕對的孤立系是沒有的。所以精確的說，孤立系是指能量在E～E+?E之間，且?E<<E的系統(tǒng)。盡管?E很小，但在此范圍內(nèi)，系統(tǒng)可能具有的微觀狀態(tài)數(shù)仍是大量的，設(shè)其為Ω。由于這些微觀狀態(tài)滿足同樣的已給定的宏觀條件，因此它們之間應(yīng)當(dāng)是平權(quán)的。一個(gè)合理的想法是，系統(tǒng)處在每個(gè)微觀態(tài)上的概率是相等的，稱為等概率原理(微正則分布)?！煳⒄齽t系綜一.等概率假設(shè)孤立系是與外界既無能量交換又無72經(jīng)典表達(dá)式：是系統(tǒng)的某一微觀態(tài)出現(xiàn)在Г空間中處的概率。由等概率原理知，狀態(tài)s出現(xiàn)的概率為微正則分布的量子表式說明：(1)推論：具有同一能量和同一粒子數(shù)的全部微觀狀態(tài)都是可以經(jīng)歷的；因?yàn)橹挥兴鼈兪强梢越?jīng)歷的，才談得上是等概率的經(jīng)典表達(dá)式：是系統(tǒng)的某一微觀態(tài)出現(xiàn)在Г空間中處的概率。由等概73(2)微正則分布是平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)系綜理論中的唯一基本假設(shè)，其正確性由它的推論與實(shí)際結(jié)果符合而得到肯定二.系統(tǒng)的微觀態(tài)數(shù)由半經(jīng)典近似可知，系統(tǒng)的一個(gè)微觀態(tài)在Γ空間占體積為在能量E～E+ΔE范圍內(nèi)系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為式中N!是考慮到組成系統(tǒng)的N個(gè)微觀粒子是全同的(當(dāng)其相互交換時(shí)并不產(chǎn)生新的態(tài))引起的修正。(2)微正則分布是平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)系綜理論中的唯一基本假設(shè)，其正確74三、微正則分布的熱力學(xué)公式考慮一個(gè)孤立系統(tǒng)A0，由A1和A2構(gòu)成，其間的作用很微弱,分別是系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)。則令A(yù)1，A2進(jìn)行熱接觸，只交換能量，不交換粒子和改變體積。由于A0是孤立系統(tǒng)，上式表明對給定的E0，Ω0取決于E1，即取決于能量E0在A1，A2間的分配。三、微正則分布的熱力學(xué)公式考慮一個(gè)孤立系統(tǒng)A0，由A1和75根據(jù)等概率原理，系統(tǒng)在某一能量分配條件下的微觀狀態(tài)數(shù)越大，該能量分配出現(xiàn)的概率就越大。因?yàn)闊崞胶獗貙?yīng)概率最大的狀態(tài)則所以A1，A2達(dá)到熱平衡時(shí)應(yīng)滿足條件：根據(jù)等概率原理，系統(tǒng)在某一能量分配條件下的微觀狀態(tài)數(shù)越大，該76定義：則：--即為統(tǒng)計(jì)熱平衡條件熱力學(xué)時(shí)曾有過相似的式子：比較后可知β與1/T成正比，令二者之比為1/k，則且由于上面的討論是普遍的，因此上面兩式的關(guān)系是普適的?？梢酝ㄟ^理想氣體參數(shù)定下k.定義：則：--即為統(tǒng)計(jì)熱平衡條件熱力學(xué)時(shí)曾有過相似的式子：比77如果A1，A2不僅可以交換能量，而且可以改變體積和交換粒子，則：虛變動(dòng)取單獨(dú)改變E虛變動(dòng)取單獨(dú)改變V虛變動(dòng)取單獨(dú)改變N定義：如果A1，A2不僅可以交換能量，而且可以改變體積和交換粒子，78則平衡條件可表為：為了確定αβγ的物理意義，將lnΩ的全微分記為：比較開系的熱力學(xué)基本方程等價(jià)于從熱力學(xué)得到的單元兩相平衡條件：則平衡條件可表為：為了確定αβγ的物理意義，將lnΩ的全微分79下面來確定k的數(shù)值：經(jīng)典理想氣體，1個(gè)分子處于V內(nèi)，可能的微觀狀態(tài)數(shù)∝VN個(gè)分子處于V內(nèi)，可能的微觀狀態(tài)數(shù)∝VN比較由實(shí)驗(yàn)得到的理想氣體的物態(tài)方程：即為玻爾茲曼常量。