熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理期末復(fù)習(xí)考試試題

一.填空題.設(shè)一多元復(fù)相系有個(gè)中相，每相有個(gè)k組元，組元之間不起化學(xué)反應(yīng)。此系統(tǒng)平衡時(shí)必同時(shí)滿足條件:Ta=T條件:Ta=TP=...=TQ 、Pa=PP=---=PQ 、Ra二.p=...=rq(i=12,???k)iii[.熱力學(xué)第三定律的兩種表述分別叫做：能特斯定律和絕對(duì)零度不能達(dá)到定律。.假定一系統(tǒng)僅由兩個(gè)全同玻色粒子組成，粒子可能的量子態(tài)有4種。則系統(tǒng)可能的微觀態(tài)數(shù)為:。.均勻系的平衡條件是1=%且P=Po；平衡穩(wěn)定性條件是0卜>0且(器I<°。a=一 a二一^^玻色分布表為 ‘ea+p*-i；費(fèi)米分布表為 'e『+p"+1；玻耳茲曼分布表為a=3e-a-p^ ―1°。當(dāng)滿足條件e-<<1時(shí)，玻色分布和費(fèi)米分布均過渡到玻耳茲曼分布。6熱力學(xué)系統(tǒng)的四個(gè)狀態(tài)量S、V、P、T所滿足的麥克斯韋關(guān)系為-(?)avap at-(?)avap atasT V, P s, T P, V saT V, P s, T P, V sa a&lnZ7.玻耳茲曼系統(tǒng)粒子配分函數(shù)用Z表示，內(nèi)能統(tǒng)計(jì)表達(dá)式為u-n卞1廣義力統(tǒng)計(jì)表達(dá)式為iN-aInz1 s=Nk(InZ-P01nZi)-=-P 7T，熵的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式為 1那 ，自由能的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式為F=-NkT1nZ、 1_。.單元開系的內(nèi)能、自由能、焓和吉布斯函數(shù)所滿足的全微分是：，，，。.均勻開系的克勞修斯方程組包含如下四個(gè)微分方程：dU=Tds-pdV+RdndHTdsV"dndG=-sdT+Vdp+pdndF=SdT~pdV+^dn ， ， ，.等溫等容條件下系統(tǒng)中發(fā)生的自發(fā)過程，總是朝著自由能減小方向進(jìn)行，當(dāng)自由能減小到極小值時(shí)，系統(tǒng)達(dá)到平衡態(tài)；處在等溫等壓條件下的系統(tǒng)中發(fā)生的自發(fā)過程，總是朝著吉布斯函數(shù)減小的方向進(jìn)行，當(dāng)吉布斯函數(shù)減小到極小侑時(shí)，系統(tǒng)達(dá)到平衡態(tài)。.對(duì)于含N個(gè)分子的雙原子分子理想氣體，在一般溫度下，原子內(nèi)部電子的運(yùn)動(dòng)對(duì)熱容量無貢獻(xiàn)；7 「3溫度大大于振動(dòng)特征溫度時(shí)， 0廠2N—；溫度小小于轉(zhuǎn)動(dòng)特征溫度時(shí)， °V=2N—。溫度大大于轉(zhuǎn)動(dòng)特征溫度而小小于動(dòng)特征溫度時(shí)，，zii^—。12.玻耳茲曼系統(tǒng)的特點(diǎn)是：系統(tǒng)由全同可分辨粒子組成:粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用量子態(tài)來描寫:確定每個(gè)粒子的量子態(tài)即可確定系統(tǒng)的微觀態(tài)：粒子所處的狀態(tài)不受泡利不相容原子的約束。113準(zhǔn)靜態(tài)過程是指過程進(jìn)行中的每一個(gè)中間態(tài)均可視為平衡態(tài) 的過程:無摩擦準(zhǔn)靜態(tài)過程的特點(diǎn)是外界對(duì)系綜的作用力，可用系統(tǒng)的狀態(tài)參量表示出來。14.絕熱過程是指，系統(tǒng)狀態(tài)的改變，完全是機(jī)械或電磁作用的結(jié)果，而沒有受到其他任何影響的過程。在絕熱過程中，外界對(duì)系統(tǒng)所做的功與具體的過程無關(guān)，僅由初終兩態(tài)決定。二.簡述題.寫出系統(tǒng)處在平衡態(tài)的自由能判據(jù)。一個(gè)處在溫度和體積不變條件下的系統(tǒng)，處在穩(wěn)定平衡態(tài)的充要條件是，對(duì)于各種可能的有限虛變動(dòng)，所引起的自由能的改變均大于零。即AF>0。.