線性空間的定義與性質(zhì)

關(guān)于線性空間的定義與性質(zhì)第1頁，共13頁，2022年，5月20日，18點42分，星期五

如果上述的兩種運算滿足以下八條運算規(guī)律,那么,就稱V為數(shù)域R上的線性空間(或向量空間):(1)加法交換律:a+b=b+a

;(2)加法結(jié)合律:(a+b)+g=a+(b+g)

;(3)零元素:存在OV,對任一向量a,有a+O=a;(4)負(fù)元素:對任一元素aV,存在

V,有a+

=O,記

=

–a;(5)1

a=

a;(6)數(shù)乘結(jié)合律:k(la)=(lk)a;(7)數(shù)乘對加法的分配律:k(a+b)=ka+kb;(8)數(shù)量加法對數(shù)乘的分配律:(k+l)a=ka+la.設(shè),

,

,OV,1,l,k

R,

說明1.凡滿足以上八條運算規(guī)律的加法及乘數(shù)運算統(tǒng)稱為線性運算.第2頁，共13頁，2022年，5月20日，18點42分，星期五

說明2.向量(線性)空間中的元素稱為向量,但不一定是有序數(shù)組.

說明3.判別線性空間的方法:一個集合,對于定義的加法和數(shù)乘運算不封閉,或者運算不滿足八條性質(zhì)的任一條,則此集合就不能構(gòu)成線性空間.(1)如果在一個集合上定義的加法和乘數(shù)運算是通常實數(shù)間的加,乘運算,則只需檢驗運算的封閉性.線性空間的判定方法:

例1:

實數(shù)域上的全體mn矩陣,對矩陣的加法和數(shù)乘運算構(gòu)成實數(shù)域R上的線性空間,記作Rmn.Rmn中的向量(元素)是mn矩陣.

例2:

次數(shù)不超過n的多項式的全體記作P[x]n,即P[x]n={p(x)=a0+a1x+···+anxn|a0,a1,

···,anR}對通常多項式加法,數(shù)乘構(gòu)成向量空間.第3頁，共13頁，2022年，5月20日，18點42分，星期五通常的多項式加法,數(shù)乘多項式的乘法兩種運算滿足線性運算規(guī)律.實際上

對p(x)=a0+a1x+···+anxn,q(x)=b0+b1x+···+bnxnP[x]n,R,=(a0+a1x+···+anxn)+(b0+b1x+···+bnxn)=(a0+b0)+(a1+b1)x+···+(an+bn)xnp(x)+q(x)=(a0+a1x+···+anxn)

p(x)=a0+a1x+···+anxnP[x]n,所以P[x]n對線性運算封閉.

例3:

次數(shù)等于n的多項式的全體記作Q[x]n,即Q[x]n={p(x)=a0+a1x+···+anxn|a0,a1,···,anR,an

0

}對于通常的多項式加法,數(shù)乘不構(gòu)成向量空間.

多項式加法,數(shù)乘兩種運算對Q[x]n不滿足線性運算的封閉性.實際上P[x]n,第4頁，共13頁，2022年，5月20日，18點42分，星期五對p(x)=a0+a1x+···+anxnQ[x]n,0R,0p(x)=0(a0+a1x+···+anxn)

=0+0x+···+0xn=0Q[x]n.

所以Q[x]n對線性運算不封閉.

例4:

正弦函數(shù)的集合S[x]={s(x)=Asin(x+B)|A,BR}對于通常的函數(shù)加法及數(shù)乘函數(shù)的乘法構(gòu)成線性空間.對s1(x)=A1sin(x+B1),s2(x)=A2sin(x+B2)S[x],R,由于,s1(x)+s2(x)=A1sin(x+B1)+A2sin(x+B2)=(a1cosx+b1sinx)+(a2cosx+b2sinx)=Asin(x+B)=(a1+a2)cosx+(b1+b2)sinxS[x],s1(x)=A1sin(x+B1)=(A1)sin(x+B1)S[x],所以,S[x]是一個線性空間.第5頁，共13頁，2022年，5月20日，18點42分，星期五

例5:

在區(qū)間[a,b]上全體實連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的集合記為C[a,b],對函數(shù)的加法和數(shù)與函數(shù)的數(shù)量乘法,構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間.(2)一個集合,如果定義的加法和乘數(shù)運算不是通常的實數(shù)間的加,乘運算,則必需檢驗是否滿足八條線性運算規(guī)律.