下面來確定k的數(shù)值：經(jīng)典理想氣體，1個(gè)分子處于V內(nèi)，可能的微80四、應(yīng)用微正則分布求熱力學(xué)函數(shù)的程序：1.求出微觀狀態(tài)數(shù)Ω(N,E,V)2.求熵S=lnΩ3.從S(N,E,V)→E(S,N,V)4.由dE=TdS-PdV從而將熵，內(nèi)能和物態(tài)方程均表達(dá)為TVN的函數(shù)，進(jìn)而確定系統(tǒng)的全部平衡性質(zhì)四、應(yīng)用微正則分布求熱力學(xué)函數(shù)的程序：1.求出微觀狀態(tài)數(shù)Ω(81以單原子分子理想氣體為例：設(shè)理想氣體含有N個(gè)單原子分子，則哈密頓量在半經(jīng)典近似下，系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：先計(jì)算能量小于某一數(shù)值Ｅ的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)以單原子分子理想氣體為例：設(shè)理想氣體含有N個(gè)單原子分子，則哈82令，則半徑為1的3N維球體積。所以令，則半徑為1的3N維球體積。所以83于是理想氣體的熵為：所以在E～E+ΔE內(nèi)的微觀狀態(tài)數(shù)為其中利用了斯特林公式。再注意到所以上式中最后一項(xiàng)遠(yuǎn)小于前面兩項(xiàng)，可忽略不計(jì)于是于是理想氣體的熵為：所以在E～E+ΔE內(nèi)的微觀狀態(tài)數(shù)為其中利84由可分別得出理想氣體的內(nèi)能和狀態(tài)方程為結(jié)果與我們在M-B統(tǒng)計(jì)所得結(jié)果是完全一致的。由可分別得出理想氣體的內(nèi)能和狀態(tài)方程為結(jié)果與我們在M-B統(tǒng)計(jì)85§正則系綜（CanonicalEnsemble）N,V,T都相同且恒定的大量系統(tǒng)所組成的系綜。分析：為保證系統(tǒng)溫度Ｔ一定，可設(shè)想系統(tǒng)與一個(gè)具有恒定溫度T的大熱源進(jìn)行接觸，且處于熱平衡。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)s確定時(shí)，即：正則系綜的概率分布稱為正則分布。引入：復(fù)合系統(tǒng)E0（孤立）§正則系綜N,V,T都相同且恒定的大量系統(tǒng)所組成的系綜。分86即系統(tǒng)處在狀態(tài)S的概率對在E0附近泰勒展開取頭兩項(xiàng)有由于Ωr是極大的數(shù)，在物理上可等價(jià)的考察lnΩr即系統(tǒng)處在狀態(tài)S的概率對在E0附近泰勒展開取頭兩項(xiàng)有由于Ωr87由于是一個(gè)與系統(tǒng)無關(guān)的常量，因而其中Ｃ是與狀態(tài)s無關(guān)的比例常數(shù)。由歸一化條件Z為正則配分函數(shù)。由于ρs只與狀態(tài)s的能量Es有關(guān)，考慮到有些微觀態(tài)具有相同的能量，如果以El表示系統(tǒng)的各個(gè)能級，Ωl表示簡并度，則系統(tǒng)處在能級El的概率可表為：由于是一個(gè)與系統(tǒng)無關(guān)的常量，因而其中Ｃ是與狀態(tài)s無關(guān)的比例常88配分函數(shù)也可表為此二式即是正則分布的量子表達(dá)式。正則分布的經(jīng)典表達(dá)式：量子到經(jīng)典的推廣配分函數(shù)也可表為此二式即是正則分布的量子表達(dá)式。正則分布的經(jīng)89§正則分布的熱力學(xué)量（ThermodynamicQuantitiesofCanonicalEnsemble）采用從、熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表式內(nèi)能U：給定Ｎ，V，Ｔ條件下，系統(tǒng)能量E在一切可能系統(tǒng)微觀態(tài)上的統(tǒng)計(jì)平均值，即廣義力：系統(tǒng)狀態(tài)確定在s態(tài)時(shí)，受力為§正則分布的熱力學(xué)量采用從、熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表式內(nèi)能U：給定Ｎ90重要特例：壓強(qiáng)熵：已知熱力學(xué)中熵的表達(dá)式（閉系）下面由統(tǒng)計(jì)學(xué)的內(nèi)能和廣義力表達(dá)式來構(gòu)造類似的全微分公式。