寫出系統(tǒng)處在平衡態(tài)的吉布斯函數(shù)判據(jù)。一個(gè)處在溫度和壓強(qiáng)不變條件下的系統(tǒng)，處在穩(wěn)定平衡態(tài)的充要條件是，對(duì)于各種可能的有限虛變動(dòng)，所引起的吉布斯函數(shù)的改變均大于零。即AG>0。.寫出系統(tǒng)處在平衡態(tài)的熵判據(jù)。一個(gè)處在內(nèi)能和體積不變條件下的系統(tǒng)，處在穩(wěn)定平衡態(tài)的充要條件是，對(duì)于各種可能的有限虛變動(dòng)，所引起的熵變均小于零。即AS<0.玻爾茲曼關(guān)系與熵的統(tǒng)計(jì)解釋。由波耳茲曼關(guān)系S=k?ln?？芍?，系統(tǒng)熵的大小反映出系統(tǒng)在該宏觀狀態(tài)下所具有的可能的微觀狀態(tài)的多少。而可能的微觀狀態(tài)的多少，反映出在該宏觀平衡態(tài)下系統(tǒng)的混亂度的大小。故，熵是系統(tǒng)內(nèi)部混亂度的量度。.為什么在常溫或低溫下原子內(nèi)部的電子對(duì)熱容量沒有貢獻(xiàn)？不考慮能級(jí)的精細(xì)結(jié)構(gòu)時(shí)，原子內(nèi)的電子激發(fā)態(tài)與基態(tài)的能量差為1?10eV，相應(yīng)的特征溫度為104?105K。在常溫或低溫下，電子通過熱運(yùn)動(dòng)獲得如此大的能量而躍遷到激發(fā)態(tài)的概率幾乎為零，平均而言電子被凍結(jié)基態(tài)，因此對(duì)熱容量沒有貢獻(xiàn)。.為什么在常溫或低溫下雙原子分子的振動(dòng)對(duì)熱容量貢獻(xiàn)可以忽略？因?yàn)殡p原子分子的振動(dòng)特征溫度0y~103K,在常溫或低溫下kT<<k9y,振子通過熱運(yùn)動(dòng)獲得能量力①二k0y從而躍遷到激發(fā)態(tài)的概率極小，因此對(duì)熱容量的貢獻(xiàn)可以忽略。.能量均分定理。對(duì)于處在平衡態(tài)的經(jīng)典系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)的溫度為T時(shí)，粒子能量￡的表達(dá)式中的每一個(gè)獨(dú)立平方項(xiàng)的平均值為2kT。8等概率原理。對(duì)于處在平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)的各種可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。9.系統(tǒng)的基本熱力學(xué)函數(shù)有哪些？什么叫特性函數(shù)？什么叫自然參量?；緹崃W(xué)函數(shù)有：物態(tài)方程，內(nèi)能，熵。特性函數(shù)：適當(dāng)選擇獨(dú)立變量，只要知道一個(gè)熱力學(xué)函數(shù)就可以求偏導(dǎo)數(shù)而求得均勻系統(tǒng)的全部熱力學(xué)函數(shù)，從而把均勻系統(tǒng)的平衡性質(zhì)確定，這個(gè)熱力學(xué)函數(shù)稱為特性函數(shù)。11試說明，在應(yīng)用經(jīng)典理論的能量均分定理求理想氣體的熱容量時(shí)，出現(xiàn)哪些與實(shí)驗(yàn)不符的結(jié)論或無法解釋的問題（至少例舉三項(xiàng)）？.最大功原理①系統(tǒng)在等溫等容過程中對(duì)外所做的功不大于其自由能的減?。?wWFa-Fb）②在等溫等壓條件下，能夠從系統(tǒng)獲得的最大體變功等于系統(tǒng)吉布斯函數(shù)的減小。.寫出能斯特定理的內(nèi)容凝聚態(tài)的熵在等溫過程中的改變隨絕對(duì)溫度趨于零.什么是近獨(dú)立粒子系統(tǒng)粒子之間的相互作用力很弱，相互作用的平均能量遠(yuǎn)小于單個(gè)粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之間的相互作用.單元復(fù)相系達(dá)到平衡時(shí)所滿足的相變平衡條件是什么？如果該平衡條件未能滿足，變化將朝著怎樣的方向進(jìn)行？相變平衡條件：Ra=RB變化方向：（P82）.寫出吉布斯相律的表達(dá)式，并說明各物理量的含義。F=k+2-① F:多元復(fù)相系的自由度，是多元復(fù)相系可以獨(dú)立改變的強(qiáng)度量變量的數(shù)目。k：系統(tǒng)的組元數(shù)中：系統(tǒng)的相數(shù).