例6:

正實數(shù)的全體記作R+,在其中定義加法及乘數(shù)運算為:ab

=

ab,a=

a,(R,a,bR+)驗證R+對上述加法與乘數(shù)運算構(gòu)成(實數(shù)域R上的)線性空間.證明:對任意a,bR+,

R,ab

=

abR+,a=

aR+,所以對R+上定義的加法與乘數(shù)運算封閉.第6頁，共13頁，2022年，5月20日，18點42分，星期五

下面驗證八條線性運算規(guī)律:對任意a,b,cR+,

k,

lR,(1)

ab=ab=ba=ba;(2)(ab)c=(ab)c=

(ab)c=

a(bc)

=

a(bc)

=a(bc)

;(3)

存在零元1R+,對任意aR+,有a1=a1=a;(4)

對任一元素aR+,存在負(fù)元素a-1R+,有aa–1=a

a–1=1;(5)1a=

a1

=a;(6)

k(la)=kal=

(al)k=

akl=

(k

l)a;(7)

k(ab)

=

k(a

b)

=

(a

b)k

=

akbk(8)(k+l)a=

ak+l=ak

al=

akbk

=kakb;所以,R+對所定義的運算構(gòu)成線性空間.=akal=ka

la.第7頁，共13頁，2022年，5月20日，18點42分，星期五對于通常的有序數(shù)組的加法及如下定義的數(shù)乘:(x1,x2,···,xn)T=(0,0,···,0)T不構(gòu)成線性空間.例7:n元實有序數(shù)組組成的全體

Sn={x=(x1,x2,···,xn)T|x1,x2,···,xnR}但1x=0x,故不滿足第(5)條運算規(guī)律.即所定義的運算不是線性運算,所以Sn不是線性空間.顯然,Sn對運算封閉.二、線性空間的性質(zhì)證明:

假設(shè)01,02是線性空間V中的兩個零元素.1.零元素是唯一的.則對任何V有,+01=,+02=,由于01,02V,則有02+01=02,01+02=01.所以01=01+02=02+01=02.第8頁，共13頁，2022年，5月20日，18點42分，星期五則有+=0,+=0,2.負(fù)元素是唯一的.證明:

設(shè)的負(fù)元素為與

,所以=.=+0=+(+)=(+)+=(+)+=0+因此,將向量的負(fù)元素記為–.證明:

因為

+

0=1

+

03.0=0;(–1)=–;0=0.則由零元素的唯一性得:0=0=

.=

1=

(1+0)

因為

+(–1)=1

+

(–1)=[1+(–1)]=0=0.則由負(fù)元素的唯一性得:(–1)=–.0

=

[

+(–1)]=+(–)=

0

=

0.=[+(–)]4.如果

=

0,則

=

0或

=

0.證明:

如果

0,又那么,所以,

=

0.故結(jié)論成立.第9頁，共13頁，2022年，5月20日，18點42分，星期五三、線性空間的子空間

定義2:

設(shè)V是一個線性空間,L是V的一個非空子集,如果L對于V中所定義的加法和數(shù)乘兩種運算也構(gòu)成一個線性空間,則稱L為V的子空間.

定理:

線性空間V的非空子集L構(gòu)成子空間的充分必要條件是:L對于V中的線性運算封閉.

證明:

由于L是線性空間V的子空間,則由定義知,L對于V中的線性運算封閉.

反之,由于L是線性空間V的非空子集,則L中的元素必為V中的元素.則L中的元素的線性運算就是V中元素在V中的運算,又由于L對于V中的線性運算封閉,因此,八條運算律中(1),(2),(5),(6),(7),(8)顯然成立,故只需驗證(3),(4)兩條成立,即零元素0在L中,且L中元素的負(fù)元素也在L中.第10頁，共13頁，2022年，5月20日，18點42分，星期五

對任意的L,則0R,由運算的封閉性知:0L,而0=0,故0L,從而(3)成立.

再由(–1)R,則(–1)L,且+(–1)

=

0,所以的負(fù)元素就是(–1),從而(4)成立.所以L是線性空間V的子空間.

例8:線性空間R23的下列子集是否構(gòu)成R23的子空間?為什么?解(1):

W1不構(gòu)成子空間.因為對1第11頁，共13頁，2022年，5月20日，18點42分，星期五有