重要特例：壓強(qiáng)熵：已知熱力學(xué)中熵的表達(dá)式（閉系）下面由統(tǒng)計(jì)學(xué)91同樣考慮：同樣考慮：92所以：即已知系統(tǒng)能量Es可從二、正則系綜的能量漲落系統(tǒng)的能量值與能量平均值的偏差的方均值稱為能量漲落漲落所以：即已知系統(tǒng)能量Es可從二、正則系綜的能量漲落系統(tǒng)的能量93，，94能量的相對漲落：所以相對漲落即對于宏觀系統(tǒng)，能量的相對漲落極小，可忽略正則分布微正則分布（對宏觀系統(tǒng)）能量的相對漲落：所以相對漲落即對于宏觀系統(tǒng)，能量的相對漲落極95正則系綜可處理有相互作用的系統(tǒng)，能正確給出相互作用對系統(tǒng)性質(zhì)的修正，以實(shí)際氣體的態(tài)方程為例，說明典型的“三部曲”方法。§實(shí)際氣體的物態(tài)方程（EquationofStateforaRealGas）、模型設(shè)：1.無外場。突出主要矛盾，不要交叉，分解難點(diǎn)與x、y、z無關(guān)。正則系綜可處理有相互作用的系統(tǒng)，能正確給出相互作用對系統(tǒng)性質(zhì)962．氣體仍較稀薄，只有兩兩互作用，略去三個(gè)以上互作用。，i<j保證只有。3．的形式二、配分函數(shù)與位形積分2．氣體仍較稀薄，只有兩兩互作用，略去三個(gè)以上互作用。，i<97其中Ｑ稱為位形積分或位形配分函數(shù)。為計(jì)算Q，我們對每一對分子引進(jìn)一個(gè)函數(shù)，其定義為稱為梅逸函數(shù)，其意義為：當(dāng)較大時(shí)，趨于零，分子i，j相互獨(dú)立，；相反，當(dāng)兩個(gè)分子靠近時(shí)變小，不等于零，分子i，j相互關(guān)聯(lián)，不等于零。其中Ｑ稱為位形積分或位形配分函數(shù)。為計(jì)算Q，我們對每一對分子98引入兩分子的質(zhì)心坐標(biāo)和相對坐標(biāo)對質(zhì)心的積分得體積V引入兩分子的質(zhì)心坐標(biāo)和相對坐標(biāo)對質(zhì)心的積分得體積V99由于只在r小于分子力程時(shí)才不為零，所以的數(shù)量級是以分子力程為半徑的球體，于是對于低密度氣體有所以氣體的壓強(qiáng)為：由于只在r小于分子力程時(shí)才不為零，所以的數(shù)量級是以分子力程為100稱為第二位力系數(shù)。此即實(shí)際氣體的狀態(tài)方程。為進(jìn)一步求出，需要進(jìn)一步假設(shè)的形式。可見假設(shè)是很“有功夫”的，對否得看結(jié)果與實(shí)際的符合程度。稱為第二位力系數(shù)。此即實(shí)際氣體的狀態(tài)方程。為進(jìn)一步求出，需要101§巨正則系綜（GrandCanonicalEnsemble）由Ｔ、Ｖ和μ都相同且恒定的大量系統(tǒng)組成。分析：具有確定V，T，μ的系統(tǒng)可設(shè)想為同時(shí)與大熱源和大粒子源接觸達(dá)到平衡的系統(tǒng)引入復(fù)合系統(tǒng)（孤立系統(tǒng)）：sr(N,E)開系巨正則系綜的概率分布稱為巨正則分布。§巨正則系綜由Ｔ、Ｖ和μ都相同且恒定的大量系統(tǒng)組成。分析：102一、分布函數(shù)：與正則系綜相似討論系統(tǒng)狀態(tài)S確定時(shí)，即即系統(tǒng)處在狀態(tài)S的概率對在E0，N0附近泰勒展開取頭兩項(xiàng)有一、分布函數(shù)：與正則系綜相似討論系統(tǒng)狀態(tài)S確定時(shí)，即即系統(tǒng)處103對無窮大熱源和粒子源，分別視作E，V不變和N，V不變，故由微正則分布的定義：對系統(tǒng)來說是一常數(shù)。所以對無窮大熱源和粒子源，分別視作E，V不變和N，V不變，故由微104將分布函數(shù)歸一化，可得式中雙重求和表示：在某一粒子數(shù)N下，對系統(tǒng)所有可能的微觀態(tài)求和，再對所有可能的粒子數(shù)求和。巨正則分布的經(jīng)典表達(dá)式為將分布函數(shù)歸