寫玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費(fèi)米系統(tǒng)的微觀態(tài)數(shù)統(tǒng)計(jì)表達(dá)式，并說明它們之間的聯(lián)系。^二n（①/:a_:）!與分布｛〃，｝相應(yīng)的，玻色系統(tǒng)微觀狀態(tài)數(shù)為__B?E-Q3!；費(fèi)米系統(tǒng)的微觀狀態(tài)q二n/①！、 q.二nNa!n3"數(shù)B.EQad（3廠aJ；玻耳茲曼系統(tǒng)微觀狀態(tài)數(shù)為BEM' 。當(dāng)滿足條件經(jīng)q=q q典近似條件時(shí)，三種微觀狀態(tài)數(shù)之間的關(guān)系為Qb'EQF.DN!Qm?E 。.為什么說，對(duì)于一個(gè)處在平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，可以將粒子的最概然分布視為粒子的平衡態(tài)分布？.試說明，在應(yīng)用經(jīng)典理論的能量均分定理求固體熱容量時(shí)，出現(xiàn)哪些與實(shí)驗(yàn)不符的結(jié)論或無法解釋的問題？①.在低溫范圍內(nèi)，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)固體的熱容量隨溫度降低地很快，當(dāng)溫度趨近絕對(duì)零度時(shí)，熱容量也趨于零②.對(duì)于金屬的自由電子，如果將能量的均分定理應(yīng)用于電子，自由電子的熱容量與離子振動(dòng)的熱容量將有相同的數(shù)量級(jí)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果是3k以上的自由電子的熱容量與離子振動(dòng)的熱容量相比可以忽略不計(jì)。三.選擇題1.系統(tǒng)自某一狀態(tài)A開始，分別經(jīng)兩個(gè)不同的過程到達(dá)終態(tài)B。下面說法正確的是 B（A）在兩個(gè)過程中吸收的熱量相同時(shí)，內(nèi)能的改變就一定相同（B）只有在兩個(gè)過程中吸熱相同且做功也相同時(shí)，內(nèi)能的改變才會(huì)相同3（C）經(jīng)歷的過程不同，內(nèi)能的改變不可能相同（D）上面三種說法都是錯(cuò)誤的2.下列各式中不正確的是（dH2.下列各式中不正確的是（dH）(B)1dn)T,V(C)33.吉布斯函數(shù)作為特性函數(shù)應(yīng)選取的獨(dú)立態(tài)參量是（A）溫度和體積（A）溫度和體積（C）熵和體積（D）孤立的系統(tǒng)（B）溫度和壓強(qiáng)（D）熵和壓強(qiáng)44.費(fèi)米統(tǒng)計(jì)的巨配分函數(shù)用已表示，則熵的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式是Coa/i「oa/i「dln己ddln己'(A)S=“1n二-洋—0"07(i「dIn己dd1n己'(C)S—卜11nx.-P"oa/i「dIn己dd1n己)(B)s=N1n^-a——-p--—Ida dPJ(7(i「dIn己dd1n己)(D)s=k1n^+a——+p——、 da dp).自由能作為特性函數(shù)應(yīng)選取的獨(dú)立態(tài)參量是 A.自由能作為特性函數(shù)應(yīng)選取的獨(dú)立態(tài)參量是 A（A）溫度和體積B）溫度和壓強(qiáng) （C）熵和體積（D）熵和壓強(qiáng).由熱力學(xué)基本方程dG—-SdT+Vdp可得麥克斯韋關(guān)系D(A)(C)居IVI(A)(C)居IVISIIdVJT-國1ds4(B)(D)佟I1dpJs七〕pg)1dsJp-1s,1dpJT.將平衡輻射場(chǎng)視為處在平衡態(tài)的光子氣體系統(tǒng)，下面說法不正確的是（A）這是一個(gè)玻色系統(tǒng)（B）這是一個(gè)能量和粒子數(shù)守恒的系統(tǒng)（C）系統(tǒng)中光子的分布遵從玻色分布（D）這是一個(gè)非定域系統(tǒng).封閉系統(tǒng)指 C（A）與外界無物質(zhì)和能量交換的系統(tǒng)（B）能量守衡的系統(tǒng)（C）與外界無物質(zhì)交換但可能有能量交換的系統(tǒng).下列系統(tǒng)中適合用玻爾茲曼分布規(guī)律處理的系統(tǒng)有 B（A）經(jīng)典系統(tǒng)（B）滿足非簡并條件的玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)

（C）滿足弱簡并性條件的玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)（D）非定域體系統(tǒng).0，和0，分別是雙原子分子的振動(dòng)特征溫度和轉(zhuǎn)動(dòng)特征溫度，下面說法正確的是（A）T；>,時(shí)，振動(dòng)自由度完全“解凍”，但轉(zhuǎn)動(dòng)自由度仍被“凍結(jié)”。（B）T>>0:時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)自由度完全“解凍”，但振動(dòng)自由度仍被“凍結(jié)”（C）T>>,時(shí)，振動(dòng)自由度和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度均完全“解凍”。（D）T>>0:時(shí)，振動(dòng)自由度和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度均完全“解凍”。.氣體的非簡并條件是 D（A）分子平均動(dòng)能遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于kT（B）分子平均距離極大于它的尺度（C）分子數(shù)密度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1（D）分子平均距離遠(yuǎn)大于分子德布羅意波的平均熱波長.不考慮粒子自旋，在邊長L的正方形區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的二維自由粒子，其中動(dòng)量的大小處在P?p+dp范圍的粒子可能的量子態(tài)數(shù)為 B一九L（D）--p2dp

h2-4兀L2 2兀L一九L（D）--p2dp

h2（A）——pdp （B）pdp（C）dph2 h2 h2五.推導(dǎo)與證明1.試用麥克斯韋關(guān)系，導(dǎo)出方程1.試用麥克斯韋關(guān)系，導(dǎo)出方程TdS=CvdTdV假定CV可視為常量，由此導(dǎo)出理想氣體的絕熱過程方程TV.1=C（常量）。右."S

解：:心=［而dT+:.TdS=右."S

解：:心=［而dT+:.TdS=T（dS[dT+TV由麥?zhǔn)详P(guān)系1dVJtdV=CdT+TVTdS=CdT+TV1dVJtdVdVnRnR一nR絕熱過程dS=0，理想氣體p=v^TddTdWCVT+nRp-=0積分得CVInT+nRInV=C（常量）???C/CV=,nR=C-CV=CJy-1）故：lnTVy-1=C',即：TV卜二C（常量）.證明:

=Q)證明：選T,V為獨(dú)立變量，則;dG=-SdT+Vdp+日dn\±(aG_)_anap.u-CaG)一n\±(aG_)_anap故勺),n&ipTp,而6)-故勺),n&ipTn.證明焓態(tài)方程:證：選T、p作為狀態(tài)參量時(shí)，有而，dHdT+dp(1)dSlatp(as1dT+--dp

lapJ（2）代入（3）得:比較（1）、（4）得:（2）dH=TdS+VdpdH=T|-aS|dT+

latJp（5）（3）dp（4）（6）代入（6），即得代入（6），即得將麥?zhǔn)详P(guān)系—1ap(11T.導(dǎo)出含有N個(gè)原子的愛因斯坦固體的內(nèi)能和熱容量表達(dá)式:3N力①3N力①CV=3Nk網(wǎng)/T解：按愛因斯坦假設(shè)，將N個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)視為3N個(gè)線性諧振子的振動(dòng)，且所有諧振子的振動(dòng)頻率相同。諧振子的能級(jí)為：￡=(n+1/2)%3(n=0,1,2???)

則,振子的配分函數(shù)為：4=工痔(n"n=則,振子的配分函數(shù)為：4=工痔(n"n=0?.?lnZ]=-2P力3—ln（1—e—P%）dInZ 3 3N%3e邛」.?.U=-3N—廠=-N力3+ 那2 1—e-a3方V方 e-P%/2=e-P3/2?乙（e-P3）n= -1—e-p3n=0M[=-W]箓）=3Nk【襄）（epe^VV引入愛因斯坦特征溫度eE：%3=keE，即得：CV=3Nk1%jC:")5.導(dǎo)出愛因斯坦固體的熵表達(dá)式：S=3Nk上”-ln《-e-pGep力3—1解：設(shè)固體系統(tǒng)含有N個(gè)原子，按愛因斯坦假設(shè)，將N個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)視為3N個(gè)線性諧振子的振動(dòng)，且所有諧振子的振動(dòng)頻率相同。諧振子的能級(jí)為:8=%3(n+J),(n=0,1,2，…)乙則，振子的配分函數(shù)為：方1 e-之p%3Z=?e-P3（n+2）=e21 1—e-p.3n=0lnz=-lnz=-1p力3-ln（1—e-p%）,1 2盟=-1力3-#-郎2 ep%-1S=3Nk(lnZ-P。1nZ1)=3Nk[即3-ln(1-e-p方3)]1 0P ep1-16.證明，對(duì)于一維自由粒子，在長度L內(nèi)，能量在￡?8+d的范圍內(nèi)，可能的量子態(tài)數(shù)為D（8）d8=L（2m）1/28-1/2d8。h證：由量子態(tài)與相空間體積元之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)于一維自由粒子，在相空間體積元adp.內(nèi)的可能的量子態(tài)數(shù)為駕匕。h因此，在長度L內(nèi)，動(dòng)量大小在p?p+dp范圍內(nèi)粒子的可能的量子態(tài)數(shù)為2Ldp

h故，在長度L內(nèi)，能量在故，在長度L內(nèi)，能量在2?￡+成范圍內(nèi)，可能的量子態(tài)數(shù)為D(8)d8=L(2m)1/28-1/2d8。

h7.證明:①彥1lapJ,①證明：???dH=TdS+VdP,由全微分條件得：7.證明:①彥1lapJ,①證明：???dH=TdS+VdP,由全微分條件得：②證明：由dU=TdS-PdV，令dU=0得:P〉0,T〉0 ,Q)〉0avU.導(dǎo)出普朗克黑體輻射公式。Gt);Gv)°Ps解：在體積v內(nèi)，動(dòng)量在P?p+dp范圍的光子的量子態(tài)數(shù)為因?yàn)椋庾託怏w是玻色系統(tǒng)遵從玻色分布，由于系統(tǒng)的光子數(shù)不守恒，每個(gè)量子態(tài)上平均光子數(shù)為1*e卬/kT―1「 8方3又 P二二二一cC所以，在體積V內(nèi)，圓頻率在3?3+d3范圍內(nèi)的光子的量子態(tài)數(shù)為D(3)d3=8兀V?力332d3=V?32d3h3c3 兀2c3在此范圍內(nèi)的光子數(shù)為Nd3=f?D(3)d3=-V H2—d33 兀2C3e:/kT―1故，在此范圍內(nèi)的輻射能量為:U(T,3)d3二.對(duì)于給定系統(tǒng)，若已知力3?Nd3=- 上3—d33 兀2C3e%/kT一1但1=旦，戶1=工-把包laTJv-blavJ v-bRv3v P，求此系統(tǒng)的物態(tài)方程。解：設(shè)物態(tài)方程為P=P(T,v)，則dp嚕|dT+席Jdvv T(1)??(0p1dp嚕|dT+席Jdvv T(1)??(0p1=-1l°vJT(0TJ(vv-b和［割)pT 2a(v-b)v-b Rv3代入（2）得(0TJ(v上Tv-bv-b2a(v-b)Rv32aRTv3Q-b?Rr和（3）代入（1）得v-bRRTdp- dT-， rv-b \y-b)2dv+竺dv-d”V3v-bIv-bv2Y，… RTa也積分得：p- --—，即:v-bv2(v-b)=RT11.已知?dú)怏w系統(tǒng)通常滿足經(jīng)典極限條件且粒子動(dòng)量和能量準(zhǔn)連續(xù)變化，采用量子統(tǒng)計(jì)方法導(dǎo)出單原子分子理想氣體的內(nèi)能。解：氣體系統(tǒng)遵從玻耳茲曼分布，粒子配分函數(shù)為Z工3e-%ii=Ze-叱（對(duì)所有量子態(tài)s求和）當(dāng)粒子能量準(zhǔn)連續(xù)變化時(shí)，上述對(duì)量子態(tài)求和可用日空間積分替代。因?yàn)?，?維日空間中，x?x+dx，，p~p+dp，py?py+dpy,p-p+dp范圍內(nèi)的粒子，其可能的量子態(tài)數(shù)為—dxdydzdpdpdph3 xyz且，粒子的能量為：￡2m(px2+py2+啖。所以Z-f..Je-t(px2+py2+P；)—dxdydzdpdpdp

1 h3 xyz匕』-P-2ge-2mpxdx-gInZ=InV+31n

i 2-21nP由內(nèi)能的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式U=-N以嗎，得:ap3—NkT.證